第四章：復變函數(shù)積分

1、第四章復變函數(shù)的積分第四章復變函數(shù)的積分 同微積分一樣，在復變函數(shù)中，積分法也是研究復變函同微積分一樣，在復變函數(shù)中，積分法也是研究復變函數(shù)性質(zhì)十分重要的方法在解決實際問題中也是有力的工具數(shù)性質(zhì)十分重要的方法在解決實際問題中也是有力的工具另一方面為其它學科提供了廣泛的幾何定性研究方法另一方面為其它學科提供了廣泛的幾何定性研究方法 本章先介紹復變函數(shù)積分的概念，性質(zhì)本章先介紹復變函數(shù)積分的概念，性質(zhì)和計算方法然后介紹關(guān)于解析函數(shù)積分的柯和計算方法然后介紹關(guān)于解析函數(shù)積分的柯西古薩基本定理及其推廣，有了這些基礎(chǔ)，西古薩基本定理及其推廣，有了這些基礎(chǔ)，我們建立柯西積分公式，最后證明解析函數(shù)我們建立柯

2、西積分公式，最后證明解析函數(shù)的導數(shù)仍是解析函數(shù)，從而導出高階導數(shù)公的導數(shù)仍是解析函數(shù)，從而導出高階導數(shù)公式式4.1.復積分的概念復積分的概念.積分的定義：積分的定義：有向曲線：平面上一條光滑曲線（或按段有向曲線：平面上一條光滑曲線（或按段光滑曲線）可理解為代有方向的曲線如光滑曲線）可理解為代有方向的曲線如果從果從A到到B的方向定義為的方向定義為C的正向則從的正向則從B到到A的方向就是的方向就是C的負方向，記為的負方向，記為C 規(guī)定：正方向總是指從起點到終點的方向規(guī)定：正方向總是指從起點到終點的方向弧長曲線積分存在強烈的弧長曲線積分存在強烈的實用背景實用背景：例地理信息的三維地圖：例地理信息的三

3、維地圖問題中，所給出的問題中，所給出的 可以表示二維數(shù)量場（即在可以表示二維數(shù)量場（即在 處的地形高度），則從處的地形高度），則從A到到B的實際路程的實際路程定義：設函數(shù)定義在區(qū)域定義：設函數(shù)定義在區(qū)域D內(nèi)，內(nèi)，C為為D內(nèi)起點為內(nèi)起點為A,終點為終點為B的一條光滑的有的一條光滑的有向曲線，把曲線任意分成向曲線，把曲線任意分成n個弧段，個弧段，設設分點為：分點為：)(zfBzzzzAn.210),( yxzyx,ldlyxzS),(在每個弧段上任取一點作和),.2 , 1(nk nkkkkknkknzfzzfs111)()( )(k當無限增大，趨于零時，如果不論對的分法及的取法如何有唯一的極限則

4、稱此極限值為函數(shù)沿曲線的積分記作nckns)(zfcnkkknczfdzzf10)(lim)(如果為閉曲線，則積分記為ccdzzf)(.積分存在的條件及其計算法積分存在的條件及其計算法設光滑曲線由參數(shù)方程cttiytxtz)()()(給出，正方向為參數(shù)增加的方向參數(shù)對應于起點及終點AB,如果是由等光滑曲線依次連接所組成的按段光滑曲線則Cnccc.2121)(.)()()(ccccndzzfdzzfdzzfdzzf復積分的計算復積分的計算v定理定理： 設 在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)， C是 D 內(nèi)的光滑曲線，則復積分 計算公式：計算公式： 見42面),(),()(yxivyxuzfudydxvivdydxu

5、dzzfccc-)(dttzfdzzfc)(z(t)(,kkkkkkiyxzi設kkkkkkkkkyixyyixxzzz)()(111則01( )dlim()nkkLkf zzfz3.1.2復積分的計算復積分的計算nkkkkkkkknkyixivuzf11),(),()(nikkkkkknikkkkkkyuxviyvxu11),(),(),(),(由定義可知，當由定義可知，當 ，且小弧段長度的最大值，且小弧段長度的最大值 時，不論對時，不論對L的分法的分法如何，點如何，點 的取法如何，只要上式右端的兩個和式極限存在，那么左端的取法如何，只要上式右端的兩個和式極限存在，那么左端的和式極限也存在，

6、由于的和式極限也存在，由于 連續(xù)，則連續(xù)，則 都是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)曲線積都是連續(xù)函數(shù)，根據(jù)曲線積分存在的充分條件，以及曲線積分的定義得到分存在的充分條件，以及曲線積分的定義得到n0(,)kk ( )f z,u v( )d ( , )d( , )d i ( , )d( , )d LLLf z zu x y xx y yx y x u x y yvv例：計算其中為從原點到點例：計算其中為從原點到點的直線段的直線段czdzCi 43解：通過點的直線段方程為21,zz) 10()(121tzztzz所以過原點和的直線段方程為i 43說明說明：1.定理表明，復積分的計算可以通過二元實變函 數(shù)的線積分來計算

7、。 2.關(guān)于曲線C的參數(shù)方程的構(gòu)造： 直線： 圓周：1)t(0)y-t(yiy)x-t(xx)z -(z)(121121121tztz20,0irezz10)43()043(0ttitiz于是102210)43(21)43()43()43(itdtidtitizdzc容易證明，此積分與線路無關(guān)，即無論容易證明，此積分與線路無關(guān)，即無論是怎樣的連接原點到的曲線，是怎樣的連接原點到的曲線，積分值均為積分值均為另解另解：采用實二元一次函數(shù)的積分法（練習）采用實二元一次函數(shù)的積分法（練習）Ci43 2)43(21icnzzdz10)(例：計算其中為以為例：計算其中為以為中心，為半徑的正方向，為整數(shù)中心

8、，為半徑的正方向，為整數(shù)C0zrn解解：的方程為C200irezz所以：2020)1(110)(inncnininedriderirezzdz0)sin()cos()(,02,020100dninrizzdznizzdznncnc時當時當結(jié)論非常重要，必須記?。浩涮攸c是與積分結(jié)論非常重要，必須記住：其特點是與積分路線的圓周中心及半徑無關(guān)路線的圓周中心及半徑無關(guān)rzznnnizzdz00002)(10例：計算例：計算 的值，其中為（）沿的值，其中為（）沿從原點到點的直線段從原點到點的直線段（）沿從原點到（）沿從原點到 的直線段的直線段與從與從 到到 的直線段的直線段dzzcCiz1010)1 (

9、:1ttizC11z10:2ttzC1z0z101:3titzC所接成的折線所接成的折線12)1 ()1 () 1 ( :1010tdtdtitidzzc解ittidtittdtdzzdzzdzzccc12121)1 ()2(102101032說明說明：復變函數(shù)的積分與路徑是有關(guān)的，采復變函數(shù)的積分與路徑是有關(guān)的，采用不同的路程積分所得的積分值不一樣。用不同的路程積分所得的積分值不一樣。. .積分的性質(zhì)積分的性質(zhì) (P41)(P41)ccdzzfkdzzkf)()(. 2cccdzzgdzzfdzzgzf)()()()(. 3計計不不等等式式的的長長度度，也也稱稱為為：積積估估為為上上其其中中

10、在在CLMzfC)(方方向向性性）()()(. 1ccdzzfdzzf（估估模模不不等等式式）ccMLdszfdzzf)()(. 4【證明】【證明】 由于由于 在在 L 上恒有上恒有 ，所以所以又又 ，則，則 成立。成立。( )f z( )f zM( ) dddLLLf zSM SMSMl( )d( ) dLLf zzf zS( )dLf zzMl4.2 復積分基本定理復積分基本定理從上三個例子可見，例中被積函數(shù)從上三個例子可見，例中被積函數(shù)在復平面內(nèi)處處解析復平面是單連通的在復平面內(nèi)處處解析復平面是單連通的所以積分和路線無關(guān)例中當時所以積分和路線無關(guān)例中當時被積函數(shù)為其在以為心的圓周內(nèi)部被積

11、函數(shù)為其在以為心的圓周內(nèi)部不是處處解析的而若不是處處解析的而若把除去，則函數(shù)在的內(nèi)部是處處把除去，則函數(shù)在的內(nèi)部是處處解析的但這個區(qū)域不是單連通的解析的但這個區(qū)域不是單連通的zzf)(0n01zz 0zcizzdz0200zz CC例中被積函數(shù)在復平面內(nèi)處處不解析，其積分值與路線有關(guān)zzf)(首先必須探討一下：首先必須探討一下： 什么情況下復變函數(shù)的積分值與路線無關(guān)？什么情況下復變函數(shù)的積分值與路線無關(guān)？ 1.被積函數(shù)的解析性；被積函數(shù)的解析性； 2.區(qū)域的單連通性等區(qū)域的單連通性等 ：如果函數(shù)在單如果函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)處處解析那么函數(shù)連通區(qū)域內(nèi)處處解析那么函數(shù)沿內(nèi)任何一條封閉曲線的積分為零沿

12、內(nèi)任何一條封閉曲線的積分為零)(zfD)(zfDC 一、柯西積分定理一、柯西積分定理 （P45)（柯西古薩基本定理）（柯西古薩基本定理） cdzzf0)(如果曲線是區(qū)域的邊界，在內(nèi)及如果曲線是區(qū)域的邊界，在內(nèi)及上解析即在閉區(qū)域上解析上解析即在閉區(qū)域上解析CCD)(zfCDD則則cdzzf0)(柯西積分定理的兩個推論柯西積分定理的兩個推論v推論推論4.1 若函數(shù)若函數(shù) 在單連通域在單連通域 D內(nèi)處處解析，內(nèi)處處解析， 則函數(shù)沿則函數(shù)沿D內(nèi)的曲線內(nèi)的曲線C的積分與路徑無的積分與路徑無 關(guān)，只與曲線關(guān)，只與曲線C的起點和終點有關(guān)。的起點和終點有關(guān)。 推論推論4.2 若曲線若曲線C是單連通域是單連通域

13、D的邊界，函數(shù)的邊界，函數(shù) 在在D內(nèi)解析，在內(nèi)解析，在 上連續(xù)，則上連續(xù)，則 )(zf)(zfCDDcdzzf0)(思考：思考：柯西積分定理討論的其實是單連通域的情形，對于多連通域又會是怎樣的情形呢？定理：(閉路變形原理) 設 在多連通域D內(nèi)解析， 是D內(nèi)的兩條簡單閉曲線， 在 的內(nèi)部，以 為邊界的區(qū)域 全含在 D 內(nèi)，則 21)()(ccdzzfdzzf21CC，21CC，)(zf2C1C1D復積分計算題中注意復積分計算題中注意：由柯西古薩基本定理知設在多連由柯西古薩基本定理知設在多連通域內(nèi)解析，為內(nèi)一條簡單曲線，通域內(nèi)解析，為內(nèi)一條簡單曲線，如果的內(nèi)部完全含于，則在上如果的內(nèi)部完全含于，則

14、在上及其內(nèi)部解析，故有及其內(nèi)部解析，故有)(zfDDCCD)(zfCcdzzf0)(但當?shù)膬?nèi)部不完全含于時，就不一定但當?shù)膬?nèi)部不完全含于時，就不一定有上面的等式。有上面的等式。 思考以下情況：思考以下情況：CD假設及為內(nèi)包含假設及為內(nèi)包含“空洞空洞”的任意兩條的任意兩條簡簡單閉曲線（正向都為逆時針）在的內(nèi)部單閉曲線（正向都為逆時針）在的內(nèi)部而且以和為邊界的區(qū)域全含于作兩而且以和為邊界的區(qū)域全含于作兩條不相交的弧段和它們依次連條不相交的弧段和它們依次連接上某點到上某點接上某點到上某點C1CD1CCC1CD1DCA1CAB 從而它們的內(nèi)部全含于內(nèi)的簡單閉曲線形成兩條全在及這樣就使得兩段弧除端點外全

15、含于且此上某點到異于上某點以及DDBFABFAAAAEBAEBDBCABC,),()()(110)(0)(dzzfdzzf兩式相加有：即0)()(dzzfdzzf0)()()()()()()()(BBBFAAABFAAABBAEBAEBdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzf即)1.(0)()(1ccdzzfdzzf或)2.()()(1ccdzzfdzzf（1 1）式說明）式說明：如果把兩條簡單閉曲線及看成是條如果把兩條簡單閉曲線及看成是條復合閉路，而且規(guī)定的正方向為：外面閉曲線按復合閉路，而且規(guī)定的正方向為：外面閉曲線按逆時針進行，內(nèi)部閉曲線按順時針進行，則逆時針進行

16、，內(nèi)部閉曲線按順時針進行，則C1CC1C 0)(dzzf（2 2）式說明）式說明：一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分不同閉曲線一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分不同閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值（2）閉復通區(qū)域情形）閉復通區(qū)域情形所謂復通區(qū)域，即函數(shù)在其中某些所謂復通區(qū)域，即函數(shù)在其中某些點處并不解析，這些點稱為奇點，為點處并不解析，這些點稱為奇點，為了將這些點排除在外，常做一些適當了將這些點排除在外，常做一些適當?shù)拈]合曲線將這些奇點挖去，形成帶的閉合曲線將這些奇點挖去，形成帶“孔孔”的區(qū)域，即復通區(qū)域。的區(qū)域，即復通區(qū)域。定理：（復合閉路定理）定理：（復合閉路定理）)()()(. 11逆時針均取正向及其中kcnkcccdzzfdzzfk 則則為為邊邊界界的的區(qū)區(qū)域域完完曲曲線線包包含含也也互互不不相相交交簡簡單單閉閉互互不不內(nèi)內(nèi)部部的的是是在在一一條條簡簡單單閉閉曲曲內(nèi)內(nèi)的的為為內(nèi)內(nèi)解解析析）在在多多連連通通設設,.,.,(2121DcccccccDCDzfnn 0)(.2dzzf),(),.2 , 1(按順時針進行按逆時針進行為方向所組成的重合閉路及為由kkccnkcc例如：為單位的正向為心以其中rzcidzz