復(fù)變函數(shù)與積分變換第4章級(jí)數(shù)ppt課件

1、4.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)4.2 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)4.3 泰勒泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)4.4 洛朗洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)第第 四四 章章 級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)& 1. 復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限& 2. 級(jí)數(shù)的概念級(jí)數(shù)的概念4.1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1. 復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限定義定義,), 2 , 1(nnnnibaznz其中設(shè)復(fù)數(shù)列：，ibaz又設(shè)復(fù)常數(shù)：又設(shè)復(fù)常數(shù)：時(shí)的極限，當(dāng)稱為復(fù)數(shù)列那么，恒有若nzzzzNnNnn, 0, 0定理定理4.1.lim,limlimbbaazznnnnnn.,limzzzznzznnnn收斂于此時(shí)，也稱復(fù)數(shù)列時(shí)，或當(dāng)記作2. 級(jí)數(shù)的概念級(jí)數(shù)的概念nn

2、nzzzz211niinnzzzzs121級(jí)數(shù)的前面級(jí)數(shù)的前面n項(xiàng)的和項(xiàng)的和-級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和稱稱為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的和和ssnn lim稱為收斂級(jí)數(shù)1nnz不收斂不收斂稱為發(fā)散級(jí)數(shù)1nnz-無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)定義定義), 2 , 1(nibaznnn設(shè)復(fù)數(shù)列：設(shè)復(fù)數(shù)列： 收收斂斂若若部部分分和和數(shù)數(shù)列列ns例例1解解的斂散性。的斂散性。判別判別 123nniisiisnnnnjjn3lim),211(3231 又又.3,i且且和和為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂定理定理4.2都收斂。和收斂級(jí)數(shù)111nnnnnnbazA 由定理由定理4.2，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題可歸之為，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題可歸之為A

3、兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題。兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題。得出由定理 . 4. 0lim:nnz收斂的必要條件級(jí)數(shù)1nnz定理定理4.3定理定理4.4.1111nnnnnnnnzzzz收斂，且收斂若證明證明222222,nnnnnnnnnnnbabbaabaibaz收斂。得由定理均絕對(duì)收斂，和由比較判定法1112nnnnnnzbaA 收收斂斂. .收收斂斂若若11nnnnzz?)1(:(1 nnni例例如如定義定義.11111條件收斂為收斂，則稱發(fā)散，而若為絕對(duì)收斂；收斂，則稱若nnnnnnnnnnzzzzz由定理由定理4.4的證明過程，及不等式的證明過程，及不等式 :22有有nnnnbaba 推論

4、推論都收斂。和收斂級(jí)數(shù)111nnnnnnbaz解解.)1(111)1(1121發(fā)發(fā)散散收收斂斂，發(fā)發(fā)散散， nnnninnn絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂。收收斂斂， 000!)8(!8!8)2(nnnnnnninni.)2)1(21)1()3(111收收斂斂收收斂斂，收收斂斂， nnnnnnninn例例2否否絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂？下下列列級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是否否收收斂斂？是是 011)2)1()3(!)8()2()1(1)1(nnnnnninninin.)1(1原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)非非絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂收收斂斂，條條件件又又 nnn例例3解解的斂散性。的斂散性。討論討論 011nnien 1111cossin111cos,1s

5、in.lim1,lim011lim1.innnnnnnninnneinnnnabnnnnaben 數(shù) 列收 斂 ,且 有& 1. 冪級(jí)數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)的概念& 2. 收斂定理收斂定理& 3. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑& 4. 收斂半徑的求法收斂半徑的求法& 5. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)4.2 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)1. 冪級(jí)數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)的概念定義定義設(shè)復(fù)變函數(shù)列：設(shè)復(fù)變函數(shù)列：)1()()()()(211 zfzfzfzfnnn, 2 , 1,)( nDzzfn-稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的最前面級(jí)數(shù)的最前面n項(xiàng)的和項(xiàng)的和 nkknnzfzfzfzfzs121)()(

6、)()()(-級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和,)1()(lim),(,)1(),()(lim000000發(fā)發(fā)散散不不存存在在，稱稱級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)其其和和為為收收斂斂在在稱稱級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)若若zszszzszsDznnnn 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)(1)在在D內(nèi)處處收斂，其和為內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)的函數(shù))()()()(21zfzfzfzsn -級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(1)的和函數(shù)的和函數(shù)特殊情況，在級(jí)數(shù)特殊情況，在級(jí)數(shù)(1)中中得得nnnzzczf)()(0 ) 2()(00 nnnzzc)3(000 nnnzcz當(dāng)當(dāng)稱為冪級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)并并不不失失一一般般性性。研研究究級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)中中令令在在)3()2()2(00 kknczz 2.

7、 收斂定理收斂定理同實(shí)變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級(jí)數(shù)也有所謂的收斂定理：同實(shí)變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級(jí)數(shù)也有所謂的收斂定理：定理定理1 (阿貝爾阿貝爾(Able)定理）定理）.,)0(000級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)必必絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂的的則則對(duì)對(duì)滿滿足足收收斂斂在在若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)zzzzzzcnnn .,00級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)必必發(fā)發(fā)散散的的則則對(duì)對(duì)滿滿足足發(fā)發(fā)散散若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在zzzzz ,2,1 ,0,max00202010 nMzczczczccMnnNN故故取取 證明證明，即即則則收收斂斂0lim,)1(000 nnnnnnzczc nnzcNnN000，恒恒有有，1,00 qzzzz則則若若,00nnnnnnMqzzzcz

8、c ,0收收斂斂由由于于 nnMq,0收收斂斂由由比比較較判判別別法法得得 nnnzc絕對(duì)收斂。絕對(duì)收斂。 0nnnzc(2)用反證法，用反證法，收收斂斂，有有設(shè)設(shè) 01011,nnnzczzz！收收斂斂與與假假設(shè)設(shè)矛矛盾盾，得得證證知知由由 00)1(nnnzc3. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑由由Able定理，冪級(jí)數(shù)的收斂范圍不外乎下述定理，冪級(jí)數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：三種情況：(i)若對(duì)所有正實(shí)數(shù)都收斂，級(jí)數(shù)若對(duì)所有正實(shí)數(shù)都收斂，級(jí)數(shù)(3)在復(fù)平面上處在復(fù)平面上處處收斂。處收斂。(ii )除除z=0外，對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是發(fā)散的，這時(shí)，外，對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是發(fā)散的，這時(shí)， 級(jí)數(shù)

9、級(jí)數(shù)(3)在復(fù)平面上除在復(fù)平面上除z=0外處處發(fā)散。外處處發(fā)散。., 0, 0)(00發(fā)發(fā)散散使使得得收收斂斂使使得得 nnnnnncciii .)3(:)3(:發(fā)發(fā)散散數(shù)數(shù)外外，級(jí)級(jí)在在圓圓周周收收斂斂；內(nèi)內(nèi)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)定定理理，在在圓圓周周由由 zczcAble顯然，顯然， 否則，級(jí)數(shù)否則，級(jí)數(shù)(3)將在將在處發(fā)散。處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍(lán)色，將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍(lán)色，逐漸逐漸變大，在變大，在c c內(nèi)部都是紅色內(nèi)部都是紅色, ,逐漸變小，在逐漸變小，在c c外部外部都是藍(lán)色，紅、藍(lán)色不會(huì)交錯(cuò)。故都是藍(lán)色，紅、藍(lán)色不會(huì)交錯(cuò)。故藍(lán)藍(lán)兩兩色色的的分分界界線線。為為紅紅

10、、一一定定,RzcR ：RRcA (i)冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外A部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題A要具體分析。要具體分析。定義這個(gè)紅藍(lán)兩色的分界圓周定義這個(gè)紅藍(lán)兩色的分界圓周cR叫做冪級(jí)數(shù)的叫做冪級(jí)數(shù)的收斂圓；這個(gè)圓的半徑收斂圓；這個(gè)圓的半徑R叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑。(ii)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)(3)的收斂范圍是以的收斂范圍是以0為中心，半徑為為中心，半徑為R的圓域；冪級(jí)數(shù)的圓域；冪級(jí)數(shù)(2)的收斂范圍是以的收斂范圍是以z0為中心為中心,半徑半徑為為R的圓域的圓域.4. 收斂半徑的求法

11、收斂半徑的求法的收斂半徑求法，有的收斂半徑求法，有關(guān)于冪級(jí)數(shù)關(guān)于冪級(jí)數(shù))3(0 nnnzc根值法根值法 000/1limRcnnn，則則若若比值法比值法 000/1lim1Rccnnn，則則若若例例1的收斂范圍及和函數(shù)。的收斂范圍及和函數(shù)。求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) nnnzzzz201121 nnzzzs又又zzn 11解解11lim1 Rccnnn.11lim, 0lim1zszznnnn 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)., 0lim1級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) nnzz 綜上綜上 .1;111,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且和和函函數(shù)數(shù)為為收收斂斂zzzznn例例2 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形求下

12、列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑并討論收斂圓周上的情形:解解 (1); )0() 1 (1 npnpnznnncc1lim 1)1(lim pnnn1 R,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z,)1(1 nnn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為,11 nn級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散該級(jí)數(shù)發(fā)散p=1p=2,1上上在在圓圓周周 z 1122,1nnnnnz是是收收斂斂的的該級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。該級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的。5. 冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)q代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算2010)()(rRzgzbrRzfzannnnnn 設(shè)設(shè)Rzzgzfzbazbzannnnnnnnnn )()()(000),min(

13、21rrR 其其中中：Rzzgzfzbabababazbzannnnnnnnnnnn ),()()()()(002211000-冪級(jí)數(shù)的加、減運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的加、減運(yùn)算-冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的乘法運(yùn)算rzgRzzgrzzazfnnn )()(,)(0內(nèi)內(nèi)解解析析，且且在在設(shè)設(shè)Rzzgazgfnnn 0)()(-冪級(jí)數(shù)的代換冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合復(fù)合)運(yùn)算運(yùn)算A 冪級(jí)冪級(jí)A數(shù)的代換運(yùn)數(shù)的代換運(yùn)A算在函數(shù)展算在函數(shù)展A成冪級(jí)數(shù)中成冪級(jí)數(shù)中A很有用很有用.例例3.)(10abazcbznnn 這這里里，復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù)的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，表表成成形形如如把把解解)()(11abazbz 代換代換 abzgaba

14、zab1)(11111Rabazabazabazabazzgzgzgzgzgnn ,11)(,)()()(1)(1122 abzgabazababazbz1)(11111)()(11Razazabazabazababzgabbznn )()(1)()(1)()(11)(11111232代換代換展開展開復(fù)原復(fù)原q分析運(yùn)算分析運(yùn)算定理定理4Rzzfzcnnn )(0設(shè)設(shè).)()(內(nèi)內(nèi)解解析析在在Rzzfi Rzznczczczfiinnnnnnnnn 1100)()()( )(zdzcdzzcdzzfiiincnncnnnc 00)()(-冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)運(yùn)算-冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分

15、運(yùn)算冪級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分運(yùn)算 0101)(nnnznzcdf 或或RazCRz ,& 1. 泰勒展開定理泰勒展開定理& 2. 展開式的唯一性展開式的唯一性& 3. 簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開式簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開式4.3 泰勒泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)1. 泰勒泰勒(Taylor)展開定理展開定理現(xiàn)在研究與此相反的問題：現(xiàn)在研究與此相反的問題：一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)表達(dá)一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)表達(dá)?(或者說或者說,一個(gè)解析函數(shù)能否展開成冪級(jí)數(shù)一個(gè)解析函數(shù)能否展開成冪級(jí)數(shù)? 解析函解析函數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級(jí)數(shù)表示？）數(shù)在解析點(diǎn)能否用冪級(jí)數(shù)表示？）由由4.24.2冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)知冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)知: :一

16、個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在一個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在它的收斂圓內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)。它的收斂圓內(nèi)部是一個(gè)解析函數(shù)。以下定理給出了肯定回答：以下定理給出了肯定回答：任何解析函數(shù)都一定能用冪級(jí)數(shù)表示。任何解析函數(shù)都一定能用冪級(jí)數(shù)表示。定理泰勒展開定理）定理泰勒展開定理）,2, 1 ,0)(!1:)1()()(,)(0)(00000 nzfnczzczfRzzDzRDzDzfnnnnn其其中中時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)上上各各點(diǎn)點(diǎn)的的最最短短距距離離的的邊邊界界到到為為內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)級(jí)數(shù)的處在Taylorzzf0)(Dk 0z rzkdzfizfncknnn 0100)(:)(21)(!1 分析：分析：代入代入(1)得

17、得Dk 0z(*)()()()()2),10010nnnzzzfzf 有有，比比較較)2)(21)( kdzfizf 又又) 1)()()(21)()()(21)(!)()(00100010000)(00 knnnnnknnnnnnndzzzfizzdzfizznzfzzc z) 2()()(11100200000 nzzzzzzzzzzz ,111)(1100000zzzzzzzz 注注意意到到, 100 qzzz 0000)()()()(nnnzzzzfzf 故故-(*)得證！得證！nnnzzzf)()()(0010 收收斂斂圓圓周周上上. .只只能能在在收收斂斂半半徑徑還還可可以以擴(kuò)擴(kuò)不

18、不然然的的話話, ,不不可可能能在在收收斂斂圓圓外外, ,奇奇點(diǎn)點(diǎn)又又不不可可能能在在收收斂斂圓圓內(nèi)內(nèi). .所所以以奇奇點(diǎn)點(diǎn)圓圓內(nèi)內(nèi)解解析析在在收收斂斂這這是是因因?yàn)闉樵谠谑帐諗繑繄A圓上上, , 奇奇點(diǎn)點(diǎn)因因此此, ,大大, ,)()2(zfA 000,)()()(zRzfzRTalorzzfzf即即之之間間的的距距離離, ,的的最最近近的的一一個(gè)個(gè)奇奇點(diǎn)點(diǎn)到到等等于于從從展展開開式式的的收收斂斂半半徑徑的的在在解解析析點(diǎn)點(diǎn)那那么么有有奇奇點(diǎn)點(diǎn), ,若若( (1 1) )2. 展開式的唯一性展開式的唯一性結(jié)論結(jié)論 解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)是唯一的，就是它解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)是唯一的，就是它的的Ta

19、ylor級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)。利用泰勒級(jí)數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)，這樣利用泰勒級(jí)數(shù)可把解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)，這樣的展開式是否唯一？的展開式是否唯一？級(jí)數(shù)為：時(shí)當(dāng)Taylorz,00 nnznfzfzffzf!)0(! 2)0( )0( )0()()(2-直接法直接法-間接法間接法直接通過計(jì)算系數(shù)直接通過計(jì)算系數(shù):由展開式的唯一性，運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、分由展開式的唯一性，運(yùn)用級(jí)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算、分 析運(yùn)算和析運(yùn)算和 已知函數(shù)的展開式來展開已知函數(shù)的展開式來展開函數(shù)展開成函數(shù)展開成Taylor級(jí)數(shù)的方法：級(jí)數(shù)的方法：), 2 , 1 , 0()(!10)(nzfncnn.!3!21), 2 , 1 , 0(1

20、)(3200)( Renzzzzeneeznzzzznz該該級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂半半徑徑在在復(fù)復(fù)平平面面上上解解析析3. 簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開式簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒展開式.0cos,sin,)(展展開開式式的的在在求求Talorzzzezfz 例例1 解解 00!)(!)(212sinnnnnzizinzinziiieez )!2()1(!4!21)(sincos242nzzzzznn又又 Rzz它們的半徑它們的半徑在全平面上解析，在全平面上解析，cos,sin 112111212!)!12()1(!)!12(221kkkkkkkzkzii 1121753!)!12()1(!7!5!3sink

21、kkkzzzzzzA 上述求上述求sinz, cosz展開式的方法即為間接法展開式的方法即為間接法.例例2 把下列函數(shù)展開成把下列函數(shù)展開成 z 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù):)1ln()() 3()1 (1)() 2(11)() 1 (2zzfzzfzzf 解解1111)1(2 zzzzzn1)1(1)(1111 zzzzznn(2)由冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)得：由冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)性質(zhì)得： 1) 1(321) 1(111)1 (1112122 znzzzzzzdzdzdzdznnnn:)1(,)1(01)3(逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分得得的的展展開開式式兩兩邊邊沿沿將將的的路路徑徑內(nèi)內(nèi)任任意意取取一一條條從從在在收收斂斂

22、圓圓cczzz 11) 1(312)1ln(132 znzzzzznn znnzzzdzzzdzdzzdz0000)1(1定理定理.)()()2(.)()()() 1 (0000冪級(jí)數(shù)內(nèi)可展成在內(nèi)解析在區(qū)域函數(shù)冪級(jí)數(shù)的某一鄰域內(nèi)可展成在解析在點(diǎn)函數(shù)DzfDzfzzczzfzzfnnn解析在點(diǎn)小結(jié)：0)(zzf級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)。的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)可可展展成成冪冪在在點(diǎn)點(diǎn)。正正向向封封閉閉路路線線的的積積分分為為鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的任任一一條條的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)且且沿沿在在點(diǎn)點(diǎn)方方程程。且且滿滿足足導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有連連續(xù)續(xù)偏偏的的實(shí)實(shí)部部和和虛虛部部在在點(diǎn)點(diǎn)的的某某一一

23、鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)。在在點(diǎn)點(diǎn)0000)()4(0)()3()()2()()1(zzfzzfRCzzfzzf &1. 函數(shù)展開成雙邊冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成雙邊冪級(jí)數(shù)&2. 展開式的唯一性展開式的唯一性4.4洛朗洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 由由4.3 知知, f (z) 在在 z0 解析，那么解析，那么 f (z)總可以在總可以在z0 的某一個(gè)圓域的某一個(gè)圓域 z - z0R 內(nèi)展開成內(nèi)展開成 z - z0 的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。假設(shè)假設(shè) f (z) 在在 z0 點(diǎn)不解析，在點(diǎn)不解析，在 z0的鄰域中就不可能展開成的鄰域中就不可能展開成 z - z0 的冪級(jí)數(shù)，但如果在圓環(huán)域的冪級(jí)數(shù)，但如果在圓環(huán)域

24、 R1z - z0R2 內(nèi)解析，內(nèi)解析，那么，那么，f (z)能否用級(jí)數(shù)表示呢？能否用級(jí)數(shù)表示呢？例如，例如，.11010:,1, 0)1(1)(內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析及及圓環(huán)域圓環(huán)域但在但在都不解析都不解析在在 zzzzzzzf nzzzzz2111zzzzzfz 111)1(1)(,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) )1(1111)1(1)(,110zzzzzfz時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若由此推想，若f (z) 在在R 1z - z0R2 內(nèi)解析內(nèi)解析, f (z) 可以展開成級(jí)數(shù)，只是這個(gè)級(jí)數(shù)含有負(fù)冪次項(xiàng)可以展開成級(jí)數(shù)，只是這個(gè)級(jí)數(shù)含有負(fù)冪

25、次項(xiàng),即即 1211)1()1(111)1()1()1(111nnzzzzzzzz 本節(jié)將討論在以本節(jié)將討論在以z 0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法。它是后面將要研究的解的函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)和計(jì)算留數(shù)的基礎(chǔ)。和計(jì)算留數(shù)的基礎(chǔ)。1. 雙邊冪級(jí)數(shù)雙邊冪級(jí)數(shù)-含有正負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)含有正負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)定義定義 形如形如)1()()()()()(001010100 nnnnnnnzzczzcczzczzczzc-雙邊冪級(jí)數(shù)雙邊冪級(jí)數(shù)正冪項(xiàng)正冪項(xiàng)(包括常數(shù)項(xiàng)包括常數(shù)項(xiàng))部分：部分：)

26、2()()()(001000 nnnnnzzczzcczzc都是常數(shù)都是常數(shù)及及其中其中), 2, 1, 0(0 nczn負(fù)冪項(xiàng)部分：負(fù)冪項(xiàng)部分：)3()()()(010110 nnnnnzzczzczzc級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)(2)是一冪級(jí)數(shù)，設(shè)收斂半徑為是一冪級(jí)數(shù)，設(shè)收斂半徑為R2 ， 則級(jí)數(shù)在則級(jí)數(shù)在z - z0=R2 內(nèi)收斂，且和為內(nèi)收斂，且和為s(z)+; 在在z - z0=R 2外發(fā)散。外發(fā)散。 則則若若令令對(duì)對(duì)于于級(jí)級(jí)數(shù)數(shù),1),3(0zz 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散。級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂則則當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)其其收收斂斂半半徑徑為為為為冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)變變數(shù)數(shù)RRR ,)4() 4()(221110 nnn

27、nnnnncccczzc )4(,11,1100則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)代代回回得得將將令令RRzzzz .;)(,1010發(fā)發(fā)散散當(dāng)當(dāng)且且和和為為收收斂斂當(dāng)當(dāng)RzzzsRzz z0R1R2有有公公共共收收斂斂域域21RR z0R2R1無無公公共共收收斂斂域域21RR 。且和且和收斂收斂稱稱，此時(shí)，此時(shí)，區(qū)域即圓環(huán)域：區(qū)域即圓環(huán)域：有公共收斂有公共收斂及及時(shí)，級(jí)數(shù)時(shí)，級(jí)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) )()()(,)()3()2(020121zszszszzcRzzRRRnnn.)()4(2010以以逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求積積和和逐逐項(xiàng)項(xiàng)求求導(dǎo)導(dǎo)和和函函數(shù)數(shù)是是解解析析的的而而且且可可內(nèi)內(nèi)的的在在級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)RzzRzzcnnn

28、A 02100)3(zzRR：，收收斂斂域域?yàn)闉榇舜藭r(shí)時(shí)可可以以可可以以。，發(fā)發(fā)散散處處處處稱稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) nnnzzcRR)()1(021(2)(2)在圓環(huán)域的邊界在圓環(huán)域的邊界z - z0z - z0=R1, =R1, z - z0z - z0=R2=R2上上, , nnnzzc。點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂，有有些些點(diǎn)點(diǎn)發(fā)發(fā)散散可可能能有有些些)(01. 函數(shù)展開成雙邊冪級(jí)數(shù)函數(shù)展開成雙邊冪級(jí)數(shù)定理定理.) 5(), 2, 1, 0()()(21:)5()()(,:)(0100201的的任任何何一一條條簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線內(nèi)內(nèi)繞繞是是其其中中則則內(nèi)內(nèi)解解析析在在設(shè)設(shè)zDcndzzzzficzzczfRzz

29、RDzfcnnnnn 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)的的在在稱稱為為L(zhǎng)aurentRzzRDzf201:)( 展展開開式式內(nèi)內(nèi)的的在在稱稱為為L(zhǎng)aurentRzzRDzf201:)( 證明證明 由復(fù)連通域上的由復(fù)連通域上的Cauchy 積分公式：積分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z(*)(21)(21)(12 dzfidzfizfkk 記為記為I1記為記為I2，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1002 zzzk ，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)記記為為1001 qzzzk )1(*)()()()(21(00010012 nnnnknnzzczzdzfiI 的的推推導(dǎo)導(dǎo)得得：重重復(fù)復(fù) 3 nnzzzzzzzz)()()(10102000 00000

30、111)(11zzzzzzzzz )2(*)()()()()(2)()()(2)()(2)()(21020210110010201021111 nnknnkkkzzczzczzcdzfizzdzfizzdfizzdzfiI :,2)(1逐項(xiàng)積分得逐項(xiàng)積分得并沿并沿兩邊乘以兩邊乘以kif 式式(*1),(*2)中系數(shù)中系數(shù)cn的積分分別是在的積分分別是在k2， k1上進(jìn)上進(jìn)行的，在行的，在D內(nèi)取繞內(nèi)取繞z0的簡(jiǎn)單閉曲線的簡(jiǎn)單閉曲線c，由復(fù)合閉路，由復(fù)合閉路定理可將定理可將cn寫成統(tǒng)一式子：寫成統(tǒng)一式子：), 2, 1, 0()()(2110 ndzficknn nnnzzczf)()(0證畢！證

31、畢！級(jí)數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為級(jí)數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級(jí)數(shù)的解析部分和主要部分。洛朗級(jí)數(shù)的解析部分和主要部分。A .)(,!)(,0)1(0)(解析的解析的內(nèi)不是處處內(nèi)不是處處在在相同相同形式上與高階導(dǎo)數(shù)公式形式上與高階導(dǎo)數(shù)公式系數(shù)系數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)czfnzfccnnnn 但但 (2) (2)在許多實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到在許多實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常遇到f (z)f (z)在奇在奇點(diǎn)點(diǎn) z0z0的鄰域內(nèi)解析，需要把的鄰域內(nèi)解析，需要把f (z)f (z)展成級(jí)展成級(jí)數(shù)，那么數(shù)，那么 就利用洛朗（就利用洛朗（ Laurent Laurent ）級(jí)數(shù)來展開。）級(jí)數(shù)來展開。級(jí)數(shù)中

32、正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為級(jí)數(shù)中正整次冪部分和負(fù)整次冪部分分別稱為洛朗級(jí)數(shù)的解析部分和主要部分。洛朗級(jí)數(shù)的解析部分和主要部分。2. 展開式的唯一性展開式的唯一性結(jié)論結(jié)論 一個(gè)在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含一個(gè)在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這個(gè)級(jí)數(shù)就是有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這個(gè)級(jí)數(shù)就是f (z)的洛朗級(jí)數(shù)。的洛朗級(jí)數(shù)。事實(shí)上，事實(shí)上，)6()()(:)(0201 nnnzzazfRzzRDzf可可表表示示為為內(nèi)內(nèi)解解析析，在在設(shè)設(shè) nnnzaf)()(0 Dz0R1R2cczDc 的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單閉閉曲曲線線，內(nèi)內(nèi)任任何何一一條條繞繞為為設(shè)設(shè)0的的正正向

33、向積積分分得得：并并沿沿為為任任一一整整數(shù)數(shù)將將上上式式兩兩邊邊乘乘以以cPzP),()(110 Dz0R1R2c dzfiaiadzadzfcpppncnpncp 101010)()(212)(1)()(解解得得：.,級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)就就是是展展開開成成級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)解解析析的的函函數(shù)數(shù)由由此此可可知知Laurent nnnzaf)()(0 A 由唯一性，將函數(shù)展開成由唯一性，將函數(shù)展開成Laurent級(jí)數(shù)，可級(jí)數(shù)，可A用間接法。在大都數(shù)情況，均采用這一簡(jiǎn)便的方用間接法。在大都數(shù)情況，均采用這一簡(jiǎn)便的方A法求函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)的法求函數(shù)在指定圓環(huán)域內(nèi)的Laurent展開式，只要展開式，

34、只要A在個(gè)別情況下，才直接采用公式在個(gè)別情況下，才直接采用公式(5)求求Laurent系系A(chǔ)數(shù)的方法。數(shù)的方法。.03級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)展展開開成成在在將將Laurentzzez )! 21(1!123033 nzzzznzzzennnz例例2解解例例3解解.01級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)展展成成在在將將Laurentzez nttntte!1! 2112在在復(fù)復(fù)平平面面上上， nznzzeztz!1!2111,121令令)0( z ! 4! 31! 211123nzzzzzn例例4級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)。的的內(nèi)內(nèi)展展開開成成（在在以以下下圓圓環(huán)環(huán)域域?qū)aurentzziiiziizizzzf02)(;21)(; 10)2)(1(1)(0 xyo1221)( ziixyo12 ziii 2)(xyo1210) zi（解解:zzzf 2111)(2112111)(zzzf 故故12110)( zzzi 012)211 (874321nnnzzz)421 (21)1 (22 zzzzzn沒沒有有奇奇點(diǎn)點(diǎn)2112111112111)(zzzzzzf 122 zz又又11121 )( zzzii 011