隨機變量及其分布期末練習(xí)題及答案

1、隨機變量及其分布期末練習(xí)題及答案1.在事件A發(fā)生的概率為p的伯努利試驗中，若以記第r次A發(fā)生時的試驗的次數(shù)，求的分布。解P(k)P前k-1次試驗中A恰好出現(xiàn)了r1次而第k次試驗A發(fā)生c；11Pr1(ip)krPCk1Pr(1p)kr,(kr,r1,)小結(jié)求離散型隨機變量的分布律時，首先應(yīng)該搞清隨機變量取可能值時所表示的隨機事件，然后確定其分布列。為驗證所求分布是否正確，通?？捎嬎阋幌滤蟮玫摹胺植剂小敝褪欠駷?,若不是，則結(jié)果一定是錯誤的。2.設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為1,x0F(x)Ax2.0x1;1,x1.1 、1一求(1)A的值；(2)X洛在(1,)及(，2)內(nèi)的概率；(3)X的概率密度

2、函數(shù)。2 3解(1)有分布函數(shù)的右連續(xù)性，在x1點處有F(1)AF(10)1,即A1111(2)由分布函數(shù)的性質(zhì)知，P(X(1,1)F(1)F(1)1；21118P(X(-,2)F(2)F(-)1-8;3339(3)由于F(x)最多除x1和0點外處處可導(dǎo)，且在x0,1處連續(xù)，若取f(x)0, x 0或 x 1;2x,0 x 1.則f (x) 0,且對一切x有F(x)xf(t)dt ,從而f(x)為隨機變量X的密度函數(shù)。2、3 .設(shè)XN(2,)，且P(2X4)0.3,求P(X0)，2解因為0.3P(2X4)(0)所以0.30.50.8X20222”于是P(X0)P10.24 .一批雞蛋，優(yōu)良品種

3、占三分之二，一般品種占三分之一，優(yōu)良品種蛋重(單位：克)22XiN(55,5)，一般品種蛋重X2N(45,5)。(1)從中任取一個，求其重量大于50克概率；(2)從中任取兩個，求它們的重量都小于50克的概率。解(1)設(shè)A：任取一蛋其重量大于50克。Bi:任取一蛋為優(yōu)良品種B2:任取一蛋為一般品種2150 550.8413則Bi,B2互斥，且BiB2S,P(B1-,P(B2)-3350 450.1587P(AB1)P(X150)1P(AB2)P(X250)1由全概率公式得P(A)P(B1)P(AB1)P(B2)P(ABz)2 10.84130.15870.61383 3(2)從中任取2個，每個蛋

4、重大于50克的概率p0.6138，小于50克的概率q1p10.6138設(shè)任取2個，有Y個大于50克，則YB(2,p)于是所求概率為_002一一2一P(Y0)C2pq(10.6138)0.1492問題與思考1 .以樣本點為自變量的任意單值實函數(shù)都是隨機變量嗎？2 .非離散型隨機變量就一定是連續(xù)型隨機變量嗎？3 .設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，而g(x)為連續(xù)函數(shù)，Yg(X)還是連續(xù)型隨機變量嗎？4 .不同的隨機變量其分布函數(shù)可能相同嗎?5 .連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)連續(xù)嗎？練習(xí)與答案1 .一批產(chǎn)品，其中有9件正品，3件次品?，F(xiàn)逐一取出使用，直到取出正品為止，求在取到正品以前已取出次品數(shù)的分布列、分布函數(shù)

5、。2 .重復(fù)獨立拋擲一枚硬幣，每次出現(xiàn)正面的概率為p(0p1),出現(xiàn)反面的概率為q1p,一直拋到正反都出現(xiàn)為止，求所需拋擲次數(shù)的分布列。3 .對目標進行5000次獨立射擊，設(shè)每次擊中的概率為0.001,求至少有兩次命中的概率。4 .已知某元件使用壽命T服從參數(shù)的指數(shù)分布(單位：小時)。(1)從這類元10000件中任取一個，求其使用壽命超過5000小時的概率；(2)某系統(tǒng)獨立地使用10個這種元件，求在5000小時之內(nèi)這些元件不必更換的個數(shù)X的分布律5 .某加工過程，若采用甲工藝條件，則完成時間XN(40,82);若采用乙工藝條件，則完成時間XN(50,4 pqn1 qpn1(n 2,3,4 )

6、P(X 2) 1 P(X 0) P(X 1)1k 7 (1) 0.61 ； P(X k) C10e 2(1 (1)兩種工藝均可；(2)選甲為好23八211 P(Y 2)C50.3125227.(1)3(X) =, X 1 ；(11 X2f3(x)1-, X 1；, 1 X)。(1)若要求在60小時內(nèi)完成，應(yīng)選何種工藝條件？(2)若要求在50小時內(nèi)完成，應(yīng)選何種工藝條件？6 .設(shè)某批零件的長度服從XN(,2),現(xiàn)從這批零件中任取5個，求正好有2個長度小于的概率。7 .設(shè)X分別為服從U-,-,U0,U0,2的隨機變量，求YsinX的概率密22度函數(shù)8.設(shè)流入某水庫的總水量(單位：百萬立方米)服從上

7、的均勻分布，但水庫最大容量為7。,超過7的水要溢出，求水庫存水量Y的分布函數(shù)參考答案：0.95612、10 ke 2) ,k 0,1,2,3, ,1022 ) f2(x):,0 x 1 ; ( 3 )2 1 X1.分布列X01230,y4；y4y 7；8.Fy(y),441,y7.2)2所以a=2L連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)是f(x),貝U P(a答案:Xb)bf(x)dxa2.設(shè)X為隨機變量，已知D(x)那么D(3X5)答案：183、設(shè)隨機變量0.60.301 ,則 E(X)()。A. 1;答案：DB.C. 0D. 054、設(shè)隨機變量_ 2N (5,2 ),求P3 X 8825)XN(5,2

8、2)X-N(0,1)235P(3X8)P(2(1.5)(1)(查表)0.84130.77455 .設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)是f(x)求(1)常數(shù)a;3(x 2)20 (2)P(X<2.5)a x 3其它解(1)根據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì)3f(x)dx 3(x a2)2dx3(xf(x),0=1(a2)32x3其它2.5(2)P(X<2.5)=223(x2)2dx_(x2)3250.530.1256 .設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)0,x 02 .Ax .0 x 1;1, x 1.IT (,2)2及3 內(nèi)的概率;求(1)A的值；(2)X落在(3)X的概率密度函數(shù)。1點處有解(1)有分布函數(shù)的

9、右連續(xù)性,F(1)AF(1(2)由分布函數(shù)的性質(zhì)知,1P(X ( 1,2)1F(2)F( 1)1P(X ( -,2)3F(2)(3)由于F(x)最多除x1和0點外處處可導(dǎo),且在x0，1處連續(xù)，若取f(x)0,x 0 或 x 1;2x,0 x1.7.設(shè)Xn(2,解因為2),且 P(24) 0.3,求P(X 0)0.3 P(24)P(-x 24 2)2(0)-0.30.50.8所以于是P(X 0)20.28.設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)3(x1)2 1x其它求：P(15 X25)；E(X)21.53(x1)2dx(x1)31.5=0.875E(X)=-2xf(x)dx13x(x1)2dx343

10、(-x2x432、2x)271=49.盒中裝有分別標1，2,3,4,5數(shù)字的球，從中任取2個,用X表示所取2球中最大的數(shù)字.求X的概率分布.C11cli2JT.解P(X2)=C5c；c3P(X4)=-CT?所以X的概率分布為：1C；c2210P(X3)=C；10一一1一13C。4石，P(X5)="CT10X2345P110210310410二)、例題分析?1、(1)“A,B，C三個事件中至少兩個發(fā)生”，這一事件可以表示為答案：ABBCAC。事件A，B滿足P(A)0.5,P(B)0.6,P(BA)0.8,則P(AB)答案：分析根據(jù)概率的加法公式與乘法公式，我們有P(AB)P(A)P(B

11、)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(BA)=0.50.60.50.80.7(3)對于任意事件A，B，C,則P(ABC)答案：P(A)P(B)P(C)分析P(ABC)P(AB)P(AB)P(AB)P(BC)P(AC)C)P(C)P(AB)CP(ABC)P(A)P(B)P(AB)P(C)P(ACBC)=P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)2、事件A，B若滿足P(A)P(B)，則A與B定()(A)不相互獨立；(B)互不相容；(C)相互獨立；(D)不互斥答案：D分析由加法公式，有P(ABC)P(AB)P(A)P(B)P(AB)1而且P(A)P(B)1時，只有P(AB)0時，才能保證上式成立，即AB6,故選擇D正確。3、袋中有5個球(3個新球，2個舊球)， 則第二次取到新球的概率是()331(A) 5；(B) 4 ；(C) 2 ；答案：A分析 設(shè)A表示“第一次取到新球”的事件，每次取一個，有放回地取兩回地取兩次,3(D) 10B表示“第二次取到新球”的事件。P(BA) P(BA) P(A) P(B A) 3P(B)P(BABA)P(A)P(BA)3323555554、某種產(chǎn)品有80%是正品，有某種儀器檢查時，正品被誤定為次品的概率是3%,次品被誤定為正品的概率是2%,設(shè)A表示一產(chǎn)品經(jīng)檢查被定為正品，B表示產(chǎn)品確為正品，求(