平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律2時(shí)

1、第12課時(shí)：平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律(2)教學(xué)目標(biāo)：能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決有關(guān)問(wèn)題；會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積及運(yùn)算規(guī)律教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課類型：新授課教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：判斷下列各題正確與否：1°若a = 0，則對(duì)任一向量b，有a×b = 0 ( )2°若a ¹ 0，則對(duì)任一非零向量b，有a×b ¹ 0 ( × )3°若a ¹ 0，a×b = 0，則b = 0 ( × )4°若a×b

2、= 0，則a 、b至少有一個(gè)為零 ( × )5°若a ¹ 0，a×b = a×c，則b = c ( × )6°若a×b = a×c，則b = c當(dāng)且僅當(dāng)a ¹ 0時(shí)成立 ( × )7°對(duì)任意向量a、b、c，有(a×b)×c ¹ a×(b×c) ( × )8°對(duì)任意向量a，有a2 = |a|2 ( )二、講解新課：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律1.交換律：a × b = b × a證：設(shè)a，b夾角

3、為q，則a × b = |a|b|cosq，b × a = |b|a|cosq a × b = b × a2.數(shù)乘結(jié)合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)證：若> 0，(a)×b =|a|b|cosq， (a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cosq，若< 0，(a)×b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cos(p-q

4、) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq3.分配律：(a + b)×c = a×c + b×c 在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作= a, = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c說(shuō)明：（1）一般地，

5、(·)（·）（2）··，0（3）有如下常用性質(zhì)：，（）（）····()·三、講解范例：例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a - 5b垂直，a - 4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a2 + 16a×b -15b2 = 0 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 Þ 7a2 - 30a×b + 8b2 = 0 兩式相減：2a×b = b2代入或得：a2 = b2設(shè)a、b的夾角為q

6、，則cosq = q = 60°例2 求證：平行四邊形兩條對(duì)角線平方和等于四條邊的平方和解：如圖：ABCD中，=|2=而= |2=|2 + |2 = 2= 例3 四邊形ABCD中，且····，試問(wèn)四邊形ABCD是什么圖形?分析：四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量解：四邊形ABCD是矩形，這是因?yàn)椋阂环矫妫?，（），()（）即··由于··，同理有由可得，且即四邊形ABCD兩組對(duì)邊分別相等四邊形ABCD是平行四邊形另一方面，由··，有（），而由平行四邊形

7、ABCD可得，代入上式得·(2)即·，也即ABBC綜上所述，四邊形ABCD是矩形評(píng)述：(1)在四邊形中，是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系四、課堂練習(xí)：1.下列敘述不正確的是（ ）A.向量的數(shù)量積滿足交換律 B.向量的數(shù)量積滿足分配律C.向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律 D.a·b是一個(gè)實(shí)數(shù)2.已知|a|=6,|b|=4,a與b的夾角為°，則(a+2b)·(a-3b)等于（ ）A.72 B.-72 C.36 D.-363.|a|=3,|

8、b|=4,向量a+b與a-b的位置關(guān)系為（ ）A.平行 B.垂直 C.夾角為 D.不平行也不垂直4.已知|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角為150°，則(a+b) .5.已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,則|a+b|=_,|a-b|= .6.設(shè)|a|=3,|b|=5,且ab與ab垂直，則 .參考答案：1.C 2.B 3.B 4. .+2 5. 6.±五、小結(jié) 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律，掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，能利用數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題六、課后作業(yè)1.已知|a|=1,|b|=,且(a-b)與a垂直，則a與b

9、的夾角是（ ）A.60° B.0° C.135° D.°2.已知|a|=2,|b|=1,a與b之間的夾角為，那么向量m=a-4b的模為（ ）A.2 B.2 C.6 D.123.已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(a-b)垂直的（ ）A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知向量a、b的夾角為，|a|=2,|b|=1,則|a+b|·|a-b|= 5.已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那么a·b= 6.已知a

10、b、c與a、b的夾角均為60°，且|a|=1,|b|=2,|c|=3,則(a+2b-c)_7.已知|a|=1,|b|=,(1)若ab,求a·b;(2)若a、b的夾角為°，求|a+b|；(3)若a-b與a垂直，求a與b的夾角8.設(shè)m、n是兩個(gè)單位向量，其夾角為°，求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角9.對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b，求使|a+tb|最小時(shí)的t值，并求此時(shí)b與a+tb的夾角參考答案：1.D 2.B 3.C 4. 5.63 6.117.(1)- (2) (3)45° 8.120° 9.90°七、板書設(shè)計(jì)（略）八、課后記及備用資料：1.常用數(shù)量積運(yùn)算公式在數(shù)量積運(yùn)算律中，有兩個(gè)形似實(shí)數(shù)的完全平方和(差)公式在解題中的應(yīng)用較為廣泛即(ab)aa·bb，（ab）aa·bb上述兩公式以及(ab)(ab)ab這一類似于實(shí)數(shù)平方差的公式在解題過(guò)程中可以直接應(yīng)用2.應(yīng)用舉例例1已知a，b，a