一元函數(shù)積分學(xué)ppt課件

1、引引 言言第三章第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)積分學(xué)分為不定積分與定積分兩部分。不定積分積分學(xué)分為不定積分與定積分兩部分。不定積分是作為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的反問題提出的，而定積分是作為微是作為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的反問題提出的，而定積分是作為微分的無限求和引進(jìn)的，兩者概念不相同，但在計算上分的無限求和引進(jìn)的，兩者概念不相同，但在計算上卻有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系。卻有著緊密的內(nèi)在聯(lián)系。本章主要研究不定積分和定積分的概念、性質(zhì)本章主要研究不定積分和定積分的概念、性質(zhì)及基本積分方法，并揭示二者的聯(lián)系，從而著重論及基本積分方法，并揭示二者的聯(lián)系，從而著重論證微積分學(xué)核心定理證微積分學(xué)核心定理( (牛頓牛頓- -萊布尼茨式公

2、式萊布尼茨式公式) )，解決，解決定積分的計算問題，同時研究定積分在幾何、物理定積分的計算問題，同時研究定積分在幾何、物理及醫(yī)學(xué)等方面的應(yīng)用，最后簡單研究廣義積分。及醫(yī)學(xué)等方面的應(yīng)用，最后簡單研究廣義積分。本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容3.1 不定積分不定積分3.2 不定積分的計算不定積分的計算3.3 定積分定積分3.4 定積分的計算定積分的計算3.5 廣義積分廣義積分3.1.1 3.1.1 不定積分的概念不定積分的概念3.1.2 3.1.2 不定積分的基本公式和不定積分的基本公式和 運算法則運算法則微分法微分法: :)?()( xF積分法積分法: :)()?(xf互逆運算互逆運算。xFxf)(),

3、(反問題求設(shè)已知)(, )(xfxF求求設(shè)設(shè)已已知知3.1.1 3.1.1 不定積分的概念不定積分的概念問題提出問題提出定義定義1 若在某一區(qū)間上，若在某一區(qū)間上，F(xiàn)(x)=f(x) ，則在這個，則在這個區(qū)間上，函數(shù)區(qū)間上，函數(shù) F(x) 叫做函數(shù)叫做函數(shù) f(x) 的一個原函數(shù)。的一個原函數(shù)。一、不定積分的定義一、不定積分的定義定理定理1 1 若函數(shù)若函數(shù)f(x)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，那么在某區(qū)間上連續(xù)，那么f(x)f(x)在該區(qū)在該區(qū)間上的原函數(shù)一定存在。間上的原函數(shù)一定存在。定理定理2 2 若函數(shù)若函數(shù)f(x)f(x)有原函數(shù)，那么它就有無數(shù)多個原函有原函數(shù)，那么它就有無數(shù)多個原函數(shù)數(shù)

4、. .定理定理3 3 函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的任意兩個原函數(shù)的差是一個常數(shù)。的任意兩個原函數(shù)的差是一個常數(shù)。關(guān)于原函數(shù)，先研究三個問題：關(guān)于原函數(shù)，先研究三個問題：a.函數(shù)函數(shù)f(x)應(yīng)具備什么條件，才能保證其原函數(shù)一定存在？應(yīng)具備什么條件，才能保證其原函數(shù)一定存在？ b.若函數(shù)若函數(shù)f(x)有原函數(shù)，那么原函數(shù)一共有多少個？有原函數(shù)，那么原函數(shù)一共有多少個？ c.函數(shù)函數(shù)f(x)的任意兩個原函數(shù)之間有什么關(guān)系？的任意兩個原函數(shù)之間有什么關(guān)系？定理定理1 1：若：若F(x)F(x)是是f(x)f(x)的一個原函數(shù)，則的一個原函數(shù)，則f(x)f(x)的所有原的所有原函數(shù)都可以表示成函數(shù)都可以表

5、示成F(x)+CF(x)+CC C為任意常數(shù)）。為任意常數(shù)）?？紤]：如何證明？考慮：如何證明？定義定義2 2 若若F(x)F(x)是是f(x)f(x)的一個原函數(shù)，則的一個原函數(shù)，則f(x)f(x)的的所有原函數(shù)所有原函數(shù)F(x)F(x)C C稱為稱為f(x)f(x)的不定積分，記為的不定積分，記為x 稱為積分變量稱為積分變量f(x)稱為被積函數(shù)，稱為被積函數(shù)，f(x)dx 稱為被積表達(dá)式稱為被積表達(dá)式其中其中 稱為積分號，稱為積分號，C 稱為積分常數(shù)稱為積分常數(shù)CxFdxxf)()(例例1 1 求下列不定積分求下列不定積分(1)3 3x dx. xe dx. (2)解：解：34341 14

6、4x dxxC (2)(3)xxeeC 3441xx xxee(3)xdxcos(1)xxcos=)(sinCxxdxsincos例例2 2 用微分法驗證等式：用微分法驗證等式：Cxdxx)32sin(21)32cos() 32cos()32sin(21xx) 32sin(21xCxdxx) 32sin(21) 32cos(證明：因為證明：因為是是cos(2x+3)cos(2x+3)的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)，所以所以即即yxo0 x幾何意義：不定積分幾何意義：不定積分 表示積分曲線表示積分曲線y=F(x)沿沿y軸上下平移而得到的一族積分曲線。軸上下平移而得到的一族積分曲線。 CxFdxxf)

7、()(二、不定積分的幾何意義二、不定積分的幾何意義例例3 求經(jīng)過點求經(jīng)過點(1,3)，且其切線的斜率為，且其切線的斜率為2x的曲線方程。的曲線方程。解：由曲線切線斜率為解：由曲線切線斜率為2x且不定積分定義可知且不定積分定義可知得曲線簇得曲線簇 y=x2+C, 將將x=1,y=3代入，得代入，得 C=2所以所以 y=x2+2 Cxxdx223.1.2 3.1.2 不定積分的基本公式和運算法則不定積分的基本公式和運算法則一、不定積分的基本公式一、不定積分的基本公式 由不定積分的定義可知，不定積分就是微分由不定積分的定義可知，不定積分就是微分運算的逆運算。因而，有一個導(dǎo)數(shù)或微分公式，運算的逆運算。

8、因而，有一個導(dǎo)數(shù)或微分公式，就對應(yīng)地有一個不定積分公式。就對應(yīng)地有一個不定積分公式。序號序號12345)()(xfxFCxFdxxf)()(kCkx)(xx)11(1Ckxkdx) 1(111Cxdxxxx1)(lnCxdxxln1xxaaa )ln(Caadxaxxlnxxee )(Cedxexx基本積分表基本積分表67891011xxcos)(sinxxsin)cos(xx2sec)(tanxx2csc)cot(211)(arcsinxx211)(arctanxxCxxdxsincosCxxdxcossinCxxdxtansec2Cxxdxcotcsc2Cxdxxarcsin112Cxdx

9、xarctan112例例4 4求下列不定積分求下列不定積分(1)xdx (2)3 31 1dxx (3)xdx 解：解： (1)1 11 11 11 11 1xdxxC 2 21 12 2xC(2)3 33 31 1dxx dxx 3 13 11 13131xC 2 21 12 2Cx (3)1 12 2xdxx dx 1 11 12 21 11 11 12 2xC 3 32 22 23 3xC2 23 3xxC)0(|ln1xCxdxx例例5 5 驗證驗證解：當(dāng)解：當(dāng)x0 x0時，時，當(dāng)當(dāng)x0 x0時，時，所以所以 xxx1)(ln|)|(ln xxxxx1)(1()ln(|)|(ln)0(

10、|ln1xCxdxx關(guān)于不定積分，還有如下等式成立：關(guān)于不定積分，還有如下等式成立：2.2. )()(xfdxxf dxxfdxxfd)()(1.1.Cxfdxxf)()( Cxfxdf)()(或或或或. .不為零的常數(shù)因子，可移動到積分號前。不為零的常數(shù)因子，可移動到積分號前。. .兩個函數(shù)的代數(shù)和的積分等于函數(shù)積分的兩個函數(shù)的代數(shù)和的積分等于函數(shù)積分的代數(shù)和代數(shù)和（k0） dxxfkdxxkf)()(dxxgdxxfdxxgxf)()()()(二、不定積分的運算法則二、不定積分的運算法則（可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）（可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）例例6 6 求求dxexxx)12(

11、sin2dxedxxxdxx212sin解：原式=Cexxxarctan2cos直接積分法：利用不定積分的運算性質(zhì)和積分直接積分法：利用不定積分的運算性質(zhì)和積分基本公式直接計算出不定積分的方法。基本公式直接計算出不定積分的方法。例例7 7 求求dxxx241dxxdxxxx2222111) 1)(1(解：原式解：原式dxxdxx2211) 1(Cxxxarctan33dxxx24111例例8 8 求求dxx2cos2dxx2cos1解：原式解：原式= =Cxxsin2121dxxdx2cos21例例9 9 求求xdx2tan dxx) 1(sec2解：原式解：原式= =Cxx tandxxdx

12、2sec說明：說明： 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用基本積分公式。才能使用基本積分公式。課堂思考課堂思考? ? )()()()( 除法呢對嗎乘法dxxgdxxfdxxgxf不對，例如xxgxf)()(3.2 3.2 不定積分的計算不定積分的計算 利用基本積分公式及不定積分的性利用基本積分公式及不定積分的性質(zhì)直接計算不定積分，有時很困難，質(zhì)直接計算不定積分，有時很困難，因而，需要引進(jìn)一些方法和技巧。下因而，需要引進(jìn)一些方法和技巧。下面介紹不定積分的兩大積分方法面介紹不定積分的兩大積分方法: :換元換元積分法與分部積分法積分法與分部積分法3

13、.2.1 3.2.1 換元積分法換元積分法 一、第一類換元積分法湊微分法）一、第一類換元積分法湊微分法） 有一些不定積分，將積分變量進(jìn)行有一些不定積分，將積分變量進(jìn)行一定的變換后，積分表達(dá)式由于引進(jìn)中一定的變換后，積分表達(dá)式由于引進(jìn)中間變量而變?yōu)樾碌男问?，而新的積分表間變量而變?yōu)樾碌男问?，而新的積分表達(dá)式和新的積分變量可直接由基本積分達(dá)式和新的積分變量可直接由基本積分公式求出不定積分來。公式求出不定積分來。例如例如想到基本積分公式想到基本積分公式若令若令u2x，把，把2x看成一個整體新的積分變量），看成一個整體新的積分變量），這個積分可利用基本積分公式算出來這個積分可利用基本積分公式算出來 ?

14、)2cos(dxxCxCuuduxdxdxx 2sin21sin21cos21)2()2cos(21)2cos( Cxxdxsincos定理定理1 設(shè)設(shè)f(u)具有原函數(shù)具有原函數(shù)F(u) ，u(x)可導(dǎo)可導(dǎo) 則則有有第一類換元積分法第一類換元積分法 dxxxf)()( )()(xuduuf 第一類換元公式湊微分法）第一類換元公式湊微分法）CxF)(),()(uFuf有有原原函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè),)(可導(dǎo)可導(dǎo)xu 則有換元公式則有換元公式xxxfd )()()(d)(xxf)(xuCuF)(uufd)(CxF)(ux )(注意注意 使用此公式的關(guān)鍵在于將使用此公式的關(guān)鍵在于將 CxFxdxfdxxxf

15、)()()()()( 即將即將)()()()(xdxfdxxxf拼湊成第一類換元法又稱為湊微分法。第一類換元法又稱為湊微分法。例例10 10 求求 dxx12)12(1221xdx解：原式解：原式= =Cx23) 12(3221Cx23) 12(31推廣推廣) 0( )( adxbaxm求)()(1)( 1 baxdbaxadxbaxmmm時當(dāng)解：解：Cbaxabaxbaxdabaxdxm|ln1)(1 1 時當(dāng)Cmabaxm) 1()(1例例11 11 求求xdxtan dxxxcossin解：原式解：原式= =Cxxdx |sin|lncot類類似似可可得得xxdcos)(cosCx |c

16、os|lnCx |sec|ln例例12 12 求求) 0( 22axadxdxxaxaa)11(21解：原式解：原式= =Cxaaxaa|ln21|ln21xadxaxadxa2121xaxadaxaxada)(21)(21Cxaxaa|ln21例例13 13 求求xdxcsc dxxsin1解：原式解：原式= =Cxxcos1cos1ln21 dxxx2sinsin xxd2cos1cos 1coscos2xxdCxxsincos1lnCxx|cotcsc|ln同理可得同理可得Cxxxdx|tansec|lnsec例例14 14 求求dxx 2cos dxx22cos1Cxx 42sin2d

17、xx2cos解：解：) )2(221(21xxdcoxdx說明：正余弦三角函數(shù)積分的偶次冪時，一般應(yīng)說明：正余弦三角函數(shù)積分的偶次冪時，一般應(yīng)先降冪。先降冪。例例15 15 求求解解dxx 3sin說明：正余弦三角函數(shù)積分奇次冪，拆開奇次項去說明：正余弦三角函數(shù)積分奇次冪，拆開奇次項去湊微分。湊微分。dxx 3sindxxx sinsin2 xdxcos)cos1 (2Cxx )cos31(cos3例例16 16 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxxCxxx 753sin7

18、1sin52sin31說明：正余弦三角函數(shù)相乘積分時，拆開奇次項去湊說明：正余弦三角函數(shù)相乘積分時，拆開奇次項去湊微分。微分。 )(sincossinxxdx42例例17 17 求求解：解：),4sin8(sin212cos6sinxxxx xx2cos6sinCxx4cos818cos161利用三角學(xué)中的積化和差公式，得利用三角學(xué)中的積化和差公式，得xdxx2cos6sin dxxx)4sin8(sin21xdxxdx4sin218sin21例例18 18 求求.2sin xdx解法一解法一 xdx2sin )2(2sin21xxdCx2cos21解法二解法二 xdx2sin xdxxcos

19、sin2 )(sinsin2xxdCxsin2+=解法三解法三 xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxdCx 2cos湊微分常見類型湊微分常見類型1)()()(. 1111nxdxfdxxxfnnnn)()(2)(. 2xdxfdxxxfxdxfdxxxfln)(ln)(ln. 3)1()1()1(. 42xdxfdxxxf)(sin)(sincos)(sin. 5xdxfxdxxxxxxdeefdxeef)()(. 6)(tan)(tansec)(tan. 72xdxfxdxxf)(arctan)(arctan1)(arctan. 82xdxfdxxxf二、第二類換元

20、積分法二、第二類換元積分法 第一類換元積分法是利用湊微分的方法，第一類換元積分法是利用湊微分的方法，把一個較復(fù)雜的積分化成便于利用基本積分把一個較復(fù)雜的積分化成便于利用基本積分公式的形式。但是，有時不易找出湊微分式，公式的形式。但是，有時不易找出湊微分式，卻可以設(shè)法作一個代換卻可以設(shè)法作一個代換 x(t)，而積分，而積分目的：去根號或化為基本積分公式目的：去根號或化為基本積分公式dtttfdxxf)( )()(可用基本積分公式求解?？捎没痉e分公式求解。定理定理2 設(shè)設(shè)f(x)連續(xù)，連續(xù)，x(t)是單調(diào)可導(dǎo)的連續(xù)是單調(diào)可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)，且其導(dǎo)數(shù)函數(shù)，且其導(dǎo)數(shù)(t)0，x(t)的反函數(shù)的反函數(shù)t=

21、-1(x)存在且可導(dǎo)，并且存在且可導(dǎo)，并且那么那么CtFdtttf)()( )(CxFdxxf)()(1根式代換根式代換例例19 19 求求解：解： 考慮到被積函數(shù)中的根號是困難所在，故考慮到被積函數(shù)中的根號是困難所在，故xt 令令,2tx ,2tdtdx dxx 11dttt 211dttt 12Ctt |)1|ln(2回回代代將將xt Cxx |)1|ln(2原原式式dxx 11dtt 1112當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式 時，時，可采用令可采用令x=tnx=tn其中其中n n為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）lkxx,例例20 20

22、求求.)1(13dxxx 解：解：令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216dttt 2216dttt 221116dttdt21166Ctt arctan66Cxx 66arctan66例例21 21 求求. ) 0( d22 axxa解解: :令令, ),(,sin22ttax那那么么taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22三角代換三角代換例例22 22

23、求求. )0(d22aaxx解解: 令令, ),(,tan22ttax那那么么22222tanataaxtasecttaxdsecd2原式原式ttdsec1tanseclnCtt)ln(1aCC Caxx 22ln122lnCaxaaxdttcos1dttatasecsec2dttt2coscosttd2cossinttd2sin1sin1|sin1 |ln|sin1 |ln21Ctt1sin1sin121Ctt1cossin1Cttax22ax t小小 結(jié)結(jié)注意：三角代換的目的是化掉根式。注意：三角代換的目的是化掉根式。三角代換常有下列規(guī)律三角代換常有下列規(guī)律22) 1 (xa 可令可令ta

24、xsin=22)2(xa 可令可令taxtan=22)3(ax 可令可令taxsec=例例23 23 求求解解.dxxxa 422令令tx1 ,12dttdx dtttta 2422111dttta 122dxxxa 422分母的次冪太高分母的次冪太高dxxxax 4220,時時當(dāng)當(dāng))(112122222 tadtaaCata 2232231)(.)(Cxaxa 3223223dxxxax 4220,時時當(dāng)當(dāng).3)(322322Cxaxa 03)(03)(322322322322422xCxaxaxCxaxadxxxa例例24 24 求求dxxxn )(11令令tx1 ,12dttdx dxx

25、xn )(11dttttn 2111dtttnn11Ctnn |ln 11.|lnCxnn 111解解倒數(shù)代換倒數(shù)代換小結(jié)小結(jié)兩類積分換元法：兩類積分換元法： （一湊微分（一湊微分（二三角代換、根式代換、倒數(shù)代換（二三角代換、根式代換、倒數(shù)代換三角代換常有下列規(guī)律三角代換常有下列規(guī)律22) 1 (xa 可令可令taxsin=22)2(xa 可令可令taxtan=22)3(ax 可令可令taxsec=考慮積分考慮積分 ?cosxdxx解決思路解決思路利用分部積分法利用分部積分法問題的提出問題的提出3.2.2 3.2.2 分部積分法分部積分法設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xuu 和和)(xvv 具具有有連連續(xù)續(xù)

26、導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,vuvuuv , vuuvvu 移移項項,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部積分公式分部積分公式下面利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則，得出求積下面利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則，得出求積分的基本方法分的基本方法分部積分法。分部積分法。對此不等式兩邊求不定積分對此不等式兩邊求不定積分即即分部積分過程：分部積分過程： vdxuuvvduuvudvdxvu )()()( )(xvdxudxxvxu )()()()(xudxvxvxu dxxuxvxvxu)( )()()(應(yīng)用分部積分法時，可按下述步驟計算：應(yīng)用分部積分法時，可按下述步驟計算： ( (湊微：定出湊微：定出) ) ( (

27、分部：利用分部積分公式分部：利用分部積分公式) ) （積分）（積分）例例25 25 求積分求積分.cos xdxx解解:令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx xvsin若令若令,cosxu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222顯然，顯然， 選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行。選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行。vu ,若若u和和dv選取不當(dāng)，就求不出結(jié)果，所以應(yīng)用選取不當(dāng)，就求不出結(jié)果，所以應(yīng)用分部積分法時，恰當(dāng)選取分部積分法時，恰當(dāng)選取u和和dv是一個關(guān)鍵。是一個關(guān)鍵。選取選取u和和dv一般要考慮下面

28、兩點：一般要考慮下面兩點：(1)v要容易求得；要容易求得；(2)vdu要比要比udv容易積出容易積出例例26 26 求積分求積分.lnxdxx解解,ln xu ,22xdxdxdv xdxxln xdxxx21212ln 221xdxlnCxxx 224121ln若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的乘積，若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)為就考慮設(shè)對數(shù)函數(shù)為u u。22xv 考慮：如何求考慮：如何求xxxndln例例27 27 求積分求積分.arctan xdxx解解:令令,arctanxu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx

29、dxxxxx222112arctan2 xxarctan22 .)arctan(21arctan22Cxxxx dxx)111 (212 若被積函數(shù)是冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，若被積函數(shù)是冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)反三角函數(shù)為就考慮設(shè)反三角函數(shù)為u u。例例26 26 求積分求積分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 復(fù)原法在求不定積分時有著廣

30、泛的應(yīng)用。復(fù)原法在求不定積分時有著廣泛的應(yīng)用。在計算方法在計算方法熟練后，分熟練后，分部積分法的部積分法的替換過程可替換過程可以省略。以省略。被積函數(shù)類型及被積函數(shù)類型及u和和dv的選取法的選取法dxedvxPudxexPaxax),()(xdxdvxPuxdxxPsin),(sin)(xdxdvxPuxdxxPcos),(cos)(dxxPdvxuxdxxP)(,lnln)(dxxPdvxuxdxxP)(,arcsinarcsin)(dxxPdvudxxP)(arctan,arctan)(dvubxdxeax,sin類型類型：類型類型：類型類型：任意選取任意選取3.3 3.3 定積分定積分(

31、Definite Integrals)定積分是積分學(xué)的一個重要概念，在科學(xué)研定積分是積分學(xué)的一個重要概念，在科學(xué)研究和生產(chǎn)實踐中應(yīng)用十分廣泛，如平面圖形面積、究和生產(chǎn)實踐中應(yīng)用十分廣泛，如平面圖形面積、變力所作的功等均可歸結(jié)為定積分問題。變力所作的功等均可歸結(jié)為定積分問題。本節(jié)從求曲邊梯形的面積和變速直線運動的本節(jié)從求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程入手，引出定積分的概念，接著考慮其性質(zhì)、路程入手，引出定積分的概念，接著考慮其性質(zhì)、計算及其應(yīng)用。計算及其應(yīng)用。abxyo? A曲曲邊邊梯梯形形由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線實例實例1 (1 (求曲邊梯形的面求曲邊梯形的面積積) )(xfy )0)( xf

32、、x軸與兩條直線軸與兩條直線ax 、bx 所所圍圍成成.)(xfy 一、定積分的概念一、定積分的概念abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積（四個小矩形）（四個小矩形）（九個小矩形）（九個小矩形）觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。播放播放曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形如圖所示，,1210bxxxxxabann 個個分分點點，內(nèi)內(nèi)插插入入若若干干在在區(qū)區(qū)間間abxyoi

33、 ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長度為長度為，個小區(qū)間個小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點上任取一點在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間iiixx ,1 為為高高的的小小矩矩形形面面積積為為為為底底，以以)(,1iiifxx 近似近似分割分割iiixfA )( iniixfA )(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfA )(lim10 時時，趨趨近近于于零零即即小小區(qū)區(qū)間間的的最最大大長長度度當(dāng)當(dāng)分分割割無無限限加加細(xì)細(xì))0(,max,21 nxxx曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為求和求和取極限取極限實例實例2 2 變速直線運動的路變速直線運動的路程程

34、 把整段時間分割成若干小時間段，每把整段時間分割成若干小時間段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程小段上速度看作不變，求出各小段的路程的近似值的近似值,再相加，便得到路程的近似值，再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細(xì)分過程求得路程最后通過對時間的無限細(xì)分過程求得路程的精確值。的精確值。對于勻速運動，有公式對于勻速運動，有公式 路程路程= =速度速度時間時間解決變速直接運動的路程的基本思路解決變速直接運動的路程的基本思路設(shè)某物體作直線運行，速度設(shè)某物體作直線運行，速度v=v(t)是時間間隔是時間間隔T1,T2上上t的一個連續(xù)函數(shù)，求物體在這段時間內(nèi)的一個連續(xù)函數(shù)，求物體在這段時

35、間內(nèi)所經(jīng)過的路程。所經(jīng)過的路程。(1)分割分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvS )( 部分路程值部分路程值某時刻的速度某時刻的速度(3)求和求和iiniitvSS )(1 (4)取極限取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精確值路程的精確值(2)近似近似上述兩個問題的共性：上述兩個問題的共性： 解決問題的方法步驟相同：解決問題的方法步驟相同：“分割，近似，求和，取極限分割，近似，求和，取極限” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同：所求量極限結(jié)構(gòu)式相同： 特殊乘積和式的極限特殊乘積和式的極限許多問題的解決都可以化為上述特定和式的許多問題的解決都可以化為上

36、述特定和式的極限問題，將其一般化，就得到定積分的概念。極限問題，將其一般化，就得到定積分的概念。 曲邊梯形的面積 niiixfS10)(lim 變速直線運動的路程變速直線運動的路程 iniitvS)(lim10設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，在在,ba中中任任意意插插入入若若干干個個分分點點bxxxxxann 1210各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點點i （iix ），作作和和iinixfS )(1 ， 2 2、定積分的定義、定積分的定義定義定義1怎怎樣樣的的分分法法，也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx

37、 上上點點i 怎樣的取法，怎樣的取法，若若 在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分， badxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積積分分區(qū)區(qū)間間,ba記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和 (2) (2)定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)，即積分變量的記法無關(guān)，即根據(jù)定積分的定義，曲邊梯形的面積為根據(jù)定積分的定義，曲邊梯形的面積為 dxxfSba 變速直線運動的路程為變速直線運動的路程為 dttvSTT21 duufdttfdxxfbababa 注意注意:(

38、1):(1)定義中區(qū)間的分法和定義中區(qū)間的分法和 的取法是任意的。的取法是任意的。 i , 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積的負(fù)值曲邊梯形的面積的負(fù)值3 3、定積分的幾何意義、定積分的幾何意義abxyooyabxO y x一般情況下，定積分一般情況下，定積分 表示曲線表示曲線y=f(x)與與x 軸介于軸介于a、b之間的各部分面積的代數(shù)和。之間的各部分面積的代數(shù)和。 dxxfba 321)(SSSdxxfbab y = f(x)a1S2S3S例例1 1 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.102dxx xy012xy

39、 ni1 ninnifAi1)(nni12采用采用“以以直代曲直代曲的方法的方法解：解：將將1 , 0n等等分分，分分點點為為nixi ，(ni, 2 , 1 ) 小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 的的長長度度nxi1 ，( (ni,2 , 1 ) ) 取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx (1) 分割分割(2)(2)近似近似(3)(3)求和求和nni12nnifAi1)(nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnnnn121161 n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 (4)(4)

40、取極限取極限例例2 2dxx 1021計計算算積積分分義義知知，該該積積分分值值等等于于解解：由由定定積積分分的的幾幾何何意意的的面面積積（見見下下圖圖）所所圍圍及及軸軸，曲曲線線10,12 xxxxy面積值為圓的面積的面積值為圓的面積的4141102 dxx所所以以x1y小小 結(jié)結(jié). .定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限. .定積分的思想和方法：定積分的思想和方法：求和求和積零為整積零為整取極限取極限精確值精確值定積分定積分化整為零化整為零分割分割直不變代曲變）直不變代曲變）近似近似觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊

41、梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察下列

42、演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割

43、加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊

44、梯形面積的關(guān)系。觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。對定積分的補(bǔ)充規(guī)定對定積分的補(bǔ)充規(guī)定: :（2）當(dāng)當(dāng)ba 時時， abbadxxfdxxf)()(.二、定積分的性質(zhì)二、定積分的性質(zhì) badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.性質(zhì)性質(zhì)1 1性質(zhì)性質(zhì)2 2(k(k為常數(shù)為常數(shù)) ) badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.補(bǔ)充：不論補(bǔ)充：不論a,b,c的相對位置如何的相對位置如何, 上式總成立。上式總成立。(積分區(qū)間的可加性積分區(qū)間的可加性)設(shè)設(shè)bca 性質(zhì)性質(zhì)3

45、 3babadxxfkdxxkf)()(dxba 1dxba ab .性質(zhì)性質(zhì)4 4性質(zhì)性質(zhì)5 5推論推論證明：證明：,)(Mxfm ,)( bababaMdxdxxfdxm).()()(abMdxxfabmba （此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）則則 )()()(abMdxxfabmba . .性質(zhì)性質(zhì)6 6證明：證明：Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，在區(qū)間由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知，在區(qū)間a,b上上性質(zhì)性質(zhì)7 7定積分中值定理）定積分中值定理）,)(1)( badxxfabf至少存在

46、一個點至少存在一個點，使，使)()()(baabfdxxfba)()()(baabfdxxfba若函數(shù)若函數(shù)f(x)f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,ba,b上連續(xù)，則在積分區(qū)上連續(xù)，則在積分區(qū)間間a,ba,b上至少存在一點上至少存在一點 ，使，使積分中值公式積分中值公式積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋：xyoab )( f的的一一個個矩矩形形的的面面積積。3.4 定積分的計算定積分的計算3.4.1 3.4.1 微積分基本定理微積分基本定理3.4.3 3.4.3 定積分的分部積分法定積分的分部積分法3.4.2 3.4.2 定積分的換元積分法定積分的換元積分法3.4.4 3.4.4 定積

47、分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用3.4.13.4.1微積分基本定理微積分基本定理 為了得到微積分基本定理，先研究為了得到微積分基本定理，先研究積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)，并且設(shè)上連續(xù)，并且設(shè)x為為a,b上的一點，考察定積分上的一點，考察定積分 xadxxf)( xadttf)(記作記作.)()( xadttfx積分上限函數(shù)積分上限函數(shù)一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù). 0)()( aadttfa.)()(xadttfx是是x x的函數(shù)的函數(shù)（或稱可變上限積分）（或稱可變上限積分）注注積分上限函數(shù)的性質(zhì)積分上限函數(shù)的性質(zhì) 定理定理1

48、假設(shè)假設(shè) 在在a,b上連續(xù)，則積分上限函數(shù)上連續(xù)，則積分上限函數(shù) 在在a,b上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)上具有導(dǎo)數(shù)，且它的導(dǎo)數(shù)是是)(xf xadttfx)()()()()( xfdttfdxdxxa證明：證明：給給x以改變量以改變量x，則函數(shù)，則函數(shù)(x)的相應(yīng)改變量為的相應(yīng)改變量為xaxxadttfdttfxxxx)()()()()(axxxadttfdttf)()(xxxdttf)(由積分中值定理得由積分中值定理得)()()()(xxxxfdttfxxxx從而有從而有)()(fxx由于由于f(x)在在a,b上連續(xù)，又因上連續(xù)，又因x0時，時，0。故。故)()(lim)(lim00 xffxxx

49、x).()(xfx 例例3 3 設(shè)設(shè) xtdtx12sin)()3( 解：解：xtdtdxdx12sin)()3(，求，求x2sin)3(sin22)23(43例例4 4 設(shè)設(shè) ，求，求 axdttfx2)()()(x解：設(shè)解：設(shè)u=2x，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則dxdudttfdudxau )()(2)( uadttfdud2)(uf)2(2xf )(2uf00分析：這是分析：這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則。型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則。解：解：例例5 5 求求 20202)1sin(limxdttxxxxxxdtt)()1sin(lim20202 原原式式xxxx22)1si

50、n(lim401sin 思考題思考題badxxdxd2sin. 1badxxdad2sin. 2badxxdbd2sin. 3答案答案0sin. 12badxxdxd22sinsin. 2adxxdadba22sinsin. 3bdxxdbdba二、微積分基本定理二、微積分基本定理微積分基本定理也可叫做牛頓微積分基本定理也可叫做牛頓- -萊布尼茨萊布尼茨公式，它是用求原函數(shù)的方法計算定積分的公式，它是用求原函數(shù)的方法計算定積分的數(shù)值。數(shù)值。定理定理 （微積分基本公式）（微積分基本公式） 已已知知)(xF是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，CxxF )()(,bax 證明：證明： 假設(shè)假設(shè) F

51、(x) 是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù) f(x) 在區(qū)間在區(qū)間a,b上的一上的一個原函數(shù)，那么個原函數(shù)，那么)()()(aFbFdxxfba ).()()(aFbFdxxfba 令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF),()()(aFxFdttfxa ),()()(aFdttfxFxa 令令 bx牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxF)( 一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間a,b上的定積分可用它的上的定積分可用它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間任意一個原函數(shù)在區(qū)間a,b端點上的值來表示。端點上的值來表示。

52、牛頓牛頓_ _艾薩克艾薩克1642172716421727） 最負(fù)盛名的數(shù)學(xué)家、科學(xué)家最負(fù)盛名的數(shù)學(xué)家、科學(xué)家和哲學(xué)家。他在和哲學(xué)家。他在16871687年年7 7月月5 5日發(fā)日發(fā)表的表的 里提里提出的萬有引力定律以及他的牛頓出的萬有引力定律以及他的牛頓運動定律是經(jīng)典力學(xué)的基石。牛運動定律是經(jīng)典力學(xué)的基石。牛頓還和萊布尼茨各自獨立地發(fā)明頓還和萊布尼茨各自獨立地發(fā)明了微積分。了微積分。萊布尼茲萊布尼茲1646-1716 ）17、18世紀(jì)之交德國最重世紀(jì)之交德國最重要的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)要的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，一個舉世罕見的科學(xué)天才，家，一個舉世罕見的科學(xué)天才，和牛頓同為微積分的創(chuàng)建人

53、。和牛頓同為微積分的創(chuàng)建人。他博覽群書，涉獵百科，對豐他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學(xué)知識寶庫做出了富人類的科學(xué)知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)。不可磨滅的貢獻(xiàn)。例例6 6 求求 .)sin3(20 dxxx原式原式 2020sin3 xdxxdx解：解： 22002cos23 xx 1832 例例7 7 設(shè)設(shè) , , 求求 . . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解：解： 102120)()()(dxxfdxxfdxxf102152dxxdx. 6 xyo12例例8 8 求求 解：解：.112dxx 當(dāng)當(dāng)0 x時時，x1的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是|ln x,dxx 121 1

54、2|ln x2ln1ln . 2ln3.3.微積分基本公式微積分基本公式1.1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfx)()(2.2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()(xfx )()()(aFbFdxxfba 小小 結(jié)結(jié)牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系。間的關(guān)系。由牛頓萊布尼茨公式，定積分的求值問題由牛頓萊布尼茨公式，定積分的求值問題可以轉(zhuǎn)化為不定積分的問題，但有時運算過程冗可以轉(zhuǎn)化為不定積分的問題，但有時運算過程冗長復(fù)雜。若采用定積分換元法，比較簡便，下面長復(fù)雜。若采用定積分換元法，比較簡便，下面討論定積分換元法。討論定積分換元

55、法。3.4.2 定積分的換元積分法定積分的換元積分法 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. .的函數(shù)，而只要把新變量的函數(shù)，而只要把新變量積分限也相應(yīng)的改變。積分限也相應(yīng)的改變。換成新變量換成新變量把變量把變量(1)用用應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意:)(tx xt時，時，)()(ttf )(t )(t xt)(t (2)求出求出的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)不必象計算不定積分那樣再要把不必象計算不定積分那樣再要把原變量原變量限分別代入限分別代入然后相減就行了。然后相減就行了。后，后，變換成變換成的上、下的上、下例例1 1 計算計算.sincos205 xdxx解解令令,cos

56、xt 2 x0 t0 x1t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 xdxdtsin例例2 2 計算計算)0( 022adxxaa考慮考慮:幾幾何意義？何意義？axy解：設(shè)解：設(shè)tdtadxtaxcos sin 0, t 0 xdttadxxaa2022022cosdtta202)2cos1(22022sin212tta 2/ t ax42a證明：證明：,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx , 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf例例5)(xf,aa )(xf aaadxxfdxxf0)(2)()(xf

57、aadxxf0)(當(dāng)當(dāng)在在上連續(xù)，且有上連續(xù)，且有為奇函數(shù)，那么為奇函數(shù)，那么為偶函數(shù)，那為偶函數(shù)，那么么)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 考慮：幾考慮：幾何意義？何意義？幾何解釋：幾何解釋：偶函數(shù)偶函數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù)例例4 4 計算計算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(

58、1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積定積分的換元法定積分的換元法dxxfba )(dtttf )()(小小 結(jié)結(jié)定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式推導(dǎo)推導(dǎo) ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv3.4.3 3.4.3 定積分的分部積分法定積分的分部積分法例例1 1 計算計算.arcsin210 xdx解：解：令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1

59、(112120221xdx 12 21021x . 12312 那么那么例例2 2 計算計算dxxdxxee11ln)ln(1原式解：解：1111ln0exeedxxee1|ln|111111lnln)ln(eeexxdxxdxxeeedxxxdxx111lnln122|ln| 1edxxee121e) 1( ee1例例3 3 計算計算解：設(shè)解：設(shè)tdtdxtxxt2 2 , 0t 0 x 20sin2 tdtt原原式式 20)cos(2 ttd 2020)coscos(2 tdttt20sin2t 2t 42 xdxx402sin2定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式 . bababav

60、duuvudv小小 結(jié)結(jié)（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）3.4.4 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用 一、微元法一、微元法在應(yīng)用定積分解決實際問題時，關(guān)鍵是在應(yīng)用定積分解決實際問題時，關(guān)鍵是將實際問題歸結(jié)為定積分。定積分將實際問題歸結(jié)為定積分。定積分 的定義導(dǎo)出有四步，先將的定義導(dǎo)出有四步，先將a,b分成分成n個小區(qū)間，個小區(qū)間，然后在每個小區(qū)間上作近似替然后在每個小區(qū)間上作近似替代代 ，再求代數(shù)，再求代數(shù)和和 ，最后取極限，最后取極限dxxfba)(iiixfA)(1)(niiixf10)(limniiixf具體問題只要抓住如下兩步便可：具體問題只要抓住如下兩步便