隨機事件的概率

1、一、概率的統(tǒng)計定義一、概率的統(tǒng)計定義二、概率的古典定義二、概率的古典定義1.3 1.3 隨機事件的概率隨機事件的概率三、概率的公理化定義三、概率的公理化定義定義定義 1.1.頻率的定義與性質(zhì)頻率的定義與性質(zhì) 一、概率的統(tǒng)計定義一、概率的統(tǒng)計定義,. , ,AnmAmAnn成成并記并記發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率稱為事件稱為事件比值比值生的頻數(shù)生的頻數(shù)發(fā)發(fā)稱為事件稱為事件發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)事件事件次試驗中次試驗中在這在這次試驗次試驗進行了進行了在相同的條件下在相同的條件下)(Aw性質(zhì)性質(zhì) 設設 A 是隨機試驗是隨機試驗 E 的任一事件的任一事件, 則則; 1)(0)1(Aw0)(, 1)()2(ww實

2、例實例 將一枚硬幣拋擲將一枚硬幣拋擲 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.試驗試驗序號序號5 nAn)(Anw1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4An)(Anw50 n22252125241827An500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54)(Anw0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502處處波波動動較較大大在在21處處波波動動較較小小在在21波動最小波動最小隨隨n的

3、增大的增大, 頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性實驗者實驗者德德.摩根摩根蒲豐蒲豐K.皮爾遜皮爾遜K.皮爾遜皮爾遜nm頻率204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005頻率的增大的增大n.21這種試驗歷史上曾有不少統(tǒng)計學家做過這種試驗歷史上曾有不少統(tǒng)計學家做過從上述數(shù)據(jù)可以看出：從上述數(shù)據(jù)可以看出：(2) 拋硬幣次數(shù)拋硬幣次數(shù) n 較小時較小時, 頻率的隨機波動幅度頻率的隨機波動幅度較大較大, 但但隨隨 n 的增大的增大 , 頻率頻率 f 呈現(xiàn)出穩(wěn)定性呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即當即當 n 逐漸增大時頻率總是在逐漸增大時頻率總是在 0.

4、5 附近擺動附近擺動, 且逐漸且逐漸穩(wěn)定于穩(wěn)定于 0.5.(1) 頻率有頻率有隨機波動性隨機波動性,即對于同樣的即對于同樣的 n, 所得的所得的 頻率不一定相同頻率不一定相同;重要結(jié)論重要結(jié)論頻率當頻率當 n 較小時波動幅度比較大較小時波動幅度比較大,當當 n 逐漸增逐漸增大時大時 , 頻率趨于穩(wěn)定值頻率趨于穩(wěn)定值, 這個穩(wěn)定值從本質(zhì)上反映這個穩(wěn)定值從本質(zhì)上反映了事件在試驗中出現(xiàn)可能性的大小了事件在試驗中出現(xiàn)可能性的大小.它就是事件的它就是事件的概率概率.概率的統(tǒng)計定義概率的統(tǒng)計定義在隨機試驗中在隨機試驗中, ,若事件若事件A出現(xiàn)的頻率出現(xiàn)的頻率m/n隨隨210PP ( )( ),();定義定

5、義0()1;p A(1) 對任一事件對任一事件A ,有有概率統(tǒng)計定義的性質(zhì)概率統(tǒng)計定義的性質(zhì)01p則定義事件則定義事件A的概率為的概率為p, ,記作記作P( (A)=)=p .著試驗次數(shù)著試驗次數(shù)n的增加的增加, ,趨于某一常數(shù)趨于某一常數(shù)p,)A(P)A(P)A(P)AAA(P,A,A,A)(mmm 2121213個個事事件件對對于于兩兩兩兩互互斥斥的的有有限限多多 說明：概率的統(tǒng)計定義直觀地描述了事件發(fā)生的可能性大小，反映了概率的本質(zhì)內(nèi)容，但也有不足，即無法根據(jù)此定義計算某事件的概率。1.古典概型定古典概型定 義義二、概率的古典定義二、概率的古典定義如果一個隨機試驗如果一個隨機試驗E具有以

6、下兩個特征：具有以下兩個特征： 1、樣本空間的元素、樣本空間的元素(基本事件基本事件)僅有有限個；僅有有限個； 2、每個基本事件出現(xiàn)的可能性相同。、每個基本事件出現(xiàn)的可能性相同。則稱該隨機試驗為古典概型。則稱該隨機試驗為古典概型。例如例如拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子 設試驗設試驗 E 有有n 個等可能的基本事件個等可能的基本事件, A為為 E 的任意一個事件的任意一個事件,且包含且包含m 個不同的基本事件個不同的基本事件, 則事件則事件 A 出現(xiàn)的概率記為出現(xiàn)的概率記為: 2.概率的古典定義概率的古典定義.中樣本點總數(shù)中樣本點總數(shù)中樣本點的個數(shù)中樣本點的個數(shù) A An nm m

7、P(A)P(A) 稱此為稱此為概率的古典定義概率的古典定義. 3. 古典概型的基本模型古典概型的基本模型:摸球模摸球模型型(1) 無放回地摸球無放回地摸球問題問題1 設袋中有設袋中有M個白球和個白球和 N個黑球個黑球, 現(xiàn)從袋中無現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出放回地依次摸出m+n個球個球,求所取球恰好含求所取球恰好含m個白個白球球, ,n個黑球的概率個黑球的概率?樣本點總數(shù)為樣本點總數(shù)為,MNmnA 所包含所包含的樣本點個數(shù)為的樣本點個數(shù)為( )MNMNP Amnmn故故解解設設A=所取球恰好含所取球恰好含m個白球個白球, ,n個黑球個黑球,nNmM(2) 有放回地摸球有放回地摸球問題問題2 設袋中

8、有設袋中有4只紅球和只紅球和6只黑球只黑球,現(xiàn)從袋中有放現(xiàn)從袋中有放回地摸球回地摸球3次次,求前求前2 次摸到次摸到黑球黑球、第第3 次摸到紅球次摸到紅球的概率的概率.解解,2第三次摸到紅球第三次摸到紅球次摸到黑球次摸到黑球前前設設 A第第1 1次摸球次摸球10種種第第2次摸球次摸球10種種第第3次摸球次摸球10種種6種種第第1 1次摸到黑球次摸到黑球 6種種第第2次摸到黑球次摸到黑球4種種第第3次摸到紅球次摸到紅球樣本點總數(shù)為樣本點總數(shù)為,101010103 A 所包含所包含樣本點的個數(shù)為樣本點的個數(shù)為, 466 310466)( AP故故.144. 0 課堂練習課堂練習1o 電話號碼問題電

9、話號碼問題 在在7位數(shù)的電話號碼中位數(shù)的電話號碼中,求各位求各位數(shù)字互不相同的概率數(shù)字互不相同的概率. 2o 骰子問題骰子問題 擲擲3顆均勻骰子顆均勻骰子,求點數(shù)之和為求點數(shù)之和為4的的概率概率.)10:(7710Pp 答案答案)63:(3 p答案答案4.古典概型的基本模型古典概型的基本模型:球放入杯子模型球放入杯子模型(1)杯子容量無限杯子容量無限問題問題1 把把 4 個球放到個球放到 3個杯子中去個杯子中去,求第求第1 1、2個個杯子中各有兩個球的概率杯子中各有兩個球的概率, 其中假設每個杯子可其中假設每個杯子可放任意多個球放任意多個球. 33334個球放到個球放到3個杯子的所有放法個杯子

10、的所有放法,333334種種 個個2種種 24個個2種種 22因此第因此第1、2個杯子中各有兩個球的概率為個杯子中各有兩個球的概率為432224 p.272 (2) 每個杯子只能放一個球每個杯子只能放一個球問題問題2 把把4個球放到個球放到10個杯子中去個杯子中去,每個杯子只能每個杯子只能放一個球放一個球, 求第求第1 至第至第4個杯子各放一個球的概率個杯子各放一個球的概率. .解解第第1至第至第4個杯子各放一個球的概率為個杯子各放一個球的概率為41044ppp 789101234 .2101 2o 生日問題生日問題 某班有某班有20個學生都個學生都是同一年出生的是同一年出生的,求有求有10個

11、學生生個學生生日是日是1 1月月1 1日日,另外另外10個學生生日是個學生生日是12月月31日的概率日的概率. )3! 3:(3答案答案)36510101020:(20 p答案答案課堂練習課堂練習1o 分房問題分房問題 將張三、李四、王五將張三、李四、王五3人等可能地人等可能地分配到分配到3 間房中去間房中去,試求每個房間恰有試求每個房間恰有1人的概率人的概率.5. 古典概型的概率的性質(zhì)古典概型的概率的性質(zhì)210PP( )(),();)()()()(,)3(212121mmmAPAPAPAAAPAAA 個事件個事件對于兩兩互斥的有限多對于兩兩互斥的有限多) 1 (1)對于任意事件A ,1P(A

12、)0解解.,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH 則.,1 TTHTHTHTTA 而而,83)(1 AP得得.,)2(2 TTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHA .87)(2 AP因此因此).(,)2().(,)1( .2211APAAPA求求次次出出現(xiàn)現(xiàn)正正面面至至少少有有一一為為設設事事件件求求次次出出現(xiàn)現(xiàn)正正面面恰恰有有一一為為設設事事件件將將一一枚枚硬硬幣幣拋拋擲擲三三次次., )1(為出現(xiàn)反面為出現(xiàn)反面為出現(xiàn)正面為出現(xiàn)正面設設TH6.6.典型例題典型例題1例例在在 N 件產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品中抽取n件件,其中恰有其中恰有k 件次品的取法件次品的取法共有共有,種種 knD

13、NkD于是所求的概率為于是所求的概率為. nNknDNkDp解解在在N件產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有件的所有可能取法共有,種nN?)(,件次品的概率是多少件次品的概率是多少問其中恰有問其中恰有件件今從中任取今從中任取件次品件次品其中有其中有件產(chǎn)品件產(chǎn)品設有設有DkknDN 2例例例例 1.6（分房問題）（分房問題） 有有 n 個人，每個人都以同樣的個人，每個人都以同樣的概率概率 1/N 被分配在被分配在 間房中的每一間中，試間房中的每一間中，試求下列各事件的概率：求下列各事件的概率：)(NnNn(1)(1)某指定某指定 間房中各有一人間房中各有一人 ;n(2)(2)恰有恰有 間

14、房，其中各有一人；間房，其中各有一人； (3) (3) 某指定一間房中恰有某指定一間房中恰有 人。人。 )(nmmnN 解解 先求樣本空間中所含樣本點的個數(shù)。先求樣本空間中所含樣本點的個數(shù)。 首先，把首先，把 n 個人分到個人分到N間房中去共有間房中去共有 種分法，其種分法，其次，求每種情形下事件所含的樣本點個數(shù)。次，求每種情形下事件所含的樣本點個數(shù)。(b)(b)恰有恰有n n間房中各有一人，所有可能的分法為間房中各有一人，所有可能的分法為 ; !nCnN(a)(a)某指定某指定n n間房中各有一人，所含樣本點的個數(shù)，間房中各有一人，所含樣本點的個數(shù)， 即可能的的分法為即可能的的分法為 ; !

15、 n(c)(c)某指一間房中恰有某指一間房中恰有m m人，可能的分法為人，可能的分法為 .) 1(mnmnNC進而我們可以得到三種情形下事件的概率，其分別為進而我們可以得到三種情形下事件的概率，其分別為 :nNn!（1） （2） nnNNnC!（3） .) 1(nmnmnNNC上述分房問題中，若令上述分房問題中，若令 則可演化為則可演化為生日問題生日問題. .全班學生全班學生30人，人， 230,365,(1) (1) 某指定某指定30天，每位學生生日各占一天的概率；天，每位學生生日各占一天的概率； (2) (2) 全班學生生日各不相同的概率；全班學生生日各不相同的概率； (3) (3) 全年

16、某天，恰有二人在這一天同生日的概率。全年某天，恰有二人在這一天同生日的概率。 利用上述結(jié)論可得到概率分別為利用上述結(jié)論可得到概率分別為 :由（由（2）立刻得出，全班）立刻得出，全班30人至少有人至少有2人生日相同的概率人生日相同的概率等于等于1 10.294=0.706, 0.294=0.706, 這個值大于這個值大于70%。（1）;365!3030 （2）;294. 0365/ !303030365 C30230(365)28)364(C（3）例例1 在房間里有在房間里有10個人個人,分別佩戴從分別佩戴從1號到號到10號的號的紀念章紀念章,任選任選3個記錄其紀念章的號碼個記錄其紀念章的號碼.

17、(1)求最小號碼為求最小號碼為5的概率的概率;(2)求最大號碼為求最大號碼為5的概的概率率.解解(1)總的選法種數(shù)為總的選法種數(shù)為,310 n最小號碼為最小號碼為5的選法種數(shù)為的選法種數(shù)為,25 m7.備份題備份題(2)最大號碼為最大號碼為5的選法種數(shù)為的選法種數(shù)為,24 故最大號碼為故最大號碼為5的概率為的概率為 31024P故小號碼為故小號碼為5的概率為的概率為 31025P.121 .201 例例2 將將 4 只球隨機地放入只球隨機地放入 6 個盒子中去個盒子中去 ,試求每試求每個盒子至多有一只球的概率個盒子至多有一只球的概率.解解 將將4只球隨機地放入只球隨機地放入6個盒子中去個盒子中

18、去 , 共有共有64 種種 放法放法.每個盒子中至多放一只球共有每個盒子中至多放一只球共有 種不同放種不同放法法.3456 因而所求的概率為因而所求的概率為463456 p.2778.0 例例3 將將 15 名新生隨機地平均分配到三個班級中名新生隨機地平均分配到三個班級中去去,這這15名新生中有名新生中有3名是優(yōu)秀生名是優(yōu)秀生.問問 (1) 每一個班每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少? (2) 3 名名優(yōu)優(yōu)秀生分配在同一個班級的概率是多少秀生分配在同一個班級的概率是多少? 解解 15名新生平均分配到三個班級中的分法總數(shù)名新生平均分配到三個班級中的分法總數(shù):

19、 55510515.! 5! 5! 5!15 (1) 每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有.) !() !(種種4441231112134448412因此所求概率為因此所求概率為! 5! 5! 5!15! 4! 4! 4!12! 31 p.9125 (2)將將3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的分法共有名優(yōu)秀生分配在同一個班級的分法共有3種種,對于每一種分法對于每一種分法,其余其余12名新生的分法有名新生的分法有.! 5! 5! 2!12種種因此因此3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的分法共有名優(yōu)秀生分配在同一個班級的分法共有,) !() !(種種552123因此所求概

20、率為因此所求概率為! 5! 5! 5!15! 5! 5! 2!1232 p.916 例例4 某接待站在某一周曾接待過某接待站在某一周曾接待過 12次來訪次來訪,已知已知所有這所有這 12 次接待都是在周二和周四進行的次接待都是在周二和周四進行的,問是問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的否可以推斷接待時間是有規(guī)定的. 假設接待站的接待時間沒有假設接待站的接待時間沒有規(guī)定規(guī)定,且各來訪者在一周的任一天且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的.解解周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日.712種種12341277777 故一周內(nèi)接待故一周內(nèi)接待 12 次來訪共有

21、次來訪共有.212種種121272 p0000003.0 小概率事件在實際中幾乎是不可能發(fā)生的小概率事件在實際中幾乎是不可能發(fā)生的 , 從從而可知接待時間是有規(guī)定的而可知接待時間是有規(guī)定的.周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四進行的共有次接待都是在周二和周四進行的共有故故12 次接待都是在周二和周四進行的概率為次接待都是在周二和周四進行的概率為例例5 假設每人的生日在一年假設每人的生日在一年 365 天中的任一天天中的任一天是等可能的是等可能的 , 即都等于即都等于 1/365 ,求求 64 個人中至少個人

22、中至少有有2人生日相同的概率人生日相同的概率. 64 個人生日各不相同的概率為個人生日各不相同的概率為641365)164365( 364365 p故故64 個人中至少有個人中至少有2人生日相同的概率為人生日相同的概率為64365)164365( 3643651 p.997. 0 解解說明說明率率為為概概他他們們的的生生日日各各不不相相同同的的個個人人隨隨機機選選取取,)365( nnnp365)1365(364365 日相同的概率為日相同的概率為個人中至少有兩個人生個人中至少有兩個人生而而nnnp365)1365(3643651 概率的古典定義具有可計算性的優(yōu)點概率的古典定義具有可計算性的優(yōu)

23、點, ,但它也但它也有明顯的局限性有明顯的局限性. .要求樣本要求樣本點有限點有限,如果樣本空間中如果樣本空間中的樣本點有無限個的樣本點有無限個, 概率的古典定義就不適用了概率的古典定義就不適用了. .而統(tǒng)計定義雖然簡單直觀但從數(shù)學角度講卻不嚴密，而統(tǒng)計定義雖然簡單直觀但從數(shù)學角度講卻不嚴密，因為做理論研究時不可能去做大量試驗去找那個頻因為做理論研究時不可能去做大量試驗去找那個頻率的穩(wěn)定值。為了克服上述缺點，率的穩(wěn)定值。為了克服上述缺點，1933年年 , 蘇聯(lián)數(shù)蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)學家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu) ,給給出了概率的嚴格定義出了概率的嚴格定義 ,

24、使概率論有了迅速的發(fā)展使概率論有了迅速的發(fā)展.三三 概率的公理化定義概率的公理化定義; 1)(0,:(1) APA 有有對于每一個事件對于每一個事件有界有界性性;)(,:(2)1 P 有有對對于于必必然然事事件件規(guī)規(guī)范范性性則則有有即即對對于于事事件件是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的設設, 2, 1,: (3)21 jiAAjiAAji可可列列可可加加性性 )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性1. 概率的公理化定義：概率的公理化定義：: :) )滿滿足足下下列列條條件件函函數(shù)數(shù)P P( (果果集集合合稱稱為為事事件件A A的的概概率率. .如如記記為為P P( (

25、A A) ), ,一一個個實實數(shù)數(shù), ,賦賦予予) )對對于于E E的的每每一一事事件件A A( (上上給給出出一一個個集集合合函函數(shù)數(shù)P P的的子子集集是是它它得得樣樣本本空空間間. .在在設設E E是是隨隨機機試試驗驗, ,概率的有限可加性概率的有限可加性證明證明,21 nnAA令令., 2 , 1, jijiAAji由概率的可列可加性得由概率的可列可加性得)(21nAAAP)(1kkAP 1)(kkAP0)(1 nkkAP).()()(21nAPAPAP 則則有有是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的事事件件 ,) 1 (21nAAA若).()()()(2121nnAPAPAPAAAP 2.

26、性質(zhì)性質(zhì)).(1)(,)2(APA PAA 則則的對立事件的對立事件是是設設,)(,1 PAAAA因為因為).(1)(APAP 證明證明)()(AAPP 1所以所以)()(APAP ).()()(),()(,)3(APBPABPBPAPBABA 則則且且為兩個事件為兩個事件設設證明證明BA,BA 因為因為).(ABAB 所以所以,)( AAB又又)()()(ABPAPBP 得得, 0)( ABP又又因因).()(BPAP 故故).()()(APBPABP 于是于是).()()()(,)()4(ABPBPAPBAPBA有對于任意兩事件廣加法公式證明證明AB由圖可得由圖可得),(ABBABA ,)

27、( ABBA且且).()()(ABBPAPBAP 故故又由性質(zhì)又由性質(zhì) 3 得得因此得因此得ABBAB),()()(ABPBPABBP).()()()(ABPBPAPBAP 推廣推廣 3個事件和的情況個事件和的情況)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 個事件和的情況個事件和的情況)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().() 1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP P P( (B B) ). .P P( (A A) )B B) )有有P P( (A AB BA A, ,( (5 5) )對對于于任任意意兩兩事事件件解解),()()1(BPABP 由圖示得由圖示得.21)()( BPABP故故)()()()2(APBPABP 由圖示得由圖示得.613121 .81)()3(;)2(;)1(.)(,2131, ABPBABAABPBA互斥互斥與與的值的值三種情況下三種情況下求在下列求在下列和和的概率分別為的概率分別為設事件設事件BAAB1例例,)3(ABABA 由圖示得由圖示得),()()()(ABPBPAPBAP 又又),()()(ABPAPBAAP