概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：2-4隨機(jī)變量函數(shù)的分布

1、 第四節(jié)第四節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出 在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣更感興趣.42D求截面面積求截面面積 A= 的分布的分布.例如，已知圓軸截面直徑例如，已知圓軸截面直徑 D 的分布，的分布， 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) (設(shè)設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由是連續(xù)函數(shù)），如何由 X 的分布求的分布求出出 Y 的分布？的分布？下面進(jìn)行討論下面進(jìn)行討論. 這個(gè)問(wèn)題無(wú)論在實(shí)踐中還是在理論這個(gè)問(wèn)題無(wú)論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要的上都是重要的.二、離散型隨機(jī)變量二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分

2、布函數(shù)的分布解：解： 當(dāng)當(dāng) X 取值取值 1，2，5 時(shí)，時(shí)， Y 取對(duì)應(yīng)值取對(duì)應(yīng)值 5，7，13，例例1 設(shè)設(shè)r.v.X的分布律為的分布律為求求 Y= 2X + 3 的概率函數(shù)的概率函數(shù).而且而且X取某值與取某值與Y取其對(duì)應(yīng)值是兩個(gè)同時(shí)發(fā)生取其對(duì)應(yīng)值是兩個(gè)同時(shí)發(fā)生的事件的事件，兩者具有相同的概率，兩者具有相同的概率.故故3 . 05 . 02 . 05 2 1Xp3 . 05 . 02 . 013 7 5Yp如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可并項(xiàng)即可.一般，若一般，若X是離散型是離散型 r.v ，X的分布律為的分布律為則則Y=g(X)的分布

3、律為的分布律為Xp 21kxxx 21kppp )()( )(21kxgxgxg 21kpppYp如：如：X的分布律為的分布律為則則 Y=X2 的概率函數(shù)為：的概率函數(shù)為：1 . 06 . 03 . 01 0 1Xp4 . 06 . 0 1 0 YpYp 21nyyy ni2i1iy)g(xy)g(xy)g(xiiipppniniyxgiyxginpxXPyYP)()( )()(即即Y的分布律為的分布律為三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布解：設(shè)解：設(shè)Y的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 FY(y)，例例2設(shè)設(shè) X 其它, 040, 8/)(xxxfX求求 Y=2X+8 的概率密度的

4、概率密度.FY(y)=P(Y y ) = P (2X+8 y )=P( X ) = FX( )28y28y于是于是Y 的密度函數(shù)的密度函數(shù)21)28()()(yfdyydFyfXYY1、一般方法、一般方法0 )28( yfX168)28( yyfX故故其它, 0168,328)(yyyfY21)28()()(yfdyydFyfXYY注意到注意到 0 x 4 時(shí)，時(shí)， 0)( xfX即即 8 y 0 時(shí)時(shí),)()(yYPyFY)(2yXP 注意到注意到 Y=X2 0，故當(dāng)，故當(dāng) y 0時(shí)，時(shí)，0)(yFY)(xFX)(yFY解：解： 設(shè)設(shè)Y和和X的分布函數(shù)分別為的分布函數(shù)分別為 和和 ，)()(

5、yFyFXX若若exxfX2221 )(則則 Y=X2 的概率密度為：的概率密度為：0, 00,21)(221yyyfeyyY0, 00, )()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYYx此時(shí)稱(chēng)此時(shí)稱(chēng)Y服從自由度為服從自由度為1的的2分布。記為分布。記為) 1 (2Y) 1 , 0( NX 從上述兩例中可以看到，在求從上述兩例中可以看到，在求P(Yy) 的過(guò)的過(guò)程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法程中，關(guān)鍵的一步是設(shè)法從從 g(X) y 中解出中解出X,從而得到與從而得到與 g(X) y 等價(jià)的等價(jià)的X的不等式的不等式 .例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y X 28y用用 代替代替 X2 y

6、 yXy 這樣做是為了利用已知的這樣做是為了利用已知的 X的分布，從的分布，從而求出相應(yīng)的概率而求出相應(yīng)的概率.這是求這是求r.v的函數(shù)的分布的一種常用方法的函數(shù)的分布的一種常用方法.通常稱(chēng)為通常稱(chēng)為分布函數(shù)法分布函數(shù)法。 若若X Xf(x),-f(x),- x+x+ ,Y=g(X),Y=g(X)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X X的的函數(shù)，則可先求函數(shù)，則可先求Y Y的分布函數(shù)的分布函數(shù) F FY Y (y)(y) P(YP(Y y)y)P(g(X) P(g(X) y)y) yxgdxxf)()(dyydFyfYY)()(然后再求然后再求Y Y的密度函數(shù)的密度函數(shù)分布函數(shù)法的分布函數(shù)法的步驟：步驟：

7、下面給出一個(gè)定理，在滿(mǎn)下面給出一個(gè)定理，在滿(mǎn)足定理?xiàng)l件時(shí)可直接用它求出足定理?xiàng)l件時(shí)可直接用它求出隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度 .2、公式法：、公式法：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為fX(x),又設(shè)又設(shè)y=g(x)嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo),則則Y=g(X)是一個(gè)連續(xù)型隨是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量機(jī)變量,其概率密度為其概率密度為定理定理),(, 0),(, )()()(11yyygdydygfyfXY其中其中,(, )是是y=g(x)的值域的值域.公式法公式法如如 例例2設(shè)設(shè) X 其它, 040, 8/)(xxxfX求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.注：注：1

8、 1 只有當(dāng)只有當(dāng)g(x)g(x)是是x x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，才的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時(shí)，才可用以上公式推求可用以上公式推求Y Y的密度函數(shù)。的密度函數(shù)。2 2 注意定義域的選擇注意定義域的選擇其它, 0168,328)(yyyfY例例已知已知X X N N( ( , , 2 2),),求求 解：解：222222121yyeeXY的概率密度。的概率密度。XY關(guān)于關(guān)于x x嚴(yán)單嚴(yán)單, ,反函數(shù)為反函數(shù)為 yyh)(故故)(| )(|)()(yfyhyhfyfXXY例例. 設(shè)設(shè)XN(, 2),求求:;) 1 (的概率密度XY;)2(的概率密度baXY) 1 , 0( NXY),(22abaNbaXY例例4

9、. 設(shè)某股票某日的價(jià)格為設(shè)某股票某日的價(jià)格為10元，設(shè)一元，設(shè)一年后該股票的價(jià)格為年后該股票的價(jià)格為Y，已知已知求求Y=X2的概率密度的概率密度.解解:2(lnln10 0.2)0.081,0( )0.220,yYeyfyy其他ln(0.2,0.04)10YN例例5. 設(shè)設(shè)XU(-2,2),求求Y=X2的概率密的概率密度度.)()()()()()(2yFyFyXyPyXPyYPyFXXY解解:其他, 040,41)(yyyfY2, 22,04yxxy 例例5 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為其它002)(2xxxf求求Y=sinX的概率密度的概率密度., 0)(yFY當(dāng)當(dāng) y 0

10、時(shí)時(shí), 當(dāng)當(dāng) y 1時(shí)時(shí), 1)(yFY10 y x0當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)故故解：注意到解：注意到,不合定理?xiàng)l件不合定理?xiàng)l件)()(yYPyFY)(sinyXP =P(0 X arcsiny)+P( - arcsiny X ） ydxxarcsin022ydxxarcsin22解：當(dāng)解：當(dāng)0y1時(shí)時(shí), 例例5 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為其它002)(2xxxf求求Y=sinX的概率密度的概率密度.當(dāng)當(dāng)0y1時(shí)時(shí),)()(yYPyFY)(sinyXPydxxarcsin022ydxxarcsin22解：解： 2)arcsin(y2)arcsin(1y =P(0 X arcsiny)+P(

11、 - arcsiny X ） dyydFyfYY)()(而而dyydFyfYY)()(求導(dǎo)得求導(dǎo)得:其它, 010,12)(2yyyfY2)arcsin(y2)arcsin(1y)(yFY)arcsin()( )0()(arcsin)(yFFFyFyFXXXXY或或 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，在求對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，在求Y=g(X) 的的分布時(shí)，分布時(shí)，關(guān)鍵的一步是把事件關(guān)鍵的一步是把事件 g(X) y 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為化為X在一定范圍內(nèi)取值的形式在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而可以，從而可以利用利用 X 的分布來(lái)求的分布來(lái)求 P g(X) y .這一講我們介紹了隨機(jī)變量函數(shù)的分布這一講我們介紹了隨機(jī)變量函數(shù)的

12、分布.練習(xí)練習(xí) 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X在在(0,1)上服從均勻分布，上服從均勻分布，求求Y=-2lnX的概率密度的概率密度.解：解： 在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上上,函數(shù)函數(shù)lnx0, 02xy于是于是 y在區(qū)間在區(qū)間(0,1)上單調(diào)下降，有反函數(shù)上單調(diào)下降，有反函數(shù)2/)(yeyhx由前述定理得由前述定理得其它, 010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedefyf注意取注意取絕對(duì)值絕對(duì)值其它, 010,)()()(2/2/2/yyyXYedyedefyf其它, 010, 1)(xxfX已知已知X在在(0,1)上服從均勻分布，上服從均勻分布，代入代入 的表達(dá)式中的表達(dá)式中)(yfY其它,

13、)(/00212yeyfyY得得即即Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為1/2的指數(shù)分布的指數(shù)分布.練習(xí)練習(xí) 設(shè)設(shè)X XU(0,1),U(0,1),求求Y=ax+bY=ax+b的概率密的概率密度度.(a0).(a0)解解: Y=ax+bY=ax+b關(guān)于關(guān)于x嚴(yán)單嚴(yán)單,反函數(shù)為反函數(shù)為abyyh)(故aabyfyhyhfyfXY1)(| )(|)()(而othersxxfX0101)(故othersabyayfY0101)(思考思考 已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F(x)是嚴(yán)格是嚴(yán)格單增的連續(xù)函數(shù)單增的連續(xù)函數(shù), 證明證明Y=F(X)服從服從0,1上的上的均勻分布均勻分布.又由于又由于X的分布函數(shù)的分布函數(shù)F是嚴(yán)格遞增的連續(xù)函是嚴(yán)格遞增的連續(xù)函數(shù)數(shù), 其反函數(shù)其反函數(shù) F-1 存在且嚴(yán)格遞增存在且嚴(yán)格遞增.證明證明: 設(shè)設(shè)Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是G(y),于是于是對(duì)對(duì)y1,