第9章應(yīng)力理論

1、材料成形原理材料成形原理金屬塑性成形原理金屬塑性成形原理主講教師：周濤主講教師：周濤緒 論 0.1 材料加工在國(guó)民經(jīng)濟(jì)中的地位特點(diǎn) 0.2 材料加工的內(nèi)涵 0.3 金屬塑性加工 0.4 塑性加工理論的發(fā)展概況 0.5 本課程的任務(wù)0.1 0.1 材料加工在國(guó)民經(jīng)濟(jì)中的地位特點(diǎn)材料加工在國(guó)民經(jīng)濟(jì)中的地位特點(diǎn) 金屬采用塑性加工方法成材，不僅以金屬采用塑性加工方法成材，不僅以其原材料消耗少、生產(chǎn)效率高、產(chǎn)品質(zhì)量其原材料消耗少、生產(chǎn)效率高、產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定，而且能有效地改善和控制金屬的組穩(wěn)定，而且能有效地改善和控制金屬的組織與性能，在國(guó)民經(jīng)濟(jì)與國(guó)防建設(shè)中占有織與性能，在國(guó)民經(jīng)濟(jì)與國(guó)防建設(shè)中占有十分重要的地

2、位。十分重要的地位。1 1、航空航天、航空航天2 2、武器裝備、武器裝備3 3、交通運(yùn)輸、交通運(yùn)輸4 4、建筑、建筑5 5、家用電器、家用電器0.2 0.2 材料加工的內(nèi)涵材料加工的內(nèi)涵2.2.材料的可加工性材料的可加工性3.3.材料加工需考慮的基本原則材料加工需考慮的基本原則4.4.金屬材料加工所涉及的內(nèi)容金屬材料加工所涉及的內(nèi)容5.5.小結(jié)小結(jié)0.3 0.3 金屬塑性加工金屬塑性加工金屬塑性成形分類塑性成形塑性成形受力與變形方式受力與變形方式加工溫度加工溫度 壓力壓力拉力拉力 鍛造鍛造軋制軋制擠壓擠壓拉拔拉拔 沖壓沖壓 拉伸拉伸 彎矩剪力彎矩剪力彎曲彎曲 剪切剪切 熱加工熱加工 冷加工冷加

3、工 溫加工溫加工 組合方式組合方式鍛軋鍛軋軋擠軋擠拔軋拔軋輥彎輥彎異步軋制異步軋制3. 3. 主要加工方法主要加工方法3. 3. 主要加工方法主要加工方法3. 3. 主要加工方法主要加工方法臥式擠壓機(jī)臥式擠壓機(jī)3. 3. 主要加工方法主要加工方法3. 3. 主要加工方法主要加工方法3. 3. 主要加工方法主要加工方法板料分離過(guò)程板料分離過(guò)程分離過(guò)程是使坯料一部分相對(duì)于另一部分分離分離過(guò)程是使坯料一部分相對(duì)于另一部分分離而得到工件或者坯料，如落料，沖孔，切斷，而得到工件或者坯料，如落料，沖孔，切斷，修整等。修整等。A 落料與沖孔落料與沖孔 落料落料是從板料上沖出一定外形的零是從板料上沖出一定外形

4、的零件或坯料，件或坯料，沖下部分是成品沖下部分是成品。 沖孔沖孔是在板料上沖出孔，是在板料上沖出孔，沖下部分是沖下部分是廢料。廢料。板料分離過(guò)程板料分離過(guò)程B 切斷切斷 切斷是指用剪刀或沖模將坯料或其他切斷是指用剪刀或沖模將坯料或其他型材沿不封閉輪廓進(jìn)行分離的工序。型材沿不封閉輪廓進(jìn)行分離的工序。 切斷用于制取形狀簡(jiǎn)單，精度要求切斷用于制取形狀簡(jiǎn)單，精度要求不高的平板類工件或下料。不高的平板類工件或下料。板料分離過(guò)程板料分離過(guò)程C 修整修整 如零件的精度和表面粗糙度如零件的精度和表面粗糙度的要求較高，則需要用修整工序的要求較高，則需要用修整工序。板料分離過(guò)程板料分離過(guò)程成形過(guò)程是使坯料發(fā)生塑性

5、變形而形成成形過(guò)程是使坯料發(fā)生塑性變形而形成一定形狀和尺寸的工件，主要有一定形狀和尺寸的工件，主要有拉深、拉深、彎曲、翻邊、成形、收口彎曲、翻邊、成形、收口等。等。板料成形過(guò)程板料成形過(guò)程A 拉深拉深拉深：是將平板料拉深：是將平板料放在凹模上，沖頭放在凹模上，沖頭把材料拉入凹模而把材料拉入凹模而形成空心形狀工件形成空心形狀工件的過(guò)程。的過(guò)程。板料成形過(guò)程板料成形過(guò)程B 彎曲與卷邊彎曲與卷邊 1）彎曲彎曲：是用模具把坯料彎成所需要形狀的過(guò)是用模具把坯料彎成所需要形狀的過(guò)程，可以在各種機(jī)械或液壓壓力機(jī)上進(jìn)行。程，可以在各種機(jī)械或液壓壓力機(jī)上進(jìn)行。板料成形過(guò)程板料成形過(guò)程彎曲工序主要有彎曲工序主要有

6、板料成形過(guò)程板料成形過(guò)程C 翻邊翻邊 在帶孔的坯料上在帶孔的坯料上通過(guò)凸模通過(guò)凸模獲得豎立的獲得豎立的凸緣的過(guò)程凸緣的過(guò)程。 當(dāng)工件所需的凸當(dāng)工件所需的凸緣較高，用一次翻邊緣較高，用一次翻邊成形可能會(huì)使孔的邊成形可能會(huì)使孔的邊緣造成破裂，這時(shí)可緣造成破裂，這時(shí)可以采用先拉深，后沖以采用先拉深，后沖孔，再翻邊成型的過(guò)孔，再翻邊成型的過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)。程來(lái)實(shí)現(xiàn)。板料成形過(guò)程板料成形過(guò)程D 成形和收口成形和收口 成形是利用成形是利用局部變形局部變形使坯料或半成品使坯料或半成品改改變形狀變形狀的過(guò)程。主要用于成形的過(guò)程。主要用于成形剛性筋條剛性筋條，或，或增大半成品的增大半成品的局部半徑局部半徑等。等。板料

7、成形過(guò)程板料成形過(guò)程E 滾彎（含卷板）滾彎（含卷板） 滾彎是板料（工件）送入可調(diào)上輥與兩個(gè)滾彎是板料（工件）送入可調(diào)上輥與兩個(gè)固定下輥間、根據(jù)上下輥的相對(duì)位置不同，固定下輥間、根據(jù)上下輥的相對(duì)位置不同，對(duì)板施加連續(xù)的塑性彎曲成形，改變上輥的對(duì)板施加連續(xù)的塑性彎曲成形，改變上輥的位置可改變板材的滾彎的曲率。位置可改變板材的滾彎的曲率。 還有一種滾彎是將板料一次通過(guò)若干對(duì)上還有一種滾彎是將板料一次通過(guò)若干對(duì)上下輥，每通過(guò)一對(duì)上下輥產(chǎn)生一定的變形，下輥，每通過(guò)一對(duì)上下輥產(chǎn)生一定的變形，最終使板料成形為具有一定形狀的截面。最終使板料成形為具有一定形狀的截面。板料成形過(guò)程板料成形過(guò)程(6) (6) 輥軋

8、成形輥軋成形常見輥軋有：輥鍛、橫軋、斜軋等。常見輥軋有：輥鍛、橫軋、斜軋等。A 輥鍛：使坯料通過(guò)裝有圓弧形模塊的一對(duì)相對(duì)輥鍛：使坯料通過(guò)裝有圓弧形模塊的一對(duì)相對(duì)旋轉(zhuǎn)的軋輥時(shí)，受壓而變形的生產(chǎn)方法。旋轉(zhuǎn)的軋輥時(shí)，受壓而變形的生產(chǎn)方法。它與軋制不同的是這對(duì)模塊可裝拆更換，以便生產(chǎn)不它與軋制不同的是這對(duì)模塊可裝拆更換，以便生產(chǎn)不同形狀的毛坯或零件。同形狀的毛坯或零件。輥鍛不僅可作為模鍛前的制坯工序，還可直接輥鍛出制品，輥鍛不僅可作為模鍛前的制坯工序，還可直接輥鍛出制品，如各種扳手、鋼絲鉗、鐮刀、鋤頭、犁鏵、麻花鉆、連桿、如各種扳手、鋼絲鉗、鐮刀、鋤頭、犁鏵、麻花鉆、連桿、葉片、刺刀、鐵道道岔等。葉片

9、、刺刀、鐵道道岔等。B 橫軋橫軋 軋輥軸線與坯料軸線互相平行的軋制方法軋輥軸線與坯料軸線互相平行的軋制方法。1）齒輪齒形軋制）齒輪齒形軋制 將帶齒形的軋輪做將帶齒形的軋輪做徑向進(jìn)給徑向進(jìn)給，迫使，迫使軋輪與坯料對(duì)輾，在對(duì)輾過(guò)程中，坯料上一部分金屬軋輪與坯料對(duì)輾，在對(duì)輾過(guò)程中，坯料上一部分金屬受壓形成齒谷，相鄰部分的金屬被軋輪齒部受壓形成齒谷，相鄰部分的金屬被軋輪齒部“反擠反擠”而形成齒頂。直齒和斜齒均可用熱軋成型。而形成齒頂。直齒和斜齒均可用熱軋成型。 2）螺旋斜軋：）螺旋斜軋：帶螺旋槽的軋輥軸線相互交叉帶螺旋槽的軋輥軸線相互交叉，同向旋轉(zhuǎn)，同向旋轉(zhuǎn)，軋坯作螺旋運(yùn)動(dòng)（繞自身軸反轉(zhuǎn)，并軸向向前）

10、，同時(shí)受壓軋坯作螺旋運(yùn)動(dòng)（繞自身軸反轉(zhuǎn)，并軸向向前），同時(shí)受壓塑性變形，獲得制品。塑性變形，獲得制品。(7) 旋壓旋壓：是利用旋壓機(jī)使：是利用旋壓機(jī)使毛坯和模具毛坯和模具以一定的以一定的速度速度共同旋轉(zhuǎn)共同旋轉(zhuǎn)，并，并在滾輪的作用下在滾輪的作用下，使毛坯與滾輪，使毛坯與滾輪接觸的部位接觸的部位產(chǎn)生局部塑性變形產(chǎn)生局部塑性變形，由于，由于滾輪的進(jìn)給運(yùn)滾輪的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)動(dòng)和毛坯的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，使局部的塑性變形逐步和毛坯的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，使局部的塑性變形逐步擴(kuò)展擴(kuò)展到毛坯的全部所需表面到毛坯的全部所需表面。根據(jù)加工時(shí)工件溫度特征分類根據(jù)加工時(shí)工件溫度特征分類n熱加工：熱加工：再結(jié)晶溫度以上再結(jié)晶溫度以上進(jìn)行的加工

11、。n冷加工：冷加工：不產(chǎn)生回復(fù)和再結(jié)晶溫度以下不產(chǎn)生回復(fù)和再結(jié)晶溫度以下進(jìn)行的加工。n溫加工：溫加工：在產(chǎn)生回復(fù)的溫度下產(chǎn)生回復(fù)的溫度下進(jìn)行的加工。4. 4. 特點(diǎn)特點(diǎn)0.4 0.4 塑性加工理論的發(fā)展概況塑性加工理論的發(fā)展概況1. 1. 金屬塑性加工力學(xué)金屬塑性加工力學(xué)( (力學(xué)冶金力學(xué)冶金) )2. 2. 金屬塑性加工材料學(xué)金屬塑性加工材料學(xué)25 m(c)ND/0013. 3. 塑性加工摩擦學(xué)塑性加工摩擦學(xué)0.5 0.5 本課程的任務(wù)本課程的任務(wù)增量理論增量理論 ：1 1、Levy-MisesLevy-Mises增量理論增量理論 2 2、Prandtl-ReussPrandtl-Reuss

12、理論理論0.5 0.5 本課程的任務(wù)本課程的任務(wù)0.5 0.5 本課程的任務(wù)本課程的任務(wù)滑移線法主應(yīng)力法上限法近似方法法求解塑性問(wèn)題的經(jīng)典方應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力屈服準(zhǔn)則應(yīng)力分析應(yīng)變分析塑性力學(xué)金屬學(xué)塑性成形原理、塑性成形原理課程的主體內(nèi)容塑性成形原理課程的主體內(nèi)容摩擦學(xué)1坐標(biāo)系和矢量坐標(biāo)系和矢量2張量的定義張量的定義3張量代數(shù)張量代數(shù)4二階張量二階張量張量：是一種數(shù)學(xué)工具，用它來(lái)張量：是一種數(shù)學(xué)工具，用它來(lái)描述物理量及其運(yùn)動(dòng)描述物理量及其運(yùn)動(dòng)，所，所得到的數(shù)量表征和分析結(jié)果，在任何坐標(biāo)系中都具有不變得到的數(shù)量表征和分析結(jié)果，在任何坐標(biāo)系中都具有不變形式。形式。簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一、物理意義明確、簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一、物理

13、意義明確、與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)1坐標(biāo)系和矢量坐標(biāo)系和矢量如圖如圖1 1，三維空間直角坐標(biāo)系，三維空間直角坐標(biāo)系Oxyz,Oxyz,321,xxxzyx,P P點(diǎn)坐標(biāo)（點(diǎn)坐標(biāo)（x,y,z)x,y,z),(321xxxP P點(diǎn)坐標(biāo)可記為：點(diǎn)坐標(biāo)可記為：1,2,3)(i xi xiie正方向的單位基矢量正方向的單位基矢量iiuuuueeeeu332211圖圖1i ixreP P點(diǎn)坐標(biāo)為：點(diǎn)坐標(biāo)為： ix如圖如圖1,1,原點(diǎn)原點(diǎn)O O到到P P點(diǎn)的矢量點(diǎn)的矢量 為為P P點(diǎn)的矢徑點(diǎn)的矢徑, ,用用r r表示表示; ;OP332211eeexxx圖圖1n1kkkn1jjjn1iii221

14、1xaxaxaxaxaxaSnn顯然，指標(biāo)顯然，指標(biāo) i, j, k i, j, k 與求和無(wú)關(guān)，可用任意字母代替。與求和無(wú)關(guān)，可用任意字母代替。為簡(jiǎn)化表達(dá)式，引入為簡(jiǎn)化表達(dá)式，引入EinsteinEinstein求和約定求和約定：每逢某個(gè)指：每逢某個(gè)指標(biāo)在一項(xiàng)中標(biāo)在一項(xiàng)中重復(fù)一次重復(fù)一次，就表示對(duì)該指標(biāo)求和，指標(biāo)取，就表示對(duì)該指標(biāo)求和，指標(biāo)取遍正數(shù)遍正數(shù)1 1，2 2，n n。這樣重復(fù)的指標(biāo)稱為啞標(biāo)這樣重復(fù)的指標(biāo)稱為啞標(biāo)。于是于是kkorjjoriixaxaxaSn n 表示空間的維數(shù)，以后無(wú)特別說(shuō)明，我們總?cè)”硎究臻g的維數(shù)，以后無(wú)特別說(shuō)明，我們總?cè)=3n=3。例題例題332211iixa

15、xaxaxaA:A:求和約定、啞指標(biāo)求和約定、啞指標(biāo)332211jjbbbb332211mmeeeecccc雙重求和雙重求和31i31jjiijxxaSjiijxxaS 展開式（展開式（9項(xiàng)）項(xiàng)）333323321331322322221221311321121111xxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaS三重求和（三重求和（27項(xiàng)）項(xiàng)）kkxxxaxxxaSjiijk31i31j31kjiijkB:B:自由指標(biāo)自由指標(biāo)jijixax 例如例如指標(biāo)指標(biāo) i i 在方程的各項(xiàng)中在方程的各項(xiàng)中只出現(xiàn)一次，稱之為自由指只出現(xiàn)一次，稱之為自由指標(biāo)標(biāo)。一個(gè)自由指標(biāo)每次可取整數(shù)。一個(gè)自由指

16、標(biāo)每次可取整數(shù)1,2,3, , n1,2,3, , n，與啞，與啞標(biāo)一樣，無(wú)特別說(shuō)明總?cè)?biāo)一樣，無(wú)特別說(shuō)明總?cè)=3n=3。于是，上式表示。于是，上式表示3 3個(gè)方個(gè)方程的縮寫：程的縮寫：3132121111xaxaxax3232221212xaxaxax3332321313xaxaxaxjijieeA3132121111eeeeAAAi 為自由指標(biāo)，為自由指標(biāo)，j 為啞標(biāo)為啞標(biāo)表示表示3232221212eeeeAAA3332321313eeeeAAAjkikijBAC 1313121211111k1k11BABABABACi ，j為自由指標(biāo)，為自由指標(biāo)，k 為啞標(biāo)為啞標(biāo)表示表示9個(gè)方程：個(gè)

17、方程：2313221221112k1k12BABABABAC3313321231113k1k13BABABABAC1323122211211k2k21BABABABAC3333323231313k3k33BABABABACC: Kronecker delta符號(hào)符號(hào)在卡氏直角坐標(biāo)系下，在卡氏直角坐標(biāo)系下，Kronecker delta Kronecker delta 符號(hào)定義為：符號(hào)定義為：ji, 0ji, 1j i100010001333231232221131211其中其中 i i，j j 為自由指標(biāo)，取遍為自由指標(biāo)，取遍1 1，2 2，3 3；因此，可確定；因此，可確定一單位矩陣：一單位

18、矩陣：D:置換符號(hào)置換符號(hào) Permutation symbol, 0, 1, 1kj iei, j, k為順序排列為順序排列i, j, k有兩個(gè)相等有兩個(gè)相等例如：例如：1312231123eee1132213321eee0232121111eeei, j, k為逆序排列為逆序排列可見：可見：i jkjkiki jj ikikjkj ieeeeeekj ie也稱為三維空間的排列符號(hào)。也稱為三維空間的排列符號(hào)。E: 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換舊坐標(biāo)系：舊坐標(biāo)系：新舊基矢量夾角的新舊基矢量夾角的方向余弦方向余弦：321xxxO單位基矢量：?jiǎn)挝换噶浚?,(321eee新坐標(biāo)系：新坐標(biāo)系：321xxxO),

19、(321eeej ijijijiji),cos(),cos(| |eeeeeeee單位基矢量：?jiǎn)挝换噶浚?舊新1e2e3e1e2e3e111221312213233233 新舊1e2e3e1e2e3e11 12 21 31 22 13 23 32 33 j ijijijiji),cos(),cos(| |eeeeeeeejj ijjiieeeeejj ijjiieeeeej i 變換系數(shù)變換系數(shù)kjkiktt jkit jkijij i tkeeeek jk itkt jk it jk ijiij tkeeeei jj i即即kjkij i k jk iij任一矢量任一矢量u在新舊坐標(biāo)中表示

20、一致在新舊坐標(biāo)中表示一致iiiiuueeu則則ji jiiiuueejj iiiiuuee即即ii jjuuij ijuu矢量矢量u本身與坐標(biāo)無(wú)關(guān)本身與坐標(biāo)無(wú)關(guān),矢量的分量矢量的分量ui隨坐標(biāo)系而變隨坐標(biāo)系而變jjuejju e2張量的定義張量的定義推廣矢量的概念推廣矢量的概念ii iiuu1111iiiiTT21221121iiiiiiiiTT ie若在空間任一組基若在空間任一組基 下下,有用有用n個(gè)指標(biāo)編號(hào)的個(gè)指標(biāo)編號(hào)的 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)n3niiiT21當(dāng)基矢量按當(dāng)基矢量按 變換成變換成 時(shí)時(shí), 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 按按如下規(guī)律變換如下規(guī)律變換iiiieen3niiiT21iennnniiiiiiiiii

21、iiTT21221121 張量的定義張量的定義為對(duì)應(yīng)基下的張量分量為對(duì)應(yīng)基下的張量分量,有時(shí)稱有時(shí)稱 為為n階張量階張量.niiiT21 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 的的有序集合為一個(gè)有序集合為一個(gè)n階張量階張量.稱稱n3niiiT21niiiT21標(biāo)量標(biāo)量 零階張量零階張量，不隨坐標(biāo)變換而變的不變量，不隨坐標(biāo)變換而變的不變量 （距離、時(shí)間、溫度，等）有（距離、時(shí)間、溫度，等）有1個(gè)分量個(gè)分量( )03矢量矢量 一階張量一階張量，一個(gè)矢量的某一分量不是標(biāo)量，一個(gè)矢量的某一分量不是標(biāo)量， 它隨坐標(biāo)系的變化而變化它隨坐標(biāo)系的變化而變化 (位移、速度、力，等位移、速度、力，等) 有有3個(gè)分量個(gè)分量( )13二階張量二

22、階張量 有有9個(gè)分量個(gè)分量( ) 應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)，等應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)，等 23jijijijiuQuuQu,TmnQQTTQQTnjmiijmnjnimij3張量代數(shù)張量代數(shù)A: A: 張量相等張量相等 ijijST量都相等同一坐標(biāo)系中的對(duì)應(yīng)分階數(shù)相同B: B: 張量的加減張量的加減 ijijijSTWSTW階數(shù)相同C: C: 張量與標(biāo)量相乘張量與標(biāo)量相乘ijijTSTSD: D: 張量相乘張量相乘T T （二階張量）乘u u （一階張量）= 三階張量kijijkuTSTuS分量E: E: 張量的點(diǎn)積張量的點(diǎn)積二個(gè)二階張量的點(diǎn)積是一個(gè)二階張量。kjikijSTwSTW4二階張量二階張量二

23、階張量在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，例如應(yīng)應(yīng)力張量、應(yīng)變張量都是二階張量。力張量、應(yīng)變張量都是二階張量。張量的基本性質(zhì)：張量的基本性質(zhì)：)(ijPf)()(klijPfPf張量的分量一定可以組成某些函數(shù) 這些函數(shù)的值不隨坐標(biāo)而變，即：這樣的函數(shù)叫做張量的不變量。這樣的函數(shù)叫做張量的不變量。2. 幾個(gè)同階張量各對(duì)應(yīng)的分量之和或差定義另一同階張量。因此張量可以疊加，也可以分因此張量可以疊加，也可以分解。解。3. 如某張量具有性質(zhì)如某張量具有性質(zhì)P Pijij =P =Pjiji，就叫對(duì)稱張量。，就叫對(duì)稱張量。 如果如果P Pij ij =-P=-Pji ji ，則叫反對(duì)稱張量，則叫反對(duì)稱張量， 這

24、時(shí)i=j的分量必為零。 如果如果P Pijij P Pji ji 就叫非對(duì)稱張量。就叫非對(duì)稱張量。4. 二階對(duì)稱張量的一個(gè)重要特點(diǎn)二階對(duì)稱張量的一個(gè)重要特點(diǎn)是它一定有三個(gè)主三個(gè)主軸軸，如取主軸為坐標(biāo)軸，則兩個(gè)下角標(biāo)不同的分如取主軸為坐標(biāo)軸，則兩個(gè)下角標(biāo)不同的分量都將為零，只留下下角標(biāo)相同的三個(gè)分量量都將為零，只留下下角標(biāo)相同的三個(gè)分量，叫做主值主值。第第9章章 應(yīng)力理論應(yīng)力理論9.1 9.1 外力與應(yīng)力外力與應(yīng)力n物體承受外力物體承受外力 ：表面力：作用在物體表面上的力；表面力：作用在物體表面上的力；體積力：作用在物體每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力。體積力：作用在物體每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力。如重力如重力 。n內(nèi)力內(nèi)力

25、：外力作用引起物體內(nèi)部間相互作用力外力作用引起物體內(nèi)部間相互作用力，它的它的產(chǎn)生來(lái)自于外界作用和物體內(nèi)維持自身完整性的力。產(chǎn)生來(lái)自于外界作用和物體內(nèi)維持自身完整性的力。n應(yīng)力：?jiǎn)挝幻娣e上的內(nèi)力應(yīng)力：?jiǎn)挝幻娣e上的內(nèi)力正應(yīng)力正應(yīng)力：垂直于切面上的應(yīng)力：垂直于切面上的應(yīng)力剪應(yīng)力剪應(yīng)力：平行于切面上的應(yīng)力：平行于切面上的應(yīng)力全應(yīng)力全應(yīng)力S ：Q Q點(diǎn)取面積點(diǎn)取面積F F上內(nèi)力的合力為上內(nèi)力的合力為P P dFdPSFPlimFS222SQQ圖 9-3 單向均勻拉伸時(shí)任 意斜面上的應(yīng)力 對(duì)于單向均勻拉伸，只要知道點(diǎn)對(duì)于單向均勻拉伸，只要知道點(diǎn)Q Q任意一個(gè)切面上的應(yīng)力，就可以求任意一個(gè)切面上的應(yīng)力，就可

26、以求得其他切面上的應(yīng)力。得其他切面上的應(yīng)力。但在多向受力的情況下，僅僅用某一方向切面上的但在多向受力的情況下，僅僅用某一方向切面上的應(yīng)力并不足以全面地表示出一點(diǎn)所受應(yīng)力的情況。應(yīng)力并不足以全面地表示出一點(diǎn)所受應(yīng)力的情況。為了全面的表示出一點(diǎn)為了全面的表示出一點(diǎn)的受力情況，就需引入的受力情況，就需引入“點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)”的概念。的概念。 舉例分析舉例分析 如圖如圖9-3所示，垂直于試樣拉伸軸線所示，垂直于試樣拉伸軸線的橫截面上的應(yīng)力為的橫截面上的應(yīng)力為: 00PF9.2 9.2 物體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)物體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)：物體內(nèi)一點(diǎn)各個(gè)截面上的應(yīng)力情況。點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)：物體內(nèi)一點(diǎn)各個(gè)截面上的應(yīng)力情況

27、。點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)用單元體三對(duì)相互垂直面上的應(yīng)力表示。點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)用單元體三對(duì)相互垂直面上的應(yīng)力表示。 點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的研究具體內(nèi)容：建立通過(guò)一點(diǎn)各截面點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的研究具體內(nèi)容：建立通過(guò)一點(diǎn)各截面上的應(yīng)力表達(dá)方式，研究它們之間的相互聯(lián)系。上的應(yīng)力表達(dá)方式，研究它們之間的相互聯(lián)系。邊長(zhǎng)分別為邊長(zhǎng)分別為dxdx、dydy、dzdz 三個(gè)微分面用各自的法線方向命名三個(gè)微分面用各自的法線方向命名 應(yīng)力分量的正、負(fù)號(hào)確定：應(yīng)力分量的正、負(fù)號(hào)確定：1. 判斷是正面，還是負(fù)面。判斷是正面，還是負(fù)面。2. 根據(jù)應(yīng)力的指向判斷正、負(fù)。根據(jù)應(yīng)力的指向判斷正、負(fù)。點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)張量表達(dá)xx xy xz 作用在作用在X面上面上

28、yx yy yz 作用在作用在y面上面上zx zy zz 作用在作用在Z面上面上 作用方向?yàn)閆 作用方向?yàn)閥 作用方向?yàn)閤 zzyzxyzyyxxzxyxij 點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是一個(gè)二階張量，叫應(yīng)力張量，點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是一個(gè)二階張量，叫應(yīng)力張量，用符號(hào)用符號(hào)ijij(i,j(i,jx x、y y、z)z)表示。表示。i=j =xi=j =x，為，為xxxx，即即x x，如：，如：i=xi=x，j=yj=y，為，為xyxy，即，即xyxy 在直角坐標(biāo)系中，已知物體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力張量為015-6-5-826-25ijMPa。例題例題畫出該點(diǎn)的應(yīng)力單元體；9.3 9.3 任意斜面上的應(yīng)力確定任意斜面上的應(yīng)力

29、確定 設(shè)有一任意方向的斜切微分面設(shè)有一任意方向的斜切微分面ABCABC把單元體切成一個(gè)四面體把單元體切成一個(gè)四面體QABCQABC，如圖9-6所示： 設(shè)設(shè)ABCABC微分面的法線為微分面的法線為N,NN,N的方向余弦為的方向余弦為l l、m m、n n，則： ),cos(),cos(),cos(NznNymNxl；圖 9-6 斜切微分面上的應(yīng)力 設(shè)微分面ABC的面積為dF，微分面QBC(即x面)、QCA(即y面)、QAB(即z面)的面積分別為：zxydFdFdF、則：;xyzdFl dF dFm dF dFn dF=;圖 9-7 斜切微分面上的應(yīng)力xyzSSS、0 xP 設(shè)ABC面上的全應(yīng)力為

30、S，它在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量為： ，由靜力平衡條件由靜力平衡條件有:0 xxxxxyyxzzPS dFdFdFdFnmlSzxyxxxiizyxSSSSSS2222正應(yīng)力和剪應(yīng)力正應(yīng)力和剪應(yīng)力正應(yīng)力正應(yīng)力就是就是S在法線的投影，也就是等于在法線的投影，也就是等于Si在法線在法線N上的投影之和。上的投影之和。jiijiijjzyxlSnSmSlS)(nmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxx同理，可得：iijjlS222222222)(2SSnlmnlmnmlzxyzxyzyxjT應(yīng)力邊界條件應(yīng)力邊界條件：如果質(zhì)點(diǎn)處在物體的邊界上，ABC就是物體的外表面。該面上的外力 (j=x

31、、y、z)： iijjlT （應(yīng)力邊界條件）例題例題 已知物體中的一點(diǎn)應(yīng)力分量為已知物體中的一點(diǎn)應(yīng)力分量為x x=0=0，y y=2a=2a，z z=a=a，xyxy=a=a，xzxz=2a=2a，yzyz=0=0，試求作用在此點(diǎn)的平面，試求作用在此點(diǎn)的平面x+3y+z=1x+3y+z=1的應(yīng)力分量，的應(yīng)力分量，和和的數(shù)值。的數(shù)值。解：已知若平面方程為解：已知若平面方程為Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0，其方向余弦為，其方向余弦為：因此平面因此平面x+3y+z=1x+3y+z=1的方向余弦為的方向余弦為: : ,CBAA222l,CBABm222222CBACn,1111311

32、2l11313132m,11113112n應(yīng)力分量應(yīng)力分量S S為為：1183375111222222aaaasssszyxnsmslszyxaa636. 21129aas771. 0117222nmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxx9.4 主應(yīng)力、應(yīng)力狀態(tài)不變量主應(yīng)力、應(yīng)力狀態(tài)不變量1. 1. 基本概念基本概念 主平面主平面, , 主應(yīng)力主應(yīng)力, , 應(yīng)力主方向應(yīng)力主方向, ,應(yīng)力不變量，應(yīng)力不變量，應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力主應(yīng)力（Principal stressPrincipal stress ）：指指作用面作用面上無(wú)上無(wú)切應(yīng)力時(shí)所對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力切應(yīng)力時(shí)所對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力，

33、該作用面稱，該作用面稱作主平面作主平面，法線方向?yàn)榉ň€方向?yàn)橹鬏S或主方向主軸或主方向 該面叫做主平面主平面，法線方向?yàn)橹鞣较蛑鞣较蛟谥髌矫嫔显谥髌矫嫔?0對(duì)于一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，一定存在相互垂直的三個(gè)主方向、對(duì)于一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，一定存在相互垂直的三個(gè)主方向、三個(gè)主平面和三個(gè)主應(yīng)力。三個(gè)主平面和三個(gè)主應(yīng)力。根據(jù)張量的特性，一個(gè)對(duì)稱張量必然有三個(gè)相互垂直的方向，叫做主方向。在主方向上，下標(biāo)不同在主方向上，下標(biāo)不同（ijij）的分量均為零。）的分量均為零。于是只剩下下標(biāo)相同（i=j）的分量，叫做主值。已知已知ij，如果求得主應(yīng)力及主方向？，如果求得主應(yīng)力及主方向？問(wèn)題？問(wèn)題？222SnSmSlSzyx;

34、假設(shè)假設(shè)ABCABC面為主平面，在主平面上面為主平面，在主平面上=0=0S因此， 在三個(gè)坐標(biāo)方向上的投影:由于： nmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxx0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx1222nml代入上式得：方向余弦： （它們不能同時(shí)為0）線性方程非零的條件：（方程的系數(shù)組成的行列式線性方程非零的條件：（方程的系數(shù)組成的行列式=0=0）。）。0)(zyzxzzyyxyzxyxx展開： 032213JJJ032213JJJ( (應(yīng)力狀態(tài)的特征方程應(yīng)力狀態(tài)的特征方程) )zyxJ12222)(yzxzxyxzzyyxJ)(22223xyzz

35、xyyzxzxyzxyzyxJJ J1 1、J J2 2、J J3 3稱作應(yīng)力張量的稱作應(yīng)力張量的第一、二、三不變量。第一、二、三不變量。 321,主應(yīng)力表達(dá)的全應(yīng)力、正應(yīng)力與剪應(yīng)力主應(yīng)力表達(dá)的全應(yīng)力、正應(yīng)力與剪應(yīng)力應(yīng)力張量為：應(yīng)力張量為：在應(yīng)力主軸坐標(biāo)系下在應(yīng)力主軸坐標(biāo)系下，斜面上應(yīng)力分量，斜面上應(yīng)力分量 321000000ij 112233;Sl Sm Sn22 22222123Slmn232221nml223222122322222122)(nmlnmlS應(yīng)力橢球面應(yīng)力橢球面 (1 2 3)xxyxxzyxyyzyjij izxzyzzSlmnSlmnSl ijSlmn、圖9-8為平面條

36、件下的單元體，求任意斜切面上全應(yīng)力的三個(gè)分量 123SSS、112233SlSmSn或 123123;SSSlmn圖 9-8 主平面上的應(yīng)力圖 1222nml1232322222121SSS123、 、 對(duì)于一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài), ,主應(yīng)力主應(yīng)力 是確定的，因此上是確定的，因此上式表示一個(gè)橢球面，稱為式表示一個(gè)橢球面，稱為應(yīng)力橢球面應(yīng)力橢球面，它是，它是點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)任意斜點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)任意斜切面的全應(yīng)力矢量切面的全應(yīng)力矢量S端點(diǎn)的軌跡端點(diǎn)的軌跡，如圖如圖9-9所示。其主半軸的長(zhǎng)度所示。其主半軸的長(zhǎng)度分別等于分別等于 。另外，三個(gè)。另外，三個(gè)主應(yīng)力中的最大者和最小者即主應(yīng)力中的最大者和最小

37、者即是一點(diǎn)所有方向的應(yīng)力中的最是一點(diǎn)所有方向的應(yīng)力中的最大者和最小者。大者和最小者。 123 、 、 9-9 應(yīng)力橢球面 根據(jù)三個(gè)主應(yīng)力的特點(diǎn)可以區(qū)分各種應(yīng)力狀態(tài)。在三個(gè)主根據(jù)三個(gè)主應(yīng)力的特點(diǎn)可以區(qū)分各種應(yīng)力狀態(tài)。在三個(gè)主應(yīng)力中，如兩個(gè)為零，則為應(yīng)力中，如兩個(gè)為零，則為單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)。例如單向拉伸就是。例如單向拉伸就是這種狀態(tài)。如有一個(gè)主應(yīng)力為零，就為兩向應(yīng)力狀態(tài)，例如這種狀態(tài)。如有一個(gè)主應(yīng)力為零，就為兩向應(yīng)力狀態(tài)，例如 彎曲、扭轉(zhuǎn)等。塑性成形中的多數(shù)板料的成形工序也可看成是彎曲、扭轉(zhuǎn)等。塑性成形中的多數(shù)板料的成形工序也可看成是兩向應(yīng)力狀態(tài)，如三個(gè)主應(yīng)力不為零，為兩向應(yīng)力狀態(tài)，如三個(gè)

38、主應(yīng)力不為零，為三向應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)。鍛造鍛造、軋鋼等工藝大多是這種狀態(tài)、軋鋼等工藝大多是這種狀態(tài)。另外，當(dāng)三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)。另外，當(dāng)三個(gè)主應(yīng)力中有兩個(gè)相等。例如相等。例如 則可稱為則可稱為圓柱形應(yīng)力狀態(tài)圓柱形應(yīng)力狀態(tài)，單向應(yīng)力，單向應(yīng)力時(shí)時(shí) ，也屬于這種應(yīng)力狀態(tài)。，也屬于這種應(yīng)力狀態(tài)。 123=1230=主應(yīng)力的圖示主應(yīng)力的圖示 （a）體應(yīng)力狀態(tài)（b）平面應(yīng)力狀態(tài)（c）單向應(yīng)力狀態(tài)在直角坐標(biāo)系中，已知物體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力張量為MPa。例題例題求出該點(diǎn)的應(yīng)力不變量，主應(yīng)力 及主方向。015-6-5-826-25ij0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx1222nm

39、l9.5 9.5 主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力主剪平面主剪平面：剪應(yīng)力為極：剪應(yīng)力為極大大值的平面值的平面主剪應(yīng)力主剪應(yīng)力：主剪平面上作用剪應(yīng)力。：主剪平面上作用剪應(yīng)力。 取主軸為坐標(biāo)軸取主軸為坐標(biāo)軸，對(duì)于任意斜面：，對(duì)于任意斜面：232221nml2232221223222221222)(nmlnmlS232322312322322223212)()()()(mlml2221mln將代入上式：0)()(2)(2)(0)()(2)(2)(32232231323123223131mmllml0, 0dmddld求剪應(yīng)力極限（分別）得：l=0，m=n=1/ m =0， l =n=1/2

40、2n =0，m= l =1/2l=m=0 ?2/ )(2/ )(2/ )(211213313223主剪應(yīng)力主剪應(yīng)力321設(shè)2/ )(31max則 （主剪應(yīng)力中，絕對(duì)值最大）（主剪應(yīng)力中，絕對(duì)值最大）2/ )(2/ )(2/ )(211213313223主剪應(yīng)力平面上的正應(yīng)力主剪應(yīng)力平面上的正應(yīng)力最大剪應(yīng)力最大剪應(yīng)力主平面主平面 主切平面主切平面 9.69.6應(yīng)力偏張量，球應(yīng)力張量應(yīng)力偏張量，球應(yīng)力張量nm m)(3131)(313211Jzyxm為三個(gè)正應(yīng)力分量的平均值。平均應(yīng)力，是不變量。平均應(yīng)力，是不變量。mzmmzzmymmyymxmmxx)()()( 物體受外力作用下發(fā)生變形，變形分為

41、體積變化和形狀變變形分為體積變化和形狀變化?；挝惑w積的改變?yōu)椋?231 2()vdVEmmmzzyzxyzyyxxzxyxmzzyzxyzmyyxxzxymxij00000001ijijijmijijijjiji時(shí)，時(shí)，克氏符號(hào)mij表示一種球應(yīng)力狀態(tài)，故稱為應(yīng)力球張量。表示一種球應(yīng)力狀態(tài)，故稱為應(yīng)力球張量。ijmijijij稱為應(yīng)力偏張量，稱為應(yīng)力偏張量，mijm應(yīng)力球張量不能使物體產(chǎn)生形狀變化和塑性變形，而只能產(chǎn)生不能使物體產(chǎn)生形狀變化和塑性變形，而只能產(chǎn)生體積變化。體積變化。只能使物體產(chǎn)生形狀變化，不能產(chǎn)生體積變化。只能使物體產(chǎn)生形狀變化，不能產(chǎn)生體積變化。（ 靜水壓力）靜水壓力）i

42、j應(yīng)力偏張量 分解的依據(jù)：分解的依據(jù)：靜水壓力實(shí)驗(yàn)證實(shí)，靜水壓力不會(huì)引起變形體形靜水壓力實(shí)驗(yàn)證實(shí)，靜水壓力不會(huì)引起變形體形狀的改變，只會(huì)引起體積改變，即對(duì)塑性條件無(wú)影響。狀的改變，只會(huì)引起體積改變，即對(duì)塑性條件無(wú)影響。偏應(yīng)力張量不變量偏應(yīng)力張量不變量 321321323222122222223213211)()()(61)()()(6103)()()(zzyzxyzyyxxzxyxzxyzxyzxzyyxmmmmzyxJJJ第二偏應(yīng)力張量第二偏應(yīng)力張量J2體現(xiàn)變形體形狀改變的程度。體現(xiàn)變形體形狀改變的程度。主軸坐標(biāo)系主軸坐標(biāo)系任意坐標(biāo)系任意坐標(biāo)系求：最大剪應(yīng)力、應(yīng)力偏張量及球張量 在直角坐標(biāo)系

43、中，已知物體內(nèi)某點(diǎn)的應(yīng)力張量為MPa。015-6-5-826-25ij例題例題9.7 八面體應(yīng)力與等效應(yīng)力八面體應(yīng)力與等效應(yīng)力八面體：以受力物體內(nèi)八面體：以受力物體內(nèi)任意點(diǎn)應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸任意點(diǎn)應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸，在，在無(wú)限靠近該點(diǎn)作處等傾斜的微分面，無(wú)限靠近該點(diǎn)作處等傾斜的微分面，其法線與三個(gè)主其法線與三個(gè)主軸的夾角都相等軸的夾角都相等，在主軸坐標(biāo)系空間八個(gè)象限中的等，在主軸坐標(biāo)系空間八個(gè)象限中的等傾微分面構(gòu)成一個(gè)正八面體。傾微分面構(gòu)成一個(gè)正八面體。 八面體應(yīng)力：八面體上的應(yīng)力。八面體應(yīng)力：八面體上的應(yīng)力。 nml313131nml八面體面上法線與三根坐標(biāo)軸的夾角都相等。即：八面體平面的方向余

44、弦為：將數(shù)值代入斜切面應(yīng)力公式： )(2222nlmnlmnmlnSmSlSzxyzxyzyxzyx1321232221831)(31Jnml232123222128)(91)(3132)()()(3122132322218J8就是平均應(yīng)力或靜水應(yīng)力，是不變量。就是平均應(yīng)力或靜水應(yīng)力，是不變量。8則是與應(yīng)力球張量無(wú)關(guān)的不變量。則是與應(yīng)力球張量無(wú)關(guān)的不變量。主軸坐標(biāo)系主軸坐標(biāo)系)(318zyx)(6)()()(312222228zxyzxyxzzyyx任意坐標(biāo)系任意坐標(biāo)系82)()()(2132321323222128J)(6)()()(21222222zxyzxyxzzyyx將八面體剪應(yīng)力取絕

45、對(duì)值，并乘系數(shù)3/ 。我們把它叫做我們把它叫做“等效應(yīng)力等效應(yīng)力”，也稱為廣義應(yīng)力或應(yīng)力強(qiáng)度。，也稱為廣義應(yīng)力或應(yīng)力強(qiáng)度。對(duì)于主軸坐標(biāo)系主軸坐標(biāo)系，等效應(yīng)力的表達(dá)式為：對(duì)于任意坐標(biāo)系，則為：對(duì)于任意坐標(biāo)系，則為：等效應(yīng)力特點(diǎn)等效應(yīng)力特點(diǎn)1. 1. 等效應(yīng)力是一個(gè)不變量。等效應(yīng)力是一個(gè)不變量。2. 2. 等效應(yīng)力在數(shù)值上等于單向均勻拉伸（或壓縮）等效應(yīng)力在數(shù)值上等于單向均勻拉伸（或壓縮） 應(yīng)力應(yīng)力1 1。3. 3. 等效應(yīng)力不代表某一實(shí)際表面上的應(yīng)力，因而不等效應(yīng)力不代表某一實(shí)際表面上的應(yīng)力，因而不能在某一特定平面上表示出來(lái)。能在某一特定平面上表示出來(lái)。4. 4. 等效應(yīng)力可以理解為代表一點(diǎn)應(yīng)力

46、狀態(tài)中應(yīng)力偏等效應(yīng)力可以理解為代表一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)中應(yīng)力偏張量的綜合作用。張量的綜合作用。 等效應(yīng)力是研究塑性變形的一個(gè)重要概念，與等效應(yīng)力是研究塑性變形的一個(gè)重要概念，與材料的塑性變形有密切關(guān)系的參數(shù)。材料的塑性變形有密切關(guān)系的參數(shù)。1. 1. 什么與什么等效？什么與什么等效？ n復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)（二維和三維）與簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)（一維復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)（二維和三維）與簡(jiǎn)單應(yīng)力狀態(tài)（一維）等效。）等效。2. 2. 如何等效？如何等效？ n等效公式（注意：等效應(yīng)力是標(biāo)量，沒(méi)有作用面）。等效公式（注意：等效應(yīng)力是標(biāo)量，沒(méi)有作用面）。3. 3. 等效的意義？等效的意義？n屈服的判別、變形能的計(jì)算、簡(jiǎn)化問(wèn)題的分析等。屈

47、服的判別、變形能的計(jì)算、簡(jiǎn)化問(wèn)題的分析等。討論討論1max31)732. 12()(231 (0,0311單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，如設(shè) 321在三向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，如則： 9.8 應(yīng)力平衡方程應(yīng)力平衡方程Q Q點(diǎn)點(diǎn)x x面上的正應(yīng)力分量為面上的正應(yīng)力分量為xf（x,y,z） QQ點(diǎn)點(diǎn)x x面上坐標(biāo)變化了面上坐標(biāo)變化了dxdx，正應(yīng)力分量為，正應(yīng)力分量為)(dxx 在外力作用下處于平衡狀態(tài)下的變形體，其內(nèi)部點(diǎn)與點(diǎn)之間的應(yīng)力大小是連在外力作用下處于平衡狀態(tài)下的變形體，其內(nèi)部點(diǎn)與點(diǎn)之間的應(yīng)力大小是連續(xù)變化的，也就是說(shuō)續(xù)變化的，也就是說(shuō)應(yīng)力是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)應(yīng)力是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。 推導(dǎo)原理：推導(dǎo)原理： 泰勒級(jí)數(shù)展開

48、泰勒級(jí)數(shù)展開： dxxxff(x)xdxxfn！xdxxf!dxxxff(x)dx)f(xnnn1212220, 0, 0ZYX0, 0, 0zyxMMM靜力平衡條件：靜力矩平衡條件：應(yīng)力平衡方程剪應(yīng)力互等定律dxxdxxfdxxfx,y,zfdx,y,zxfdxxxx 22221dxx),()(xxzydxxfdxxnQQ點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)n由靜力平衡條件：由靜力平衡條件：Px=0Px=0有有 dzzdzzdzzdyydyydyydxxdxxdxxdyzzyzyzxzxyzyzyyyxyxxzxzxyxyxxijij0dydxdxdzdydzdydxdzzdxdzdyydydzdxxz

49、xyxxzxzxyxyxxx0zyxzxyxx 直角坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程直角坐標(biāo)下的應(yīng)力平衡微分方程 000 xyxxzyxyyzzyzxzxyzxyzxyz 物理意義：物理意義：表示變形體內(nèi)無(wú)限相鄰兩質(zhì)點(diǎn)的點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)表示變形體內(nèi)無(wú)限相鄰兩質(zhì)點(diǎn)的點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的關(guān)系。對(duì)彈性變形和塑性變形均適用。的關(guān)系。對(duì)彈性變形和塑性變形均適用。6個(gè)未知分量超靜定的還需補(bǔ)充方程。 記為：記為： 0jijx剪應(yīng)力互等定律剪應(yīng)力互等定律 以過(guò)單元陣中心且平行于以過(guò)單元陣中心且平行于x x軸的直線為軸線取軸的直線為軸線取力矩，由力矩，由M xM x0 0有有02121dzzdyyzyzyzyyzzyyz同理：同

50、理：xy= yx xz= zx02222dzdxdydzdydxdzzdydxdzdydxdzdyyzyzyzyyzyzyz略去微量后可得略去微量后可得 9.9 9.9 平面狀態(tài)與軸對(duì)稱狀態(tài)平面狀態(tài)與軸對(duì)稱狀態(tài)9.9.1 平面狀態(tài)平面狀態(tài) 求解一般的三維問(wèn)題是很困難的，在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，求解一般的三維問(wèn)題是很困難的，在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，通常要把復(fù)雜的三維問(wèn)題簡(jiǎn)化為平面的或軸對(duì)稱的狀態(tài)通常要把復(fù)雜的三維問(wèn)題簡(jiǎn)化為平面的或軸對(duì)稱的狀態(tài)。 因此，研究平面問(wèn)題的應(yīng)力狀態(tài)和軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)有重因此，研究平面問(wèn)題的應(yīng)力狀態(tài)和軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)有重要的實(shí)際意義。平面問(wèn)題的應(yīng)力狀態(tài)有兩類要的實(shí)際意義。平面問(wèn)題的應(yīng)力狀

51、態(tài)有兩類:平面應(yīng)力平面應(yīng)力和和平平面應(yīng)變面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力問(wèn)題。狀態(tài)下的應(yīng)力問(wèn)題。1. 1. 平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài) 平面應(yīng)力狀態(tài)的特點(diǎn)是平面應(yīng)力狀態(tài)的特點(diǎn)是: (1) (1)變形體變形體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)在與某一方向垂直的平面上沒(méi)有應(yīng)力內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)在與某一方向垂直的平面上沒(méi)有應(yīng)力作用。作用。設(shè)取該方向?yàn)樵O(shè)取該方向?yàn)閦軸。則軸。則 ，只有，只有 三個(gè)應(yīng)力分量三個(gè)應(yīng)力分量 。若。若z向?yàn)橹鞣较?。所有質(zhì)點(diǎn)都是兩向應(yīng)力狀態(tài)向?yàn)橹鞣较?。所有質(zhì)點(diǎn)都是兩向應(yīng)力狀態(tài)。0zxzyzxyxy、 (2) (2)各應(yīng)力各應(yīng)力分量與分量與z軸無(wú)關(guān)，整個(gè)物體的應(yīng)力分布可以在軸無(wú)關(guān)，整個(gè)物體的應(yīng)力分布可以在xy坐標(biāo)平面上坐標(biāo)平面

52、上 表示出來(lái)。在實(shí)際工程中，如薄壁管扭轉(zhuǎn)、薄表示出來(lái)。在實(shí)際工程中，如薄壁管扭轉(zhuǎn)、薄壁容器承受內(nèi)壓、板料成形中的一些工序等，壁容器承受內(nèi)壓、板料成形中的一些工序等，由于厚度方向的由于厚度方向的應(yīng)力相對(duì)很小而可以忽略，一般均作平面應(yīng)力狀態(tài)來(lái)處理。應(yīng)力相對(duì)很小而可以忽略，一般均作平面應(yīng)力狀態(tài)來(lái)處理。平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力張量為平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力張量為:00000 xxyijyxy或 120000000ij直角坐標(biāo)系中，可得平面應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力平衡微分方程為：直角坐標(biāo)系中，可得平面應(yīng)力狀態(tài)下應(yīng)力平衡微分方程為： 0zxzyz00yxxyxyxyxy000yxxzxxyyzyyzxzzxyzxyzxyz 平

53、面應(yīng)力狀態(tài)下任意斜面上的應(yīng)力、主應(yīng)力和主切應(yīng)力可平面應(yīng)力狀態(tài)下任意斜面上的應(yīng)力、主應(yīng)力和主切應(yīng)力可分別由三向應(yīng)力狀態(tài)的公式導(dǎo)出分別由三向應(yīng)力狀態(tài)的公式導(dǎo)出，設(shè)斜面，設(shè)斜面AB的法線的法線N與與x軸的軸的夾角為夾角為 （圖（圖9-14b），則該斜面上的三個(gè)方向余弦為：），則該斜面上的三個(gè)方向余弦為： cos;cos(90)sin;0lmncossincossinxxxyxxyyxyyxyySlmSlmnSmSlSzyx2212()21()cos 2sin 22xyxyxyxyxylmlm可得斜面上正應(yīng)力為：可得斜面上正應(yīng)力為：圖9-14 平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)（a）單元體上的應(yīng)力（b）任意斜面

54、上的應(yīng)力斜面上剪應(yīng)力由圖斜面上剪應(yīng)力由圖9-14b得：得： 1()sin 2cos22xyxyxyS mS l112322221223312223123()2xyzyzxzxyyzxzxyxyzxy yz xzx yzy xzz xyJJJ 由下式得三個(gè)應(yīng)力不變量為：由下式得三個(gè)應(yīng)力不變量為：12230 xyxyxyJJJ 應(yīng)力狀態(tài)的特征方程為：應(yīng)力狀態(tài)的特征方程為： 322()()0 xyxyxy 求解上述方程可得主應(yīng)力為：求解上述方程可得主應(yīng)力為：12223()220 xyxyxy平面應(yīng)力狀態(tài)下的主切應(yīng)力為：平面應(yīng)力狀態(tài)下的主切應(yīng)力為：2212122322331131()222222xyx

55、y 2. 2. 平面應(yīng)變狀態(tài)平面應(yīng)變狀態(tài) 如果物體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)都只在同一個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)發(fā)生變形，而在該平面如果物體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)都只在同一個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)發(fā)生變形，而在該平面的法線方向沒(méi)有變形，這種變形稱為的法線方向沒(méi)有變形，這種變形稱為平面變形平面變形或或平面應(yīng)變狀態(tài)平面應(yīng)變狀態(tài)。其應(yīng)力狀。其應(yīng)力狀態(tài)稱為態(tài)稱為平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力狀態(tài)。其特點(diǎn)為。其特點(diǎn)為: : (l) (l)不產(chǎn)生變形的方向?yàn)橹鞣较?，不產(chǎn)生變形的方向?yàn)橹鞣较?，與該方向垂直的平面上沒(méi)有切應(yīng)力；與該方向垂直的平面上沒(méi)有切應(yīng)力； (2) (2)在該方向有阻止變形的正應(yīng)力在該方向有阻止變形的正應(yīng)力； (3) (3)有應(yīng)力

56、分量沿該軸均勻分布，即與該軸無(wú)關(guān)，如圖有應(yīng)力分量沿該軸均勻分布，即與該軸無(wú)關(guān)，如圖9-159-15。平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力張量為：平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力張量為：0000 xxyijyxyz圖 9-15 平面應(yīng)變狀態(tài) 9.9.29.9.2 軸對(duì)稱狀態(tài)軸對(duì)稱狀態(tài) 當(dāng)旋轉(zhuǎn)體承受的外力對(duì)稱于旋轉(zhuǎn)軸分布且沒(méi)有周向力時(shí)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)體承受的外力對(duì)稱于旋轉(zhuǎn)軸分布且沒(méi)有周向力時(shí)，則物體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所處的應(yīng)力狀態(tài)則物體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所處的應(yīng)力狀態(tài)稱為稱為軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)。由于變形。由于變形體是旋轉(zhuǎn)體，所以體是旋轉(zhuǎn)體，所以采用圓柱坐標(biāo)系采用圓柱坐標(biāo)系更為方便，如圖更為方便，如圖1-16所示。所示。其特點(diǎn)為其特點(diǎn)為: (1)

57、(1)由于通過(guò)旋轉(zhuǎn)體軸線的平面。即由于通過(guò)旋轉(zhuǎn)體軸線的平面。即 面面在變形過(guò)程中始終不會(huì)扭曲在變形過(guò)程中始終不會(huì)扭曲，所以在，所以在 面上沒(méi)有剪應(yīng)力，即面上沒(méi)有剪應(yīng)力，即 ，只有只有 等應(yīng)力分量，而且等應(yīng)力分量，而且 是主應(yīng)力；是主應(yīng)力； 0zzz 、 、 、圖 9-16 軸對(duì)稱狀態(tài) ( (2)各應(yīng)力分量與各應(yīng)力分量與 坐標(biāo)無(wú)關(guān)。因此，軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下坐標(biāo)無(wú)關(guān)。因此，軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力張量為的應(yīng)力張量為: :0000zijzz下式的軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力平衡微分方程為：下式的軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力平衡微分方程為：xyxxzxxyxzyxyyzijijyxyyzzyzxzzxzyzdxdxd

58、xxxxddydydyyyydzdzdzzzz00zzzzzz9.10 9.10 應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓 應(yīng)力莫爾圓是表示點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的幾何方法應(yīng)力莫爾圓是表示點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的幾何方法。已知某點(diǎn)的。已知某點(diǎn)的一組應(yīng)力分量或主應(yīng)力，就可以利用應(yīng)力莫爾圓通過(guò)圖解法來(lái)一組應(yīng)力分量或主應(yīng)力，就可以利用應(yīng)力莫爾圓通過(guò)圖解法來(lái)確定該點(diǎn)任意方向上的應(yīng)力。確定該點(diǎn)任意方向上的應(yīng)力。9.10.1 9.10.1 應(yīng)力莫爾圓符號(hào)規(guī)定應(yīng)力莫爾圓符號(hào)規(guī)定： 在作應(yīng)力莫爾圓時(shí)，正應(yīng)力的正、負(fù)與坐標(biāo)指向相同。在作應(yīng)力莫爾圓時(shí)，正應(yīng)力的正、負(fù)與坐標(biāo)指向相同。但但切應(yīng)力的正、負(fù)按照材料力學(xué)中的規(guī)定確定：即順時(shí)針作用于切應(yīng)力的正、負(fù)

59、按照材料力學(xué)中的規(guī)定確定：即順時(shí)針作用于所研究的單元體上的切應(yīng)力為正，反之為負(fù)。所研究的單元體上的切應(yīng)力為正，反之為負(fù)。9.10.2 9.10.2 平面應(yīng)力狀態(tài)的莫爾圓平面應(yīng)力狀態(tài)的莫爾圓xyxy、 平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分量為平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力分量為 ，如果已知這，如果已知這三個(gè)應(yīng)力分量，就可以利用應(yīng)力莫爾圓求任意斜面上的應(yīng)力三個(gè)應(yīng)力分量，就可以利用應(yīng)力莫爾圓求任意斜面上的應(yīng)力、主應(yīng)力和主切應(yīng)力等。、主應(yīng)力和主切應(yīng)力等。 2212()21()cos2sin22xyxyxyxyxylmlm1()sin 2cos22xyxyxyS mS l 根據(jù)是將下面兩式聯(lián)立求解消去根據(jù)是將下面兩式聯(lián)立求解消

60、去 得到，即：得到，即：2222()()22xyxyxy圖 9-17 平面應(yīng)力狀態(tài)莫爾圓（a）應(yīng)力平面（b）應(yīng)力莫爾圓+BA幾種對(duì)應(yīng)關(guān)系幾種對(duì)應(yīng)關(guān)系二倍角對(duì)應(yīng)二倍角對(duì)應(yīng)半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度是方向是方向面法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍面法線旋轉(zhuǎn)角度的兩倍。轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)半徑旋轉(zhuǎn)方向半徑旋轉(zhuǎn)方向與與方向面法方向面法線旋轉(zhuǎn)方向線旋轉(zhuǎn)方向一致；一致；點(diǎn)面對(duì)應(yīng)點(diǎn)面對(duì)應(yīng)應(yīng)力圓上某一點(diǎn)應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)值的坐標(biāo)值對(duì)應(yīng)著對(duì)應(yīng)著微元某一方向面微元某一方向面上的正應(yīng)力和切上的正應(yīng)力和切應(yīng)力；應(yīng)力；點(diǎn)點(diǎn) 面面 對(duì)對(duì) 應(yīng)應(yīng)y yx xyx x x y caAC轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)、二倍角對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)向?qū)?yīng)、二倍角對(duì)應(yīng) x x y yx