概率論與數(shù)理統(tǒng)計-第三章學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計(sh l tn j)-第三章第三章第一頁，共90頁。chapter 32 nnnnnRxxxxXxXxXPxxxFn ).,( .,),(,2, 1,22, 1121元函數(shù)元函數(shù)定義3.1 如果樣本空間中的樣本點同時對應(yīng)著n個隨機(jī)變量X1，X2，,Xn，以這n個隨機(jī)變量為分量(fn ling)的向量稱為 n 維隨機(jī)向量(X1，X2，,Xn)的聯(lián)合(linh)分布函數(shù)。12(,)nXXXX 稱為 n 維隨機(jī)向量或n 元隨機(jī)變量.下面主要討論二維隨機(jī)向量.一、 多維隨機(jī)向量的概念第1頁/共89頁第二頁，共90頁。chapter 332),( ,),(Ryx

2、yYxXPyxF 稱為二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布(fnb)函數(shù)或X和Y的聯(lián)合分布(fnb)函數(shù)。定義3.2 設(shè)有二維隨機(jī)向量(X,Y),對于任意實數(shù)x, y,記二元函數(shù) 第2頁/共89頁第三頁，共90頁。chapter 34Yo(x, y)(X, Y ),),(yYxXPyxFx聯(lián)合分布(fnb)函數(shù)的概率意義:F (x, y)表示平面上的隨機(jī)點(X, Y )落在以(x, y)為右上頂點的無窮矩形中的概率。如下圖.第3頁/共89頁第四頁，共90頁。chapter 35 ,dYcbXaP PX, Y F()- F()-F()F()ab cdb,d b,c a,da,c可得0 a bYXdc第4

3、頁/共89頁第五頁，共90頁。chapter 3612( , )(, );F x yF x y有(4) (, )lim( , )0, ( ,)lim( , )0, (,)lim( , )0, (,)lim( , ) 1.xyxxyyFyF x yF xF x yFF x yFF x y (2) F(x, y) 分別對x和y單調(diào)(dndio)不減,即 對任意(rny)固定的y,當(dāng)x1x2時， 對任意固定的x, 當(dāng)y1y2時，22211211(,)(,)( ,)( ,)0.F xyF xyF x yF x y(3)F (x , y )關(guān)于 x 右連續(xù)，關(guān)于 y 也右連續(xù).;),( , 1),(0

4、) 1 (2RyxyxF （5）對任意固定的x1x2, y1y2有12( ,)( ,);F x yF x y有第5頁/共89頁第六頁，共90頁。chapter 37相應(yīng)(xingyng)地，記( ) XFxP XxxR( ) YFyP YyyR分別稱為關(guān)于X、關(guān)于Y的邊緣分布(fnb)函數(shù).YYYXYXXYXX注意：如果，是一個二維隨機(jī)向量，則它的分量、是一維隨機(jī)變量，二維隨機(jī)向量，關(guān)于、的邊緣分布也就是一維隨機(jī)變量、 的分布。四、邊緣分布(fnb)函數(shù)隨機(jī)向量中每個分量的分布稱為邊緣分布函數(shù).第6頁/共89頁第七頁，共90頁。chapter 38),(lim),( yxFxFy 同理RyyF

5、yxFyFYx ),(),(lim),( 由聯(lián)合分布函數(shù)可求出邊緣分布函數(shù), YxXPRxxFxXPX ),(第7頁/共89頁第八頁，共90頁。chapter 39顯然，其中(qzhng)每個分量均為離散型隨機(jī)變量.一、離散型二維隨機(jī)向量的概念第8頁/共89頁第九頁，共90頁。chapter 310二、聯(lián)合(linh)概率函數(shù)定義3.4設(shè)離散型二維隨機(jī)向量（X，Y）的可能值 為(xi , yj)，其概率記為 1 1, ,2 2, ,. . . .1 1, ,2 2, ,. . . ., ,j ji i, ,p pi ij j,.2 , 1,.,2 , 1,),(),( jipyxYXPijji

6、或記為,.2 , 1,.,2 , 1, jipyYxXPijji稱之為（X，Y）的概率函數(shù)，或X與Y的聯(lián)合(linh)概率函數(shù),或X與Y的聯(lián)合(linh)分布律。 即第9頁/共89頁第十頁，共90頁。chapter 311稱之為一維表.11122122( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ijx yx yx yx yx y11122122 ijppppp(X,Y) P第10頁/共89頁第十一頁，共90頁。chapter 312XY，的聯(lián)合分布律也可以由下面矩陣表格表示稱之為二維表YX1y2yjy1x11p12pjp12x21p22pjp2ix1ip2ipijp第11頁/共

7、89頁第十二頁，共90頁。chapter 313 ijijijpp1.2;10.1類似一維隨機(jī)(su j)變量,二維隨機(jī)(su j)向量聯(lián)合概率函數(shù)有如下性質(zhì):第12頁/共89頁第十三頁，共90頁。chapter 314對于集合 (xi ,yj) | i,j=1,2, 的任意一個(y )子集A,則事件(X,Y)A的概率為(,) AP(X,Y)Aijijx yp由上式，可得（X,Y）的聯(lián)合(linh)分布函數(shù)為,F( , )ijijxx yyx yp由聯(lián)合概率函數(shù)可求出聯(lián)合分布函數(shù)第13頁/共89頁第十四頁，共90頁。chapter 315 隨機(jī)(su j)向量(X,Y)中每一個隨機(jī)(su j)

8、變量X、Y的概率函數(shù), 稱為關(guān)于 X、Y 的邊緣概率函數(shù).i(1)PX=x =p,1,2,ii(2)PY=y =p,1,2,jjjX的概率函數(shù)Y的概率函數(shù)或記為, 2 , 1, 2 , 1,)2()1( jyYPppixXPppjjjiii第14頁/共89頁第十五頁，共90頁。chapter 316 y1 y2 yjp12p22.pi2. p1j p2j pij PYPX1 iiP1 iiP2 jjP1 iijP jijPx1x2.xi. YXp11P21.pi1邊緣(binyun)分布邊緣分布第15頁/共89頁第十六頁，共90頁。chapter 317 jjiiiyYxXPxXPp)()(證

9、證：同理，可證pjj=1,2, ., 2 , 1, 2 , 1,)2()1( jpyYPppipxXPppiijjjjjijiii jijjijpyYxX,P . 1, 0 ijijiiippp且且 1,2,.ipi 是是概概率率分分布布第16頁/共89頁第十七頁，共90頁。chapter 318（ 0,0 ） （ 1,1 ）1-p p （X,Y）P設(shè)（X,Y）只取（0,0）和(1,1)兩個(lin )點,且取(1,1)的概率為p,取(0,0)的概率為1-p, （X,Y）的分布如表所示.01PY YX0 11-p 00 p1-p pPX1-pp1X、Y均服從(fcng)01分布。也可列成二維聯(lián)

10、合概率分布表第17頁/共89頁第十八頁，共90頁。chapter 319例2 同一品種的5件產(chǎn)品中，有2件次品3件正品(zhngpn)。每次從中任取一件檢驗質(zhì)量，連續(xù)取兩次.用X、Y分別表示第一、第二次取到的次品數(shù)，分別對不放回抽樣與有放回抽樣兩種情況，寫出X與Y的聯(lián)合分布并求邊緣分布.解：隨機(jī)(su j)向量(X,Y)的所有可能值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).不放回抽樣(chu yn):0,0P XYX可能取值為0,1，Y可能取值為0,1連續(xù)兩次都取到正品32300|05410P XP YX第18頁/共89頁第十九頁，共90頁。chapter 320 同樣方法，可計算出3

11、230,15410P XY2331,05410P XY2111,15410P XY第19頁/共89頁第二十頁，共90頁。chapter 3210,0001,233445YYYPP XP X 3255 它與第一章學(xué)過的全概率(gil)公式是否一致？思考(sko)：聯(lián)合(linh)分布及邊緣分布如下表：其中 同樣方法可求得其他值.第20頁/共89頁第二十一頁，共90頁。chapter 322有放回抽樣(chu yn): 事件(shjin)X=i,Y=j相互獨立，所以, ,0,1,0,1P X i YjP X i PYj ij 0,0 0 03 39 5 525P XYP XPY 如 同樣方法(fn

12、gf)可求得其他值.第21頁/共89頁第二十二頁，共90頁。chapter 323聯(lián)合(linh)分布及邊緣分布見下表：注:兩種情況下的邊緣分布(fnb)相同.因為抽取(chu q)結(jié)果與次數(shù)無關(guān)！參見第一章例題:抽簽的合理性.第22頁/共89頁第二十三頁，共90頁。chapter 3242 , 1 .|, 1,|, 0iiYiYXi求（X1,X2）的聯(lián)合(linh)概率分布.解： （X1,X2）可以(ky)取(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),四個值.P X 1 = 0 , X 2 = 0 = P | Y | 1 , | Y | 2 = P | Y | 2 = 1 P | Y |

13、 2 = 1 2 ( 2 ) 1 =0.0455第23頁/共89頁第二十四頁，共90頁。chapter 325P X 1 = 1, X 2 = 0 = P | Y | 0時，如圖積分線路l1分為兩段( )0 xyxXxfxdye dye,0;( )0,0 xXexfxx.00( )( , )00yyyYyfyf x y dxdxe dxdxye當(dāng)y0時，如圖積分線路l2分為三段當(dāng)y0時，f(x,y)=0,( )00Yfydx,0;( )0,0yYyeyfyy.第38頁/共89頁第三十九頁，共90頁。chapter 340 DyxDyxyxf),(0),(),( 1),( DDSdxdydxdy

14、yxf 其中D為平面上一個(y )可度量的有界閉區(qū)域，確定的值.解：由密度(md)的性質(zhì)因此， 1/SD, 其中SD為區(qū)域D的面積.四、二維均勻分布第39頁/共89頁第四十頁，共90頁。chapter 341 DyxDyxSyxfD),(0),(1),( 其中D為平面上一個可度量的有界區(qū)域(qy)，SD為區(qū)域(qy)D的面積，則稱（X,Y）服從區(qū)域(qy)D上的均勻分布.記為 (X,Y)UD.第40頁/共89頁第四十一頁，共90頁。chapter 342解:由定義(dngy)3.6,SD=(b-a)(d-c),有 其它其它0),()(1),(Dyxcdabyxfyxocd(X, Y )(b ,

15、 d)(b , c)(a , d)(a , c)ab第41頁/共89頁第四十二頁，共90頁。chapter 343關(guān)于X的邊緣(binyun)密度函數(shù)為:當(dāng) ax b 時.)(1 )(1 ),()( abdycdabdyyxfxfdcX 所以(suy) 其它其它0)(1)(bxaabxfX的的邊邊緣緣分分布布密密度度同同樣樣方方法法可可得得關(guān)關(guān)于于 Y 其它其它0)(1)(dyccdyfY矩形區(qū)域(qy)上的均勻分布之邊緣分布為均勻分布第42頁/共89頁第四十三頁，共90頁。chapter 344解: 區(qū)域(qy)D如圖, 其面積SD=.由定義3.6知,(X,Y)的聯(lián)合(linh)密度為 10

16、11),(2222yxyxyxf 規(guī)則圖形第43頁/共89頁第四十四頁，共90頁。chapter 345D當(dāng)|x| 1時,2111121),()(22xdydyyxfxfxx 因此(ync), 1|01|12)(21xxxxf 同理,關(guān)于Y的邊緣(binyun)密度為 1|01|12)(22yyyyf 邊緣分布(fnb)不是均勻分布(fnb).第44頁/共89頁第四十五頁，共90頁。chapter 346 (X,Y) 6,( , ); ( , ).0,x yDf x y則的聯(lián)合概率密度為其它 設(shè)二維隨機(jī)(su j)向量(X,Y)服從區(qū)域D上的均勻分布,2 ,(X,Y)XYDyxyx其中 是由拋

17、物線和直線所圍成的區(qū)域求的聯(lián)合密度及關(guān)于 及 的邊緣概率密度.解:61)(102 dxxxSD0y 1 xD1第45頁/共89頁第四十六頁，共90頁。chapter 347 dyyxfxfX),()(X的的邊邊緣緣分分布布密密度度為為關(guān)關(guān)于于YY66(),01; ( )( , )0,;yydxyyyfyf x y dx同理關(guān)于 的邊緣分布密度為其它0y 1 xD1y=x2y=x., 0; 10),(6)(2其它xxxxfX xxXxxdyxfx2),(66)(,102時時于于是是第46頁/共89頁第四十七頁，共90頁。chapter 348).()(F),F( :YX YXyFxyx價相互獨立

18、與下列等式等與則若X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)(hnsh)為F(x,y),X和Y的分布函數(shù)(hnsh)分別為即PXx,Yy= PXx PYy則稱隨機(jī)變量X與Y相互獨立. ).(, )(FYXyFx第47頁/共89頁第四十八頁，共90頁。chapter 349),1,2,j(i, ,),( ijiipyYxXP1.離散(lsn)型R.V.獨立的充要條件ijij(1)(2)ijijXYP(Xx ,Yy )P(Xx ) P(Yy )ppp (i,j1,2,)則 和 相互獨立的充分必要條件為即XY ()()(1)ii(2)jjP Xxp , (i1,2,) P Yyp (j1,2,),關(guān)于 和 的邊緣分布分別

19、為證明(zhngmng)見教材p85.第48頁/共89頁第四十九頁，共90頁。chapter 350( )( ),XYfxfy和( , )( )( ) , ,XYx yfxfyxy XY則 和 相互獨立的充分必要條件為fRR即聯(lián)合密度等于(dngy)兩個邊緣密度的乘積.推論:獨立的隨機(jī)變量的連續(xù)函數(shù)也獨立.如:X與Y獨立,則X2與Y2也獨立.第49頁/共89頁第五十頁，共90頁。chapter 351X1017/15 7/307/30 1/15X2 0 1 1570, 021 XXP又 PX2=0= PX1=0,X2=0+ PX1=1,X2=0 = 7/15 + 7/30 =0.7 類似(li

20、 s)可以算出 PX1=0=0.7顯然(xinrn)PX1=0,X2=0 PX1=0 PX2=0 因此X1與X2不獨立.解：由右表知，第50頁/共89頁第五十一頁，共90頁。chapter 352 YP-1 0 1 XP 0 1 第51頁/共89頁第五十二頁，共90頁。chapter 353 YX-1 0 1* * * 0 * 0PX1/21/2101PY 又由聯(lián)合分布(fnb)與邊緣分布(fnb)的關(guān)系 PY=-1 =PX=0,Y=-1+ PX=1,Y=-1 =1/4， PX=1,Y=-1=0 ,PX=1,Y=1=0,于是(ysh)有下表 同理可求出表中其它值.(參見下頁).得PX=0,Y=

21、-1=1/41/4第52頁/共89頁第五十三頁，共90頁。XY0XPYP011 1 101P XY 11P21P00P XY 2123 0PP 12P13P22P23P0011P 13P 22P 120P 進(jìn)一步可得 0因為(yn wi)PX=0,Y=0 =0,而PX=0 PY=0=1/21/2=1/4PX=0,Y=0 PX=0 PY=0X與Y不獨立(dl).第53頁/共89頁第五十四頁，共90頁。chapter 355第54頁/共89頁第五十五頁，共90頁。chapter 356解: (1)由均勻分布的定義(dngy)知 其其它它0),()(1),(Dyxcdabyxf關(guān)于(guny)X的邊

22、緣密度函數(shù)為:1()( )0Xaxbbafx其它關(guān)于(guny)Y的邊緣密度函數(shù)為: 其它其它0)(1)(dyccdyfY顯然,對于任意實數(shù)x,y有2YXR)()()()(x,y , yfxfx,yf.YX相互獨立相互獨立和和則則第55頁/共89頁第五十六頁，共90頁。chapter 35722222221( , )0 xyRf x yRxyR關(guān)于X的邊緣(binyun)密度為：當(dāng)|X|R時， RxRxxRRxfX|0|2)(222 2222222212( )( , )RxXRxfxf x y dydyRxRR同理,關(guān)于Y的邊緣(binyun)密度為2222|()0|YRyyRfyRyR ,f

23、f,fYX)0()0()00(所以,X與Y不獨立.第56頁/共89頁第五十七頁，共90頁。chapter 358例 5 .)Y,X(,YX),(NY),(NX222211的的概概率率密密度度求求獨獨立立和和且且若若 2121122222()1:( )exp,22()1( )exp.22XYx fx y fy 解XY221212122 XY( , )( )( )11 exp22( , )f x yfxfyxyx yR 由于 與 獨立第57頁/共89頁第五十八頁，共90頁。chapter 359第58頁/共89頁第五十九頁，共90頁。chapter 360一、離散型隨機(jī)(su j)向量函數(shù)注:等價

24、事件概率相等.（X,Y）P(x1,y1)p11(x1,y2)p12(x2,y1)p21(xi,yj)pijZ=g(X,Y)g (x1,y1) g (x1,y2) g (x2,y1) g (xi,yj) 第59頁/共89頁第六十頁，共90頁。chapter 361X-210.2 0.1 0.30.1 0.2 0.1Y -1 0 2解:由邊緣分布的定義(dngy),將表中第1,2,3列相加,得到Y(jié)的邊緣分布.見下表Y -1 0 2P 0.3 0.3 0.4X+Y可以(ky)取-3,-2,0,1,3共五個值.其概率分布為:PX+Y=-3=PX= -2,Y= -1=0.2PX+Y=0=PX= -2,Y

25、=2+ PX=1,Y=-1=0.3+0.1 =0.4第60頁/共89頁第六十一頁，共90頁。chapter 362X+Y -3 - 2 0 1 3P 0.2 0.1 0.4 0.2 0.1第61頁/共89頁第六十二頁，共90頁。chapter 363-1 0 2-2011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8XYYX-1 0 2-201-1 0 2 0 0 21 1 2Z解:Z的可能(knng)值如表所示ZP-1 0 1 21/8 3/8可得Z的分布(fnb)如表所示.第62頁/共89頁第六十三頁，共90頁。chapter 364解:用i,j,k分別表示(biosh)X,

26、Y,Z的可能取值,則, 2 , 1 , 0,!11 ieiiXPi, 2 , 1 , 0,!22 jejjYPj于是(ysh),有P ZkP XYk, 0ikYiXPki ,ij kP Xi Yj 第63頁/共89頁第六十四頁，共90頁。chapter 36512120()1212001!()!()!kiik ikkik iiiP ZkP XiP Ykieeeikii ki 可知Z服從(fcng)參數(shù)為1+2的泊松分布.12()1201!()!kik iikeki ki 12()1201!kiik ikiCek 12()12(),0,1,2,!kekk第64頁/共89頁第六十五頁，共90頁。c

27、hapter 366證:見下頁第65頁/共89頁第六十六頁，共90頁。chapter 367),n, 0,1,2,( , C)P(Y),n, 0,1,2,( , C)P(X212211 jqpjiqpijnjjniniin則Z=X+Y的可能(knng)取值為k=0,1,2, n1 +n2.,0ikYiXPjYiXPkYXPkZPkikji 0ikYPiXPki knnkknnkiknnkikninkiiknikikniniinqpqpqpqp 212121212211CCCCC00命題(mng t)得證.第66頁/共89頁第六十七頁，共90頁。chapter 368第67頁/共89頁第六十八頁

28、，共90頁。chapter 3690,;1,.XYZXY求Z的概率分布.解:(X,Y)的密度(md)函數(shù)為1,( ,);( ,)20,x yDfx y其他.0( , )x yP ZP XYf x y dxdyPZ=1=1-1/4=3/4.0y1 2 x1y=x11100111()(1)224xdy dxx dx 第68頁/共89頁第六十九頁，共90頁。chapter 370,21),(2 22yxeyxf求Z=X2+Y2的密度(md)fZ(z).采用分布(fnb)函數(shù)法:由(X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y) ，求出隨機(jī)變量Z的密度函數(shù).第69頁/共89頁第七十頁，共90頁。chapter 371

29、解: 當(dāng)zz = 1-PXz,Y z. 第79頁/共89頁第八十頁，共90頁。chapter 481若 X與Y相互(xingh)獨立 ,則若 Z為連續(xù)型隨機(jī)變量 ,則Z=minX,Y的密度(md)函數(shù)為11( )( )( )( ) ( )( ).ZZXYXYfzFzfzFzFzfzFZ(z) = 1-PXz,Y z = 1-PXz.PY z=1-1-FX(z).1-FY(z)=1-1- PXz.1-PYz = FX(z)+FY(z)- FX(z)FY(z)第80頁/共89頁第八十一頁，共90頁。chapter 382212221122211221( , )212 ()()1exp,2(1)f x yxxyy ),(N)Y,X(222121 ，記記作作1212 ,其中 ， ， ，為常數(shù),120,0,| 1,稱（X，Y）服從(fcng)二維正態(tài)分布.其圖像對稱軸為X,Y平面上過(1, 2)且與豎軸平行(pngxng)的直線.參見右圖.(教材p.101.)第81頁/共89頁第八十二頁，共90頁。chapter 3832211222211221222( )(y)2 ()()11exp2(1)21tXfxf xdyxxyydyy ，令tt)