現(xiàn)代控制教材學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1現(xiàn)代現(xiàn)代(xindi)控制教材控制教材第一頁，共65頁。則有DVxDKCy)(BVxBKAKxVBAxx)()(（3）5.2.2 輸出(shch)反饋采用HyVu（4）H 為 常數(shù)矩陣mr第2頁/共65頁第二頁，共65頁。VDDHIBHBxCDHIBHAHyVBAxx)()()(11DVDHICxDHIy11)()(（5）兩者比較：狀態(tài)反饋(fnku)效果較好； 輸出反饋(fnku)實(shí)現(xiàn)較方便。5.3 狀態(tài)(zhungti)反饋的能控性和能觀測性線性定常系統(tǒng)方程為CxyBuAxx （6）引入狀態(tài)反饋KxVu（7）CxyBVBK)xAx(則有（8）第3頁/共65頁第三頁，共65頁。定理5

2、-1 線性定常系統(tǒng)（6）引入狀態(tài)(zhungti)反饋后，成為系統(tǒng)（8），不改變系統(tǒng)的能控性。對(duì)任意的K 矩陣，均有證明 IKIBAIBBKAI0)(BAIBBKAIrank)(rankIKI0因?yàn)?滿秩，所以對(duì)任意常值矩陣K 和 ，均有（9）（9）式說明，引入狀態(tài)(zhungti)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。但是，狀態(tài)(zhungti)反饋可以改變系統(tǒng)的能觀測性，見例5-1。第4頁/共65頁第四頁，共65頁。5.4 極點(diǎn)(jdin)配置定理 線性定常系統(tǒng)可以通過狀態(tài)反饋進(jìn)行(jnxng)極點(diǎn)配置的充分必要條件是：系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。狀態(tài)反饋KxVu（11）線性定常系統(tǒng)CxBAxxyu（10）Cxb

3、bK)xAxyV(狀態(tài)反饋系統(tǒng)方程（12）第5頁/共65頁第五頁，共65頁。因?yàn)锳 和 b 一定，確定K 的就可以配置系統(tǒng)(xtng)的極點(diǎn)。經(jīng)過線性變換 ，可以使系統(tǒng)具有能控標(biāo)準(zhǔn)形。xPx1（13）uaaan100100001000010110 xxx110ny系統(tǒng)傳遞函數(shù)：)()()(011101221111ssasasasssssssgnn-nnn-nn- bAICbAIC（14）第6頁/共65頁第六頁，共65頁。（15）引入狀態(tài)(zhungti)反饋xKxKPKxVVVu1令1101nkkkKPK（16）其中(qzhng) 為待定常數(shù)110,nkkk)()()(100101001001

4、0111100110110nnnnkakakakkkaaaKbA第7頁/共65頁第七頁，共65頁。狀態(tài)(zhungti)反饋系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為)()()()(det)(0011111kaskaskasssnnnnKKbAI（17）設(shè)狀態(tài)反饋系統(tǒng)希望的極點(diǎn)為nsss,21其特征多項(xiàng)式為*0*11*11*)()(asasassssnnnniiK（18）比較（17）式和（18）式，選擇 使同次冪系數(shù)相同。有ik1*11*10*0nnaaaaaaK（19）而狀態(tài)反饋矩陣110nkkkPKK第8頁/共65頁第八頁，共65頁。例5-3 某位置控制系統(tǒng)（伺服系統(tǒng)）簡化線路(xinl)如下DiiiKu 為了實(shí)現(xiàn)

5、全狀態(tài)反饋，電動(dòng)機(jī)軸上安裝了測速發(fā)電機(jī)TG，通過霍爾電流傳感器測得電樞電流 ，即 。已知折算到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù) 、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ；電動(dòng)機(jī)電樞回路電阻 ；電樞回路電感 ；電動(dòng)勢系數(shù)為 、電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)為 。選擇 、 、 作為狀態(tài)變量。將系統(tǒng)極點(diǎn)配置到 和 ，求K 陣。TGTGKuDim/(rad/s)N1f2mkg1DJ1DRH1 . 0DLV/(rad/s)1 . 0eKm/AN1mKoDi31j10第9頁/共65頁第九頁，共65頁。第10頁/共65頁第十頁，共65頁。解 1. 建立系統(tǒng)狀態(tài)空間(kngjin)模型)(oiKuoAAuKuAPDuKu DDDDeDddiRtiLKuFDmD

6、ddTiKftJtdoDo321ixxxx 為恒定的負(fù)載轉(zhuǎn)矩FT2o1ddxtxDFDDmD2ddJTiJKJftxDeDDDDDD31ddLKuLiLRtix 將主反饋斷開，系統(tǒng)不可變部分，代入?yún)?shù)后，系統(tǒng)方程為FD32132101010001010110010Tuxxxxxx321001xxxy第11頁/共65頁第十一頁，共65頁。2. 計(jì)算狀態(tài)(zhungti)反饋矩陣9901001011010010002bAAbbQC3rankCQ所以系統(tǒng)能控計(jì)算出狀態(tài)反饋矩陣 1 . 02 . 14210KKKK狀態(tài)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)圖如圖（c）所示（沒有畫出 ）。FT經(jīng)過(jnggu)結(jié)構(gòu)變換成（d）

7、圖所示的狀態(tài)圖10K因?yàn)槲恢弥鞣答仯渌麉?shù)的選擇應(yīng)該滿足：440PAKKKKP12 . 1KK P21 . 0KK 驗(yàn)證(ynzhng)：求圖（d）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其極點(diǎn)確實(shí)為希望配置的極點(diǎn)位置。第12頁/共65頁第十二頁，共65頁。5.5 鎮(zhèn)定(zhndng)問題鎮(zhèn)定問題 非漸近穩(wěn)定系統(tǒng)通過引入狀態(tài)反饋(fnku)，實(shí)現(xiàn)漸近穩(wěn)定（23）定理5-2 SISO線性定常系統(tǒng)方程為CxbAxxyu顯然，能控系統(tǒng)可以通過(tnggu)狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定。如果系統(tǒng)不能控，引入狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的充要條件為：不能控的狀態(tài)分量是漸近穩(wěn)定的。（證明請參見教材163頁）那么，如果系統(tǒng)不能控，還能不能鎮(zhèn)定呢？請見定理

8、5-2。第13頁/共65頁第十三頁，共65頁。當(dāng)系統(tǒng)滿足可鎮(zhèn)定的條件(tiojin)時(shí)，狀態(tài)反饋陣的計(jì)算步驟為1） 將系統(tǒng)按能控性進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，確定變換矩陣1PCA2）確定 ，化 為約當(dāng)形式2PCA3） 利用狀態(tài)反饋配置 的特征值，計(jì)算1A1K4） 所求鎮(zhèn)定系統(tǒng)的反饋陣1210PPKK 例5-5 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為u011500020001xx 試用狀態(tài)反饋來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。解 矩陣A 為對(duì)角陣，顯然(xinrn)系統(tǒng)不能控。不能控的子系統(tǒng)特征值為-5，因此，系統(tǒng)可以鎮(zhèn)定。第14頁/共65頁第十四頁，共65頁。能控子系統(tǒng)方程(fngchng)為uuCCCCC112001xbxAx引入狀態(tài)(zhungt

9、i)反饋CVuxK其中(qzhng)21kkK為了保證系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，設(shè)希望極點(diǎn)為222, 1js84)(2*sssK2121221122)3(11200100det)(det)(kkskkskkssssCKKbAI同次冪系數(shù)相等，得131k202k第15頁/共65頁第十五頁，共65頁。5.6 狀態(tài)(zhungti)重構(gòu)和狀態(tài)(zhungti)觀測器問題的提出：狀態(tài)反饋可以改善系統(tǒng)性能，但有時(shí)不便于(biny)檢測。如何解決這個(gè)問題？答案是：重構(gòu)一個(gè)系統(tǒng)，用這個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)來實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。（24）系統(tǒng)方程為)0()(0 xxCxyBuAxxt（25）重構(gòu)一個(gè)系統(tǒng)，該系統(tǒng)的各參數(shù)與原系統(tǒng)相同xC

10、yBuxAx（24）式減去（25）式) () (xxCyyxxAxx（26）第16頁/共65頁第十六頁，共65頁。當(dāng)兩個(gè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)完全一致，參數(shù)也完全一致，則 。但是實(shí)際系統(tǒng)總會(huì)有一些差別，因此實(shí)際上 。xxxx（27）當(dāng) 時(shí)， 也不為零，可以引入信號(hào) 來校正系統(tǒng)（25），它就成為了狀態(tài)觀測器。 xxy-y) (y-yGyBuxGCAxxGCBuxAyyGBuxAx)() () (其中， 為 矩陣Gnn（24）式減去（27）式) )()(x-xGCAGyBuxGCABuAxx-x（28）由（28）式可知，如果適當(dāng)選擇G 矩陣，使(A-GC) 的所有特征值具有負(fù)實(shí)部，則式（27）系統(tǒng)就是式（

11、24）系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器， 就是重構(gòu)的狀態(tài)。0) (limxxtx 第17頁/共65頁第十七頁，共65頁。第18頁/共65頁第十八頁，共65頁。定理5-3 系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器存在的充分必要條件是：系統(tǒng)能觀測，或者(huzh)系統(tǒng)雖然不能觀測，但是其不能觀測的子系統(tǒng)的特征值具有負(fù)實(shí)部。（證明請參見(cnjin)教材167頁）定理5-4 線性定常系統(tǒng) 的觀測器 CxyBuAxxGyBuxGCAx)(（30）可任意配置極點(diǎn)的充分必要條件是系統(tǒng)能觀測并且能控。第19頁/共65頁第十九頁，共65頁。例5-6 系統(tǒng)(xtng)方程為u101200120001xx x011y要求(yoqi)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器

12、，其特征值為3、4、5。解首先判斷系統(tǒng)的能觀測性441121011CQ3rankCQ系統(tǒng)能觀測，可設(shè)計(jì)觀測器。設(shè)：210gggG其中 ， 待定ig)2, 1, 0( i希望(xwng)特征值對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式604712)5)(4)(3()(23*sssssssG)424()834()5(det2102102103gggsgggsggssGGCAI而狀態(tài)觀測器的特征多項(xiàng)式第20頁/共65頁第二十頁，共65頁。同次冪系數(shù)(xsh)分別相等，可以得出210103120210gggG幾點(diǎn)說明(shumng)：1） 希望的特征值一定要具有負(fù)實(shí)部，且要比原系統(tǒng)的特征值更負(fù)。這樣重構(gòu)的狀態(tài)才可以盡快(jnk

13、ui)地趨近原系統(tǒng)狀態(tài)。2）狀態(tài)觀測器的特征值與原系統(tǒng)的特征值相比，又不能太負(fù)，否則，抗干擾能力降低。3）選擇觀測器特征值時(shí)，應(yīng)該考慮到不至于因?yàn)閰?shù)變化而會(huì)有較大的變化，從而可能使系統(tǒng)不穩(wěn)定。第21頁/共65頁第二十一頁，共65頁。5.7 降階觀測器1. 降階觀測器的維數(shù)定理 5-5 若系統(tǒng)(xtng)能觀測，且rankC = m，則系統(tǒng)(xtng)的狀態(tài)觀測器的最小維數(shù)是(n-m)。（證明(zhngmng)略）21CCCmCrank因?yàn)橛衜 維可以通過觀測(gunc) y 得到，因此有(n-m)維需要觀測(gunc)。CxyBuAxx對(duì)系統(tǒng)方程采用變換矩陣210CCIP進(jìn)行線性變換，Pxx

14、 1 PAPAPBB 1 CPC第22頁/共65頁第二十二頁，共65頁。（31）得到如下(rxi)形式的系統(tǒng)方程221212122211211210 xxxIyuBBxxAAAAxx可見 可以通過 觀測到，需要對(duì) 維的 進(jìn)行估計(jì)。2xy)(mn1x因此，降階觀測器的維數(shù)為(n-m)2. 降階觀測器存在(cnzi)的條件及其構(gòu)成將（31）式改寫成uByAxAuBxAxAx11211112121111（32）（33）uByAxAyx2221212（34）令121222xAuByAyy 第23頁/共65頁第二十三頁，共65頁。于是(ysh)有(n-m) 階的子系統(tǒng)：121xAy u)ByAxAx11

15、21111(（35）以下(yxi)構(gòu)造這個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器（36）yGyAGAuBGBxAGAyGuByAxAGAx12211221112111111121211111)()()()()(因?yàn)樽酉到y(tǒng)能觀測，所以，通過選擇 的參數(shù)，可以配置的特征值。1G)(21111AAG第24頁/共65頁第二十四頁，共65頁。為了在觀測器中不出現(xiàn)微分(wi fn)項(xiàng)，引入以下變換，（37）yGxz11yGxz11yGzx11yGzx11即（37）式代入（36），得yAGAGAGAuBGBzAGAz)()()(2211212111121121111由于21xxx故00limlim111 xxyyGzxtt（3

16、8）因此， 是 的估計(jì)。 yyGz1x（39）yzyGQQxQxPx1211狀態(tài)圖中)(221121211111AGAGAGAG第25頁/共65頁第二十五頁，共65頁。第26頁/共65頁第二十六頁，共65頁。5.8 帶有狀態(tài)(zhungti)觀測器的狀態(tài)(zhungti)反饋系統(tǒng)SISO線性定常系統(tǒng)(xtng)CxBAxxyu（40）全階狀態(tài)觀測器yuGbxGCAx)(（41）狀態(tài)反饋xKVu（42）還有VbxbKAxxVbxbKGCAGCxx)(Cxy第27頁/共65頁第二十七頁，共65頁。寫成矩陣(j zhn)形式VbbxxbKGCAGCbKAxx（43）xxC0y作線性變換IIIP0II

17、IP01xxxxxxxIIIxxP0（44）其中 為誤差估計(jì)xxx第28頁/共65頁第二十八頁，共65頁。對(duì)（43）式進(jìn)行線性變換，得到如下(rxi)方程VV00000bxxGCAbKbKAbbIIIxxIIIbKGCAGCbKAIIIxxxxCxxIIIC000y（45）)det()det(0detGCAsIbKAsGCAsIbKbKAsII（46）xx bKAGCAGCAbKA由上式可見， 的特征值與 的特征值可以分別配置，互不影響。 這種 的特征值和 特征值可以分別配置，互不影響的方法，稱為分離定理。需要注意： 的特征值應(yīng)該比 的特征值更負(fù)，一般為四倍左右，才能夠保證 盡快跟上 ，正常地

18、實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。bKAGCA第29頁/共65頁第二十九頁，共65頁。這時(shí)傳遞函數(shù)為bbKAsCbGCAsIbKbKAsC11000)(IIsgK第30頁/共65頁第三十頁，共65頁。5.9 漸近跟蹤與干擾(gnro)抑制問題5.9.1 漸近跟蹤(gnzng)問題右圖所示反饋(fnku)控制系統(tǒng))()()(sdsnsggg)()()(sdsnsgCCC一般很難做到在所有時(shí)間上都有 ， 但 ， 就有可能做到，即：)()(trtyt)()(trty0)()(lim)(limtytrtett穩(wěn)態(tài)時(shí)，實(shí)現(xiàn)了 跟蹤 ，稱為漸近跟蹤。)(ty)(tr第31頁/共65頁第三十一頁，共65頁。在經(jīng)典控制(kngz

19、h)理論中，已經(jīng)討論過典型輸入信號(hào)時(shí)的情況。)(ty)(tr 但是，對(duì)于 不是典型輸入信號(hào)，則 跟蹤 的條件是什么？)(tr輸入和誤差(wch)信號(hào)的拉氏變換式分別為)()()(sdsnsRrr)()()()()()()()()(sdsnsnsnsdsdsdsdsErrCgCgCg顯然，輸入信號(hào)的分母 中那些實(shí)部為負(fù)的根，當(dāng) 時(shí)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差無影響；只有那些位于 右半閉平面（包括虛軸的右半平面）的根，對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差有影響。0)(sdrts第32頁/共65頁第三十二頁，共65頁。當(dāng) 的全部極點(diǎn)位于 左半開平面時(shí)，要使s)(ssE0)()()()()()()()(lim)(lim)(lim00sdsnsn

20、snsdsdsdsdsssEteerrCgCgCgsstss必須(bx)有1） 的所有根實(shí)部均為負(fù)。0)()()()(snsnsdsdCgCg)(sdr2） 在 右半閉平面的零點(diǎn)也是 的零點(diǎn)。s)()(sdsdCg上面兩個(gè)條件成立時(shí)，就實(shí)現(xiàn)了漸近跟蹤，即 有 。其中，第2個(gè)條件就是著名的內(nèi)模原理。t)()(trty第33頁/共65頁第三十三頁，共65頁。5.9.2 內(nèi)模原理(yunl)()(ssdrg假定 的某些根具有零實(shí)部或正實(shí)部，令 是 中不穩(wěn)定的極點(diǎn)構(gòu)成的多項(xiàng)式。 和 互質(zhì)。則)(sdr)(sr)(sR)(sng)()()()()()()()()()()()()(sdssnsnsdssd

21、snsdsdsYsRsErrgCgrCrgC)(snC 由于 中的不穩(wěn)定的零點(diǎn)均被 精確地消去，所以，只要選擇 、 使 的根具有負(fù)實(shí)部。即：用 鎮(zhèn)定系統(tǒng)，則 時(shí)，有 ，實(shí)現(xiàn)了漸近跟蹤。這就是內(nèi)模原理.)(sdr)(sr)(sdC0)()()()()(snsnsdssdgCgrC)(sgCt0)()()(tytrte第34頁/共65頁第三十四頁，共65頁。5.9.3 干擾(gnro)抑制問題如果系統(tǒng)存在(cnzi)確定性干擾，如右圖所示。當(dāng) 時(shí)， ，使 ，稱為干擾抑制問題。0)(trt0)(tyf如果 為正則有理函數(shù)，假定 的某些根具有零實(shí)部或負(fù)實(shí)部。令 是 的不穩(wěn)定極點(diǎn)構(gòu)成的s多項(xiàng)式。于是 的

22、所有根均具有零實(shí)部或正實(shí)部。將內(nèi)模 放入系統(tǒng)中，選擇 使反饋系統(tǒng)成為漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)。)()()(sdsnsfff0)(sdf)(sf)(sf)(sf)(/1sf)(sgC第35頁/共65頁第三十五頁，共65頁。由 作用引起的系統(tǒng)輸出)(tf)()()()()()()()()()()()(sdssnsnsdssdsnsnsdsEsYffgCgfCfgCff)(sdf0)(tyft由于 中的不穩(wěn)定的零點(diǎn)均被 精確地消去，故 的所有極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部。因此，當(dāng) 時(shí)， 。從而實(shí)現(xiàn)了干擾抑制。)(sf)(sYf第36頁/共65頁第三十六頁，共65頁。5.9.4 漸近跟蹤(gnzng)與干擾抑制)(sgC)

23、(/1s如果 ， ，通過在系統(tǒng)中引入內(nèi)模 ，若 是 和 的不穩(wěn)定極點(diǎn)之最小公分母。 設(shè)計(jì)補(bǔ)償器 ，就可以實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤和干擾抑制。0)(tr0)(tf)(s)(sR)(sf2）內(nèi)模 的系數(shù)不允許變化，否則無法實(shí)現(xiàn)精確對(duì)消。雖然現(xiàn)實(shí)中，很難極其精確地對(duì)消，由于 和 大多數(shù)是有界的，輸出仍然可以跟蹤輸入，只是有有限的穩(wěn)態(tài)誤差。)(/1s)(tr)(tf兩點(diǎn)說明：1）內(nèi)模 的位置要求并不高，只要不位于從 到 和從 到 的前向通道中即可 。)(/1s)(sR)(sE)(sF)(sY第37頁/共65頁第三十七頁，共65頁。5.9.5 狀態(tài)(zhungti)空間設(shè)計(jì)法系統(tǒng)(xtng)方程為)(tfufbbA

24、xx)(tfuyfddCx（47） 為能控， 為能觀測。bACA（48） 為干擾信號(hào)，認(rèn)為它是在未知初始條件下，由以下系統(tǒng)產(chǎn)生。)(tffftfxC)(fffxAx （49） 認(rèn)為是在未知初始條件下，由以下系統(tǒng)產(chǎn)生。)(trrrtrxC)(rrrxAx 和 為能觀測，要求設(shè)計(jì)的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤與干擾抑制。ffCArrCA第38頁/共65頁第三十八頁，共65頁。設(shè))det()(ffssAI )det()(rrssAI )(sr)(sf 和 在s右半閉平面零點(diǎn)的最小公倍式為)(s0111)(asasassmmm)(s的所有零點(diǎn)都具有非負(fù)實(shí)部，內(nèi)模 可實(shí)現(xiàn)為)(1sCCyxeCCCCbxAx（50）

25、100Cb110100001000010mCaaaA其中第39頁/共65頁第三十九頁，共65頁。duryreCxrdudurCCCCCCCCCbbCxbxACxbxAx)(組合(zh)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為rudCCCCCCbbbxxACbAxx00第40頁/共65頁第四十頁，共65頁。當(dāng) 時(shí)，狀態(tài)反饋的組合系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為0dCCCKKsssCAICbbKbKAI)(det)(對(duì)狀態(tài)反饋組合系統(tǒng)，如果給出(n+m)個(gè)希望極點(diǎn)，求出)(*sCKK)(*sCKK)(sCKK比較 和 ，即可以求得K 和KC ，如此設(shè)計(jì)的系統(tǒng)，即可以實(shí)現(xiàn)漸近跟蹤和干擾抑制。第41頁/共65頁第四十一頁，共65頁。5.10

26、 解耦問題(wnt)CxyBuAxx 線性定常系統(tǒng)(xtng)方程為（51）引入狀態(tài)反饋KxFVu其中K 為反饋陣，F(xiàn)為輸入(shr)變換矩陣。BFVxBKAKxFVBAxx)()(Cxy （52）狀態(tài)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為BFBKAICG1)()(ssKF所謂解耦問題，就是尋求適當(dāng)?shù)腒 和F 矩陣使得狀態(tài)反饋傳遞函數(shù)矩陣 為對(duì)角陣。)(sKFG)()()(diag)(2211sgsgsgsmmKFG第42頁/共65頁第四十二頁，共65頁。5.10.1 關(guān)于 的兩個(gè)不變量)(sKFG如果 為嚴(yán)格正則有理傳遞函數(shù)矩陣，可以表示為如下形式)(sKFG),(),(),()(21FKGFKGFKGG

27、ssssTmTTKF（53）),(FKGsTi)(sKFG其中， 為 的第 行向量。i定義11,min),()()(2)(1imiiiFKd（54）其中， 為 的第k 個(gè)元素分母多項(xiàng)式和分子多項(xiàng)式次數(shù)之差，),(FKGsTi)(ikmk, 2, 1第43頁/共65頁第四十三頁，共65頁。),(),(4312111122)(212222FKGFKGGssssssssssssTTKF例5-9 傳遞函數(shù)矩陣如下，求不變量id解對(duì)于 來說， ， 因此),(1FKGsT112112021201min),(12111FKd對(duì)于 來說， ， 因此),(2FKGsT202212022211min),(2221

28、2FKd),(FKGsTi約定：對(duì)于 為零向量時(shí)，nFKdi),(第44頁/共65頁第四十四頁，共65頁。定義(dngy)2（55）),(lim),(1FKGFKssrTidtTii 這是一個(gè)m 維非零向量。它是這樣構(gòu)造的：對(duì)于1m 的行向量 ，各元素分子多項(xiàng)式中最高次冪的系數(shù)。),(FKGsTi例5-9 中110122),(221sssssssTFKG01),(1FKTr43121),(222sssssTFKG31),(2FKTr),(FKGsTi約定：對(duì)于 為零向量時(shí)，0),(FKrTi第45頁/共65頁第四十五頁，共65頁。5.10.2 能解(nn ji)耦性判據(jù)定理5-6 一個(gè)具有(j

29、yu)傳遞函數(shù) 的系統(tǒng)，能用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)解耦的充分必要條件是以下矩陣非奇異。), 0(), 0(), 0(21221101IIIBACBACBACTmTTdmmddrrrE（56）（證明請參見教材(jioci)184頁。這是構(gòu)造性證明方法。即：定理證畢，K, F矩陣即可求出）第46頁/共65頁第四十六頁，共65頁。例5-10 系統(tǒng)(xtng)方程如下，要求用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(xtng)解耦。uxx100001321100000 xy1000111）系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣為解)2)(1()2)(1(1)2)(1(1)2)(1(13)(2101ssssssssssssssBAICG2）判斷系統(tǒng)能解耦性0

30、1d02d011Tr102Tr100121TTrrE因?yàn)?，系統(tǒng)能解耦。0detE第47頁/共65頁第四十七頁，共65頁。1003211000000111111dACL3）3213211000001001222dACL32110021LLL10011EF32110032110010011LEK因此xVu321100第48頁/共65頁第四十八頁，共65頁。4）狀態(tài)(zhungti)反饋的方程為VxBFVxBKAx100001000100100 xy100011ssss1001)(1BFBKAICGKF上面(shng min)介紹的是積分解耦系統(tǒng)。而對(duì)于實(shí)際工程系統(tǒng)來說，要求系統(tǒng)為李亞普諾夫意義下

31、漸近穩(wěn)定。實(shí)現(xiàn)方法見教材187頁。第49頁/共65頁第四十九頁，共65頁。5.11 MATLAB的應(yīng)用(yngyng)5.11.1 極點(diǎn)(jdin)配置 線性系統(tǒng)是狀態(tài)能控時(shí)，可以通過狀態(tài)反饋來任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn)。把極點(diǎn)配置到S左半平面所希望的位置上，則可以獲得(hud)滿意的控制特性。狀態(tài)反饋的系統(tǒng)方程為 BvxBKAx)(Cxy 第50頁/共65頁第五十頁，共65頁。 在MATLAB中，用函數(shù)命令place( )可以方便地求出狀態(tài)反饋矩陣K；該命令的調(diào)用格式為：K = place(A,b,P)。P為一個(gè)行向量，其各分量為所希望配置的各極點(diǎn)。即：該命令計(jì)算出狀態(tài)反饋陣K，使得（A-bK）的特

32、征值為向量P的各個(gè)(gg)分量。使用函數(shù)命令acker( )也可以計(jì)算出狀態(tài)矩陣K，其作用和調(diào)用格式與place( )相同，只是算法有些差異。例5-12 線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為uBAxx其中 0100016116A001B要求確定狀態(tài)反饋矩陣，使?fàn)顟B(tài)反饋系統(tǒng)極點(diǎn)配置為 101s112s123s第51頁/共65頁第五十一頁，共65頁。解 首先判斷系統(tǒng)的能控性，輸入以下(yxi)語句 語句(yj)執(zhí)行結(jié)果為 這說明系統(tǒng)能控性矩陣滿秩，系統(tǒng)能控，可以應(yīng)用狀態(tài)反饋(fnku)，任意配置極點(diǎn)。 輸入以下語句 語句執(zhí)行結(jié)果為 第52頁/共65頁第五十二頁，共65頁。計(jì)算結(jié)果表明，狀態(tài)反饋陣為 13143

33、5127K注：如果將輸入語句中的 K=place(A,B,P) 改為 K=acker(A,B,P)，可以得到(d do)同樣的結(jié)果。5.11.2 狀態(tài)(zhungti)觀測器設(shè)計(jì) 在MATLAB中，可以使用函數(shù)命令acker( )計(jì)算出狀態(tài)觀測器矩陣 。調(diào)用格式 ，其中AT 和 CT 分別是A 和B 矩陣的轉(zhuǎn)置。P為一個(gè)行向量，其各分量為所希望的狀態(tài)觀測器的各極點(diǎn)。GT為所求的狀態(tài)觀測器矩陣G 的轉(zhuǎn)置。 ),acker(PCAGTTT例5-13 線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為uBAxxCxy其中 200120001A101B011C要求設(shè)計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)觀測器，其特征值為:3, 4, 5。第53頁/共65

34、頁第五十三頁，共65頁。解 首先判斷系統(tǒng)的能觀測性，輸入以下(yxi)語句 語句(yj)運(yùn)行結(jié)果為說明(shumng)系統(tǒng)能觀測，可以設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器第54頁/共65頁第五十四頁，共65頁。輸入(shr)以下語句 語句(yj)運(yùn)行結(jié)果為 計(jì)算結(jié)果表明，狀態(tài)觀測器矩陣為210103120G狀態(tài)觀測器的方程為uyBGxGCAx)(uy101210103120221021011051030120119x第55頁/共65頁第五十五頁，共65頁。5.11.3 單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的極點(diǎn)配置與狀態(tài)(zhungti)觀測器設(shè)計(jì)1. 狀態(tài)反饋系統(tǒng)的極點(diǎn)配置(pizh)及其MATLAB/Simulink仿真例3-5中給出的單級(jí)倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 uxxxxxxxx1010011001000010000104321432143210001xxxxy 首先，使用MATLAB，判斷系統(tǒng)的能控性矩陣是否為滿秩。輸入以下程序 計(jì)算結(jié)果為 第56頁/共