高等數(shù)學(xué)上32 洛必達(dá)法則

1、上頁下頁結(jié)束返回首頁3.2 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則型型未未定定式式解解法法型型及及:00 型型未未定定式式解解法法00,1 ,0 ,0 上頁下頁結(jié)束返回首頁.00)()(lim,)()(,)()(型型未未定定式式或或稱稱為為那那末末極極限限大大都都趨趨于于零零或或都都趨趨于于無無窮窮與與兩兩個個函函數(shù)數(shù)時時或或如如果果當(dāng)當(dāng) xFxfxFxfxaxxax洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 定義定義例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( P134上頁下頁結(jié)束返回首頁.)()(lim)()(lim);()(

2、)(lim)3(; 0)()()(),()2(; 0)(lim,0)(lim)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfaxaxaxaxax 那那末末或或為為無無窮窮大大存存在在都都存存在在且且及及可可以以除除外外點點點點的的某某領(lǐng)領(lǐng)域域內(nèi)內(nèi)在在設(shè)設(shè)定理定理1說明說明:(1)這種通過分子分母分別求導(dǎo)確定未定式極限的方法稱為洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則. .,)2(該法則仍然成立該法則仍然成立時時及及時時當(dāng)當(dāng) xaxax上頁下頁結(jié)束返回首頁證證定義輔助函數(shù)定義輔助函數(shù), 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxFxF , ( , ),( , )axU aUxa 11( )

3、,( ) , ,f x F xa x在上滿足柯西中值定理的條件則有則有1111( )( )( )( )( )( )f xf af xF xF aF x)()( Ff )(之間之間與與在在ax ,aax 時時當(dāng)當(dāng)( )lim,( )xafxAF x( )lim,( )afAF.)()(lim)()(limAFfxFxfaax 上頁下頁結(jié)束返回首頁例例1 1解解.1)1(lim0 xxx 求求1)1(lim10 xx原原式式. 例例2 2 P134-2解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原原式式266lim1 xxx.23 )00()00(上頁下頁結(jié)束返回首

4、頁例例3 3P135-4P135-4解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 例例4 4)00(.cos12lim0 xeexxx 求求)00(解解. 2coslimsinlim00 xeexeexxxxxx原原式式上頁下頁結(jié)束返回首頁注：注：1、用羅必塔法則一定要驗證條件，特別是條件、用羅必塔法則一定要驗證條件，特別是條件(1);2、若用一次法則后仍是未定式，可繼續(xù)使用，一旦、若用一次法則后仍是未定式，可繼續(xù)使用，一旦 不是未定式立刻停止使用不是未定式立刻停止使用; xxxxxxxxsin2limcos2limsinlim0020例：

5、例： 3220)1(22lim xxxxxxeeexexe例例：求求 解：原式解：原式3022limxexxeexxxx 20321limxeexexxxx 616lim0 xeexexxxx3、運算過程中有非零極限因子，可先算出極限。、運算過程中有非零極限因子，可先算出極限。上頁下頁結(jié)束返回首頁注意：注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好. .例例5 5P134-2P134-2解解.tansinlim20 xxxxx 求求30sinlimxxxx 原原式式xxx6sinlim0 2031coslimxxx .61 上頁下頁結(jié)束返回首頁.)()(lim)

6、()(lim);()()(lim)3(; 0)()()(),()2(;)(lim)(lim)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfaxaxaxaxax 那末那末或為無窮大或為無窮大存在存在都存在且都存在且及及可以除外可以除外點點點的某領(lǐng)域內(nèi)點的某領(lǐng)域內(nèi)在在設(shè)設(shè)定理定理2.,該該法法則則仍仍然然成成立立時時及及時時當(dāng)當(dāng) xaxaxP134上頁下頁結(jié)束返回首頁)0(lim)2);0(lnlim)16 為正整數(shù)，為正整數(shù)，求求例例nexxxxnxx）（）（原式原式解解 xxxlnlim)111lim xxx01lim xx）（）（原原式式解解 xnxexlim)2xnxenx 1lim

7、 xnxexnn 22)1(lim 0lim xnxen ！無窮大量無窮大量的的階階數(shù)數(shù)依依次次遞遞增增。、xxxexx lnP136-5/6上頁下頁結(jié)束返回首頁例例7 7解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原原式式. 1 )( axbxxcoscoslim0 33sinsin3limcos3coslimcos3sin3cossinlim222 xxxxxxxxxxx原式原式例例8 8.3tantanlim2xxx 求求)( 解解上頁下頁結(jié)束返回首頁型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0 ,0 例例8 8解解.lim2x

8、xex 求求)0( xexx2lim 原原式式2limxxe 2limxxe . 關(guān)鍵關(guān)鍵: :將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型的類型 .),00()( ,10. 1 型型.0100 或或)()(1()(1)()()(xfxgxfxgxgxf或或 P137上頁下頁結(jié)束返回首頁例例9 9解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101. 2 型型.0000 xxxxxsinsinlim0 原原式式xxxxxcossincos1lim0 . 0 通過通分或分子有理化及其它初等變換轉(zhuǎn)化為通過通分或分子有理化及其它初等變換轉(zhuǎn)化為 或或 不定型。不定

9、型。00上頁下頁結(jié)束返回首頁型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取對數(shù)取對數(shù).0 或通過或通過)(ln)()()(xfxgxgexf 將三種不定式轉(zhuǎn)化為將三種不定式轉(zhuǎn)化為0型。型。例例1010P136-9P136-9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 上頁下頁結(jié)束返回首頁例例1111解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例1212解解.)(cotlimln10 xxx 求求)

10、(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取取對對數(shù)數(shù)得得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式上頁下頁結(jié)束返回首頁例例1313.)sin11(sinlimsinsin11lim3030 xxxxxxxxxx 注意：注意：洛必達(dá)法則只用于洛必達(dá)法則只用于)( )00(用洛必達(dá)法則過程中要及時化簡用洛必達(dá)法則過程中要及時化簡, 并靈活結(jié)合其他并靈活結(jié)合其他求極限方法求極限方法.1212sinlim30 xxxx洛必達(dá)法則有時并不適用洛必達(dá)法則有時并不適用上頁下頁結(jié)束返回首頁xxx21lim總

11、結(jié)總結(jié)例如,21limxxxxxx21lim而11lim2xx1用洛必達(dá)法則(1) 在滿足定理條件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決 計算問題 . 上頁下頁結(jié)束返回首頁(2) 若,)()()(lim時不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx極限不存在)sin1 (limxxx1上頁下頁結(jié)束返回首頁三、小結(jié)三、小結(jié)通分通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化00 0取倒數(shù)取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)取對數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化洛必達(dá)法則(1) 洛必達(dá)法則不能解決的問題 . (2) 若若,)()()(lim時不存在xFxf上頁下頁結(jié)束返回首頁Z 思考思考1、設(shè)、設(shè))()(l

12、imxgxf是不定型極限，如果是不定型極限，如果)()(xgxf 的極限不的極限不存在，是否存在，是否)()(xgxf的極限也一定不存在？舉例說明的極限也一定不存在？舉例說明. 2 2、設(shè)設(shè)0)(lim)(lim xFxfaxax，且且在在點點a的的某某鄰鄰域域中中（點點a可可除除外外） ，)(xf及及)(xF都都存存在在， 且且0)( xF, , 則則 )()(limxFxfax存存在在是是)()(limxFxfax 存存在在的的（ ）. . （A A）充充分分條條件件； （B B）必必要要條條件件； （C C）充充分分必必要要條條件件； （D D）既既非非充充分分也也非非必必要要條條件件

13、. .B上頁下頁結(jié)束返回首頁求下列極限 :;)11ln(lim) 12xxxx解解:tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt.cossec)1ln()1ln(lim)3220 xxxxxxx;1lim)2211000 xxex )11ln(lim) 12xxxx)1 (2lim0tttt練習(xí)練習(xí)ttt21lim11021)1(xt 令上頁下頁結(jié)束返回首頁令,12xt 則ttet50lim原式 =txet50lim0ttet4950lim解解:tte!50lim(用洛必達(dá)法則)(繼續(xù)用洛必達(dá)法則);1lim)2211000 xxex 上頁下頁結(jié)束返回首頁xxxxxcossec)1ln(lim22201xxxxxcossec)1 (lnlim420 xxxxxcosseclim4200limx1sec42sinlim220 xxxxxxxxxxxxcossec)1ln()1ln(lim)3220解解:原式 =342xxxxtansec)sin(x上頁下頁結(jié)束返回首頁作業(yè)