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文檔簡介

1、第十一章第十一章 立體幾何初步立體幾何初步第二節(jié)第二節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理空間圖形的基本關(guān)系與公理課前自主學(xué)案課前自主學(xué)案 知識(shí)梳理知識(shí)梳理 1.平面平面是空間重要的元素,它是一個(gè)抽象的概念.平面的兩個(gè)特征:無限延展 .平面的畫法:通常畫 平的(沒有厚度) 來表示平面.平面的表示:用一個(gè)小寫的希臘字母、等表示,如平面、平面;或用表示的平行四邊形 兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母表示,如平面AC. 2.平面的基本性質(zhì)(公理及其推論)公理1.若一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),則該直線上 所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).用符號(hào)表示為:Al,Bl,A,Bl (如圖(1). 公理公理2: 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共

2、點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.用符號(hào)表示為:P,且P, 則=l,且Pl (如圖(2). 公理公理3:過 不在同一直線上 的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面).用符號(hào)表示為:點(diǎn)A、B、C不共線 確定平面ABC(如圖(3). 推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.推論2:經(jīng)過兩條相交直線 ,有且只有一個(gè)平面.推論3:經(jīng)過兩條平行直線 ,有且只有一個(gè)平面.公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行 . 用符號(hào)表示為:ab,bc ac 3.空間圖形的基本關(guān)系(1)空間直線與直線的位置關(guān)系:相交,平行,異面 .相交直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線在同一平面內(nèi),沒

3、有公共點(diǎn);異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn).相交直線和平行直線也稱為共面直線(2)空間直線與平面位置關(guān)系:直線在平面內(nèi),直線與平面相交,直線與平面平行. 直線在平面內(nèi)無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(如圖(1);直線和平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(如圖(2);直線和平面平行沒有公共點(diǎn)(如圖(3).符號(hào)分別可表示為a,a=A,a.(1) (2) (3)(3)空間平面與平面位置關(guān)系:平面與平面平行, 平面與平面相交. 兩平面平行沒有公共點(diǎn); 兩平面相交有一條公共直線. 符號(hào)分別可表示為,=l. 4.空間等角定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).5.異面直線所成的角(1)定義:已知兩條

4、異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O,如下圖所示,作直線aa,bb,把 a與b所成的銳角(或直角) 叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)異面直線所成的角的范圍是:(0, . 2基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè) 1. 若A表示點(diǎn),a表示直線,、表示平面,則下列各項(xiàng)中,表述錯(cuò)誤的是( )A.a ,Aa AB.a,Aa AC.A,A,=aAaD.Aa,Aa解析:由公理一知.答案:B解析:選項(xiàng)B。是一個(gè)存在性命題,反設(shè)“四點(diǎn)中任意三點(diǎn)共線”,則四點(diǎn)共線與已知矛盾.答案:B。2.空間四點(diǎn)A、B、C、D共面但不共線,則下列結(jié)論中成立的是( )A.四點(diǎn)中必有三點(diǎn)共線B.四點(diǎn)中必有三點(diǎn)不共線C.AB、BC、CD、DA四條

5、直線中總有兩條直線平行D.直線AB與CD必相交3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,表面的對(duì)角線與AD1成60角的共有 8 條.4.設(shè)a,b,c是空間的三條直線,下面給出四個(gè)命題:若ab,bc,則ac;若a、b是異面直線,b、c是異面直線,則a、c也是異面直線;若a和b相交,b和c相交,則a和c也相交;若a和b共面,b和c共面,則a和c也共面其中真命題的個(gè)數(shù)是 0 .課堂互動(dòng)探究課堂互動(dòng)探究 空間圖形的基本關(guān)系的判斷 判斷下列命題的真假:如果平面與平面相交,那么它們只有有限個(gè)公共點(diǎn);過一條直線的平面有無數(shù)多個(gè);兩個(gè)平面的交線可能是一條線段;兩個(gè)相交平面有不在同一條直線上的三個(gè)公共點(diǎn);經(jīng)過空

6、間任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面;如果兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn),那么這兩個(gè)平面就重合為一個(gè)平面.其中真命題序號(hào)是(把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上).解析:根據(jù)公理可知,和為真命題,其余皆為假命題.答案: 變式探究變式探究 1.已知E,F,G,H是空間中的四個(gè)點(diǎn),設(shè)命題M:點(diǎn)E,F,G,H不共面;命題N:直線EF和GH不相交. 那么( A )A.M是N的充分不必要條件B.M是N的必要不充分條件C.M是N的充分必要條件D.M不是N的充分條件,也不是N的必要條件 解析:若E,F,G,H不共面,顯然有直線EF和GH不相交(否則,若EF與GH相交,則EF,GH可確定一個(gè)平面,因而E,F,G,H共面,與已知條

7、件矛盾).反之,若EF,GH不相交,則EF,GH可能異面也可能平行,當(dāng)EFGH時(shí),也有E,F,G,H共面.所以M是N的充分不必要條件.答案:A 如右圖所示,在空間四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn).求證:四邊形EFGH是平行四邊形.與空間四邊形有關(guān)的問題與空間四邊形有關(guān)的問題 分析:由三角形的邊的中點(diǎn)聯(lián)想到中位線平行底邊的性質(zhì).再考慮到證明平行四邊形的方法四邊形中有一組對(duì)邊平行且相等、兩組對(duì)邊平行等方法.證明:證明:連結(jié)BD,因?yàn)镋H是ABD的中位線,所以EHBD,且EH= BD.同理,F(xiàn)GBD且FG= BD.因?yàn)镋HFG且EH=FG,所以四邊形EFGH為平行四

8、邊形.點(diǎn)評(píng):點(diǎn)評(píng):空間四邊形是立體幾何中重要的一類模型.要注意它的圖形的畫法以及圖形的特征如對(duì)角線的概念等.若補(bǔ)齊兩條對(duì)角線,再將其看成封閉的空間圖形,實(shí)際上,已經(jīng)變成三棱錐了. 1212變式探究變式探究 2.如右圖所示,空間四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),試判斷分別滿足下列條件時(shí)四邊形EFGH的形狀:(1)AC=BD;(2)ACBD;(3)AC=BD且ACBD. 答案:(1)菱形;(2)矩形;(3)正方形 點(diǎn)、線、面的有關(guān)問題點(diǎn)、線、面的有關(guān)問題 如右圖所示,在空間四邊形ABCD中,E、H分別是AB、AD中點(diǎn),F(xiàn)、G分別在BC、CD上,且(1)判斷四邊形E

9、FGH的形狀;(2)求證:EF和GH的交點(diǎn)在直線AC上.分析分析:(1)由題設(shè)易證EHFG,且EHFG,故四邊形EFGH為梯形;(2)欲證三線共點(diǎn),可先證其中兩條直線有交點(diǎn),再證交點(diǎn)也在第三條直線上.解析解析:(1)E,H分別是邊AB,AD的中點(diǎn)EHBD,且EH= BD,又FGBD且FG= BD,四邊形EFGH為梯形.1223CFCG2=CBCD3(2)證明:由(1)知,四邊形EFGH為梯形,從而兩腰EF,GH相交,設(shè)交點(diǎn)為P,P直線EF,直線EF平面ABC,P平面ABCP直線GH,直線GH平面ACD,P平面ACDP是平面ACD與平面ABC的公共點(diǎn),又平面ACD平面ABC=直線AC,P直線AC

10、.直線EF,GH,AC交于一點(diǎn).點(diǎn)評(píng):欲證明若干點(diǎn)共線,先證明這些點(diǎn)都是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn),再運(yùn)用公理2,得出這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上的結(jié)論變式探究變式探究 3.(2009年湖南卷)平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為( )A.3 B.4 C.5 D.6 解析:如右圖,用列舉法知符合要求的棱為:BC、CD、C1D1、BB1、AA1,故選C.答案:C 求異面直線所成角的大小求異面直線所成角的大小 如右圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是棱A1B1, B1C1的中點(diǎn)求EF與AD1所成角的大小分析:平移線段EF,也就是尋找一條EF的

11、平行線且恰與AD1相交,即可轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的平面角來求解. 解析:如右圖所示,分別連結(jié)A1C1,AC.E,F(xiàn)分別是A1B1,B1C1的中點(diǎn)EFA1C1又在正方體AC1中,A1A B1B C1C,/=/=變式探究變式探究 A1C1ACD1AC的大小即為所求連結(jié)CD1,ACD1為正三角形D1AC=60.故EF與AD1所成的角為60.點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng):平移線段法是求異面直線所成角的常用方法. 4. 在棱長都相等的四面體A-BCD中(如右圖),E,F(xiàn)分別為棱AD,BC的中點(diǎn)連結(jié)AF,CE求異面直線AF,CE所成角的余弦值 4.解析:連結(jié)DF,取DF的中點(diǎn)G,連結(jié)EG,EGAFGEC是異面直線AF,CE

12、所成的角設(shè)四面體的棱長為a,連結(jié)CG.則AF= a,EG= a.3234在RtFCG中,2222317CG= FG +FC =a+a=a.424在 EGC中,CE= ,EG= ,CG= 。由余弦定理,得 222222337a +a -aEC +EG -CG241616cosGEC=.2EC EG3332aa24即異面直線AF,CE所成角的余弦值是 233a23a47a4溫馨提示溫馨提示 1.立體幾何中的公理、定理及推論都有三種表達(dá)形式:文字語言、圖形語言、符號(hào)語言.注意三種語言準(zhǔn)確表達(dá)與互譯.空間圖形都是由點(diǎn)、線、面三種基本元素組成.對(duì)空間圖形要會(huì)畫圖和識(shí)圖.圖形對(duì)于分析空間元素的位置關(guān)系,展

13、開想象,探索解題思路是至關(guān)重要的.要注意點(diǎn)、線、面的符號(hào)表示,并能正確的用集合語言描述它們之間的位置關(guān)系.一般說來,點(diǎn)用大寫字母表示,如點(diǎn)A,點(diǎn)P等;直線(或線段)用小寫字母或直線上兩個(gè)點(diǎn)來表示,如直線l,直線AB等.點(diǎn)、線、面間關(guān)系表示如下:點(diǎn)點(diǎn)A直線直線l,點(diǎn),點(diǎn)A直直線線l,點(diǎn),點(diǎn)A平面平面,點(diǎn),點(diǎn)A平面平面,直線,直線l平面平面,直線,直線l平平面面,相交關(guān)系用,相交關(guān)系用“”表示并指明交點(diǎn)(或交線),垂直關(guān)表示并指明交點(diǎn)(或交線),垂直關(guān)系用系用“”表示,平行關(guān)系用表示,平行關(guān)系用“”表示表示.2.公理的作用:公理的作用:公理1的作用是判斷直線是否在某個(gè)平面內(nèi);公理2的作用是如何尋找

14、兩相交平面的交線以及證明“線共點(diǎn)”的理論依據(jù);公理3及其3個(gè)推論給出了確定一個(gè)平面或判斷“直線共面”的方法.公理4是對(duì)初中平行線的傳遞性在空間中的推廣.(注:在將初中的一些平面幾何的結(jié)論推廣到立體幾何時(shí),并非所有命題都成立,讀者應(yīng)注意命題成立的條件.)空間等角定理是轉(zhuǎn)化和求解空間角,如異面直線所成角、線面角、二面角的理論依據(jù),要注意它的結(jié)論是相等或互補(bǔ). 3.正確理解異面直線的定義:異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn).不能錯(cuò)誤地理解為不在某一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線就是異面直線.4.異面直線所成角的求法求異面直線所成角的方法主要有:平移線段法:中點(diǎn)平移與頂點(diǎn)平移;補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或

15、完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,以便易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系)轉(zhuǎn)化為相交兩直線的夾角,進(jìn)而通過解三角形來實(shí)現(xiàn).5.兩直線垂直包括相交垂直和異面垂直兩種情況,而后者常被人忽略.線面垂直是線面相交的一種特殊情形,面面垂直是面面相交的一種特殊情形.而這兩類垂直常被誤以為是線面(或面面)位置關(guān)系中的一種. 題型展示臺(tái)題型展示臺(tái) (2009年全國卷)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E為AA1中點(diǎn),則異面直線BE與CD1所形成角的余弦值為( ) 1013 103A. B. C. D.105105解析:本題考查異面直線夾角求法:利用平移,CD1BA1,因此求EBA

16、1中A1BE即可,易知EB= , A1E=1,A1B= ,故由余弦定理求cosA1BE= ;向量法. 答案:C253 1010 如下圖所示,已知幾何體的三視圖(單位:cm) (1)畫出這個(gè)幾何體的直觀圖(不要求寫畫法);(2)設(shè)異面直線A1Q、PD所成角為,求cos (2)這個(gè)幾何體可看成是由正方體AC1及直三棱柱B1C1Q-A1D1P的組合體由PQ/CD,且PQ=CD,可知PD/QC,故A1QC為異面直線A1Q、PD所成的角(或其補(bǔ)角)由題設(shè)知A1Q2=A1B12+B1Q2=22+ 2=6,A1C= 2=2 ,取BC中點(diǎn)E,則QEBC,且QE=3,QC2=QE2+EC2=32+12=10由余弦定理,得cos=cosA1QC=222111A Q +QC -A C6101215=2A Q QC152 6 10解析: (1)這個(gè)幾何體的直觀圖如右圖所示 323題型訓(xùn)練題型訓(xùn)練 1.如右圖,ABCD為正方形,PAD=PAB =90,且PA=AD=2,E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn),求異面直線EG與BD所成的角的余弦值.解析:取BC的中點(diǎn)M,連結(jié)GM

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