43解直角三角形及其應(yīng)用

1、解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用本課內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容4.3 如圖如圖4-23，在直角三角形，在直角三角形ABC中，中，C=90，A，B，C的對(duì)邊分別記作的對(duì)邊分別記作a，b，c .說(shuō)一說(shuō)說(shuō)一說(shuō)圖圖4-231. 直角三角形的三邊之間有什么關(guān)系？直角三角形的三邊之間有什么關(guān)系？a2+b2=c2( (勾股定理勾股定理) )圖圖4-232. 直角三角形的銳角之間有什么關(guān)系？直角三角形的銳角之間有什么關(guān)系？ A+B=90.圖圖4-233. 直角三角形的邊和銳角之間有什么關(guān)系？直角三角形的邊和銳角之間有什么關(guān)系？ 圖圖4-23 的對(duì)邊的對(duì)邊sin= . 斜邊斜邊 的鄰邊的鄰邊cos= . 斜邊斜邊 的

2、對(duì)邊的對(duì)邊tan= . 鄰邊鄰邊 根據(jù)下列每一組條件，能畫(huà)出多少個(gè)直角三角形根據(jù)下列每一組條件，能畫(huà)出多少個(gè)直角三角形( (全等的直角三角形算一個(gè)全等的直角三角形算一個(gè)) )？做一做做一做（1）一個(gè)銳角為一個(gè)銳角為 40；（2）一個(gè)銳角）一個(gè)銳角40，它的鄰邊長(zhǎng)為，它的鄰邊長(zhǎng)為3cm；無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)數(shù)個(gè)（3）一個(gè)銳角）一個(gè)銳角40，它的對(duì)邊長(zhǎng)為，它的對(duì)邊長(zhǎng)為3cm；（4）一個(gè)銳角）一個(gè)銳角40，斜邊長(zhǎng)為，斜邊長(zhǎng)為3cm；（5）斜邊長(zhǎng)為）斜邊長(zhǎng)為4cm，一條直角邊長(zhǎng)為，一條直角邊長(zhǎng)為3cm.1個(gè)個(gè)1個(gè)個(gè)1個(gè)個(gè)1個(gè)個(gè)做一做做一做 從這些問(wèn)題的結(jié)論，你猜想有什么規(guī)律？從這些問(wèn)題的結(jié)論，你猜想有什么規(guī)律？這

3、個(gè)猜想正確嗎？這個(gè)猜想正確嗎？（1）一個(gè)銳角為一個(gè)銳角為 40；（2）一個(gè)銳角）一個(gè)銳角40，它的鄰邊長(zhǎng)為，它的鄰邊長(zhǎng)為3cm；無(wú)數(shù)個(gè)無(wú)數(shù)個(gè)（3）一個(gè)銳角）一個(gè)銳角40，它的對(duì)邊長(zhǎng)為，它的對(duì)邊長(zhǎng)為3cm；（4）一個(gè)銳角）一個(gè)銳角40，斜邊長(zhǎng)為，斜邊長(zhǎng)為3cm；（5）斜邊長(zhǎng)為）斜邊長(zhǎng)為4cm，一條直角邊長(zhǎng)為，一條直角邊長(zhǎng)為3cm.1個(gè)個(gè)1個(gè)個(gè)1個(gè)個(gè)1個(gè)個(gè)結(jié)論結(jié)論 在直角三角形中，除直角外的在直角三角形中，除直角外的5個(gè)元素個(gè)元素( (3條邊和條邊和2個(gè)個(gè)銳角銳角) )，只要知道其中的，只要知道其中的2個(gè)元素個(gè)元素( (至少有一個(gè)是邊至少有一個(gè)是邊) )，利，利用上述關(guān)系式，就可以求出其余的用上述

4、關(guān)系式，就可以求出其余的3個(gè)未知元素，這叫個(gè)未知元素，這叫作作解直角三角形解直角三角形. 動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 如果知道的如果知道的2個(gè)元素都是角，那么能求出直角三個(gè)元素都是角，那么能求出直角三角形的邊嗎？角形的邊嗎？ 不能不能.因?yàn)榇藭r(shí)的直角三角形因?yàn)榇藭r(shí)的直角三角形有無(wú)數(shù)多個(gè)有無(wú)數(shù)多個(gè).舉舉例例例例1 如圖如圖4-24，在，在RtABC中，中，a=5，求，求B，b，c.9030 , , ,CA 圖圖4-24解解:90 9030 60 . .BA 又又 tan= b B a, , 3= tan = 5 tan60 = 5 ba B . . sin= a A c, , 10sinsin55= = =

5、= 1302 A ac . .舉舉例例例例2 在在RtABC中，中，C = 90，a =15.60cm， b=8.50cm，求，求c，A，B( (長(zhǎng)度精確到長(zhǎng)度精確到0.01cm) )， 角度精確到角度精確到1).). 解解:2222+15.60 +8.50 17.77 cmcab ().().由于由于 1.835315.60tan= = 8.50a A b , ,因此因此61 25 A . . 從而從而9061 25 28 35B . .練習(xí)練習(xí)答：答：cmcm453 4.24A = a = c = , , , ,. .1. 在在RtABC中，中， b=3cm， 求求A，a，c ( (精確到

6、精確到0.01cm).).9045 , , ,CB 答：答：cm7.63 37 1952 41 b = A = B = , , , ,. .2. 在在RtABC中，中， a=5.82cm，c=9.60cm， 求求b，A ，B ( (角度角度精確到精確到1，長(zhǎng)度精確到長(zhǎng)度精確到 0.01cm).).90C, , 答：答：cmcm60 7.84 2.8 B = a = b = , , , . .3. 在在RtABC中，中， c = 15.68cm， 求求B ， a，b ( (長(zhǎng)度精確到長(zhǎng)度精確到 0.01cm).).9030,CA 舉舉例例例例3 如圖如圖4-25，一艘游船在離開(kāi)碼頭，一艘游船在離

7、開(kāi)碼頭A后，以和河岸后，以和河岸成成 30角的方向行駛了角的方向行駛了500m到達(dá)到達(dá)B處，求處，求B處與河岸處與河岸的距離的距離. . 圖圖4-25?解解:從點(diǎn)從點(diǎn)B作河岸線作河岸線( (看成直線段看成直線段) )的垂線，垂足為的垂線，垂足為C，從而從而=500 sin 30 250 m BC ( ).( ).答：答：B處與河岸的距離約為處與河岸的距離約為250m圖圖4-25?在在RtABC中，中，C=90，A=30，AB=500m. sin 30 = = 500BCBC AB , ,由于由于BC是是A的對(duì)邊，的對(duì)邊，AB是斜邊，因此是斜邊，因此舉舉例例例例4 如圖如圖4-26，在高為，在高

8、為28.5m的樓頂平臺(tái)的樓頂平臺(tái)D處，用儀處，用儀器測(cè)得一路燈電線桿底部器測(cè)得一路燈電線桿底部B的俯角為的俯角為 ，儀器高度，儀器高度AD為為1.5m.求這根電線桿與這座樓的距離求這根電線桿與這座樓的距離BC( (精確到精確到1m).). 15 圖圖4-26解解: 在在RtABC中，中，C = 90，圖圖4-26由于由于BC是是BAC的對(duì)邊，的對(duì)邊，AC是鄰邊，是鄰邊，因此因此 tan75 = = 30BCBC AC . .答：這根電線桿與這座樓的距離約為答：這根電線桿與這座樓的距離約為112m.從而從而 30 =tan75 112 mBC ().().AC=28.5+1.5=30( (m)

9、)，901575BAC=- -練習(xí)練習(xí)答：答：tanm2400 60 4157 AC = = (). (). 如圖如圖4-27，一艘輪船航行到，一艘輪船航行到B處時(shí)，燈塔處時(shí)，燈塔A在船在船的北偏東的北偏東 的方向，輪船從的方向，輪船從B處向正東方向行駛處向正東方向行駛2400m到達(dá)到達(dá)C處，此時(shí)燈塔處，此時(shí)燈塔A在船的正北方向在船的正北方向.求求C處處與燈塔與燈塔A的距離的距離( (精確到精確到1m) ). 60 圖圖4-27舉舉例例例例5 如圖如圖4-28，一座樓房的頂層陽(yáng)臺(tái)上方的屋檐成，一座樓房的頂層陽(yáng)臺(tái)上方的屋檐成等腰梯形，上底長(zhǎng)等腰梯形，上底長(zhǎng)2.0m，下底長(zhǎng)，下底長(zhǎng)3.6m，一腰長(zhǎng)

10、，一腰長(zhǎng)1.9m.求等腰梯形的高求等腰梯形的高( (精確到精確到0.1m) )，以及一腰與下底所成，以及一腰與下底所成的底角的底角( (精確到精確到1).).圖圖4-28解解:在等腰梯形在等腰梯形ABCD中，中，從頂點(diǎn)從頂點(diǎn)D作下底作下底AB的垂線，垂足為的垂線，垂足為E.圖圖4-28由于上底由于上底DC=2m，下底，下底AB=3.6m，在直角三角形在直角三角形ADE中，中，AED=90，AD=1.9m，AE=0.8m，因此因此 13.6 2 0.8 m2AE = = - -()().()().從而從而22221.90.8 1.7mDE = ADAE = . .由于由于AE是是A的鄰邊，的鄰邊

11、，AD是斜邊，因此是斜邊，因此0.8cos 0.42111.9AE A = = AD . .從而從而 65 6 A . . 答：等腰梯形的高約等于答：等腰梯形的高約等于1.7m， 一腰與下底所成的底角約等于一腰與下底所成的底角約等于65 6 . . E 圖圖4-29的的( (1) )和和( (2) )中，哪個(gè)山坡比較陡？中，哪個(gè)山坡比較陡？觀察觀察( (2) )中的山坡比較陡中的山坡比較陡.圖圖4-27（1）（2）動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 如何用數(shù)量來(lái)反映哪個(gè)山坡陡呢？如何用數(shù)量來(lái)反映哪個(gè)山坡陡呢？圖圖4-27（1）（2） 如圖如圖4-30，從山坡腳下點(diǎn)，從山坡腳下點(diǎn)P上坡走到點(diǎn)上坡走到點(diǎn)N 時(shí)，升時(shí)，升

12、高的高度高的高度h( (即線段即線段MN的長(zhǎng)的長(zhǎng)) )與水平前進(jìn)的距離與水平前進(jìn)的距離l( (即即線段線段PM的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度) )的比叫作坡度，用字母的比叫作坡度，用字母i表示，即表示，即hi l 圖圖4-30 坡度通常寫(xiě)成坡度通常寫(xiě)成 1 : m 的形式的形式 圖圖4-30中的中的MPN叫作坡角叫作坡角( (即山坡與地平面的夾角即山坡與地平面的夾角). ). 圖圖4-30 顯然，坡度等于坡角的正切顯然，坡度等于坡角的正切. . 坡度越大，山坡越陡坡度越大，山坡越陡. .舉舉例例例例6 如圖如圖4-30， 一山坡的坡度一山坡的坡度 i = 1:1.8，小剛，小剛從山坡腳下點(diǎn)從山坡腳下點(diǎn)P上坡走了

13、上坡走了24m到達(dá)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)N，他上升了，他上升了多少米多少米( (精確到精確到0.1m) )？這座山坡的坡角是多少度？這座山坡的坡角是多少度( (精確到精確到1) )？ 圖圖4-30解解:用用 表示坡角的大小，由于表示坡角的大小，由于因此因此 在直角三角形在直角三角形PMN中，中， PN=240m.由于由于NM是是P的對(duì)邊，的對(duì)邊，PN是斜邊，是斜邊，因此因此 從而從而答：小剛上升了約答：小剛上升了約116.5m，這座山坡的坡角，這座山坡的坡角約等于約等于sin 240NMNM = = PN. .29 3 . .1tan 0.55561.8 = . . 29 3 . . 90 M , ,240

14、 sin 29 3 116.5 mNM ().(). 29 3 P , ,圖圖4-30練習(xí)練習(xí)答：路基底寬為答：路基底寬為30.0m， 坡角坡角32 = . . 如圖如圖4-31，一鐵路路基的橫斷面為等腰梯形，一鐵路路基的橫斷面為等腰梯形，路基的頂寬路基的頂寬( (即等腰梯形的上底長(zhǎng)即等腰梯形的上底長(zhǎng)) )為為10.2m，路基的，路基的坡度坡度i=1:1.6，等腰梯形的高為，等腰梯形的高為6.2m.求路基的底寬求路基的底寬( (精精確到確到0.1m) )和坡角和坡角( (精確到精確到1).).圖圖4-31小結(jié)與復(fù)習(xí)小結(jié)與復(fù)習(xí) 本章我們主要學(xué)習(xí)了銳角的本章我們主要學(xué)習(xí)了銳角的正弦正弦、余弦余弦、

15、正切正切的概念，以及它們?cè)谇蠼庵苯侨切魏蛯?shí)際生活中的概念，以及它們?cè)谇蠼庵苯侨切魏蛯?shí)際生活中的廣泛應(yīng)用的廣泛應(yīng)用 一、一、銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù) 1. 概念概念在直角三角形中，一個(gè)銳角為在直角三角形中，一個(gè)銳角為，則，則角角 的對(duì)邊的對(duì)邊斜邊斜邊 sin= . 角角 的鄰邊的鄰邊斜邊斜邊 cos= . 角角 的對(duì)邊的對(duì)邊鄰邊鄰邊 tan= . 分別叫作角分別叫作角的正弦、余弦、正切的正弦、余弦、正切.銳角的正弦、余弦、正切統(tǒng)稱(chēng)為銳角的正弦、余弦、正切統(tǒng)稱(chēng)為銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)sincostan , , , , 2. 30，45，60角的正弦、余弦、正切值角的正弦、余弦、正切值. ta

16、n cos sin 30 45 60 1222323222123313 3. 同一個(gè)銳角的正弦、余弦和正切的關(guān)系同一個(gè)銳角的正弦、余弦和正切的關(guān)系. 221sin+ cos = 1 .sin2tan = .cos ( ) ( ) ( ) ( ) ( (3) ) 已知已知 tan的值，的值，是銳角，求是銳角，求sin，cos 的值的方法可以參看的值的方法可以參看4.2節(jié)的例節(jié)的例3.此方法可推廣此方法可推廣 到：已知到：已知sin( (或或cos) )的值，的值，是銳角，求是銳角，求 cos( (或或sin) )，tan的值的值. 4. 互為余角的正弦、余弦的關(guān)系互為余角的正弦、余弦的關(guān)系 si

17、n 90= cos cos 90= sin - - -(),(),().(). 設(shè)設(shè)是銳角，則是銳角，則 5. 用計(jì)算器求銳角的正弦、余弦、正切值用計(jì)算器求銳角的正弦、余弦、正切值 6. 已知正弦或余弦，或正切值，用計(jì)算器求相應(yīng)已知正弦或余弦，或正切值，用計(jì)算器求相應(yīng) 的銳角的銳角. 二、二、解直角三角形及其應(yīng)用解直角三角形及其應(yīng)用 1. 在直角三角形中，除直角外的在直角三角形中，除直角外的5個(gè)元素，只要知道個(gè)元素，只要知道 其中的其中的2個(gè)元素個(gè)元素( (至少有一個(gè)是邊至少有一個(gè)是邊) )，就可以求出其，就可以求出其余的余的3個(gè)未知元素，這叫作解直角三角形個(gè)未知元素，這叫作解直角三角形. 解

18、直角三角形依據(jù)下列關(guān)系式：如圖解直角三角形依據(jù)下列關(guān)系式：如圖4-35，a2 + b2 = c2 ( (勾股定理勾股定理) )， + = 90A B , , 角角 的對(duì)邊的對(duì)邊斜邊斜邊 sin= , ,角角 的鄰邊的鄰邊斜邊斜邊 cos= , ,角角 的對(duì)邊的對(duì)邊鄰邊鄰邊 tan= . 其中其中A可以換成可以換成B.圖圖4-352. 在將解直角三角形應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中時(shí)，首先要弄在將解直角三角形應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中時(shí)，首先要弄清楚實(shí)際問(wèn)題的情況，找出其中的直角三角形和已清楚實(shí)際問(wèn)題的情況，找出其中的直角三角形和已知元素；知元素； 其次要從已知元素和所求的未知元素，正確選用正其次要從已知元素和所求的未知元素，正確選用正弦，或余弦，或正切；弦，或余弦，或正切； 第三要會(huì)用計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算第三要會(huì)用計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)計(jì)算 中考中考 試題試題例例1 A 已知在已知在 RtABC 中中 ，C = 90，sinA = ，則則tanB的值為的值為（ ）A. . B. C. D.3543455434解解RtABC中，中，C=90，sinA= , , 可設(shè)可設(shè)a=3k，c=5k，b=4k， t