第6章彎曲應力

1、61 梁的純彎曲梁的純彎曲 62 純純彎曲時的正應力彎曲時的正應力63 橫力彎曲時的正應力橫力彎曲時的正應力64 彎曲切應力彎曲切應力65 提高提高彎曲強度的措施彎曲強度的措施6 6 梁的純彎曲梁的純彎曲2、橫力彎曲構件橫截面上的（內(nèi)力）、應力、橫力彎曲構件橫截面上的（內(nèi)力）、應力內(nèi)力剪力Q 剪應力t t彎矩M 正應力s s1、橫力彎曲、橫力彎曲橫截面上既有剪力Q又有彎矩M的情況q 某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒有剪力時，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB段。PPaaABQMxx3 . 純彎曲純彎曲 只有正應力，沒有剪應力4 . 純彎曲段橫截面上的應力純彎曲段橫截面上的應力6 62 2 純彎曲時梁橫截面上

2、的正應力純彎曲時梁橫截面上的正應力1.梁的純彎曲實驗 橫向線(a b、c d）變形后仍為直線，但有轉動；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。（一）變形幾何規(guī)律：（一）變形幾何規(guī)律：中性層中性層縱向對稱面縱向對稱面中性軸中性軸bdacabcdMM2.兩個概念中性層：梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應力和壓應力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。中性層中性層縱向對稱面縱向對稱面中性軸中性軸假設：縱向纖維無相互擠壓。平面假設：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉動，且與彎曲后的軸線垂直。距中性層等高處的縱向纖維變形相等。3.假設中性層中性層縱向對稱面

3、縱向對稱面4. 幾何方程：(1) . yx abcdABA1B1O1Odq q xy11111OOBAABABBAx) ) ) )OO1) )qqqyyddd)(xyyy （二）物理關系：（二）物理關系：假設：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點均處于單向應 力狀態(tài)。(2) . sEyExsyE Z1EIM軸過形心中性)( z目錄（三）靜力學關系：（三）靜力學關系：橫截面上以對稱軸為橫截面上以對稱軸為y軸，以中性軸為軸，以中性軸為Z軸。軸。故故y,z軸為形心主軸。軸為形心主軸。Z IMysZIMys正應力沿梁高的分布：正應力沿梁高的分布： 線形分布線形分布（四）最大正應力：（四）最大正應力：zIM

4、ymaxmaxsmaxyI Wzz抗彎截面模量?？箯澖孛婺Ａ俊WMmax s令DdDda)1 (32 43maxaDyIWzz圓環(huán)bh)1 (6 332BHbhBHWz回字框幾種截面的抗彎截面模量幾種截面的抗彎截面模量:6 2maxbhyIWzz矩形bBhH橫力彎曲正應力公式橫力彎曲正應力公式 彈性力學精確分析表明，彈性力學精確分析表明，當跨度當跨度 l 與橫截面高度與橫截面高度 h 之之比比 l / h 5 （細長梁）時，（細長梁）時，純彎曲正應力公式對于橫力純彎曲正應力公式對于橫力彎曲近似成立。彎曲近似成立。ZmaxWMs橫力彎曲最大正應力橫力彎曲最大正應力目錄6 63 3 橫力彎曲時梁

5、橫截面上的正應力橫力彎曲時梁橫截面上的正應力ZIMysq解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，試求最大正應力。Nm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mABL=3m求最大應力6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxbhMWMzs82qLxM+例例3 T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，其截面形心位于C點，y1=52mm， y2=88mm，截面對形心軸的慣性矩Iz=763cm4 ，試計算梁內(nèi)的最大拉應力及最大壓應力。P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2z解：畫彎矩圖并求危面內(nèi)力kN5 .10;kN5

6、 . 2BARR)(kNm5 . 2下拉、上壓CM（上拉、下壓）kNm4BMP1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2zx2.5kNm-4kNmMMPa2 .2810763885 . 2822zCtAIyMsMPa2 .2710763524813zBtAIyMsMPa2 .4610763884824zBcAIyMsy1y2GA1A2A3A4畫危面應力分布圖，找危險點（上拉、下壓）kNm4BM)(kNm5 . 2下拉、上壓CMx2.5kNm-4kNmMy1y2GA1A2A3A4結論：結論：截面關于中性軸不對稱的梁構件，最大彎矩的截面不一定要產(chǎn)生最大的拉應力或最大的壓應力。x2.5kNm

7、-4kNmM IyzmaxmaxZWMM1.1.對對等截面梁且截面關于中性軸對稱，彎矩最大截面的上等截面梁且截面關于中性軸對稱，彎矩最大截面的上下邊緣產(chǎn)生最大正應力下邊緣產(chǎn)生最大正應力. .若材料為若材料為脆性材料，脆性材料，脆性材料的脆性材料的抗拉和抗壓性能不同，抗拉和抗壓性能不同，則二方面都要考慮。則二方面都要考慮。ttssmaxccssmax. .若截面關于中性軸不對稱，注意最大正應力的若截面關于中性軸不對稱，注意最大正應力的計計算。算。目錄6 6 彎曲正應力的強度條件彎曲正應力的強度條件 sszWMmax依此強度準則可進行三種強度計算：依此強度準則可進行三種強度計算：、校核強度：校核強

8、度：設計截面尺寸：設計載荷：maxsssMWz)( ;MfPWMzs解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，s=7MPa，試求最大正應力,并校核梁的正應力強度。Nm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mABL=3m求最大應力并校核強度7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxssbhMWMz82qLxM+例例3 T 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的st=30MPa，sc=60 MPa，其截面形心位于C點，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，試校核此梁的強度。并說明T字梁怎樣放置更合理

9、？P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2Cz解：求支座反力并畫彎矩圖kN5.10;kN5.2BARR畫彎矩圖并求危面內(nèi)力)(kNm5 . 2下拉、上壓CM（上拉、下壓）kNm4BMP1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDy1y2zx2.5kNm-4kNmMMPa2 .2810763885 . 2822zCtAIyMsMPa2 .2710763524813zBtAIyMsMPa2 .4610763884824zBcAIyMsy1y2GA1A2A3A4畫危面應力分布圖，找危險點（上拉、下壓）kNm4BM)(kNm5 . 2下拉、上壓CMx2.5kNm-4kNmM校核強度: tts

10、s2 .28maxccss2 .46max6 65 5彎曲切應力彎曲切應力一、一、 矩形截面矩形截面梁橫截面上的切應力梁橫截面上的切應力1、研究方法：在梁上取微段如圖b；dxxQMM+d MQdx圖圖a圖圖cyzbhdx圖圖b2、兩點假設： 切應力與剪力平行；距中性軸等距離處,切應力相等。0)(11dxbNNFxtdxxN NxyzN N1 1t t1 1t t圖圖d、在微段上取一塊如圖d，平衡yzdxy*Z*11S d *ZAzAzAIdMMydAIdMMdAIydMMANs又*AN NxyzN N1 1t t1 1t tzzAzAIMSAyIMANddszzISdMMN1ZZbIQS*1t

11、t由切應力互等定理得：0)(11dxbNNFXtbIQSdxdMbISbdxIdMSZZZZzz*11 0tt其中：Q為截面上的剪力； Sz 為計算點所在作用層以下的面積對中性軸之面積矩；Iz為整個截面對z（中性軸）軸之慣性矩；b 為計算點處截面寬度。ZZbIQS*ttttt5 . 123 , 0y maxmaxAQ時當)4(222yhIQz矩tQt t方向：與橫截面上剪力方向相同；t t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植迹馗叨萮分布為拋物線。最大剪應力為平均剪應力的1.5倍。4 4、橫截面上切應力沿梁高的分布、橫截面上切應力沿梁高的分布ZZbIQS*t)4(2)2(22 22yhbyhbyhAySc

12、zyzybh*A二、其它截面梁二、其它截面梁橫截面上的切應力橫截面上的切應力1、研究方法與矩形截面相同;切應力的計算公式亦為：其中：Q為截面剪力； Sz 為計算點所在作用層以下的面積對中性軸之面積矩；Iz為整個截面對z（中性軸）軸之慣性矩；b 為計算點處截面寬度。ZZbIQS*t2、幾種常見截面的彎曲切應力 工字鋼截面：工字鋼截面：ZbIQS*t腹板：hh1tbmaxtmint22121242442yhthhbtIQZt當 y=0 時，maxtt844221212maxthhhbtIQZtmintt當 21hy時，442212minhhbtIQZtzy ; maxA Qt tf結論：結論： 翼

13、緣部分沿鉛垂方向的tmax腹板上的tmax，只計算腹 板上的tmax。 鉛垂剪應力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin 故實際工程中也可采用腹板的平均剪應力代替工字 鋼最大剪應力Af 腹板的面積。hh1tBmaxtmint翼緣：翼緣上沿鉛垂方向的剪應力很小,不考慮. 剪流：對橫力彎曲的薄壁截面桿，其橫截面上剪應力剪流：對橫力彎曲的薄壁截面桿，其橫截面上剪應力 的方向象的方向象 “水流水流”一樣在截面內(nèi)一樣在截面內(nèi)“流動流動”。 翼緣上也有平行長邊的水平方向的剪應力，它的指向和分布情況，也可以采用與求矩形截面上的剪應力相同的方法求得。Q 圓截面：tt3434maxAQ 薄壁圓環(huán)：tt

14、22maxAQ三、梁的三、梁的剪切強度條件剪切強度條件 ttZbISQmax*maxmax解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例例 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，s=7MPa，t=0. 9 M Pa，試求最大正應力和最大剪應力之比,并校核梁的強度。N54002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+xq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+x求最大應力并校核強度7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxssbhMWMz0.9MPa0.375MPa 1

15、8. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxttAQ應力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMzts 懸臂梁由三塊木板粘接懸臂梁由三塊木板粘接而成。跨度為而成?？缍葹?m1m。膠合面。膠合面的許可切應力為的許可切應力為0.34MPa0.34MPa，木材的木材的= 10 MPa= 10 MPa，=1MPa=1MPa，求許可載荷。，求許可載荷。 ss2maxmax6bhlFWMz1.1.畫梁的剪力圖和彎矩圖畫梁的剪力圖和彎矩圖2.2.按正應力強度條件計算許可載荷按正應力強度條件計算許可載荷 Q FM Fl 3.75kNN375061015010010692721lbhFs

16、ttbhFAQ2/32/3max3.3.按切應力強度條件計算許可載荷按切應力強度條件計算許可載荷 kN01N100003/101501001023/266bhFtFl100505050z解：解：例題5目錄 gZZbhFbbhhbFbISQtt3412332*g4.4.按膠合面強度條件按膠合面強度條件計算許可載荷計算許可載荷 3.825kNN382541034. 01015010034366gbhFt5.5.梁的許可載荷為梁的許可載荷為 3.75kNkN825. 3kN10kN75. 3minFFl100505050M FlzSF F目錄注意：注意：一般情況下，只需校核梁的正應力，不需要一般情況

17、下，只需校核梁的正應力，不需要校核梁的切應力。下面幾種特殊情況，需校核梁校核梁的切應力。下面幾種特殊情況，需校核梁的切應力：的切應力：鉚接、焊接或膠合而成的組合截面梁，需要對焊縫、鉚接或膠合面等校核切應力。梁的彎矩M 較小，而Q較大時，要校核切應力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核切應力。6- 提高梁彎曲強度的主要措施提高梁彎曲強度的主要措施ZmaxmaxWMss1. 1. 降低降低 M Mmaxmax 合理安排支座合理安排支座合理布置載荷合理布置載荷6-7目錄合理安排支座合理安排支座目錄合理安排支座：合理安排支座：目錄FF目錄合理布置載荷合理布置載荷FZmaxmaxWMss2.

18、2. 增大增大 W WZ Z 合理設計截面形狀合理設計截面形狀合理放置截面合理放置截面6-7目錄W WZ Z是衡量構件彎曲強度的一個指標。是衡量構件彎曲強度的一個指標。目錄合理設計截面形狀：合理設計截面形狀：一般地，把梁的抗彎截面模量與其橫截面面積之比作為一般地，把梁的抗彎截面模量與其橫截面面積之比作為選定合理截面形狀的一個指標。選定合理截面形狀的一個指標。62bhWZ左62hbWZ右目錄合理放置截面合理放置截面3、等強度梁、等強度梁 目錄、等截面梁、等截面梁 bh sszWMmaxmaxsmaxMWz目錄、等強度梁、等強度梁 等強度梁等強度梁 ：任一截面上的最大正應力都達到容許正應力。：任一截面上的最大正應力都達到容許正應力。s2)(6121hbFxx 2(x)3b hFxs目錄 tthbFAQ)0( 2 2323 0b (0)當當x=0時，時，此處截面上剪應力不滿足剪切強度條件此處截面上剪應力不滿足剪切強度條件.故需根據(jù)剪