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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上實數(shù)和二次根式全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念,會用根號表示數(shù)的平方根、立方根.2.了解開方與乘方互為逆運(yùn)算,會用平方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根,會用立方運(yùn)算求某些數(shù)的立方根,會用計算器求平方根和立方根.3.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念,知道實數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng),有序?qū)崝?shù)對與平面上的點(diǎn)一一對應(yīng);了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴(kuò)大為實數(shù)后,概念、運(yùn)算等的一致性及其發(fā)展變化.4.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍.5.理解并掌握二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì).6.熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算,會用它們進(jìn)行有關(guān)實數(shù)的四則
2、運(yùn)算.7.了解代數(shù)式的概念,進(jìn)一步體會代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平方根和立方根 類型項目平方根立方根被開方數(shù)非負(fù)數(shù)任意實數(shù)符號表示性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根,且互為相反數(shù);零的平方根為零;負(fù)數(shù)沒有平方根;一個正數(shù)有一個正的立方根;一個負(fù)數(shù)有一個負(fù)的立方根;零的立方根是零;重要結(jié)論要點(diǎn)二、無理數(shù)與實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).1.實數(shù)的分類實數(shù)要點(diǎn)詮釋:(1)所有的實數(shù)分成三類:有限小數(shù),無限循環(huán)小數(shù),無限不循環(huán)小數(shù)其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù),無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù) (2)無理數(shù)分成三類:開方開不盡的數(shù),如,等;有特殊意義的數(shù),如; 有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)
3、,如0. (3)凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù),并且無理數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式.2.實數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一 一對應(yīng)數(shù)軸上的任何一個點(diǎn)都對應(yīng)一個實數(shù),反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點(diǎn)與之對應(yīng).3.實數(shù)的三個非負(fù)性及性質(zhì)在實數(shù)范圍內(nèi),正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負(fù)數(shù)有如下三種形式: (1)任何一個實數(shù)的絕對值是非負(fù)數(shù),即|0;(2)任何一個實數(shù)的平方是非負(fù)數(shù),即0;(3)任何非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù),即 ().非負(fù)數(shù)具有以下性質(zhì):(1)非負(fù)數(shù)有最小值零;(2)有限個非負(fù)數(shù)之和仍是非負(fù)數(shù);(3)幾個非負(fù)數(shù)之和等于0,則每個非負(fù)數(shù)都等于0.4.實數(shù)的運(yùn)算數(shù)的相反數(shù)是;一個正實數(shù)的絕對
4、值是它本身;一個負(fù)實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0.有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序:先乘方、開方、再乘除,最后算加減.同級運(yùn)算按從左到右順序進(jìn)行,有括號先算括號里. 5.實數(shù)的大小的比較有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1. 實數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng),在數(shù)軸上表示的兩個數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù) 大;法則2正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù),正數(shù)大于一切負(fù)數(shù),兩個負(fù)數(shù)比較,絕對值大的反而??;法則3. 兩個數(shù)比較大小常見的方法有:求差法,求商法,倒數(shù)法,估算法,平方法.要點(diǎn)三、二次根式的相關(guān)概念和性質(zhì)1. 二次根式形如的式子叫做二次根式,如等式子,都叫
5、做二次根式.要點(diǎn)詮釋:二次根式有意義的條件是,即只有被開方數(shù)時,式子才是二次根式,才有意義.2.二次根式的性質(zhì)(1);(2);(3).要點(diǎn)詮釋:(1) 一個非負(fù)數(shù)可以寫成它的算術(shù)平方根的平方的形式,即 (),如().(2) 中的取值范圍可以是任意實數(shù),即不論取何值,一定有意義.(3)化簡時,先將它化成,再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡.(4)與的異同不同點(diǎn):中可以取任何實數(shù),而中的必須取非負(fù)數(shù);=,=().相同點(diǎn):被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù),當(dāng)取非負(fù)數(shù)時,=.3. 最簡二次根式(1)被開方數(shù)是整數(shù)或整式;(2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個條件的二次根式,叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次
6、根式.要點(diǎn)詮釋:最簡二次根式有兩個要求:(1)被開方數(shù)不含分母;(2)被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后,被開方數(shù)相同,這幾個二次根式就叫同類二次根式.要點(diǎn)詮釋:判斷是否是同類二次根式,一定要化簡到最簡二次根式后,看被開方數(shù)是否相同,再判斷.如與,由于=,與顯然是同類二次根式.要點(diǎn)四、二次根式的運(yùn)算1. 乘除法(1)乘除法法則:類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術(shù)平方根化簡公式:二次根式的除法商的算術(shù)平方根化簡公式:要點(diǎn)詮釋:(1)當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時,可類比單項式與單項式相乘(或相除)的法則,如.(2)被開方數(shù)一定是非負(fù)數(shù)(在分母上時
7、只能為正數(shù)).如.2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后,將同類二次根式的系數(shù)相加減,被開方數(shù)和根指數(shù)不變,即合并同類二次根式.要點(diǎn)詮釋:二次根式相加減時,要先將各個二次根式化成最簡二次根式,再找出同類二次根式,最后合并同類二次根式.如.【典型例題】類型一、有關(guān)方根的問題1、已知,求的值.【思路點(diǎn)撥】由被開方數(shù)是非負(fù)數(shù),分母不為0得出的值,從而求出值,及的值.【答案與解析】解:由題意得 ,解得32.【總結(jié)升華】根據(jù)使式子有意義的條件列出方程,解方程,從而得到的值.2、(2016春南昌期末)已知實數(shù)x、y滿足,求2x的立方根【答案與解析】解:由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可知:2x16=0,x2y+4=0,解得
8、:x=8,y=62xy=2×8×6=82x的立方根是2【總結(jié)升華】本題主要考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、立方根的定義,求得x、y的值是解題的關(guān)鍵類型二、與實數(shù)有關(guān)的問題3、已知是的整數(shù)部分,是它的小數(shù)部分,求的值【思路點(diǎn)撥】一個數(shù)是由整數(shù)部分小數(shù)部分構(gòu)成的.通過估算的整數(shù)部分是3,那么它的小數(shù)部分就是,再代入式子求值.【答案與解析】解:是的整數(shù)部分,是它的小數(shù)部分,.【總結(jié)升華】可用夾擠法來確定,即看介于哪兩個相鄰的完全平方數(shù)之間,然后開平方.這個數(shù)減去它的整數(shù)部分后就是它的小數(shù)部分.舉一反三:【變式】 已知5的小數(shù)部分為,5的小數(shù)部分為,則的值是 ;的值是_.【答案】;提示:由題
9、意可知,.4、閱讀理解,回答問題.在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,有時會遇到比較兩數(shù)大小的問題,解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)命題的題設(shè)和結(jié)論特征,采用相應(yīng)辦法,其中巧用“作差法”是解決此類問題的一種行之有效的方法:若0,則;若0,則;若0,則.例如:在比較與的大小時,小東同學(xué)的作法是: 請你參考小東同學(xué)的作法,比較與的大小.【思路點(diǎn)撥】仿照例題,做差后經(jīng)過計算判斷差與0的關(guān)系,從而比較大小.【答案與解析】解:【總結(jié)升華】實數(shù)比較大小常用的有作差法和作商法,根據(jù)具體情況加以選擇.舉一反三:【變式】實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示,則的大小關(guān)系是: ;【答案】;類型三、實數(shù)綜合應(yīng)用5、閱讀材料:學(xué)習(xí)了無理數(shù)后,某數(shù)
10、學(xué)興趣小組開展了一次探究活動:估算的近似值.小明的方法:,設(shè)().解得 .問題:(1)請你依照小明的方法,估算的近似值;(2)請結(jié)合上述具體實例,概括出估算的公式:已知非負(fù)整數(shù)、,若,且,則_(用含、的代數(shù)式表示);(3)請用(2)中的結(jié)論估算的近似值. 【答案與解析】解:(1),設(shè)().解得 .(2),設(shè)().對比,(3),6.083.【總結(jié)升華】此題比較新穎,關(guān)鍵是通過閱讀材料快速掌握估值的方法.(2)問中要對比式子,找準(zhǔn)和,表示出.類型四、二次根式概念及運(yùn)算6、(2015春石林縣期末)計算:5+×+÷【思路點(diǎn)撥】先二次根式化為最簡二次根和根據(jù)二次根式的乘除法得到原式=
11、+3÷=21+3,然后合并即可 【答案與解析】解:原式=+3÷=21+3=2+2【總結(jié)升華】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算:先把各二次根式化為最簡二次根式,再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算,然后進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算舉一反三:【變式】.【答案】.7、已知為ABC的三邊長,化簡 【答案與解析】解:為ABC的三邊長, 原式 【總結(jié)升華】利用三角形任意兩邊之和大于第三邊和進(jìn)行化簡.8、 若,化簡.【答案與解析】【總結(jié)升華】把分子分母分別分解因式,然后約分,可以簡化化簡步驟.舉一反三:【變式】當(dāng).【答案】解:,將代入,原式=3.【鞏固練習(xí)】一.選擇題1已知、是實數(shù),下列命題結(jié)論正確的是( )
12、A若,則B若,則C若,則D若,則2. 下列說法正確的有( )無限小數(shù)不一定是無理數(shù); 無理數(shù)一定是無限小數(shù);帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù); 不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù).A B C D 3已知,那么滿足上述條件的整數(shù)的個數(shù)是( ).A4 B. 5 C. 6 D. 74若0,則的結(jié)果是( ).A0 B-2 C0或-2 D25. 若,則,的大小關(guān)系是( )A. B. C. D.6.(2015春安順期末)下列計算正確的有();A1個 B2個 C3個 D4個7. 已知:( ) A.2360 B.2360 C.23600 D.236008.(2016泰安)如圖,四個實數(shù)m,n,p,q在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為M,N
13、,P,Q,若n+q=0,則m,n,p,q四個實數(shù)中,絕對值最大的一個是()Ap Bq Cm Dn二.填空題9. 下列命題中正確的有 (填序號)(1)若那么; (2)兩數(shù)的和大于等于這兩數(shù)的差; (3)若那么; (4)若 則; (5) (6)一個數(shù)越大,這個數(shù)的倒數(shù)越小; (7)有理數(shù)加有理數(shù)一定是有理數(shù); (8)無理數(shù)加無理數(shù)一定是無理數(shù); (9)無理數(shù)乘無理數(shù)一定是無理數(shù);10. 已知和互為相反數(shù),且,_11. 若,則 ,若,則 .12. 已知 : .13. (2016春長興縣月考)已知a、b、c是ABC三邊的長,則化簡|a+bc|的結(jié)果為 14.(2015攀枝花模擬)已知,則代數(shù)式x23x
14、y+y2的值為 15. 方程 的解 _ .16. 若則的值等于_.三.解答題17 計算:(1) (2) 18.已知:19.(2015春桃園縣校級期末)已知x2的平方根是±2,2x+y+7的立方根是3,求x2+y2的平方根20細(xì)心觀察右圖,認(rèn)真分析各式,然后解答問題:; ; ,;(1)請用含n(n為正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律;(2)觀察總結(jié)得出結(jié)論:三角形兩條直角邊與斜邊的關(guān)系,用一句話概括為: ;(3)利用上面的結(jié)論及規(guī)律,請作出等于的長度;(4)你能計算出的值嗎?【答案與解析】一.選擇題1. 【答案】B;【解析】B答案表明,故.2. 【答案】A;3【答案】C;【解析】由原式得:
15、 所以,因為,,所以.4.【答案】D;5. 【答案】C;【解析】可以取特殊值驗證.6. 【答案】A;【解析】解:應(yīng)先計算為根號內(nèi)是36,再開方,無意義,錯誤;正確;用平方差公式,根號應(yīng)計算為9,結(jié)果應(yīng)為3,錯誤故選A7. 【答案】D; 【解析】2.868向右移動1位,23.6應(yīng)向右移動3位得23600,考慮到符號,23600.8. 【答案】A; 【解析】n+q=0,n和q互為相反數(shù),0在線段NQ的中點(diǎn)處,絕對值最大的點(diǎn)P表示的數(shù)p,故選A.二.填空題9. 【答案】(1),(4),(5),(7);10.【答案】2;【解析】兩個非負(fù)數(shù)互為相反數(shù)則只能均為0,于是可求2.11.【答案】; 【解析】正數(shù)的平方根有2個,實數(shù)有一個與它符號相同的立方根.12.【答案】0.04858 【解析】23.6向左移動4位,4.858向左移動2位得0.04858.13.【答案】2c2a;【解析】a、b、c是ABC三邊的長,abc0,a+bc0,|a+bc|=a+b+cab+c=2c2a14.【答案】95; 【解析】解:代入x,y的值得,x23xy+y2=()23×+()2,=+3,=50+483,=95故填9515.【答案】;
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