高等代數(shù)§8.5 初等因子

1、5 初等因子主講主講: :向大晶向大晶5 5 初等因子初等因子一、初等因子的概念Definition 設(shè)( )A 的不變因子為 12( ),( ),( )rddd。如果 1212( )( )( )( )iiiskkkisdeee其中ijk為非負整數(shù)， 1,2, ;1,2, .ir js12( ),( ),( )seee為數(shù)域P上 互異的首1 系數(shù)的不可約多項式。則稱 1212( ),( ),( )iiiskkkseee為( )id的初等因子，而 為12( ),( ),( )rddd的全部 初等因子為 ( )A的初等因子(組)。 Remark 1: 初等因子與數(shù)域有關(guān) Remark 2: 初等因

2、子必須是不可約因式的方冪全體 n nAPEAA，則稱的全部初等因子為的初等因子. Remark 3:例1設(shè)域 上 矩陣 的標準形為 P( )A222421(1)(2)(1)(4)求 的初等因子 A二、初等因子與不變因子的關(guān)系1. 已知 的不變因子，可求出其初等因子( )A11112221221211221212( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )ssrsrrkkkskkkskkkrsdeeedeeedeee 則 的初等因子為( )A111222212211222111 ;( ),( ),( ),( ); ( ),( ) ,( ), ),( rsrrsskk

3、kksskkkkskeeeeeeeeeProperties2) 1) 在12( ),( ),( )nddd屬于同一個一次因式的方冪的指數(shù)有遞升的分解式中，的性質(zhì)，即12 (1,2, )jjrjkkkjs.例如：同一個不可約因式的方冪作成的初等因子中，( )rd方次最高的必定出現(xiàn)在 的分解中. 屬于同一個不可約因式的方冪的初等因子在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的.Conclusion 初等因子由不變因子唯一確定Proposition等價的 矩陣有相同的初等因子。Remark 該命題的逆不成立。例如： 11( )(1)(2) B( )=10(1)(2)A的初等因子相同，但它們不等價。2.

4、 已知 的秩和初等因子，可求出 的( )A( )A的不變因子二、初等因子與不變因子的關(guān)系方法：將初等因子( )je的方冪按降冪排列(當這些方冪不足 個時，用1補足到 個)為rr1111 0rjrjjkkkjjjrjrjjeeekkk，則1212()iiiskkkisdeee為所求Theorem它們的秩和初等因子相同.( )( )ABCorollary 1它們初等因子相同.,n nA BPEAEBCorollary 2它們的初等因子相同.,n nA BPAB相似于三、初等因子的求法Theorem 對角 矩陣的初等因子等于其對角線上諸多項式的不可約因式方冪的全體.Lemma 1 設(shè)多項式12( ),( )f xfx 與xx12 g( ),g ( )互素,則11221212( )( ),( )( )( ),( )( ),( )f x g xfx gxf xfxg x gxExampleLemma 2 設(shè)11221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )f x g xAfx gxf x g xfx gxB且( ),( )1,1,2ijf x gxi j ,則( )( )ABCorollary 設(shè)EA在復(fù)數(shù)域上等價于一個對角陣1( )( )nhh把( )ih分解為一次因式的冪,則所有這些