塑性力學例題

1、第九章第九章 塑性力學簡單實例塑性力學簡單實例9-1 彈塑性彎曲和扭轉問題彈塑性彎曲和扭轉問題一一、梁的純彎曲梁的純彎曲MMyyzxo/2h/2h 如圖所示等截面梁如圖所示等截面梁, 橫截面橫截面y和和z兩個對稱軸兩個對稱軸, x是梁是梁的縱軸的縱軸, 純彎曲發(fā)生在純彎曲發(fā)生在xoy平面內(nèi)平面內(nèi). b y 基本關系式基本關系式按照梁的初等彎曲理論按照梁的初等彎曲理論: 平截面和小變形平截面和小變形, 并且材料不并且材料不可壓縮可壓縮,即即 ,它們的應力和應變表示為它們的應力和應變表示為1/2 221, , ,2, .xyzxyd vydx 其它為零其它為零截面上的應力分布情況截面上的應力分布情

2、況( 是梁的中性面到彈塑性分界面的是梁的中性面到彈塑性分界面的距離距離):sy yssssyyyyyy梁截面上要梁截面上要滿足的條件滿足的條件 /2/2/2/20, hhhhy b y dyy yb y dyM1. 對于理想彈塑性材料對于理想彈塑性材料 截面上的彎矩是截面上的彎矩是yzo/2h/2hsysyss塑性區(qū)彈性區(qū)sespsMISy塑性區(qū) 20/2 2 2ssyehpyIy b y dySyb y dy其中 是彈性區(qū)對中性軸的慣性矩是彈性區(qū)對中性軸的慣性矩, 塑性區(qū)對中性軸的靜矩塑性區(qū)對中性軸的靜矩.eIpSssssyyyyyyy)()( 彈性區(qū)的高度彈性區(qū)的高度 , 梁的撓度梁的撓度

3、 和梁的曲率半徑和梁的曲率半徑 .syv 可以通過梁的彎矩公式來確定可以通過梁的彎矩公式來確定.syv 可以由梁軸的撓度方程來定可以由梁軸的撓度方程來定,即在即在 處有處有,ssyy22ssd vdxEy 可以由撓度和曲率半徑的關系得到可以由撓度和曲率半徑的關系得到,即即221/ ssEyd vdx sespsMISy例例1 如果梁截面是矩形如果梁截面是矩形, 高為高為 ,寬為寬為 , 彎矩和曲率彎矩和曲率半徑半徑.hb 根據(jù)上面的公式求出截面慣性矩根據(jù)上面的公式求出截面慣性矩,靜矩和彎矩靜矩和彎矩.232222,344143espssshIby SbybhyMh( )a 彈性極限彎矩彈性極限

4、彎矩, 將將 代入上式得到代入上式得到/2syh26esbhM 塑性極限彎矩塑性極限彎矩,將將 代入前式得到代入前式得到0sy 24psbhM /1.5peMM 所以 曲率半徑和彎矩的關系曲率半徑和彎矩的關系. 彈性極限時的曲率半徑令其為彈性極限時的曲率半徑令其為/21,32eeseEhMM可以得到屈服后的關系梁屈服前的曲率半徑和彎矩的關系梁屈服前的曲率半徑和彎矩的關系eeMM 殘余應力殘余應力 梁在塑性極限以后全部卸載梁在塑性極限以后全部卸載, 則在梁截面內(nèi)要發(fā)生殘則在梁截面內(nèi)要發(fā)生殘余應力余應力.利用卸載定理利用卸載定理, 即卸載時的彎矩改變量按彈性即卸載時的彎矩改變量按彈性計算應力的改變

5、量計算應力的改變量 , 然后卸載時的應力然后卸載時的應力 減去這個改變量得到殘余應力減去這個改變量得到殘余應力 .即即s *由材料力學公式得到由材料力學公式得到2313/412sseMyh byybhIh 則殘余應力為則殘余應力為*3/ssy h ss1.5s1.5s0.5s0.5sss2.線性硬化彈塑性材料線性硬化彈塑性材料yzo/2h/2hsysyss塑性區(qū)彈性區(qū)塑性區(qū)s 1tg E1tg go梁的線性硬化材料的彈塑性性質和梁截面的應力分布如上梁的線性硬化材料的彈塑性性質和梁截面的應力分布如上圖圖.那么截面彎矩的表達式為那么截面彎矩的表達式為11seppssggMISIyEEy /2/22

6、20 2,2,2sssyhheppyyIy b y dy Syb y dy Iy b y dy其中彈性區(qū)對中性彈性區(qū)對中性軸的慣性矩軸的慣性矩.塑性區(qū)對中塑性區(qū)對中性軸下靜矩性軸下靜矩.塑性區(qū)對中性塑性區(qū)對中性軸的慣性矩軸的慣性矩.例例2 如果截面為如果截面為 的矩形的矩形, 則則b h2332322, , 3438espspsbhbhIySbyIy將這些代入彎矩表達式得到將這些代入彎矩表達式得到232114312sssghghMbyEE y二、梁的橫向彎曲二、梁的橫向彎曲 注意兩點注意兩點: 第一第一,忽略擠壓應力和剪應力忽略擠壓應力和剪應力, 純彎曲的結果基本純彎曲的結果基本上可以用上可以

7、用;第二第二, 在純彎曲時有些梁只與在純彎曲時有些梁只與y軸有關軸有關, 而橫而橫向彎曲它們還與向彎曲它們還與x軸有關軸有關. 截面應力為截面應力為,sMy , ssssyyyxyxx yyyx在時在時另外截面應力還要滿足下面條件另外截面應力還要滿足下面條件: /2/2/2/2,0, ,hhhhx y b y dyx y yb y dyM例例3 分析均布荷載作用下的矩形截面簡支梁分析均布荷載作用下的矩形截面簡支梁, 材料為理想彈塑性材料為理想彈塑性.xxy 0sy syx/3lllq 應力分布與純彎曲情況相應力分布與純彎曲情況相同同,只是只是 隨隨 變化變化.syx 截面彎矩為截面彎矩為 22

8、4143ssyxbhMh 它還要等于外荷載引起的彎矩它還要等于外荷載引起的彎矩 222qM xlx 整理得到整理得到 與與 的變化規(guī)律的變化規(guī)律sy22221syxAB表明彈塑性區(qū)的交界線時雙曲線表明彈塑性區(qū)的交界線時雙曲線.如圖紅線所示如圖紅線所示. A和和B為為:x332, 122eeqhqABlqq其中其中 是梁的彈性極限荷載是梁的彈性極限荷載, 令令 和和 得到得到eq0 x /2syh223sebhql 梁的塑性極限荷載梁的塑性極限荷載 可令可令 和和 得到得到pq0 x 0sy 222spbhql這樣這樣 /1.5peqq 此時此時, 梁中截面全部進入塑性狀態(tài)梁中截面全部進入塑性狀

9、態(tài), 上圖的深黃色線表示上圖的深黃色線表示.相相當于在中截面安置一只鉸當于在中截面安置一只鉸, 稱為塑性鉸稱為塑性鉸.塑性鉸的出現(xiàn)塑性鉸的出現(xiàn), 梁變梁變?yōu)閹缀慰蓜拥臑閹缀慰蓜拥? 使梁喪失了繼續(xù)承載的能力使梁喪失了繼續(xù)承載的能力.三、三、 壓桿的塑性失穩(wěn)壓桿的塑性失穩(wěn) 塑性失穩(wěn)問題的提出塑性失穩(wěn)問題的提出. 從壓桿彈性失穩(wěn)的從壓桿彈性失穩(wěn)的Euler臨界荷載公式臨界荷載公式可以看出可以看出,有效長度越短有效長度越短, 壓桿隨壓曲應力就會增加壓桿隨壓曲應力就會增加. 因此因此, 在短在短柱情況下有可能壓縮應力超過屈服應力以后才會失穩(wěn)柱情況下有可能壓縮應力超過屈服應力以后才會失穩(wěn). 這就是這就是

10、壓桿塑性失穩(wěn)壓桿塑性失穩(wěn). 這時的臨界荷載要低于按彈性計算的臨界荷載這時的臨界荷載要低于按彈性計算的臨界荷載. 對對壓桿塑性失穩(wěn)的計算要點壓桿塑性失穩(wěn)的計算要點. 當壓桿進入塑性用塑性模量代當壓桿進入塑性用塑性模量代替替Euler臨界荷載公式中的彈性模量來計算臨界荷載固然可以臨界荷載公式中的彈性模量來計算臨界荷載固然可以,但這是臨界荷載的下限但這是臨界荷載的下限. 從失穩(wěn)過程看從失穩(wěn)過程看, 截面的凸側部分截面的凸側部分( )壓縮應力減少而引起卸載壓縮應力減少而引起卸載, 要服從彈性規(guī)率要服從彈性規(guī)率; 而截面的凹側部而截面的凹側部分分( )應力增加是加載過程應力增加是加載過程, 要服從塑性規(guī)

11、律要服從塑性規(guī)律, 所以失穩(wěn)過程所以失穩(wěn)過程截面即不能用塑性模量截面即不能用塑性模量, 更不能用彈性模量更不能用彈性模量. 我們需要計算折我們需要計算折減模量減模量.2A1A 根據(jù)彈性力學的分析根據(jù)彈性力學的分析, 壓桿彈性失穩(wěn)的壓桿彈性失穩(wěn)的Euler臨界荷載為臨界荷載為22224 (); ()PEIPEIll桿兩端鉸支桿兩端固定PPl u zzxyy1A2A0 xz凹側凸側 通過上面分析通過上面分析, 我們應該注意我們應該注意 加載區(qū)和加載區(qū)和 卸載區(qū)引起的卸載區(qū)引起的附加應力和附加應變的情況附加應力和附加應變的情況. 由于平截面假定由于平截面假定,壓曲時附加應變壓曲時附加應變?yōu)闉?注意坐

12、標軸的選取注意坐標軸的選取):1A2A/zx這樣引起的附加應力為這樣引起的附加應力為12: /: /ztzAxEAxE 根據(jù)根據(jù)Engesser和和Karman的意見的意見,壓桿在壓曲時軸力不變壓桿在壓曲時軸力不變, 所以所以0zPdxdy12 0tS ES E因此得式中式中 和和 是面積是面積 和和 對對分界線分界線( )的靜矩的靜矩.由此可以確由此可以確定分界線的位置定分界線的位置(即確定即確定 ).1S2S1A2Ay0 x( )a 另外另外, 壓曲是桿的彎矩為壓曲是桿的彎矩為/zkMxdxdyE I 式中式中12tkE IEIEI稱為折減模量稱為折減模量,或稱或稱Engesser-Kar

13、man模量模量 我們用這個折減模量來代替我們用這個折減模量來代替Euler臨界荷載中的彈性模量就臨界荷載中的彈性模量就可以得到壓桿塑性失穩(wěn)的臨界荷載可以得到壓桿塑性失穩(wěn)的臨界荷載.例題例題4-4 計算矩形截面計算矩形截面 的折減模量的折減模量.解解: 設加載區(qū)和卸載區(qū)的高度分別為設加載區(qū)和卸載區(qū)的高度分別為 和和 , 即有即有b h1h2h12hhh210221122011 , 22hhSxbdxh bSxbdxh b 靜矩為代入前面的公式代入前面的公式 得到得到2221tEhE h( )a( )b所以所以12, ttth Eh EhhEEEE3331122111 , , 3312IbhIbh

14、Ibh此外24tktEEEEE(b)代入折減模量注意注意: 許多實驗結果表明許多實驗結果表明, 荷載低于本節(jié)給出的塑性失穩(wěn)的臨界荷載低于本節(jié)給出的塑性失穩(wěn)的臨界荷載就會失穩(wěn)荷載就會失穩(wěn). 這是因為在桿發(fā)生壓曲的同時可能伴隨荷載的增這是因為在桿發(fā)生壓曲的同時可能伴隨荷載的增量量, 這樣在截面上不存在卸載區(qū)這樣在截面上不存在卸載區(qū), 此時必需采用此時必需采用 來代替來代替 .EE4-4 圓桿的塑性扭轉圓桿的塑性扭轉 問題的提出問題的提出: 等截面長圓桿的兩端等截面長圓桿的兩端, 作用有大小相等作用有大小相等, 方向相方向相反的扭矩反的扭矩 時的扭轉問題時的扭轉問題.T 假定假定:1)截面的直徑在變

15、形過程中沒有彎曲及伸縮截面的直徑在變形過程中沒有彎曲及伸縮; 2) 原來的截面變形后仍為圓形平面原來的截面變形后仍為圓形平面(平截面假定平截面假定); 3) 任意兩個截面變形后距離不變而只發(fā)生相對轉動任意兩個截面變形后距離不變而只發(fā)生相對轉動 ( 稱為扭角稱為扭角).根據(jù)上述假定根據(jù)上述假定, 橫截面上任意一點的位移矢量是在橫截面內(nèi)并橫截面上任意一點的位移矢量是在橫截面內(nèi)并且垂直于該點的半徑且垂直于該點的半徑, 而任意兩個橫截面的相對扭角正比于它而任意兩個橫截面的相對扭角正比于它們之間的距離們之間的距離.zzzxxyyaaaaaoozTT 圓桿的位移圓桿的位移,應變和應力應變和應力采用圓柱坐標

16、采用圓柱坐標,位移分量位移分量為為:rzr00rzuuzru其中其中 為單位長度扭角為單位長度扭角.應變應變 , 其它為零其它為零.zr應力除應力除 (它的大小與它的大小與 有關有關,是是 的函的函數(shù)數(shù))不等于零外不等于零外, 其它為零其它為零.zzr注意注意: 這個問題滿足簡單加載條件這個問題滿足簡單加載條件. 另外另外, 應力滿足平衡條件應力滿足平衡條件, 也滿足圓桿側也滿足圓桿側面的邊界條件面的邊界條件. 根據(jù)根據(jù)Saint-Venant原理桿原理桿兩端的邊界條件可以只在合力方面得到兩端的邊界條件可以只在合力方面得到滿足滿足. 桿的兩端的邊界條件可以桿的兩端的邊界條件可以寫成寫成22zR

17、Tr dr / 3230/ 3230 31 33 3/6 6 iziziRiiiRiiirrTdTd 因為所以這樣也就是如果知道具體的如果知道具體的 , 就可就可以積分以積分. 現(xiàn)在假定材料是理想現(xiàn)在假定材料是理想彈塑性的彈塑性的, 見圖見圖. iis3sGio 3 /33iiisisGrG在彈性區(qū)在塑性區(qū)在交界處1)求彈塑性交界面求彈塑性交界面交界面的半徑為交界面的半徑為3ssrGRsr/3sz應力分布圖應力分布圖殘余殘余應力應力42TR2)扭矩扭矩 和和 的關系的關系:T / 32303333303343366332543 3ssRiiiRGiiiiGssTdGdGdRG 3)彈性極限扭角

18、彈性極限扭角( ):srR3seRG彈性極限扭矩為彈性極限扭矩為32 3seRT4)塑性極限扭角塑性極限扭角( ):33 3spRT0sr 那么有那么有/4/3peTT 5) 殘余應力殘余應力在在 作用下作用下, 按彈性計算得按彈性計算得到到T42zTrR由卸載前的應力減去上由卸載前的應力減去上式的剪應力得到殘余應式的剪應力得到殘余應力力.見前頁圖見前頁圖.4-5 非圓截面桿的塑性極限扭矩非圓截面桿的塑性極限扭矩在圓桿的彈塑性扭轉中在圓桿的彈塑性扭轉中, 截面上的最大剪應力產(chǎn)生在距圓心最遠截面上的最大剪應力產(chǎn)生在距圓心最遠處的外邊界上處的外邊界上, 且在扭轉過程中截面無翹曲且在扭轉過程中截面無

19、翹曲. 對于非圓截面桿件對于非圓截面桿件, 前述兩個結論不適用前述兩個結論不適用. 此時桿件截面將發(fā)生翹曲此時桿件截面將發(fā)生翹曲, 及扭轉中橫截及扭轉中橫截面不再保持平面面不再保持平面, 但剛性轉動的假定仍然成立但剛性轉動的假定仍然成立, 而因此得到的最而因此得到的最大剪應力產(chǎn)生在距形心最近處大剪應力產(chǎn)生在距形心最近處. 先討論非圓截面桿的彈性扭轉先討論非圓截面桿的彈性扭轉.1.彈性分析彈性分析xyzrzrzxzyo1) 位移法位移法 采用直角坐標系采用直角坐標系, 以以 表示桿的單位長度的扭角表示桿的單位長度的扭角, 則非圓則非圓截面桿件在扭轉時的位移分量為截面桿件在扭轉時的位移分量為:,x

20、yzuzyuzxux y 表示各截面的翹曲形狀表示各截面的翹曲形狀, 稱為翹稱為翹曲函數(shù)曲函數(shù),是待定的是待定的. 這里采用等翹曲假定這里采用等翹曲假定., x y代入幾何方程得到代入幾何方程得到0 xyzxyxzyzyxxy再代入廣義再代入廣義Hooke定律得到定律得到0 xyzxyxzyzGyxGxy將它們代入下面的平衡方程將它們代入下面的平衡方程0yzxzxy得翹曲函數(shù)要滿足調和方程得翹曲函數(shù)要滿足調和方程:22220 xy滿足邊界條件滿足邊界條件:在側面在側面:,0dydxlmndsds 0 dydxyxxdsydsdydxxdxydyxy所以即在兩端在兩端:邊界條件為邊界條件為0,y

21、zxzAxydA由此可以得到由此可以得到22TGxyxydxdyyx上面可以先求解翹曲函數(shù)上面可以先求解翹曲函數(shù) ,然后求然后求 ,最后求應力應變和位移最后求應力應變和位移.2)應力函數(shù)方法應力函數(shù)方法. 引入扭轉應力函數(shù)引入扭轉應力函數(shù) ,使得使得, x y, xzyzGyGxyxxy 上面兩式分布對上面兩式分布對y和和x求導然后相加得到求導然后相加得到222222Gxy 考慮邊界條件考慮邊界條件: 在周邊上有在周邊上有0 xzyzdydxdlmy dsx dsds所以在周邊上所以在周邊上()C常數(shù)對于實心桿對于實心桿0在兩端有在兩端有zyzxTxydxdyxdxdyydxdyxy 2211|2xyxydy xdxdx ydyxyx dydxdyy dxdxdydxdy 根據(jù)上