§94三重積分的概念和計(jì)算方法ppt課件

1、一、三重積分的定義一、三重積分的定義二、三重積分的二、三重積分的三、小結(jié)三、小結(jié)設(shè)設(shè)),(zyxf是是空空間間有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域 上上的的有有界界函函數(shù)數(shù)，將將閉閉 區(qū)區(qū)域域 任任意意分分成成n個(gè)個(gè)小小閉閉區(qū)區(qū)域域1v ，2v , ,nv ，其其 中中iv 表表示示第第i個(gè)個(gè)小小閉閉區(qū)區(qū)域域，也也表表示示它它的的體體積積, , 在在每每個(gè)個(gè) iv 上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)),(iii 作作乘乘積積iiiivf ),( ， ), 2 , 1(ni ，并并作作和和, , 如如果果當(dāng)當(dāng)各各小小閉閉區(qū)區(qū)域域的的直直徑徑中中的的 最最大大值值 趨趨近近于于零零時(shí)時(shí)， 這這和和式式的的極極限限存存在在， 則

2、則稱稱此此極極限限 為為函函數(shù)數(shù)),(zyxf在在閉閉區(qū)區(qū)域域 上上的的三三重重積積分分，記記為為 dvzyxf),(, ,即即 一、三重積分的定義一、三重積分的定義.),(lim),(10iniiiivfdvzyxf .叫做體積元素叫做體積元素其中其中dv, 來(lái)來(lái)劃劃分分用用平平行行于于坐坐標(biāo)標(biāo)面面的的平平面面在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中，如如果果.lkjizyxv 則則三重積記為三重積記為 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 . . .積元素積元素叫做直角坐標(biāo)系中的體叫做直角坐標(biāo)系中的體其中其中dxdydz三重積分的性質(zhì)與二重積分的類似。三重積分的性質(zhì)與二重積分的

3、類似。特別地，特別地，被被積積函函數(shù)數(shù)1),( zyxf時(shí)時(shí)， 的體積的體積 dv . . 直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分分二、三重積分的計(jì)算二、三重積分的計(jì)算)(1xyy )(2xyy 如圖，如圖，,Dxoy面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域在在閉區(qū)域閉區(qū)域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作作直直線線過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)Dyx 穿穿出出穿穿入入，從從從從21zzxyzo D),(yxab),(1yxzz ),(2yxzz 2S1S1z2z的的函函數(shù)數(shù)，則則只只看看作作看看作作定定值值，將將先先將將zzyxfyx),(, ),(),(21),(

4、),(yxzyxzdzzyxfyxF上上的的二二重重積積分分在在閉閉區(qū)區(qū)間間計(jì)計(jì)算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得是是 x、y 的函數(shù)。的函數(shù)。 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意注意相交不多于兩點(diǎn)情形相交不多于兩點(diǎn)情形的邊界曲面的邊界曲面區(qū)域區(qū)域內(nèi)部的直線與閉內(nèi)部的直線與閉軸且穿過(guò)閉區(qū)域軸且穿過(guò)閉區(qū)域平行于平行于Sz )1(分

5、若干個(gè)小區(qū)域來(lái)討論分若干個(gè)小區(qū)域來(lái)討論相交多于兩點(diǎn)時(shí)，把相交多于兩點(diǎn)時(shí)，把的邊界曲面的邊界曲面閉區(qū)域閉區(qū)域內(nèi)部的直線與內(nèi)部的直線與軸且穿過(guò)閉區(qū)域軸且穿過(guò)閉區(qū)域若平行于若平行于 )2(Sz三重積分化為三次積分的過(guò)程：三重積分化為三次積分的過(guò)程：。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy )1( xyzo D )2(軸軸投投影影，得得到到向向 xDab ).()(, :21xyyxybxaD,),( )3(作直線作直線過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)Dyx 得到得到).,(),(21yxzzyxz 1z2z),(yx ).,(),(),()( , :2121yxzzyxzxyyxybxa事實(shí)上，事實(shí)上， dvzyxf),(

6、.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy )1( )2(軸軸投投影影，得得到到向向 yD . ),()(:11dycyxxyxD,),( )3(作直線作直線過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)Dyx 得到得到).,(),(21yxzzyxz 事實(shí)上，事實(shí)上， ).,(),(, ),()( :2111yxzzyxzdycyxxyxxyzo Dcd1z2z),(yx dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 dcyxyxyxzyxzdzzyxfdxdy。面面上上投投影影，得得到到向向yzDyoz )1( )2(軸軸投投影影，得得到

7、到向向 yDyz . ),()(:11byayzzyzD,),( )3(作作直直線線過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)yzDzy 得到得到).,(),(21zyxxzyx 事實(shí)上，事實(shí)上， ).()( , ),(),(:2111yzzyzbyazyxxzyxD),(zyabxyzo 1x2x dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 bayzyzzyxzyxdxzyxfdzdy例例 1 1 計(jì)計(jì)算算三三重重積積分分 xdxdydz，其其中中 為為三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo) 面面及及平平面面12 zyx所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. . 211xozy1。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy .210, 10 :x

8、yxD, ),(的直線的直線軸軸作平行與作平行與過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)zDyx 得到得到.210yxz 解解D于是，于是， dxdydzx 10021021 xyxxdzdydx 10021 0 21 xdyxzdxyx 100221)2(xdyxyxxdx 1002221)(dxxyyxxx 1032)2(41dxxxx1 0 4324132241 xxx.481 于是，于是， dxdydzx 10021021 xyxxdzdydx, ),(的直線的直線軸軸作平行與作平行與過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)zDyx 得到得到.210yxz 例例 2 2 化三重積分化三重積分 dxdydzzyxfI),(為三次積分，為三次積分， 其

9、中積分區(qū)域其中積分區(qū)域 為由曲面為由曲面 222yxz 及及 22xz 所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. . 解解由由 22222xzyxz, , 得交線投影區(qū)域得交線投影區(qū)域 , 122 yx故故 ： 22222221111xzyxxyxx, , .),( 11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI因因此此，故故 ： 22222221111xzyxxyxx, , oxyz12例例 3 3 計(jì)計(jì)算算三三重重積積分分 dxdydzz 。 其其中中 ：平平面面 , 0 , , 2 , 1 zxyxx及及 yz 2 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域. . 。面面上上投投影影，得得到到向向Dx

10、oy .0, 21:xyxD, ),(軸的直線軸的直線作平行與作平行與過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)zDyx 得到得到.20yz 解解D .200, 21: yzxyx，即即于是，于是， dxdydzz 21020 xyzdzdydxoxyz12。面面上上投投影影，得得到到向向Dxoy .0, 21:xyxD, ),(軸的直線軸的直線作平行與作平行與過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)zDyx 得到得到.20yz 解解D .200, 21: yzxyx，即即 210281xdyydx 213241dxx.325 截截面面法法的的一一般般步步驟驟： ( (1 1) ) 把把積積分分區(qū)區(qū)域域 向向某某軸軸（例例如如z軸軸）投投影影，得得投投影影

11、區(qū)區(qū)間間,21cc； ( (2 2) ) 對(duì)對(duì),21ccz 用用過(guò)過(guò)z軸軸且且平平行行xoy平平面面的的平平面面去去截截 ，得得截截面面zD; ; (3)(3) 計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 zDdxdyzyxf),( 其結(jié)果為其結(jié)果為z的函數(shù)的函數(shù))(zF； (4) (4) 最后計(jì)算單積分最后計(jì)算單積分 21)(ccdzzF即得三重積分值即得三重積分值. . zzD例例 4 4 計(jì)計(jì)算算三三重重積積分分dxdydzz 2，其其中中 是是由由橢橢球球 面面 1222222 czbyax 所所成成的的空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域. . : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原原式式,2

12、zDccdxdydzz 解解xyzozD| ),(yxDz 1222222czbyax )1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1( .1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式因而，因而，例例 5 5 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分dxdydzxy 21，其中，其中 由曲由曲 面面221zxy ，122 zx，1 y所圍成所圍成. . 將將 投投影影到到zox平平面面得得 :xzD 122 zx, , 先先對(duì)對(duì)y積積分分，再再求求 xzD 上上二二重重積積分分, , 解解如圖如圖, ,xyzo111 112221zxDdydxdzxyxz原式原式dzzxxdxxx21221111222 . 11,11, 11:2222yyxxzxxdxzzxxxx )3