隨機過程及應(yīng)用：預(yù)備知識：特征函數(shù)

1、隨機過程及應(yīng)用：預(yù)備知識隨機過程及應(yīng)用：預(yù)備知識：特征函數(shù)：特征函數(shù) )(sin)(cosxtxdFjxtxdF )(xdFejtx注注,Rt 1） costx 和和 sintx 均為有界函數(shù)均為有界函數(shù), 故故)(jtXeE總存在總存在. .2) 是實變量是實變量t 的函數(shù)的函數(shù). .)(jtXeE)sin()cos()(tXjEtXEeEjtX X是實隨是實隨機變量機變量求隨機變求隨機變量量函數(shù)的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 定義定義 設(shè)設(shè)X是定義在是定義在(,F F , P )上的隨機變上的隨機變量量, ,稱稱RtxdFeeEjtxjt , )()(X為為X的特征函數(shù)的特征函數(shù). .關(guān)于關(guān)于X

2、的分布函的分布函數(shù)的富里埃數(shù)的富里埃- -司司蒂階變換蒂階變換當(dāng)當(dāng)X是連續(xù)型隨機變量是連續(xù)型隨機變量, ,則則 ;)()(dxxfetjtx.)( kkjtxpetk當(dāng)當(dāng)X是離散型隨機變量是離散型隨機變量, ,則則)( t, 1 cXP 單點分布單點分布R.,)()( teeEtjtcjtc 兩點分布兩點分布pepetjtjt10)1()( .,1Rtpeqpepjtjt 二項分布二項分布Rtpeqtnjt ,)()( 泊松分布泊松分布Rtetjte ,)()1( 0)(dxeetxjtx 00sincostxdxejtxdxexx Rtjtttjt ,112222 )0(0.0,0;,)(

3、xxexfx 指數(shù)分布指數(shù)分布 均勻分布均勻分布,aaU Rtatatt ,sin)( 正態(tài)分布正態(tài)分布N(a,2)Rttttjae ,2221)(特別對正態(tài)分布特別對正態(tài)分布N(0,1)，有，有Rttte ,221)(dxeetaxtxj22)(221)( axu dueeuuajt2)(221 dueejautja 2)(2122221 證明證明Rxexfax ,21)(22)(2Rtttjae ,2212 二特征函數(shù)性質(zhì)二特征函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 隨機變量隨機變量X的特征函數(shù)滿足：的特征函數(shù)滿足：; 1)0()()1 t. )()()2tt 22)(sin)(cos)()1tXjEtXEt

4、證證22)(sin)(costXEtXE )(sin)(cos22tXEtXE 1)(sin)(cos22tXtXE許瓦茨許瓦茨不等式不等式(6.1.3) )0()()()2jtXeEt )(sin)(costXjEtXE )(sin)(costXjEtXE )sin()cos(tXjEtXE )(XtjeE 性質(zhì)性質(zhì)5.2 隨機變量隨機變量X的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為 則則Y= aX+b的特征函數(shù)是的特征函數(shù)是, )( tX)()(atetXjbtY a, b是常數(shù)是常數(shù).)(t 設(shè)設(shè)N(a,2), 求其特征函數(shù)求其特征函數(shù). 解解 設(shè)設(shè)XN( 0, 1), ,有有Y=X+ a, 且且.,)(

5、221RtettX .,)()(22X21Rteetettjatjat Y證證 )()()()(ateeeEeEtXjbtXatjjbttbaXj 0, 0, 性質(zhì)性質(zhì)5.3 隨機變量隨機變量X的特征函數(shù)的特征函數(shù) 在在R上一上一致連續(xù)致連續(xù). )( t)()( tht h使使 時時,對對t 一致地有一致地有一般，一般，t),( 性質(zhì)性質(zhì)5.4 特征函數(shù)是非負定的函數(shù)，即對任特征函數(shù)是非負定的函數(shù)，即對任意正整數(shù)意正整數(shù)n, 任意復(fù)數(shù)任意復(fù)數(shù)z1, z2 , zn,及及,Rtr nrnssrsrzztt110.)( 有有, 21,nr 證證 )()()(111,xdFezzzzttxstrtj

6、nrnsnsrsrsrsr )(1,xdFeezznsrsrxsjtxrjt . 0)(21 xdFeznrrxrjt注注 以上性質(zhì)中以上性質(zhì)中 一致連續(xù)性，非負定一致連續(xù)性，非負定性是本質(zhì)性的性是本質(zhì)性的.1,)0( 定理定理5.1 (波赫納波赫納辛欽辛欽) 函數(shù)函數(shù) 為特征函為特征函數(shù)的充分必要條件是在數(shù)的充分必要條件是在R上一致連續(xù)上一致連續(xù), 非負定非負定且且 )( t. 1)0( 定理定理5.2 若隨機變量若隨機變量X 的的n階矩存在階矩存在, ,則則X的特征函數(shù)的特征函數(shù) 的的k 階階)( t導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù) 存在存在, ,且且)()(tk)(0),)()()(nkjXEkkk 下定理給出

7、了特征函數(shù)與下定理給出了特征函數(shù)與矩的關(guān)系矩的關(guān)系注注 逆不真逆不真.證證 僅證連續(xù)型情形僅證連續(xù)型情形設(shè)設(shè)X的概率密度為的概率密度為f(x)，有，有)()(xfexjdtxfedjtxkkkjtx )()(kkkjtxXEdxxfxdxxfxe)()(XXjtkkkjtxkeEjdxxfxej 兩邊求導(dǎo)，得兩邊求導(dǎo)，得對對dxxfetjtx)()()()(tk令令t=0，得，得故故 隨機變量隨機變量X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布),(2 aN. )()(XDXE和和求求解解2221)(tjatet )() 0()(kkkXEj ) 0()()(kkkjXE 22212)()(tjatetjat

8、2221222)()(tjatetjat 2222)()0(,)0( ajaja故故ajXE ) 0()(1 222222)()()()( aaXEXEXD同理，可進一步計算隨機變量同理，可進一步計算隨機變量X的的k階中心矩階中心矩 為為偶偶數(shù)數(shù)為為奇奇數(shù)數(shù)kkkaXEkk,) 1(531 , 0)( 三反演公式及惟一性定理三反演公式及惟一性定理 由隨機變量由隨機變量X的分布函數(shù)可惟一確定其特的分布函數(shù)可惟一確定其特征函數(shù)：征函數(shù)：)()(txF問題問題能否由能否由X的特征函數(shù)唯一確定其分布函數(shù)？的特征函數(shù)唯一確定其分布函數(shù)？)()(xFt)()(xFt？從而從而 定理定理5.3（反演公式）設(shè)

9、隨機變量（反演公式）設(shè)隨機變量X 的分布函的分布函數(shù)和特征函數(shù)分別為數(shù)和特征函數(shù)分別為F(x)和和 , )(t .)(21lim)()(2112dttjteexFxFTTjtxjtxT 則對則對F(x)的的任意連續(xù)點任意連續(xù)點x1, x2,（x1x2）, ,有有 推論推論1(惟一性定理惟一性定理) )分布函數(shù)分布函數(shù)F1(x)和和F2(x)恒等的充要條件是它們的特征函數(shù)恒等的充要條件是它們的特征函數(shù) 和和 恒等恒等.(參見參見P245）)(1t )(2t 推論推論2 若隨機變量若隨機變量X的特征函數(shù)的特征函數(shù) 在在R上上絕對可積，則絕對可積，則X為連續(xù)型隨機變量，其概率密為連續(xù)型隨機變量，其概

10、率密度為度為)(t dttexfjtx)(21)(反演公式反演公式注注對于連續(xù)型隨機變量對于連續(xù)型隨機變量X，概率密度與特征，概率密度與特征函數(shù)互為富氏變換函數(shù)互為富氏變換. . dxxfetjtx)()(因因 2.1,0, kkXPpk則則 推論推論3 隨機變量隨機變量X 是離散型的是離散型的, ,其分布律為其分布律為 kjktkRtept.,)( )(21dtteptkjk反演公式反演公式,Ns 證證 設(shè)設(shè) 有有 )(ekjtsjktktsjdteepdtt )(02eskksskjtkspdtpdtp .)(21dttepjtss. 0e)( dtskskjt時時其其中中當(dāng)當(dāng) Ex.9

11、隨機變量隨機變量X在在 上服從均勻分布上服從均勻分布, Y=cosX, 利用特征函數(shù)求利用特征函數(shù)求Y的概率密度的概率密度.,22解解X的概率密度為的概率密度為 .0,2,2,1)(其它其它xxfY的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為)()()(cosXjtjtYYeEeEt 2220coscos21dxedxexjtxjt 令令dxuxdxduxu21sin,cos 102112)(duuettujY 根據(jù)特征函數(shù)與分布函數(shù)的惟一性定理根據(jù)特征函數(shù)與分布函數(shù)的惟一性定理, 知隨機變量知隨機變量Y的概率密度為的概率密度為 .0.1;0,112)(2其其它它yyyfYEx.10 已知隨機變量已知隨機變量X的

12、特征函數(shù)為的特征函數(shù)為Rttt ,cos)(2試求試求X的概率分布的概率分布.解解 因因 根據(jù)特征函數(shù)的惟一性定理根據(jù)特征函數(shù)的惟一性定理, 知隨機變量知隨機變量X的分布律為的分布律為22)2(cos)(jtjteett jtjtee22412141 202202 XPeXPeXPejtjtjt X 2 0 2 p 1/4 1/2 1/4 四四 多維隨機變量的特征函數(shù)多維隨機變量的特征函數(shù) 定義定義5. 4 二維隨機變量二維隨機變量(X, Y)的特征函數(shù)的特征函數(shù)定義為定義為e ),()(2121YtXtjEtt ),()(21yxdFeytxtj連續(xù)型連續(xù)型 dxdyyxfettytxtj)

13、,(),(2121注注 多維隨機變量的特征函數(shù)定義見多維隨機變量的特征函數(shù)定義見P247. rssrytxtjpettr,)(21s21),(離散型離散型 例例 (X, Y)服從二維正態(tài)分布服從二維正態(tài)分布221)(2222212121212211ttttttje );,;,(222211 N 則其特征函數(shù)為則其特征函數(shù)為 dxdyyxettytxtj),(),(2121 性質(zhì)性質(zhì)5.5 二維隨機變量二維隨機變量(X, Y)的特征函的特征函數(shù)滿足以下性質(zhì)數(shù)滿足以下性質(zhì)1. 對任意對任意t1, t2R, 有有, 1)0 , 0( . 1)0 , 0(),(21 tt2. . ),(),(2121

14、tttt 3. 在實平面上一致連續(xù)在實平面上一致連續(xù).),(21tt4. ).(), 0(),()0 ,(2211ttttYX 性質(zhì)性質(zhì)5.6 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量(X, Y)的特征函的特征函數(shù)為數(shù)為 則則),(21tt1.隨機變量隨機變量 的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為 ),(2211bYabXa ),(22112211)(tataebtbtj 2. Z=aX+bY+c 的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為.),()(RtbtatetjtcZ ),()(tttYX 特別有特別有 e )(bYaXjtjtccbYaXjtZEeeEt 證證)()(YbtjXatjjtceEe ).,(btatEjtc 設(shè)

15、設(shè)(X1, X2)服從二維正態(tài)分布服從二維正態(tài)分布, ,且且E(Xk)= = k, k=1,2. 記記1,2.,),(ov jkjkXXCKjkij求求Y=X1+X2的特征函數(shù)的特征函數(shù). . ),(21,21ttXX解解)4322(21)2(22212121ttttttje 221)(2222212121212211ttttttje ),()(21,tttXXY 263ttje Rtettj ,e212213 故故 Y=X1+X2N(3,12). 性質(zhì)性質(zhì)5.7 分布函數(shù)分布函數(shù) 與與 恒等的充分必要條件是它們的特征函數(shù)恒等的充分必要條件是它們的特征函數(shù) 與與 恒等恒等.),(211xxF)

16、,(212xxF),(211tt),(211tt . 定理定理5.3 隨機向量隨機向量 相互獨相互獨立的充要條件是其特征函數(shù)滿足立的充要條件是其特征函數(shù)滿足 nXXX,21),(21nttt)(1kXnktk 證明參見證明參見P249.在上式中特別取在上式中特別取ti = t，i=1,2, ,n, 有有 )(1tkXnk),()(1ntXtXjeEttt )(1nXXt jeE )(1tnkkX 推論推論1 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 相互獨立相互獨立, 令令 , 則則Y的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為nXXX,21 nkkXY1)()(1ttkXnkY 注意：定理與推論注意：定理與推論1的區(qū)別？的區(qū)別？ 練習(xí)：練習(xí)：XU(0,1), PY=0=PY=1=1/