函數(shù)的極值,最大值與最小值(1)

1、整理課件整理課件1 1第四節(jié)第四節(jié) 函數(shù)的極值和函數(shù)的極值和最大、最小值最大、最小值 一、函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)的極值及其求法 二、最大值最小值問題二、最大值最小值問題 整理課件整理課件2 2一、函數(shù)的極值一、函數(shù)的極值定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在在x0的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義, 如如果對于該鄰域內(nèi)任何異于果對于該鄰域內(nèi)任何異于x0的的x都有都有極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. 極大值極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點點、極小值點統(tǒng)稱為極值點.)()(0 xfxf)(0 xf(1) 成立成立, 則稱則稱 為為 f(x)的的0 x極大值極大值, 稱稱 為為f(x)的

2、極大值點；的極大值點；)()(0 xfxf)(0 xf(2) 成立成立, 則稱則稱 為為f(x)的的0 x極小值極小值, 稱稱 為為f(x)的極小值點；的極小值點；1. 極值的定義極值的定義整理課件整理課件3 3注意注意:3x1x4x2x5xxaboy41,xx為極大點為極大點52,xx為極小點為極小點3x不是極值點不是極值點2) 對常見函數(shù)對常見函數(shù), 極值可能出現(xiàn)在極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為 0 或不存在的點上或不存在的點上.1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)局部性質(zhì).整理課件整理課件4 42. 極值存在的必要條件極值存在的必要條件定理定理1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點在點x

3、0處可導(dǎo)處可導(dǎo), 且在且在x0處取處取得極值得極值, 那么那么f (x0) 0. 證明證明: 以以f(x0)是極大值來證明是極大值來證明.因為因為f(x0)是極大值是極大值, 故在故在x0的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi),對任意的對任意的 都有都有0 xx ),()(0 xfxf, 0)()(00 xxxfxf所以所以,0 xx 當(dāng)當(dāng) 時時,所以所以, 0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx當(dāng)當(dāng) 時時,0 xx , 0)()(00 xxxfxf所以所以, 0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx整理課件整理課件5 5 使導(dǎo)數(shù)使導(dǎo)數(shù)f (x)為零的點為零的點(方程方程f (x) 0的的

4、實根實根)稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x)的的駐點駐點.3x1x4x2x5xxaboy 思考思考: 極值點是否一定是駐點極值點是否一定是駐點? 駐點是駐點是否一定是極值點否一定是極值點?整理課件整理課件6 63. 極值的判別法極值的判別法定理定理2 (第一充分條件第一充分條件) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點在點x0連續(xù)連續(xù), 且在且在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)(點點x0可除外可除外). 如果在該鄰域內(nèi)如果在該鄰域內(nèi)，0)(, 0)() 1 ( 00 xfxxxfxx時,當(dāng)時,當(dāng)，0)(, 0)(,)2(00 xfxxxfxx時當(dāng)時當(dāng) 如果如果f(x)在在x0的兩側(cè)保持相同符號的兩側(cè)保持相同符號,

5、 則則x0不是不是f(x)的極值點的極值點.的極大值點.為)(0 xfx則的極小值點.為則)(0 xfx整理課件整理課件7 7，0)(, 0)() 1 ( 00 xfxxxfxx時,當(dāng)時,當(dāng)，0)(, 0)(,)2(00 xfxxxfxx時當(dāng)時當(dāng)?shù)臉O大值點.為)(0 xfx則的極小值點.為則)(0 xfx因此可知因此可知x0為為f(x)的極大值點的極大值點.同理可說明情形同理可說明情形(2).說明說明: 對于情形對于情形(1)，由判別定理可知，由判別定理可知,0 xx 當(dāng)當(dāng) 時時, f(x)單調(diào)增加單調(diào)增加,0 xx 當(dāng)當(dāng) 時時, f(x)單調(diào)減少單調(diào)減少,整理課件整理課件8 8的符號的符號,

6、 依定理判定依定理判定xi 是否為是否為f(x)的的), 2 , 1(kixi )(xf 判定函數(shù)極值一般步驟判定函數(shù)極值一般步驟).() 1 (xf 求不存在的點的所有駐點和找出)()()2(xfxf., 1kxx (3) 判定每個駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點判定每個駐點和導(dǎo)數(shù)不存在的點兩側(cè)兩側(cè)(在在xi 較小的鄰域內(nèi)較小的鄰域內(nèi))極值點極值點.整理課件整理課件9 9.683234與極值點值的極求xxxy，得駐點令1, 0021xxy可知可知x=0為為y的極小值點的極小值點, 極小值為極小值為0.xxxy12241223例例1.).,(所給的函數(shù)定義域為所給的函數(shù)定義域為解解:.) 1(122xx非

7、極值非極值極小極小0+0+0), 1 ( y1(0, 1)0 xy)0 ,(.),(內(nèi)存在在 y整理課件整理課件1010例 1 求函數(shù)32) 1() 4()(xxxf的極值 例例2. (1) f(x)在在( )內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù) 除除x1外處外處解解: 313) 1( 5)(xxxf (3) 列表判斷列表判斷x1為不可導(dǎo)點為不可導(dǎo)點 得駐點得駐點x 1 (2) 令令f (x) 0 可導(dǎo)可導(dǎo) 且且( 1) 1( 1 1)1(1 ) 不可導(dǎo)不可導(dǎo) 0 x f (x) f(x) 0 343 (4)極大值為 f(1)0 極小值為343) 1 (f 整理課件整理課件1111定理定理3 (第二充分條件第二充分條

8、件) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在點在點x0處處具有二階導(dǎo)數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù), 且且，的極大值點為，時當(dāng))(0)() 1 (00 xfxxf , 0)(, 0)(00 xfxf的極小值點.為時，當(dāng))(0)()2(00 xfxxf 則則證證: (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在存在x0的某鄰域的某鄰域, 使使, 0)(0 xxxf時，故當(dāng)0 xx ;0)( xf,0時當(dāng)xx ,0)( xf由判別法由判別法1知知.)(0取極大值在xxf同理證同理證(2).整理課件整理課件1212說明說明: 當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)易求當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)易求, 且駐點且駐點

9、x0處處的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 時時, 利用判定極值利用判定極值的第二充分條件判定駐點的第二充分條件判定駐點 是否為極值是否為極值點比較方便點比較方便.0()0fx0 x但當(dāng)?shù)?dāng) f (x0) 0時時 只能用方法只能用方法1判斷判斷.整理課件整理課件1313例例3. 求函數(shù)求函數(shù)f(x) (x2 1)3 1的極值的極值 解解: f (x) 6x(x2 1)2 令令f (x) 0 求得駐點求得駐點x11 x2 0 x3 1 f (x) 6(x2 1)(5x2 1) 因為因為f (0) 6 0 所以所以f (x)在在x 0處取得極處取得極 小值小值 極小值為極小值為f(0) 0 無法用定理無法用定理

10、3-8判別判別 在在 1的左右鄰域內(nèi)的左右鄰域內(nèi)f (x) 0 所以所以f(x)在在 1處沒有極值處沒有極值 同理同理, f(x)在在1處也沒極值處也沒極值 因為因為f ( 1) f (1) 0 整理課件整理課件1414二、最大值最小值問題二、最大值最小值問題 怎樣求函數(shù)的最大值和最小值怎樣求函數(shù)的最大值和最小值? x1x2x3x4x5Mm觀察與思考：觀察與思考： 觀察下面的函數(shù)在哪些點有可能成為最觀察下面的函數(shù)在哪些點有可能成為最大值或最小值點大值或最小值點?整理課件整理課件1515 其最小值一定其最小值一定是函數(shù)的所有極是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)小值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值間端點的函數(shù)值

11、中的最小者中的最小者 極值與最值的關(guān)系極值與最值的關(guān)系:x1x2x3x4x5Mm 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)其最大值和最小值閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)其最大值和最小值只可能在區(qū)間端點及區(qū)間內(nèi)的極值點處取得只可能在區(qū)間端點及區(qū)間內(nèi)的極值點處取得. 函數(shù)在閉區(qū)間函數(shù)在閉區(qū)間a b上的最大值一定是函上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中的最大者中的最大者;整理課件整理課件1616最大值和最小值的求法最大值和最小值的求法: (1)求出函數(shù)求出函數(shù)f(x)在在(a b)內(nèi)的駐點和不可導(dǎo)內(nèi)的駐點和不可導(dǎo)點點 設(shè)這些點設(shè)這些點為為x1 x2 xn; (2)計算函數(shù)值

12、計算函數(shù)值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;x1x2x3x4x5Mm (3)判斷判斷: 最大者最大者是函數(shù)是函數(shù)f(x)在在a b上的最大值上的最大值 最小最小者是函數(shù)者是函數(shù)f(x)在在a b上的最小值上的最小值 整理課件整理課件171714123223xxxy4 , 3),1)(2(612662xxxxy, 0 y. 1, 221xx,142)4(, 7) 1 (,34)2(,23)3(ffff,142)4()4(),1 (),2(),3(maxfffffM. 7) 1 ()4(),1 (),2(),3(minfffffm例例4. 求求在在上的最大值與最小值上的最大值與最小值

13、.解解:令令得駐點得駐點因為因為所以所以整理課件整理課件1818 例例5. 工廠工廠C與鐵路線的垂直距離與鐵路線的垂直距離AC為為20km A點到火車站點到火車站B的距離為的距離為100km 欲修一條從工廠到欲修一條從工廠到鐵路的公路鐵路的公路CD 已知鐵路與公路每公里運費之比已知鐵路與公路每公里運費之比為為3:5 為使火車站為使火車站B與工廠與工廠C間的運費最省間的運費最省 問問D點應(yīng)選在何處？點應(yīng)選在何處？DC20kmAB100km解解: x 2400 xCD設(shè)設(shè)AD x(km) y 5k CD 3k DB (k是某個正數(shù)是某個正數(shù)) B與與C間的運費為間的運費為y 則則 DB=100 x

14、 即)100(340052xkxky(0 x100) 整理課件整理課件1919 由) 34005(2xxky0 得 x15 其中以其中以y|x 15 380k為最小為最小 因此當(dāng)因此當(dāng)AD 15km時時 運費最省運費最省 由于由于y|x 0 400k y|x 15 380k 2100511500|kyx ) 34005(2xxky0 得 x15 )100(340052xkxky(0 x100) 整理課件整理課件2020 x4 . 18 . 1解解: 設(shè)觀察者與墻的距離為設(shè)觀察者與墻的距離為x(m),則則x8 . 14 . 1arctan,8 . 1arctanx),0(x222 . 32 .

15、3x228 . 18 . 1x)8 . 1)(2 . 3()76. 5(4 . 122222xxx令令,0得駐點得駐點),0(4 . 2x根據(jù)問題的實際意義根據(jù)問題的實際意義, 觀察者最佳站位存在觀察者最佳站位存在, 駐點駐點又唯一又唯一, 因此他站在距墻因此他站在距墻 2.4 m 處看圖最清楚處看圖最清楚 .例例6. 一張一張 1.4 m 高的圖片掛在墻上高的圖片掛在墻上, 它的底邊高它的底邊高于觀察者的眼睛于觀察者的眼睛1.8 m, 問觀察者在距墻多遠處看問觀察者在距墻多遠處看圖才最清楚圖才最清楚(視角視角 最大最大) ? 整理課件整理課件2121特殊情況下的最大值與最小值特殊情況下的最大

16、值與最小值: 若若 f(x)在一區(qū)間在一區(qū)間(有限或無限有限或無限 開或閉開或閉)內(nèi)可導(dǎo)且內(nèi)可導(dǎo)且有且只有一個駐點有且只有一個駐點x0 則：則： 當(dāng)當(dāng)f(x0)是是極大極大值時值時 f(x0)就是就是f(x)在該區(qū)間上的在該區(qū)間上的最大最大值值 說明當(dāng)當(dāng)f(x0)是是極小極小值時值時 f(x0)就是就是f(x)在該區(qū)在該區(qū) 區(qū)間上的區(qū)間上的最小最小值值 整理課件整理課件2222練習(xí)題練習(xí)題最大在，求設(shè)上的3 , 0)()2(321)(32xfxxf.)(2,)2(94)(31不存在處在xfxxxf，31) 3(f所以所以: f(x)在在0,3上的最大值為上的最大值為f(2)=1. 4321)0(3f1. 所給函數(shù)為所給函數(shù)為0, 3上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù).解解:值