中線倍長法及截長補(bǔ)短經(jīng)典編輯講義

1、幾何證明中常用輔助線（一）中線倍長法：例1、求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊和的一半。1已知：如圖，ZxABC中，AD是BC邊上的中線，求證：ADAB,AD=DC,BD平分/ABC.求證：ZBAD+ZBCD=180分析：因為平角等于180。，因而應(yīng)考慮把兩個不在一起的通過全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺E少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過“截長補(bǔ)短法”來實現(xiàn).證明：過點D作DE垂直BA的延長線于點E,作DFLBC于點F,如圖1-2BD平分/ABC,.DE=DF,在RtMDE與RtCDF中,DEDFADCD.RtMDE至tACDF(HL),，ZDAE=/DCF.又/BAD+ZD

2、AE=180,.-.BAD+ZDCF=180即/BAD+/BCD=180.例2.如圖2-1,AD/BC,點E在線段AB上，/ADE=ZCDE,ZDCE=ZECB.求證：CD=AD+BC.CF=CB,分析：結(jié)論是CD=AD+BC,可考慮用“截長補(bǔ)短法”中的“截長”，即在CD上截取只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題，從而達(dá)到簡化問題的目的證明：在CD上截取CF=BC,如圖2-2在AFCE與4BCE中,CFCBFCEBCECECE.ZFCE/BCE(SAS)，么Z1.,DCE+ZCDE=90又.AD/BC,-.ZADC+ZBCD=180.z2+Z3=90,A+Z4=90,3=Z4

3、.在AFDE與aADE中,FDEADEDEDEZFDE3DE(ASA),.DF=DA,CD=DF+CF,.CD=AD+BC.例3.已知，如圖3-1,/1=Z2,P為BN上一點，且PDLBC于點D,AB+BC=2BD.求證：/BAP+ZBCP=180.分析：與例1相類似，證兩個角的和是180,可把它們移到一起，讓它們是鄰補(bǔ)角，即證PEPDBPBP.RtBPERtBPD(HL),.BE=BD.AB+BC=2BD,.AB+BD+DC=BD+BE,.AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.在RtMPE與Rt3PD中,EPEPDPEAPDCAEDCRtMPERtCPD(SAS),，ZPAE=/PCD又

4、.ZBAP+/PAE=180,.ZBAP+ZBCP=180例4.已知：如圖4-1,在AABC中，ZC=2ZB,/1=/2圖4-1求證：AB=AC+CD.分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補(bǔ)短”都可實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化,即延長AC至E使CE=CD,或在AB上截取AF=AC.明/BCP=/EAP,因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造證明：過點P作PE垂直BA的延長線于點E,如圖3-2./1=Z2,且PDXBC,.PE=PD,在RtABPE與RtABPD中,A證明：方法一（補(bǔ)短法）延長AC至UE,使DC=CE,則/CDE=/CED,如圖4-2.zACB=2ZE,.zACB=2ZB,，/B=ZE,在MBD與

5、MED中，12BEADAD圖4-3.ABDAED(AAS),AB=AE.又AE=AC+CE=AC+DC,.AB=AC+DC.方法二(截長法)在AB上截取AF=AC,如圖4-3在AAFD與AACD中，AFAC1 2ADAD叢FDzACD(SAS),，DF=DC,ZAFD=ZACD.又ZACB=2/B,.ZFDB=ZB,.FD=FB.AB=AF+FB=AC+FD,.-.AB=AC+CD.上述兩種方法在實際應(yīng)用中，時常是互為補(bǔ)充，但應(yīng)結(jié)合具體題目恰當(dāng)選擇合適思路進(jìn)行分析。讓掌握學(xué)生掌握好“截長補(bǔ)短法”對于更好的理解數(shù)學(xué)中的化歸思想有較大的幫助。作業(yè)：1、已知：如圖，ABCD是正方形，ZFAD=ZFA

6、E,求證：BE+DF=AE.2、五邊形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,ZABC+ZAED=180，求證：AD平分/CDEA（三）其它幾種常見的形式:1、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形例1、如圖1:已知AD為AABC的中線，且/1=/2,/3=/4,求證：BE+CFEF.2、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。例：如圖2:AD為BC的中線，且/1=/2,/3=/4,求證：BE+CFEF.練習(xí)：已知AABC,AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖4,求證EF=2AD3、延長已知邊構(gòu)造三角形:

7、例如：如圖6:已知AC=BD,ADAC于A,BCXBD于B,求證：AD=BC4、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖7:AB/CD,AD/BC求證：AB=CD。5、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖8:在RtzABC中，AB=AC,/BAC=90,彳=/2,CEXBD的延長于E。求證：BD=2CE.6、連接已知點，構(gòu)造全等三角形例如：已知：如圖9;AC、BD相交于O點，且AB=DC,AC=BD,求證/A=/D.圖1018、取線段中點構(gòu)造全等三有形。例如：如圖10:AB=DC,ZA=/D求證：/ABC=/DCB.截長補(bǔ)短專題訓(xùn)練作業(yè):1、如圖，

8、等腰梯形ABCD中，AD/BC,AB=DC,E為AD中點，連接BE,CE(1)求證：BE=CE;(2)若/BEC=90,過點B作BFXCD,垂足為點F,交CE于點G,連接DG,求證:BG=DG+CD2.如圖，DABCDBAE.(1)若/D=105中，E是BC邊的中點，連接AE,F為CD邊上一點，且滿足/DFA=2/,BAF=35.求zFAE的度數(shù);(2)求證：AF=CD+CF.3、如圖，直角梯形ABCD中，AD/BC,ZB=90,D=45(1)若AB=6cm4*高求梯形ABCD的面積;(2)若E、F、G、H分別是梯形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上一點，且滿足ZEFH=/FHG,求證：HD

9、=BE+BFEF=GH,4、如圖，梯形ABCD中，AD/BC,點E在BC上，AE=BE,且AFXAB,連接EF.(1)若EFAF,AF=4,AB=6,求AE的長.(2)若點F是CD的中點，求證：CE=BE-AD.5 .在DABCD中，對角線BDBC,G為BD延長線上一點且ABG為等邊三角形,BAD、CBD的平分線相交于點E,連接AE交BD于F,連接GE.(1)若DABCD的面積為9J3,求AG的長;(2)求證：AEBEGE.6 .已知：如圖，在矩形ABCD中，AC是對角線.點P為矩形外一點且滿足APPC,APPC.PC交AD于點N,連接DP,過點P作PM.1.一(1)：若APJ5,AB-BC,求矩形ABCD的面積;3(2)：若CDPM,求證：ACAPPN.DP交DP7、如圖，在正方形ABCD中，點P是AB的中點，連接DP,過點B作BE的延長線于點E,連接AE,過點A作AFAE交DP于點F,連接BF。