數(shù)值分析-第六章插值ppt課件

1、11 引言,0,1,iixf xin第六章 插值問題的提出: 知一組離散數(shù)據(jù) ,希望由此得到x , y之間的(近似)關(guān)系y = f ( x ).,ijx y處理問題的思緒: 尋覓一個比較簡單的函數(shù) 來“近似 f ( x ).當(dāng)然這里的近似可以有不同的意義.本章討論在如下意義下的近似:要求近似函數(shù)在知點上與原來的函數(shù)值相等,即:這種意義下的近似問題稱為插值問題. yx if xxxR xf xx,0,1,ix in插值問題的提法:給出f ( x )在n+1個點 上的函數(shù)值在某種函數(shù)類中求一個函數(shù) 使 (),0,1,iixfxin(),0,1,if xin x稱為被插函數(shù)稱為插值函數(shù)稱為插值節(jié)點稱

2、為插值余項(誤差函數(shù))插值問題的幾何意義:對于曲線y = f ( x )尋覓一條曲線 要求 經(jīng)過點 yx yx,0,1,iixfxin x由于多項式是一種簡單且性質(zhì)較好的函數(shù).假設(shè)把插值函數(shù)類取為多項式,即 是n次多項式,這樣的問題稱多項式插值(代數(shù)插值)問題. 稱為插值多項式.以后記為 x nPx3 本章討論的是多項式插值問題.首先要討論多項式插值的三個根本問題:1.滿足插值條件的插值多項式能否存在?能否獨一?2.假設(shè)存在如何求?3.怎樣估計誤差函數(shù)R ( x )?1.設(shè)滿足插值條件的插值多項式為 1110nnnnnPxa xaxa xa 1110,0,1,nniinnn iniiiPxPx

3、fxina xaxa xafx應(yīng)滿足即：這是一個n+1個方程個n+1未知數(shù)的線性方程組,由于其系數(shù)行列式是不等于0,所以有獨一解,即插值多項式插值是存在且獨一的.4再討論誤差函數(shù)R( x )的表示式記: 11010,nnninnnnRxf xPxRxRxK xxxxxxxxx 1nng tf tPtK xt 1111 !1 !nnnnffK xRxxnn令: 那么 有n+2個零點 所以根據(jù)羅爾定理 有n+1個零點反復(fù)用羅爾定理可得: 有獨一的零點由此可得 g t01,nxxxx g t 1ngt5 一 根本插值多項式01,0,1,2,if xf xin給出：2 Lagrange插值 01,0,

4、1,2,nninxPxinPx求滿足條件：P的 12001020nnnxxxxxxPxlxxxxxxx則：記為： 0111121100,1,2,kknkkkkknxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxxkn類似可得：稱之為根本插值多項式.6 11120kkjlxnkjlxkj是次的多項式；二 拉格朗日插值多項式 0nnkkniiknPxlx f xP xf xLx就是滿足條件的插值多項式。記為：根本插值多項式的性質(zhì):稱為拉格朗日插值多項式100 10, 121144115已知：=11,=12分別用一次和二次插值求：的近似值，并估計誤差。7 1nnPxPx基本思想：修正項4 Newton插值

5、差分與差商 定義： 1iiiif xf xf xxxf x稱為在處的一階向前差分，記為 11kkkiiiif xf xf xf xxx 稱為在處的k+1階向前差分 1iiiifxfxf xxxfx稱為在處的一階向后差分，記為 11kkkiiiif xf xf xf xxx稱為在處的k+1階向后差分8差分與差商的性質(zhì)： 1111,iiiiiiiifxfxfxxxf x xxx稱為在處的一階差商，記為 11121,iii kiii kiii kii kf x xxf xxxf x xxxxf x 稱為的k階差商.性質(zhì)1：差商與節(jié)點的次序無關(guān)；性質(zhì)2：性質(zhì)3：性質(zhì)4：kkii kf xf x 01,

6、!kkf x kff xxxk如果階可導(dǎo)，則必存在常數(shù) 使001,!kikkf xf xxxk h如果x 之間是等距節(jié)點，則：9 定義：二 牛頓根本插值 000000,f xf xf x xf xf xxxf x xxx001011001101,f x xf xxf x xxxxf x xf xxxxf x xx 00010101,f xf xxxf xxxxxxf x xx 0001010101000,nnnnnnf xxxf xxxxxxf x xxxxxxf xxxxxxf x xxNxRx10 nNx滿足:1是n次多項式 00112,nnnnnNxf xNxf xNxf x所以 是滿足

7、插值條件的插值多項式。稱為牛頓根本插值多項式，它滿足遞推關(guān)系： nNx 101101,kkkkNxNxxxxxxxf xxx,0,1,niiNxfxin11三 等距節(jié)點下的牛頓插值在等距節(jié)點的情況下，在牛頓根本插值中用向前差分替代商，就可以得到牛頓前插公式： 02000202000012!11!12!11!nnnnxxthf xf xNxf xthth thhhf xth thtnhn ht tf xt f xf xt ttnf xn 令12再根據(jù)向前差分與向后差分之間的關(guān)系，就可以得到牛頓后插公式： 0212!11!iiinnnnnnnf xf xxxtht tNxf xt f xf xt

8、ttnf xn 令133向量組的秩 定義5(向量組的秩與極大無關(guān)組) 四 關(guān)于插值的幾個問題: 1.關(guān)于多項式插值的方式和獨一性的問題以及誤差問題. 2.當(dāng)f ( x )本身就是次多項式時,那么 3.關(guān)于節(jié)點的選擇問題和外推問題. 4.關(guān)于反插值的問題. 5.關(guān)于多項式次數(shù)的問題. nPxf x14 5 分段插值當(dāng)節(jié)點很多很密的情況下,為了提高插值的整體效果,可以采用分段插值的方法.根本思想:把插值區(qū)間a , b分成n個小區(qū)間,在每個小區(qū)間上做低 次的插值.特點:不是用一個高次的多項式去近似被插函數(shù),而是用一個分 段的低次多項式去近似被插函數(shù).一 分段一次插值把插值區(qū)間a , b分成個n小區(qū)間

9、 ,在每一個小區(qū)間 上做一次插值:1,1,2,iixxin11111,1,2,iiiiiiiiiixxxxfxfxxxxinxxxx1,iixx15這樣我們就用一個分段的一次多項式:去近似被插函數(shù). 1012121nnnLxxxxLxxxxL xLxxxx其中:分段一次插值的幾何意義就是用一條折線去近似替代原來的曲線. 11111,1,2,iiiiiiiiiiixxxxLxf xf xxxxinxxxx16類似的有分段二次插值,分段三次插值等.分段插值的優(yōu)點是:插值曲線在整體上可以很好地逼近原曲線, 防止了高次插值帶來的一些問題.但分段插值最大的問題是:插值曲線不光滑,在節(jié)點處不可導(dǎo), 這就能

10、夠破壞了原曲線的一些性質(zhì).17為使插值曲線更好地逼近原曲線,不僅要求兩條曲線的節(jié)點處的函數(shù)值相等(經(jīng)過同一個點),再進一步要求在節(jié)點處導(dǎo)數(shù)值也相等(有公切線,一樣的凹向等等) Hermite 插值:給出個點上的函數(shù)值以及導(dǎo)數(shù)值求一個多項式H(x)使得這樣的問題稱為Hermite 插值問題,H(x)稱Hermite 插值多項式. Hermite 插值多項式的存在性,獨一性與前面的插值問題類似.6 Hermite插值 ,1,2, ;1,2,mmiiiiH xf xHxfxin mk ,0,1,2, ;1,2,miifxfxin mk1801,0,1,2, ,0,0,1,ijf xf xin fxj

11、nHermite 插值多項式的求法也有兩類根本方法,分別類似于前面的拉格朗日插值即構(gòu)造根本插值多項式的方法和類似牛頓插值添加修正項的方法.構(gòu)造Hermite根本插值多項式 給出2(n+1)個條件: 求一個2n+1次的多項式h(x),滿足:由于 是h(x)的二重零點,所以再由01,0,1,2, ,0,0,1,ijh xh xin h xjn,1,2,ix in 2222120nh xaxbxxxxxxaxb lx/10000121,01niiaxxh xhxbax 19性質(zhì)1，2 類似可構(gòu)造出這樣就可求得 200010112niih xxxlxhxxx，記為：00001,0,0,1,2, ;0,

12、1,ijhxhxhxin jn滿足：1,0,0,;0,1,kkkikjhxhxhxik jn滿足： ,0,1,khx kn2001,0,1,2, ,0,0,1,ijfxfxin f xjn再給出2(n+1)個條件: 求一個2n+1次的多項式 ,滿足:由于 是 的二重零點,且 是單重零點，所以再由 這樣就可求得00001,0,1,2, ,0,0,1,ijhxhxin hxjn,1,2,ix in 2220012nhxc xxxxxxxx0011hxc 0hx 0hx0 x 2222001200nhxxxxxxxxxxxlx21性質(zhì)1，2 類似可構(gòu)造出這樣就得到了2(n+1)個2n+1次的多項式，

13、稱之為Hermite根本插值多項式。由這2n+2個根本插值多項式，就可以很容易地構(gòu)造出普通的Hermite插值多項式：00001,0,0,1,2, ;0,1,ijhxhxhxin jn滿足：1,0,0,;0,1,kkkkijhxhxhxik jn滿足： ,0,1,khx kn 0nkkkkkH xhx f xhx fx,0,1,jjjjxf xHxfxjn滿足：H22 01,HnHRxfxH xx xxRx是Hermite插值的余項記: 的二重零點故有:令: 反復(fù)用羅爾定理,可得: 21HnRxK xx 21ng tf tH tK xt 2222 !nfK xn23 0120121xxxfxfxfxfx添加修正項的方法. 先求出不帶導(dǎo)數(shù)的牛頓插值,然后每加一個導(dǎo)數(shù)就添加一項修正項.用這種方法可方便地求出更普通的Hermite 插值例:給出數(shù)據(jù)表求滿足插值條件的三次Hermite 插值多項式 .令:顯然:再利用條件:就可以求出常數(shù)A