反比例函數(shù)與正方形的組合與變型

1、反比例函數(shù)與正方形的組合與變型無錫市蕩口中學(xué) 周為民反比例函數(shù)這一章是八年級(jí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)， 也是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)核心知識(shí) 點(diǎn)。由反比例函數(shù)與幾何綜合可衍生出許多數(shù)學(xué)問題， 其中反比例數(shù)學(xué)與正方形 的組合與變型更能產(chǎn)生許多有趣的問題， 從中我們可以感受到數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在和諧 統(tǒng)一之美，組合圖形變化之美，數(shù)形結(jié)合的解法之美。反比例函數(shù) y = k 的本質(zhì)特征是變量 y 與變量x 的乘積是非零常數(shù) k（定 x值），由此不難得到關(guān)于反比例函數(shù)的重要結(jié)論： 若點(diǎn)A是反比例函數(shù) y = kx 圖象上的任意一點(diǎn)， AB 垂 直于x 軸，垂足為B，AC 垂直于 y 軸，垂足為 C，如圖， 則S 矩形ABOC k即

2、當(dāng)點(diǎn) A在反比例函數(shù)圖像上運(yùn)動(dòng)時(shí)， 矩形 ABOC的面 積是定值 k，而這些矩形的周長(zhǎng)是變化的， 不難證 明當(dāng)矩形 ABOC為正方形時(shí)，其周長(zhǎng)最小， 即這些矩形 中正方形是最優(yōu)的，有關(guān)題型在全國(guó)各地的中考試卷 中經(jīng)常出現(xiàn)。下面就例談反比例函數(shù)與正方形的結(jié)合 的種類與變換。一、反比例函數(shù)與一個(gè)正方形的組合1、反比例函數(shù)圖像經(jīng)過正方形的一個(gè)頂點(diǎn)k例 1（ 2012 銅仁）如圖，正方形 ABOC的邊長(zhǎng)為 2，反比例函數(shù) y k 的圖象過 x點(diǎn) A，則 k 的值是（）A2 B 2C 4 D 4解答：解：因?yàn)閳D象在第二象限， 所以 k<0， 根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù) k 的幾何意義可知 |k|=2

3、15;2=4， 所以 k=4故選 D2、反比例函數(shù)圖像經(jīng)過正方形的中心例 2. （2011 安徽蕪湖）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一正方形 AOBC，反比例函數(shù) y k 經(jīng)過正方形 AOBC對(duì)角線的交點(diǎn)，半徑為（ 4 2 2 ）的圓內(nèi)切于 ABC， x則 k 的值為 解：設(shè) AB、OC交于點(diǎn) D，則 DC=（1+ 2）r=（1+ 2 ）×（ 4-2 2 ）=2 2所以 OC=2 2 即 D（2,2）K=2×2=43、反比例函數(shù)圖像經(jīng)過正方形的二個(gè)頂點(diǎn)1例 3、如圖，已知反函數(shù) y，經(jīng)過正方形 ABCD中 A、C 兩點(diǎn)且 AD x 軸x若已知 A點(diǎn)橫坐標(biāo)為 （ > 1）

4、， 求：正方形其余三點(diǎn) B、C、D的坐標(biāo) 正方形 ABCD的面積。解：因?yàn)辄c(diǎn) A在 y 1 上，且橫坐標(biāo)為，x1則 A 的坐標(biāo)為（， 1 ）a設(shè)AD=，則B(, 1 t)aC（ t ，1），點(diǎn)C在y1x 上，a1x（ t）（）a2+(1）=00at=1 >，>0a1a，（ 1a ，B（，）（），aaSABCD=（1 ) 2 2 +12aa2例 4、（09 浙江義烏）已知點(diǎn) A、B 分別是 xy 軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) C、D 是某個(gè)函數(shù)圖像上的點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD（A、B、C、D各點(diǎn)依次排列）為正方形時(shí)，稱這個(gè)正方形為此函數(shù)圖像的伴侶正方形。 若某函數(shù)是反比例函數(shù) y k （k 0） ，

5、x 他的圖像的伴侶正方形為 ABCD，點(diǎn) D（2，m）（m <2）在反比例函數(shù)圖像上，求 m的值及反比例函數(shù)解析式； 解：分別過點(diǎn) D、點(diǎn) C 作 DE，CF垂直于 x 軸、 易知 ADE BAOCBF 此時(shí)， m<2，DE=OA=BF=，mOB=CF=AE=2-，m OF=BF+OB=，2 C點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2-m，2）， 2m=2（2-m） 解得 m=12 反比例函數(shù)的解析式為 y= 2x4、反比例函數(shù)經(jīng)過正方形的中心和一個(gè)頂點(diǎn) 例 5（2010 安徽蚌埠） 已知點(diǎn) （ 1，3） 在函數(shù) ykk （ x 0） 的圖像上， 正方形 ABCDxk （ x 0） 的圖像經(jīng)過 A 、 E

6、兩點(diǎn)， x的邊 BC在 x 軸上， E 是正方形的中心，函數(shù) y 求 E 點(diǎn)的坐標(biāo) .解：點(diǎn)（ 1， 3）在 y k （x>0）圖象上，x設(shè) A（a，b） E為正方形 ABCD的中心E（a+b，b）22由題意 a × b=3a6由題意 a ×bb=3 b a2（a+b ）× b 3b22k1×335、其它情形例 6（ 2012?聊城）如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形的中心在原點(diǎn)O，且正方形ky= k （k>0）的圖象上與x9，則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式的一組對(duì)邊與 x 軸平行，點(diǎn) P（3a，a）是反比例函數(shù) 正方形的一個(gè)交點(diǎn)若圖中陰影部分的面積等于

7、 為解：反比例函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 陰影部分面積和為正方形面積的四分之一 P（3a，a）正方形邊長(zhǎng)為 6a（ 6a） 4× 9 得 a 1P（3，1） k 33函數(shù)解析式為： y 3x 二、反比例函數(shù)與多個(gè)正方形的組合 例 7、（09 甘肅蘭州）如圖 11，若正方形 OABC的頂點(diǎn) B和正方形 ADEF的頂點(diǎn) EE 的坐標(biāo)是（， ）第 22 題圖都在函數(shù) y 1 （ x 0 ）的圖象上，則點(diǎn) x 解： B在函數(shù)圖像上 易得 B（1， 1） 設(shè)正方形 ADEF邊長(zhǎng)為 t 則 E（ 1+t,t ） （1+t） t=1解得 t= 5 1 t= - 5 1（ 舍去）2222例 8 、如圖，已

8、知正方形 OABC 的面積為 9 ，點(diǎn) O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A 在 x 軸上，點(diǎn)C在 y軸上，點(diǎn) B在函數(shù) y k （ k 0，x 0 ）的圖像上，點(diǎn) P（ m ， n ）為其雙曲線 x上的任一點(diǎn)，過點(diǎn) P分別作 x軸、y軸的垂線，垂足分別為 E、F ，并設(shè)矩形 OEPF和正方形 OABC 不重合部分的面積為 S求 B 點(diǎn)的坐標(biāo)和 k的值；當(dāng) S 9 時(shí)，求 P 點(diǎn)坐標(biāo)；2寫出 S關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系式 解：正方形 OABC的面積為 9， OAAB3B（3，3）k3×39 SAE×EP9（m3） × n 92 又m×n9 解得 m6，n 32即 P（ 6

9、， 3 ）2當(dāng) m>3 時(shí)9 27S（ m3） ×nmn 3n93× 9 mm 當(dāng) m< 3 時(shí)9Sm×（ n3）= m×（ 3）93m m當(dāng) m3 時(shí)，P與 B重合S093m 0<m<3S0m3927mm>3例 9. （2011 寧波市）如圖，正方形 A1B1P1P2的頂點(diǎn) P1、P2在反比例函數(shù) yx2（xx>0）的圖像上，頂點(diǎn) A1、B1 分別在 x 軸和 y 軸的正半軸上，再在其右側(cè)作正方2形 P2P3A2B2，頂點(diǎn) P3在反比例函數(shù) yx（x>0）的圖象上，頂點(diǎn) A3 在 x 軸的正半 軸上，則點(diǎn) P3

10、 的坐標(biāo)為解：作 P1Cy 軸于 C，P2Dx 軸于 D，P3Ex 軸于 E，P3FP2D 于 F，如圖，22設(shè) P1（ a， ），則 CP1=a，OC= ，aa 四邊形 A1B1P1P2 為正方形， RtP1B1CRtB1A1ORtA1P2D， OB1=P1C=A1D=a，OA1=B1C=P2D= -a ，a22OD=a+ -a= ，aa的坐標(biāo)為（ 2， 2 -a ），aa2把 P2 的坐標(biāo)代入 y= 2 （x>0），得到xP2（2，1），2設(shè) P3的坐標(biāo)為（ b， 2 ），b又四邊形 P2P3A2B2 為正方形， RtP2P3FRtA2P3E，2 P3E=P3F=DE= ，222-a

11、 ）? 2 =2，解得 a=-1 （舍）或 a=1， aa22 2+ 2 =b，解得 b=1- 3 （舍）， b=1+ 3 ， b 2= 2 點(diǎn) P3的坐標(biāo)為（ 3+1， 3 -1 ） b 1 3故答案為：（ 3 +1 ， 3 -1 ）例 10、（09福建福州）已知 , A、B、C、D、E是反比例函數(shù) y 16 （x>0）圖象上x 五個(gè)整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)） ，分別以這些點(diǎn)向橫軸或縱軸作垂線段， 由垂線段所在的正方形邊長(zhǎng)為半徑作四分之一圓周的兩條弧， 組成如圖 5 所示的五個(gè)橄欖形（陰影部分） ，則這五 橄欖形的面積總和是 （用含 的代數(shù)式表示）解：易得這 5 個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為

12、1,2,4,2,1邊長(zhǎng)為 a 的正方形對(duì)應(yīng)的的橄欖形面 s=a2-a 2=a2（ -1）面積和為（ 12+22+42+22+12）（ -1 ）=26（ -1 ）例 11、（09 湖北黃石改編）如圖 7 所示， P1（x1，y1）、P2（x2，y2）， Pn（xn， yn）分別是正方形 OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3、An-1AnBnCn-1 的中心，且都在函 數(shù) y= 9 （x>0）的圖象上，邊 OA1， A1A2 An-1An，都在 x 軸上，則 y1+y2+ xyn=解： P1是正方形 OA1B1C1的中心，且在y=a (x 0)上， x得：y1+y2= 3 2x

13、3=x2+y2+y3=6 2 y3X可得 y1=x1=3 由題意可得 x2·y2 9 得： y22 6y2 9 0y2= 3 3 2 ， x2同理： x 2·y2 9x3=6 2 y3 y32 6 2y3 9 0y3= 3 2 3 3 （負(fù)值舍）x 3=3 233 y1+y2+y3=3 3同理： y4= 3 3 3 43=3 334y1+y2+y3+y4=3 4yn= 3 n 1 3 n x3=3ny1+y2+y3+y4+ +yn=3 n例 12（2010 江蘇蘇州 ） （ 本題滿分 8分）如圖，四邊形 OABC是面積為 4 的正方 k形，函數(shù) y k （x>0） 的

14、圖象經(jīng)過點(diǎn) Bx（1） 求 k 的值；（2） 將正方形 OABC分別沿直線 AB、BC翻折，得到正方形 MABC 、MA BC設(shè)線段 MC、NA分別與函數(shù) y k （x>0） 的圖象交于點(diǎn) E、F，求線段 EF x所在直線的解析式解：（1）四邊形 OABC是面積為 4的正方形 , OA=OC=，2點(diǎn) B坐標(biāo)為（ 2,2） k=xy=2×2=4（2） 正方形 MAB'C，NA'BC由正方形 OABC翻折所得， ON=OM=2OA=4點(diǎn) E橫坐標(biāo)為 4，點(diǎn) F 縱坐標(biāo)為 44點(diǎn) E、F在函數(shù) y= 4的圖像上，x當(dāng) x=4時(shí)， y=1, 即 E（4 ， 1）當(dāng) f=

15、4 時(shí)， x=1, 即 F（1 ，4）設(shè)直線 EF解析式為 y=mx+n,將 E、F 兩點(diǎn)坐標(biāo)代入 得 4m+n=1m+n=4 m=-1,n=5直線 EF的解析式為 y=-x+5例 13（2010浙江金華） （本題 10 分）已知點(diǎn) P的坐標(biāo) 為（ m，0），在 x 軸上存在點(diǎn) Q（不與 P 點(diǎn)重合），以 PQ 為邊作正方形 PQM，N使點(diǎn) M落在反比例函數(shù) y = 2 的 x 圖像上. 小明對(duì)上述問題進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)不論 m取何 值，符合上述條件的正方形只有兩個(gè)，且一個(gè)正方形的 頂點(diǎn) M在第四象限 ，另一個(gè)正方形的頂點(diǎn) M1在第二象限 . （ 1）如圖所示，若反比例函數(shù)解析式為 y= 2 ，

16、P 點(diǎn) x 坐標(biāo)為（ 1， 0 ），圖中已畫出一符合條件的一個(gè)正方形PQM，N請(qǐng)你在圖中畫出符合條件的另一個(gè)正方形 PQ1M1N1，并寫出點(diǎn) M1 的坐標(biāo)； M1 的坐標(biāo)是2） 請(qǐng)你通過改變 P點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)直線 M1 M的解析式 ykxb 進(jìn)行探究可得 k若點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ m， 0）時(shí)，則 b3） 依據(jù)（2） 的規(guī)律，如果點(diǎn) P的坐標(biāo)為（ 6，0），請(qǐng)你求出點(diǎn) M1和點(diǎn) M的坐標(biāo)M答案】解：（ 1）如圖； M1 的坐標(biāo)為（ 1，2）2)k1， b m3）由（2）知，直線 M1 M的解析式為 y x 6x則 M ( x， y)滿足 x ( x 6) 2解得 x1 3 11 ， x2 3 11M

17、1，M的坐標(biāo)分別為3 11 ， 3 11 )，( 3 11 ， 3 11 )三、二個(gè)反比例函數(shù)與正方形的組合13例 14：已知反比例函數(shù)： y1=1，y2=3 ，四邊形 ABCD為正方形，且 ABxxx軸。31如圖 1：點(diǎn) A在 y= 3的圖象上，點(diǎn) B、D在 y= 1圖形上。xxB、D在 y=3 的圖形上。x1如圖 2：點(diǎn) C在 y= 1 的圖象上，點(diǎn)x（1） 分別計(jì)算正方形 ABCD的面積。（2） 若這二正方形在同一直角坐標(biāo)系中，求這二個(gè)正方形公共部分的面積。 解：（1） 如圖 1 設(shè) A（x1，y1）B（x2，y1），D（x1，y2）x 1y1=3x1=3x2A( 3, 3)y x 2y1=1x 1y2=1y1=3y222 AD= y1 AB= x133 AD=A