第七章非線性系統(tǒng)分析

1、第七章非線性系統(tǒng)分析學(xué)習(xí)重點 ：了解非線性系統(tǒng)的特點，掌握非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的本質(zhì)區(qū)別； 了解典型非線性環(huán)節(jié)的特點； 理解描述函數(shù)的基本概念，掌握描述函數(shù)的計算方法； 掌握分析非線性系統(tǒng)的近似方法描述函數(shù)法，能夠應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 7非線性系統(tǒng)的分析7-1非線性控制系統(tǒng)概述7-1 非線性控制系統(tǒng)概述包含一個或一個以上非線性元件或環(huán)節(jié)的系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。7-1非線性控制系統(tǒng)概述一、典型非線性特性 在鐵磁元件及各種放大器中都存在，其特點是當(dāng)輸入信號超過某一范圍后，輸出信號不再隨輸入信號變化，而是保持某一常值如圖所示1. 飽和 7-1非線性控制系統(tǒng)概述 理想的飽和特性如圖(a)

2、所示， 圖中，x1為輸入信號， x2為輸出信號。設(shè) )(12xfx 將非線性特性視為一個環(huán)節(jié)，按照線性系統(tǒng)比例環(huán)節(jié)的描述，定義非線性環(huán)節(jié)輸入與輸出的比值為等效增益 1112)(xxfxxk 從飽和特性曲線上可以看出，其等效增益隨著輸入信號的加大逐漸減小，因此，飽和特性的存在，使系統(tǒng)的開環(huán)增益有所下降，故對動態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性是有利的。7-1非線性控制系統(tǒng)概述 由于飽和特性在大信號時的等效增益很低，故帶飽和特性的控制系統(tǒng)，一般在大起始偏離下總是具有收斂性質(zhì)，不會造成愈振愈大的不穩(wěn)定現(xiàn)象； 由于飽和限幅的存在，它可使一切不穩(wěn)定的系統(tǒng)收斂于自振蕩以保證系統(tǒng)的安全。 當(dāng)然，由于等效增益降低，會降低系統(tǒng)的穩(wěn)

3、態(tài)精度；對快速性而言，則相對復(fù)雜一些，不能一概而論。 7-1非線性控制系統(tǒng)概述存在不靈敏區(qū)的元件，在輸入信號很小時系統(tǒng)沒有輸出。一些測量元件、變換部件和各種放大器，在零位附近常有不靈敏區(qū)；作為執(zhí)行元件的電動機，由于軸上有靜摩擦，故加給電樞的電壓必須達到某一數(shù)值，即所謂空載啟動電壓，電機才能開始轉(zhuǎn)動，這個空載啟動電壓就是電動機的不靈敏區(qū)。不靈敏區(qū)的特性如圖所示，圖中 表示不靈敏區(qū)，也稱為死區(qū)。 7-1非線性控制系統(tǒng)概述2. 不靈敏區(qū)(死區(qū)) 7-1非線性控制系統(tǒng)概述 死區(qū)最主要的影響就是增大系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。例如，假設(shè)電壓放大元件存在死區(qū)，則當(dāng)系統(tǒng)偏差信號小于 時，等效增益為零，系統(tǒng)相當(dāng)于開環(huán)系統(tǒng)

4、，不會產(chǎn)生任何的控制作用；當(dāng)執(zhí)行元件存在死區(qū)時，系統(tǒng)的輸出就會存在時間上的滯后，影響系統(tǒng)的跟蹤精度。當(dāng)系統(tǒng)存在擾動信號時，在系統(tǒng)動態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)值附近，死區(qū)的作用可減小擾動信號的影響，一定程度上提高了系統(tǒng)的抗干擾能力。 7-1非線性控制系統(tǒng)概述3. 間隙(回環(huán)) 例如齒輪傳動，為保證轉(zhuǎn)動靈活不發(fā)生卡死現(xiàn)象，是必須和容許有少量間隙存在的，但間隙量不應(yīng)過大。間隙特性如圖所示，顯然，輸入到輸出是一多值的映射，具體的取值由箭頭的方向亦即輸入的運動方向決定。 7-1非線性控制系統(tǒng)概述4. 摩擦 在機械傳動機構(gòu)中，摩擦是必然存在的物理因素。圖為摩擦力矩 Mf與轉(zhuǎn)速關(guān)系示意圖，圖中，M1為靜摩擦力矩，M2為動

5、摩擦力矩，Mf表示摩擦力矩， 表示轉(zhuǎn)速。 摩擦對系統(tǒng)的影響，依系統(tǒng)的具體情況而定。對小功率的隨動系統(tǒng)來說，是一個很重要的非線性因素。對隨動系統(tǒng)而言，摩擦?xí)黾屿o差，降低精度；在復(fù)現(xiàn)緩慢變化的低速指令時，會造成爬行現(xiàn)象，影響系統(tǒng)的低速平穩(wěn)性。 7-1非線性控制系統(tǒng)概述7-1非線性控制系統(tǒng)概述5. 繼電器特性 由于繼電器吸合電壓(電流)與釋放電壓(電流)不等，使其特性中包含了死區(qū)、回環(huán)及飽和特性，如圖所示。其中圖(a)表示理想繼電器特性，當(dāng)吸合與釋放值都很小時，可視為這種情況；圖(b)表示帶死區(qū)的繼電器特性，此時吸合與釋放值較大且二者 數(shù) 值 接 近 ； 圖 ( c ) 則 為 一 般 繼 電 器

6、 特 性 。 理想繼電器在原點附近存在跳變，等效增益趨于無窮大；在原點以外的地方，隨著輸入信號的增加，輸出始終保持常值，等效增益逐漸減小。若系統(tǒng)中串有理想繼電器，在小起始偏離時開環(huán)增益大，運動狀態(tài)呈發(fā)散性質(zhì)；在大起始偏離時開環(huán)增益很小，系統(tǒng)具有收斂性質(zhì)。因而，繼電特性常常會使系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩現(xiàn)象，但如果選擇合適的繼電特性可提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，也可構(gòu)成正弦信號發(fā)生器。 7-1非線性控制系統(tǒng)概述 二、非線性控制系統(tǒng)的特點 1、不能應(yīng)用疊加定理2、對正弦輸入信號的響應(yīng)復(fù)雜 在線性系統(tǒng)中，輸入為正弦函數(shù)時，穩(wěn)態(tài)輸出也是同頻率的正弦信號，兩者僅在幅值和相位上有所不同，因而可以用頻率特性來描述系統(tǒng)的特性。 非

7、線性系統(tǒng)對正弦輸入信號的響應(yīng)比較復(fù)雜，其穩(wěn)態(tài)輸出是包含有諧波分量的非正弦周期函數(shù)，有時還可能出現(xiàn)跳躍諧波、倍頻、和分頻振蕩等現(xiàn)象。因此頻率法不能直接用于非線性控制系統(tǒng)。7-1非線性控制系統(tǒng)概述線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，與起始狀態(tài)無關(guān)。 非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅僅和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)，還和起始狀態(tài)有直接關(guān)系。一個非線性系統(tǒng)，他的某些平衡狀態(tài)可能是穩(wěn)定的，某些平衡狀態(tài)可能是不穩(wěn)定的。因此對于非線性系統(tǒng)，不存在系統(tǒng)是否穩(wěn)定的籠統(tǒng)概念，要研究的是非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。例1 某一階非線性系統(tǒng)的微分方程為 0) 1(xxx 試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性3.穩(wěn)定性7-1非線性控制系統(tǒng)概述積分得 t

8、texxextx0001)(相應(yīng)的時間響應(yīng)隨初始條件而變。當(dāng) 時，隨t 增大， 遞增；當(dāng) 時， 為1；當(dāng) 時， 遞減并趨于 0。不同初始條件下的時間響應(yīng)曲線如圖所示。 1ln, 1000 xxtx)(tx)(tx)(tx1ln, 1000 xxtx1ln, 1000 xxtx解：設(shè)00)(xtxdtxxdx ) 1(7-1非線性控制系統(tǒng)概述從曲線及方程中可以看出，系統(tǒng)有兩個平衡狀態(tài)，即 x=0和 x=1 。按穩(wěn)定性的定義對平衡狀態(tài) x=1來說，系統(tǒng)只要有一個很小的偏離，就再也不會回到這一平衡狀態(tài)上來。因此，x=1的平衡狀態(tài)是一個不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。對于平衡狀態(tài) x=0來說，系統(tǒng)最終是否會收斂于這

9、一平衡態(tài)，還與起始的偏離大小即起始的狀態(tài)有關(guān)。當(dāng) x01 時，響應(yīng)曲線是發(fā)散的；當(dāng)x01 時，響應(yīng)曲線會收斂于平衡狀態(tài)。7-1非線性控制系統(tǒng)概述4. 自激振蕩 從前面線性系統(tǒng)的分析已知，非周期信號作用于線性系統(tǒng)時，只有在臨界狀態(tài)下才會產(chǎn)生周期運動。一旦系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生微小的變化，都會使系統(tǒng)極點向左或右偏移，響應(yīng)趨于發(fā)散或收斂。在非線性系統(tǒng)中其頻率響應(yīng)除了發(fā)散和收斂外，也可能發(fā)生一定頻率和振幅的周期運動，而當(dāng)擾動消失后，系統(tǒng)仍維持原來的頻率和振幅，亦及這種周期運動具有穩(wěn)定性。這種穩(wěn)定的周期運動，稱為自激振蕩，簡稱自振，或稱為自持振蕩。 7-1非線性控制系統(tǒng)概述7-2 描述函數(shù)法7-2 描述函數(shù)法

10、描述函數(shù)法可以看作是對非線性系統(tǒng)的一種線性的近似，是在對系統(tǒng)正弦信號作用下的輸出進行諧波線性化處理后得到的，表達形式類似于線性理論中的幅相頻率特性。 一一 描述函數(shù)的基本概念：描述函數(shù)的基本概念：1 . 1 . 基本原理和應(yīng)用條件：基本原理和應(yīng)用條件：（1）滿足條件 a)正弦波輸入，輸出為同頻率信號。7-2 描述函數(shù)法b）輸出平均值為零，不產(chǎn)生支流項即要求非線元件輸入輸出特性斜對稱。 c)系統(tǒng)線性部分有較好的低通濾波特性。（2）諧波線性化 在滿足上述條件下用非線性系統(tǒng)中元件輸出的一次諧波分量去代替正弦作用下的實際輸出，忽略高次諧波分量。這樣就可以把非 線性元件作為一個基本環(huán)節(jié)，用某描述函數(shù)代替

11、它的傳函之后，用頻率特性對正弦進行分析。例2：對于理想繼電器特性，輸入為tXtxsin)(7-2 描述函數(shù)法輸出為同周期的方波信號。7-2 描述函數(shù)法將其輸出展開為傅里葉級數(shù) 012)12sin(4)5sin513sin31(sin4)(nntnMtttMty 方波函數(shù)可以看作無數(shù)個正弦分量的疊加，包含基波分量和高次諧波分量，各諧波分量的振幅和頻率的關(guān)系稱為該方波的頻譜。 將上式推廣至任一個非線性系統(tǒng)，當(dāng)加以正弦輸入信號 時，其穩(wěn)態(tài)輸出一般為同周期的非正弦信號，將其展開為傅里葉級數(shù) tXtxsin)(7-2 描述函數(shù)法式中 7-2 描述函數(shù)法 非線性特性為奇對稱，則直流分量 A0= 0；同時，

12、各諧波分量的幅值與基波相比一般都比較?。灰虼?，可以忽略式中的高次諧波分量，只考慮基波分量，這種近似也稱為諧波線性化。則 2 . 2 . 描述函數(shù)描述函數(shù) 非線性環(huán)節(jié)進行諧波線性化處理后，可以依照線性環(huán)節(jié)頻率特性的定義，建立非線性環(huán)節(jié)的等效頻率特性，即描述函數(shù)。7-2 描述函數(shù)法 定義在正弦輸入信號作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中基波分量和輸入正弦信號的復(fù)數(shù)比為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，用 N(X)表示 1121211111arctansin)sin()(BAXBAXYtXtYXN例3：設(shè)非線性放大器輸入輸出特性為 試計算其描述函數(shù)。 解：因為 為 的奇函數(shù)，故有)(xyx,0,0,0110AA計算1

13、B7-2 描述函數(shù)法得描述函數(shù)為 系統(tǒng)的特性曲線與描述函數(shù)曲線分別如圖7-2 描述函數(shù)法 可以看出，描述函數(shù)不僅是輸入正弦信號頻率的函數(shù)，而且也是輸入信號振幅的函數(shù)，這正是非線性特性的一種反映。因此，描述函數(shù)法本質(zhì)上是不同于線性環(huán)節(jié)的頻率特性，是非線性理論的一個概念。7-2 描述函數(shù)法二、典型非線性元件的描述函數(shù)二、典型非線性元件的描述函數(shù)根據(jù)定義式11212111arctan)(BAXBAXYXN由于理想繼電特性為單值的奇函數(shù)，1.理想繼電器特性的描述函數(shù),0,0,0110AAMtdtMtdtMtdttyB4sin4sin4sin)(120202017-2 描述函數(shù)法描述函數(shù)為 2.死區(qū)特性

14、的描述函數(shù) 7-2 7-2 描述函數(shù)法描述函數(shù)法由于特性仍為單值奇函數(shù)， 故只需要求解 B17-2 7-2 描述函數(shù)法描述函數(shù)法3. 飽和特性的描述函數(shù) 7-2 7-2 描述函數(shù)法描述函數(shù)法7-2 7-2 描述函數(shù)法描述函數(shù)法 三三. .非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析 描述函數(shù)是對非線性環(huán)節(jié)進行諧波線性化處理后得到的，故可將線性系統(tǒng)的相關(guān)理論推廣到非線性系統(tǒng)。典型結(jié)構(gòu)表示如圖)(XN)(jW系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性)()(1)()()(jWXNjWXNjWB非線性系統(tǒng)的奈氏判據(jù)1.穩(wěn)定性分析7-2 7-2 描述函數(shù)法描述函數(shù)法即)(1)(XNjW稱為負倒描述函數(shù)與線性系統(tǒng)的奈氏判據(jù)相

15、比， 相當(dāng)于線性系統(tǒng)中開環(huán)幅相平面的 點)(1XN)0,1(j0)()(100jWXNK)(1)(00XNjWK特征方程0)()(1jWXN通常取基準(zhǔn)描述函數(shù))(0XN令基準(zhǔn)負倒描述函數(shù))(10XN7-2 7-2 描述函數(shù)法描述函數(shù)法非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別方法如下：)(10XN不被)(0jWK包圍，系統(tǒng)穩(wěn)定)(10XN被)(0jWK包圍，系統(tǒng)不穩(wěn)定2.自振分析7-2 7-2 描述函數(shù)法描述函數(shù)法若非線性系統(tǒng)存在一組參數(shù)),(X使)(1)(00XNjWK成立。)(10XN與)(0jWK即相交，非線性系統(tǒng)在交點處處于等幅振蕩狀態(tài)，產(chǎn)生周期運動。只有穩(wěn)定的周期運動才稱之為自振。7-2 7-2 描述函

16、數(shù)法描述函數(shù)法1M2M)(10XN)(0jWKReImX7-2 7-2 描述函數(shù)法描述函數(shù)法例4. 已知非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，為使系統(tǒng)不產(chǎn)生自振，試用描述函數(shù)法確定繼電器特性參數(shù)a,b7-2 7-2 描述函數(shù)法描述函數(shù)法例5.利用描述函數(shù)法分析具有飽和非線性的控制系統(tǒng)，如圖（1）當(dāng)線性部分的K=5時，判斷系統(tǒng)是否產(chǎn)生自振。如果產(chǎn)生自振，求出它的振幅和頻率。（2）欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，試求出放大系數(shù)K的取值范圍。42)2)(1(ssske7-2 7-2 描述函數(shù)法描述函數(shù)法解:飽和非線性的描述函數(shù)為20)/1(1/1/1arcsin2)(dXdXdXKXN20)/1(1/1/1arcsin2)(dXdXd

17、XdXN將 曲線和 曲線畫在同一復(fù)平面上.)(10dXN)(0jWK非線性部分:基準(zhǔn)負倒描述函數(shù)20)/1(1/1/1arcsin21)(1dXdXdXdXNdX 7-2 7-2 描述函數(shù)法描述函數(shù)法線性部分:幅相頻率特性曲線)2)(1()(00jjjKKjWK-4 -23.3X7-2 7-2 描述函數(shù)法描述函數(shù)法欲使系統(tǒng)穩(wěn)定,則應(yīng)使 曲線不包圍 曲線.即)(10dXN)(0jWK2)(2P7-2 7-2 描述函數(shù)法描述函數(shù)法7-2 7-2 描述函數(shù)法描述函數(shù)法7-2 7-2 描述函數(shù)法描述函數(shù)法7-3 7-3 相平面法相平面法 7-3 7-3 相平面法相平面法 相平面法是基于時域的一種圖解分

18、析方法。是狀態(tài)空間法在二維情況下的應(yīng)用。 二階時不變系統(tǒng)(可以是線性的，也可以是非線性的)一般可用常微分方程 來描述。 式中，設(shè)輸入信號為零， 表示系統(tǒng)中的某一個物理量， 是 和 的解析函數(shù)。0),(xxfx x),(xxfxx 控制系統(tǒng)的任一動態(tài)過程可由狀態(tài)變量 來表示。),(xx 一、相平面的基本概念一、相平面的基本概念1. 1.相平面:以 和 為橫軸和縱軸構(gòu)成的坐標(biāo)平面.2.2.相點:相平面上任一點),(xx 3.3.相軌跡: 對二階系統(tǒng)來講，從某一初始狀態(tài)出發(fā)，以時間t為參變量，便可畫出一條連續(xù)變化的相軌跡。7-3 7-3 相平面法相平面法 xx xx 1M2M7-3 7-3 相平面法

19、相平面法 (x0,x0)xx漸漸進進穩(wěn)穩(wěn)定定系系統(tǒng)統(tǒng)xx(x0,x0)不不穩(wěn)穩(wěn)定定xx(x,x)(x,x) 持續(xù)振蕩持續(xù)振蕩4.4.相軌跡特點: 與初始點(狀態(tài))密切相關(guān). 可以不直接求出微分方程而獲得系統(tǒng)所有運動狀態(tài).5.5.相軌跡判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性7-3 7-3 相平面法相平面法 二、相平面圖繪制方法二、相平面圖繪制方法1 1.解析法:適用于微分方程簡單(二階)或可分段線性化.設(shè)二階系統(tǒng)0),(xxfx (*) 若令xy則直接積分,便解出相軌跡方程)(xfxy 并由此畫出相軌跡。0),(yxfy ),(yxfdtdy),(yxfdxdtdxdtdtdyyyxfdxdy),(7-3 7-3 相平

20、面法相平面法 整理上式并積分xdxydyyyxxn200)(21)(212202202xxyyn20202222yxyxnn1)(2222AyAxn其中22020nyxA 上式表示一族封閉橢圓，說明:=0時的狀態(tài)為臨界穩(wěn)定，但實際中不存在，將隨時間不是發(fā)散就是收斂。例：如無阻尼二階系統(tǒng)02xxn 令 則 yx yxdxdyn2，設(shè)初始條件為),(00yx7-3 7-3 相平面法相平面法 等斜線方程圖解法之一：等斜線法圖解法之一：等斜線法 它多用于解析法中求解微分方程困難的情況。yyxfdxdy),(xycdxdy常數(shù)若令二階微分方程0),(xxfx 令0),(cyyxf滿足相軌跡上的切線斜率為

21、c7-3 7-3 相平面法相平面法 畫圖原理： 據(jù)不同的斜率c可畫出等斜線方向場（分布）可證明不同c不相交，則對確定初始點 沿等斜率切線變化規(guī)律唯一。這樣便可畫出相軌跡（近似）),(00yx畫圖步驟：ii.作等斜線分布圖iii.從初始點出發(fā),沿相鄰等斜線間的21iiiccc平均斜率依次作短直線便可畫得。i.求出等斜線方程相軌跡必然以c的斜率經(jīng)過等斜線。7-3 7-3 相平面法相平面法 說明說明：等斜線未必都是直線，另外，為保證精度，等斜線分布要有適當(dāng)密度，密度可不一樣。 022xxxnn 例如1,5 . 0n令等斜線方程: xcxcynn1122等斜線分布圖.相軌跡 A點直線段交線于B.11

22、.122 .1110A cc過點7-3 7-3 相平面法相平面法 三.相軌跡和相平面圖的性質(zhì) 1)相軌跡的斜率 若相軌跡上任意一點的斜率為 ，則 xxxfxxdtdxdtxddxxdc ),(/c2)相軌跡的對稱性 按照圖形對稱的條件，關(guān)于橫軸或縱軸對稱的曲線，其對稱點處的斜率大小相等，符號相反；關(guān)于原點對稱的曲線，其對稱點處斜率大小相等，符號相同。 7-3 7-3 相平面法相平面法 7-3 7-3 相平面法相平面法 則相軌跡關(guān)于 對稱(左右對稱)。),(),(xxfxxf則相軌跡關(guān)于 對稱(上下對稱) 。),(),(xxfxxf則相軌跡關(guān)于原點對稱。 ),(),(xxfxxfx x 有一個不

23、為零，系統(tǒng)就未達到平衡狀態(tài)，將繼續(xù)運動。這樣的點叫普通點。3)相平面圖的奇點 奇點（平衡點）：奇點（平衡點）：系統(tǒng)的速度和加速度都為零)0, 0(xx 線性系統(tǒng)有唯一奇點零輸入條件下就在原點，非線性系統(tǒng)奇點若在原點 不確定，則相軌跡會在該點相交.7-3 7-3 相平面法相平面法 奇點是非線性系統(tǒng)唯一可能的平衡狀態(tài)。00dxxd 利用系統(tǒng)特征方程根確定奇點位置及特征 如二階線性系統(tǒng)02, 02222nnnnssxxx 常令),(),()0 ,(0, 0yxfxyxfxxxx 也可用求奇點解出x.7-3 7-3 相平面法相平面法 共軛復(fù)根 零輸入響應(yīng)為衰減振蕩，收斂于零。對應(yīng)的相軌跡是一簇對數(shù)螺旋

24、線，收斂于相平面原點。這時原點對應(yīng)的奇點稱為穩(wěn)定的焦點。) 10(一對具有正實部的共軛復(fù)根 ，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是振蕩發(fā)散的。 對應(yīng)的相軌跡是發(fā)散的對數(shù)螺旋線。 這時奇點稱為不穩(wěn)定的焦點。 )01(特征根為兩個負實根 ，系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)。其零輸入響應(yīng)呈指數(shù)衰減狀態(tài)。對應(yīng)的相軌跡是一簇趨向相平面原點的拋物線。相平面原點為奇點，稱為穩(wěn)定的節(jié)點。 17-3 7-3 相平面法相平面法 7-3 7-3 相平面法相平面法 特征根為兩個正實根 ，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為非周期發(fā)散的。對應(yīng)的相軌跡是由原點出發(fā)的發(fā)散的拋物線簇。 相應(yīng)的奇點稱為不穩(wěn)定的節(jié)點。 ) 1(特征根為一對共軛純虛根，系統(tǒng)處于無阻尼運動狀態(tài)，系

25、統(tǒng)的相軌跡是一簇同心橢圓。這種奇點稱為中心點。 7-3 7-3 相平面法相平面法 特征根為兩個符號相反的實根，此時系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是非周期發(fā)散的。這時奇點稱為鞍點。 繪制相軌跡時，通常先確定奇點位置，再作它附近的相軌跡。7-3 7-3 相平面法相平面法 4)相平面圖的特征區(qū) 特征區(qū)是指奇點周圍相軌跡具有共性的區(qū)域。共性是指普通點（描述點）在該區(qū)域內(nèi)不是沿相軌跡趨于奇點（吸引）就是沿相軌跡離開奇點（發(fā)散），他們對應(yīng)的區(qū)域分別稱為吸引區(qū)、發(fā)散區(qū)。 利用這一特征可判斷系統(tǒng)品質(zhì)。因為在奇點附近某一特征區(qū)域內(nèi)畫出一條相軌跡，即可知道其他初始條件下導(dǎo)流運況。這也為畫相軌跡提供了理論依據(jù)。 在非線性系統(tǒng)的相

26、軌跡中，可能會存在特殊的相軌跡，將相平面劃分為具有不同運動特點的多個區(qū)域，這種特殊的相軌跡就稱為奇線。 極限環(huán)就是最常見的一種奇線，它是相平面上一條孤立的封閉相軌跡，而且附近的其他相軌跡都無限地趨向或者離開它。 極限環(huán)作為一條相軌跡來說，既不存在平衡點，也不趨向無窮遠，而是一個無首無尾的封閉環(huán)圈。5）極限環(huán)7-3 7-3 相平面法相平面法 如果起始于極限環(huán)附近的內(nèi)部和外部的相軌跡最終都趨于極限環(huán)上，則該極限環(huán)稱為穩(wěn)定的極限環(huán)，如圖 (a)所示。當(dāng)系統(tǒng)受到小擾動的作用而偏離極限環(huán)時，經(jīng)過一段時間后，系統(tǒng)的狀態(tài)又能回到極限環(huán)上。 因此，穩(wěn)定的極限環(huán)上系統(tǒng)就表現(xiàn)為自激振蕩。極限環(huán)軸向與徑向的最大值分別對應(yīng)自激振蕩的振幅與最大變化率。穩(wěn)定的極限環(huán)7-3 7-3 相平面法相平面法 如圖(b)所示。起始于極限環(huán)附近內(nèi)部和外部的相軌跡，最終都卷離極限環(huán)。當(dāng)系統(tǒng)受到很小的擾動而偏離極限環(huán)時，系統(tǒng)狀態(tài)再也不會回到極限環(huán)上來，因此稱為不穩(wěn)定的極限環(huán)。不穩(wěn)定的極限環(huán)7-3 7-3 相平面法相平面法 半穩(wěn)定的極限環(huán) 如果極限環(huán)附近