線性代數(shù) 正定二次型ppt課件

1、一、慣性定理一、慣性定理線性變換選擇的不同會(huì)導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)形的不同，即：二次型線性變換選擇的不同會(huì)導(dǎo)致標(biāo)準(zhǔn)形的不同，即：二次型任一二次型均可通過(guò)非退化的線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，但任一二次型均可通過(guò)非退化的線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，但方項(xiàng)的個(gè)數(shù)與負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)卻是唯一確定的。方項(xiàng)的個(gè)數(shù)與負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)卻是唯一確定的。12(,)Tnf x xxX AX L實(shí)二次型實(shí)二次型確定的，二者的和等于矩陣確定的，二者的和等于矩陣A的秩的秩.實(shí)二次型標(biāo)準(zhǔn)形中的正平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)實(shí)二次型標(biāo)準(zhǔn)形中的正平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)p稱為二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一。但由慣性定理可知，標(biāo)準(zhǔn)形中的正平的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一。但由慣性定理可知，標(biāo)準(zhǔn)形中的正平經(jīng)過(guò)

2、非退化的線性經(jīng)過(guò)非退化的線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)形中正、負(fù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是唯一變換化為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)形中正、負(fù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是唯一的正慣性指數(shù)，負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的正慣性指數(shù)，負(fù)平方項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)q稱為二次型的負(fù)慣性指稱為二次型的負(fù)慣性指數(shù)，二者的差數(shù)，二者的差(p-q)=p-(r-p)=2p-r稱為二次型的符號(hào)差稱為二次型的符號(hào)差.設(shè)實(shí)二次型的設(shè)實(shí)二次型的22221111ppppp qp qfd yd ydydy LL若對(duì)上述標(biāo)準(zhǔn)形再做如下的非退化線性變換：若對(duì)上述標(biāo)準(zhǔn)形再做如下的非退化線性變換：1111111rrrrrnnyzdyzdyzyz L L LL L L則可得到規(guī)范形則可得到規(guī)范形 TfX AX

3、 的標(biāo)準(zhǔn)形為的標(biāo)準(zhǔn)形為222211()ppp qzzzzpqr LL于是有如下結(jié)論于是有如下結(jié)論:111,100TP AP OOO即即，若對(duì)任意的，若對(duì)任意的為正定二次型，稱正定二次型的為正定二次型，稱正定二次型的練習(xí)判斷下列二次型是否為正定的練習(xí)判斷下列二次型是否為正定的 1 ,TnfxxX AX L，均有，均有 0nXXR 1 ,0,TnfxxX AX L則稱則稱 1 ,TnfxxX AX L矩陣矩陣A為正定矩陣為正定矩陣. 2221234123 (1),2fx xxxxxx 222123123 (2),2fx xxxxx 222123123 (3),2fx xxxxx 0,0,0,1TX

4、 取 0,0,1TX 取2221122nnfd xd xd x L從上述例子可以看出，通過(guò)實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形從上述例子可以看出，通過(guò)實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形定理：定理：n元實(shí)二次型正定的充要條件是其正慣性指數(shù)為元實(shí)二次型正定的充要條件是其正慣性指數(shù)為n.證明：設(shè)證明：設(shè)n n元實(shí)二次型元實(shí)二次型f f經(jīng)過(guò)非退化線性變換經(jīng)過(guò)非退化線性變換X=PYX=PY化為化為標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形10,0XYPX 因因P可逆，可逆，判斷其正定性是比較容易的，且有如下定理：判斷其正定性是比較容易的，且有如下定理：即正慣性指數(shù)為即正慣性指數(shù)為n n 22211122,nnnfxxd yd yd y LL 211,00 (1, )nn

5、iiiifxxd ydin LL將上述結(jié)果對(duì)應(yīng)到二次型的矩陣將上述結(jié)果對(duì)應(yīng)到二次型的矩陣A A上，則可方便的通過(guò)上，則可方便的通過(guò)A A來(lái)判斷二次型的正定性來(lái)判斷二次型的正定性.定理：定理：n n元實(shí)二次型元實(shí)二次型 1 ,TnfxxX AX L正定的充要條件正定的充要條件是是A A的全部特征值均為正數(shù)的全部特征值均為正數(shù). .證明：對(duì)于證明：對(duì)于n n元實(shí)二次型，存在正交變換元實(shí)二次型，存在正交變換X=CYX=CY，使得，使得 22211122,nnnfxxyyy LL由于由于C C是正交矩陣，故是正交矩陣，故 1,iin L是是A A的特征值，故的特征值，故 TfX AX 的正慣性指數(shù)為的

6、正慣性指數(shù)為n n的充要條件是的充要條件是 01,iin L注：由于正定二次型的正慣性指數(shù)為注：由于正定二次型的正慣性指數(shù)為n n，故可通過(guò)非退化，故可通過(guò)非退化線性變換線性變換X=PYX=PY化為正慣性指數(shù)為化為正慣性指數(shù)為n n的規(guī)范形：的規(guī)范形： 222112,nnfxxyyy LL故有如下定理：故有如下定理：定理：實(shí)對(duì)稱矩陣定理：實(shí)對(duì)稱矩陣A A正定的充要條件是存在可逆矩陣正定的充要條件是存在可逆矩陣P P，使使TP API 推論：正定矩陣的行列式大于零推論：正定矩陣的行列式大于零. .推論：若推論：若A A為正定矩陣，則為正定矩陣，則A-1A-1，A A* *，kA(k0)kA(k0

7、)均為正定均為正定提示：對(duì)提示：對(duì)TP API 兩端取行列式兩端取行列式.提示：提示：A A正定等價(jià)于正定等價(jià)于A A的所有特征值大于的所有特征值大于0 0矩陣。矩陣。推論：若推論：若A A、B B為正定矩陣，則為正定矩陣，則A+BA+B也是正定矩陣也是正定矩陣提示：利用定義證明提示：利用定義證明. . 首先驗(yàn)證首先驗(yàn)證A+BA+B為對(duì)稱矩陣為對(duì)稱矩陣 0,0,00TTTXX AXX BXXAB X 注：若注：若A、B為正定矩陣，能否斷定為正定矩陣，能否斷定AB為正定矩陣？為正定矩陣？推論：若推論：若A A為實(shí)對(duì)稱矩陣，為實(shí)對(duì)稱矩陣，t t為一正實(shí)數(shù)，則為一正實(shí)數(shù)，則t t充分大時(shí)，充分大時(shí)，

8、tIA 為正定矩陣為正定矩陣.提示：提示：,iit 為為A的特征值的特征值.最后，給出一個(gè)判斷實(shí)對(duì)稱矩陣最后，給出一個(gè)判斷實(shí)對(duì)稱矩陣A A為正定的常用定理，先為正定的常用定理，先定義：設(shè)定義：設(shè)A A為為n n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則順序取階實(shí)對(duì)稱矩陣，則順序取A A的前的前k k行、前行、前k k列列補(bǔ)充一個(gè)定義補(bǔ)充一個(gè)定義. .交叉處的元素組成的矩陣交叉處的元素組成的矩陣111212122212kkkkkkkaaaaaaAaaa LLMMML稱為稱為A的的k階順序主子陣，階順序主子陣，| Ak |稱為稱為A的的k階順序主子式階順序主子式.A共有共有n個(gè)順序主子陣，且均為實(shí)對(duì)稱矩陣個(gè)順序主子陣，且均為實(shí)對(duì)稱矩陣.定理定理Sylvester定理）：實(shí)二次型定理）：實(shí)二次型 1 ,TnfxxX AX L正定的充要條件是正定的充要條件是A的所有順