2014年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試(理科)(一)

1、試卷類型：A2014年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）數(shù)學(xué)（理科）、選擇題：本大題共 8小題，每小題5分，？t分40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知i是虛數(shù)單位，若2m i 3 4i ,則實(shí)數(shù)m的值為D. 23.圓C.ABC中，角2sin CC所對(duì)的邊分別為aB. 2cosBC. 2sin B1關(guān)于直線yx對(duì)稱的圓的方程為B.D.4.若函數(shù)f xxx ax 1的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集A.2,2B.,2 U 2,C.2B,則士為bD. 2cosca的取值范圍為2 U 2,D.2,2B.25.某中學(xué)從某次考試成績(jī)中抽取若干名學(xué)生的分?jǐn)?shù),并繪制成如圖1的頻率分布直方圖.樣本

2、數(shù)據(jù)分組為 50,6060,70,70,8080,9090,100 .若用分層抽樣的方法從樣本中抽取分?jǐn)?shù)在80,100范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)16個(gè)，則其中分?jǐn)?shù)在90,100范圍內(nèi)的樣本數(shù)據(jù)有B. 6個(gè)C. 8個(gè)D. 10 個(gè)6.已知集合A x3x Z且Z ,則集合A中的元素個(gè)數(shù)為2 xA. 2B.C. 4D. 57 .設(shè)ab是兩個(gè)非零向量，則使a*= |a|b|成立的一個(gè)必要非充分條件是8 .設(shè)a以是B. am為整數(shù)（m>0）,C. a b 0I若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱01mod m .若 aC20 C20 2222.20 Q20C20 2 L C20 2A. 2011B. 2012C.

3、2013二、填空題：本大題共 7小題，考生作答（一）必做題（913題）9 .若不等式x aI 1的解集為x|1 xD. a P ba和b對(duì)*H m同余，記為b mod10 ,則b的值可6小題，每小題5分，滿分30分.3 ,則實(shí)數(shù)a的值為. . . . . . , * .10 .執(zhí)行如圖2的程序框圖，若輸出 S 7,則輸入k k N 的值為11 . 一個(gè)四棱錐的底面為菱形，其三視圖如圖3所示，則這個(gè)四棱錐的體積是D. 2014側(cè)（左）視圖12 .設(shè)為銳角，若cos12111 一 一 一13 .在數(shù)列an中，已知a11 , an 1,記Sn為數(shù)列 an的刖n項(xiàng)和，則S2014an 1(二)選做題(

4、1415題，考生只能從中選做一題)14 .(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中，直線sin cos a與曲線2 cos4sin 相交于A, B兩點(diǎn)，若AB15 .(幾何證明選講選做題)如圖4, PC是圓。的切線，切點(diǎn)為 C,直線PA與 圓。交于A , B兩點(diǎn)， APC的平分線分別交弦 CA , CB于D, E兩點(diǎn)，已知PC 3, PB 2,PE 一則匚上的值為.PD三、解答題：本大題共 6小題，滿分80分.解答須寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟.16 .(本小題滿分12分).一,一，一TT已知函數(shù)f(x) sin x acosx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)一,0 .3(1)求實(shí)數(shù)a的值；、-2(2)設(shè)g(x

5、) f(x) 2,求函數(shù)g(x)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間.2一，甲，丙兩人同時(shí)不能被聘用17 .(本小題滿分12分)甲，乙，丙三人參加某次招聘會(huì)，假設(shè)甲能被聘用的概率是的概率是_6_,乙，丙兩人同時(shí)能被聘用的概率是3,且三人各自能否被聘用相互獨(dú)立.2510(1)求乙，丙兩人各自能被聘用的概率；(2)設(shè) 表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人數(shù)與不能被聘用的人數(shù)之差的絕對(duì)值，求的分布列與均值(數(shù)學(xué)期望).18 .(本小題滿分14分)如圖5,在棱長(zhǎng)為a的正方體 ABCD ABGD1中，點(diǎn)E是棱D1D的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱B1B上，且滿足B1F 2FB .(1)求證：EF AG ；(2)在棱C1C上確定一點(diǎn)G

6、 ,使A, E , G , F四點(diǎn)共面，并求此時(shí) C1G的長(zhǎng)；(3)求平面AEF與平面ABCD所成二面角的余弦值.19 .(本小題滿分14分)已知等差數(shù)列 an的首項(xiàng)為10,公差為2,等比數(shù)列 bn的首項(xiàng)為1,公比為2, nN(1)求數(shù)列 an與bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為 cn min an ,bn ,求前n個(gè)正方形的面積之和 Sn(注：min a, b表示a與b的最小值.)20 .(本小題滿分14分)2 2已知雙曲線E ：三 £ 1 a 0的中心為原點(diǎn)O,左，右焦點(diǎn)分別為Fl, F2,離心率為 a 43 5a2uurn uuuu工，點(diǎn)P是直線x 一上任意一點(diǎn)，點(diǎn)

7、Q在雙曲線E上，且滿足PF2gQF2 0 .53(1)求實(shí)數(shù)a的值；(-2)證明：直線 PQ與直線OQ的斜率之積是定值;(3)若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為1,過(guò)點(diǎn)P作動(dòng)直線l與雙曲線右支交于不同兩點(diǎn) M ,N，在線段MN上取異于點(diǎn)M , N的點(diǎn)H ,滿足1PMPNMHHN，證明點(diǎn)H恒在一條定直線上.21 .(本小題滿分14分)已知函數(shù)f x x2x2x 1 e(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)定義：若函數(shù) h x在區(qū)間s,t s t上的取值范圍為s,t ,則稱區(qū)間 s,t為函數(shù)h x的“域同區(qū)間”,試問(wèn)函數(shù)f (x)在1,上是否存在“域同區(qū)間”？若存在，求出所有符合條件的“

8、域同區(qū)間”；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2014年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試（一）數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明：1.參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同， 可根據(jù)試題主要考查的知識(shí)點(diǎn)和能力比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù).2 .對(duì)解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變 該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過(guò)該部分 正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.3 .解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).4 .只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分.

9、一、選擇題：本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.共8小題，每小題，滿分 40分.題號(hào)12345678答案ABADBCDA、填空題：本大題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算，體現(xiàn)選擇性.共 7小題，每小題，滿分 30分.其中1415題是選做題，考生只能選做一題.題號(hào)9101112131415答案2342011|_1 或 5210|_ 213三、解答題：本大題共 6小題，滿分80分.16.（本小題滿分1）（本小題主要考查三角函數(shù)圖象的周期性、單調(diào)性、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角函數(shù)倍角公式等等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力)解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)sin x acosx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 0 ,所

10、以f 一33目口TtTt即 sin-a cos -0.33即，3 a 022解得a點(diǎn).(2)方法 1 ：由(1)得 f (x) sin x J3cosx .所以 g(x) f (x)2 2 sin x . 3 cosx 2sin2 x 2 x 3 sin xcosx 3cos2 x 23 sin 2 x cos2x2 退sin2x21一 cos2x22 sin 2xcos cos2xsin 66花2sin 2x 一 6，、一 一，2所以g(x)的最小正周期為 2因?yàn)楹瘮?shù)y sin x的單調(diào)遞增區(qū)間為2k -,2k2冗冗冗.所以當(dāng)2k冗一 2x - 2k冗一 k Z時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增, 2

11、62 rr冗冗.即k：t x ku k Z時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.36 所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為ku - ,ku - k Z36 方法 2：由(1)得 f(x) sin x J3cosx2 sin xcos cosxsin 33o 冗2sin x32所以 g(x) f (x)2 2 2sin x 232 -2冗 c4sin x 232 7tzy2cos 2x 分 3，一，一， ,2所以函數(shù)g(x)的最小正周期為分2因?yàn)楹瘮?shù)y cosx的單調(diào)遞減區(qū)間為 2k ,2 k k Z ,2所以當(dāng)2k 2x 2k k Z時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增. 3r一冗冗.即k：t - x ku - (k Z

12、)時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.3 6，一 一一 TTTT所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為ku - ,ku - k Z .36 17.(本小題滿分1)(本小題主要考查相互獨(dú)立事件、解方程、隨機(jī)變量的分布列與均值(數(shù)學(xué)期望)等知識(shí)，考查 或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí))解：(1)記甲，乙，丙各自能被聘用的事件分別為A1, A2, A3,A2 ，A3相互獨(dú)立，且滿足61 P A 1 P A325P 4PA3 310-13解得 P A2P A3-25所以乙，丙各自能被聘用的概率分別為(2)的可能取值為1, 3.因?yàn)?P 3 P AA2A3 P A1A2A3PAP A2

13、 PA31PAi1 P A21 P A32 13 3 1265 2 5 5 2 5 25 619所以 P 11 P 31 . 25 25所以的分布列為|13196P252519 o 637所以E1 3 .2525 2518.（本小題滿分1）（本小題主要考查空間線面關(guān)系、四點(diǎn)共面、二面角的平面角、空間向量及坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，考 查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）推理論證法:(1)證明：連ZB1D1 , BD ,因?yàn)樗倪呅?A1B1C1D1是正方形，所以 A1cl BD1.在正方體 ABCD AB1clD1 中，DD1 平面 A1B1C1D1,A1c

14、l 平面 AB1C1D1,所以 A1C1 DD1 .A1DiBiCiMA*B因?yàn)?B1D1I DD1 D1, BD1, DD1 平面 BB1D1D ,所以ACi 平面BBiDiD.因?yàn)镋F 平面BBiDiD ,所以EF AiCi .解：取CiC的中點(diǎn)H ,連結(jié)BH，則BH P AE .在平面BBiCiC中，過(guò)點(diǎn)F作FG P BH ,則FG P AE .連結(jié)EG ,則A , E , G , F四點(diǎn)共面.iiii因?yàn)?CH C1c-a,HG BF C1ca,22331所以 CiG C1C CH HG -a. 6故當(dāng)CiG 2.137%13a時(shí)，IaJE, G,F四點(diǎn)共面.I 6(3)延長(zhǎng) EF ,

15、 DB ,設(shè) EF I DB M ,連結(jié) AM ,則AM是平面AEF與平面ABCD的交線.過(guò)點(diǎn)B作BN AM ,垂足為N ,連結(jié)FN ,因?yàn)?FB AM , FBI BN B ,所以AM 平面BNF .因?yàn)镕N 平面BNF ,所以AM FN .所以 FNB為平面AEF與平面ABCD所成二面角的平面角.1因?yàn)镸B也要2MD DE 1.3a2即 MBl 2,MB 2a 3所以 MB 2J2a.在 ABM 中，AB a, ABM 1350,所以2_2_ 2AM AB MB2 AB MB cos135oa? 2 2a 2 a 2 ； 2a213a1 2 3 ,即 AM Aa .一、，11o因?yàn)?一AM

16、 BN -AB MB sin135 ,22所以AB MB sin135oBN a 2 2aAM13a二 _5213 a13所以FN BF2 BN2所以cos FNB BN 6FN 7故平面AEF與平面ABCD所成二面角的余弦值為空間向量法：(1)證明：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA, DC, DD1所在的 直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則 A a,0,0 , A a,0,a , G 0,a,a ,1 L 1E 0,0, a , F a,a,- a , 23uumruuur所以 AC1a,a,0 , EF a,a, -a6uuuu uuu 22因?yàn)?ACigEF a a 0 0,

17、uuuu uur ,所以 AC1 EF .所以 EFA1C1 . 解：設(shè)G 0,a,h ,因?yàn)槠矫?ADDiA P平面BCCiBi ,平面ADD1A I平面AEGF AE ,平面BCC1B11平面AEGF所以 FG P AE .(uuur uur所以存在實(shí)數(shù)，使得FG AE.a,0, huuir1 uuur因?yàn)?AE a,0, -a ， FG 211所以 a,0, h a a,0, a32，5所以1, h 5a.65 1所以 C1G CC1 CG a -a -a.6 6故當(dāng)C1G 1a時(shí)，A, E, GF四點(diǎn)共面.I 6uuu1 uuur 1(3)解：由(1)知 AE a,0, a , AF

18、0,a,-a 23設(shè)n x,y,z是平面AEF的法向量,0,0.uur ngAE uuur ngAF1 八 ax az 0, 即 21 ay az 0.3取 z 6,則 x 3, y 2.所以n 3, 2,6是平面AEF的一個(gè)法向量.uuuir1,而DD10,0, a是平面ABCD的一個(gè)法向量，設(shè)平面AEF與平面ABCD所成的二面角為，,uuuur ngDDi貝U cos-,uuuir , -1ngDDi0 3 02 a 6| 6商2 2 62 |a|7故平面AEF與平面ABCD所成二面角的余弦值為 -.7第（1）、（2）問(wèn)用推理論證法，第（3）問(wèn)用空間向量法:（1）、（2）給分同推理論證法.

19、（3）解：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)， DADDi所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,則 A a,0,01，E 0,0, a2F a,a,1 auur1則 AE a,0, a2uuurAF設(shè)n x, y,z是平面AEF的法向量,uur皿 ngAE 0, 則 uuurngAF 0.axay1 -az 21 az30.?0,0,a,3所以n 3, 2,6是平面AEF的一個(gè)法向量.uuuir .而DD10,0, a是平面ABCD的一個(gè)法向量,設(shè)平面AEF與平面ABCD所成的二面角為,uuuurngDD1貝U cos-uuuir T|n|gDDi0 3 02 a 6|6面 2 2 62同

20、 7故平面AEF與平面ABCD所成二面角的余弦值為19.（本小題滿分1）（本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、分組求和等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以 及運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)）解：（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列 an的首項(xiàng)為10,公差為2,所以 an 10 n 12,即 an 2n 8 .因?yàn)榈缺葦?shù)列 bn的首項(xiàng)為1,公比為2,所以 bn 12n 1,即 bn 2nl.（2）因?yàn)閍110, a2 12,a3 14,a416,a518,a620,b11 , b22 , b3 4, b48,b516 ,b632 .易知當(dāng)n 5時(shí)，an bn.下面證明當(dāng)n 6時(shí)，不等式bn an成立.方法1：當(dāng)n 6時(shí)

21、，b6 26 1 32 20 2 6 8 a6 ,不等式顯然成立.假設(shè)當(dāng)nkk6時(shí)，不等式成立，即 2k1 2k 8.I則有 2k 22k12 2k 82 k 18 2k 62k 18.這說(shuō)明當(dāng)n k 1時(shí)，不等式也成立.綜合可知，不等式對(duì) n 6的所有整數(shù)都成立.所以當(dāng)n 6時(shí)，bn an.方法2：因?yàn)楫?dāng)n 6時(shí)n 1bn an 2 2n 8n 11 1 2n 8C0 1 C1n 1 C2 1 L cn 1 2n 80 1 2 nSn01c2 n 2 n 1Cn1 Cn1 Cn1 Cn1Cn 1Cn 12n 82 C0 1C1n 1 C22n 83n 6 n n所以當(dāng)n 6時(shí),bn an ,

22、所以 cn min an,bn2n 1n 5,2n 8,n 5.則cn222n 2n 5,當(dāng)n 5時(shí),Sn2cl2C2c32L2cnbi2b22b32 Lbn2202224 L22n 24n14nl.35時(shí),22c3Lcn 2, 2b1b2Lb52a62a722Lan1 45 1322.24 6 47 4 L n 43414 3-n3綜上可知,Sn1 /-434 3n3n 5,18n2 242n 679, n 5. 3222341 4 67 L n 867L n 16 n5222222341 4 12 L n 12L532 67Ln 64 n 5n n 1 2n 16 n n 54 5532

23、64 n 5224218nn 679 .320.（本小題滿分1）（本小題主要考查直線的斜率、雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié) 合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力）（1）解：設(shè)雙曲線E的半焦距為C,c 35由題意可得 a 5 ，22c a 4.a 515 I證明：由（1）可知，直線.x -,點(diǎn)F2 3,0 .設(shè)點(diǎn)P 5 ,t ，Q xo, yo 333uurn uuuu5因?yàn)?PF2gQF2 0,所以 3 -, t g3 Xo, y00 .3所以 ty0- x0 3 .3x02y02242因?yàn)辄c(diǎn)Q X0,y0在雙曲線E上，所以-1,即

24、y。2-x25545所以kPQ koQyo tXoyoXo2.yo tyo2Xo53X02XoX03425Xo3Xo所以直線PQ與直線OQ的斜率之積是定值(3)證法1：設(shè)點(diǎn)H x, y，且過(guò)點(diǎn)P 5,1的直線l與雙曲線E的右支交于不同兩點(diǎn)M3N X2,y25y122220 , 4x22 5y222o ,即 y12 4 X12 5524y25X1, y1 ,x22 5 .設(shè) 1PM 11MHi |pn I |hn Iuuuu PM ,貝 U uumrMHuur PN , umr HN.5 d即為 3，必15 dX2,y2 1 ,3X Xi ,y yiX2 x,y2 y .XiX2整理，得y1X1

25、V2X2yiV2由X，X得2X12X112X2將代入，得2X12y22 2X22 2V22X,2y.425 x2代入,所以點(diǎn)H恒在定直線4x 3y 12 o上.證法2：依題意，直線l的斜率k存在. 5設(shè)直線l的方程為y 1 k x -, 3.5y 1 k x ，,3由 22x y 1.54消去 y得 9 4 5k2 x2 30 5k2 3k x 25 5k2 6k 90.因?yàn)橹本€l與雙曲線E的右支交于不同兩點(diǎn) M x1 ,y1 , N % ,y2 ,則有2_2 22_900 5k2 3k 900 4 5k2 5k2 6k 9230 5k2 3k0,xix29 5k2 4xx2225 5k2 6k 99 5k2 4設(shè)點(diǎn)H x,y , 5,PMMH小 x13xxi3|PNHN 乂5x2xix2 3整理得 6x1x23x 5 xi x210x 0.1將代入上式得150 5k2 6k 99 5k2 430 3x 5 5k2 3k9 5k2 410x 0.整理得 3x 5 k 4x 15 0. 5因?yàn)辄c(diǎn)