概率論：第4章 大數(shù)定律與中心極限定理1_第1頁(yè)
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1、第四章 大數(shù)定律與中心極限定理4.1 特征函數(shù)1、特征函數(shù)定義定義4.1.1 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,稱為X的特征函數(shù)。對(duì)于離散隨機(jī)變量X,其分布列pk=P(X=xk) , k=1,2,有對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量X，其密度函數(shù)p(x), 有 ,itXtE et 1( ),kitxkktept ( ),itxte p x dxt 第三章 多維隨機(jī)變量及其分布例4.1.1 常用分布的特征函數(shù)(一)單點(diǎn)分布0-1分布泊松分布均勻分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)指數(shù)分布第三章 多維隨機(jī)變量及其分布2、特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)4.1.1 性質(zhì)4.1.2性質(zhì)4.1.3 若Y=aX+b,其中a,b是常數(shù),則性質(zhì)4.1.4 隨機(jī)變

2、量X,Y相互獨(dú)立,則性質(zhì)4.1.5 若E(Xl)存在,則X的特征函數(shù)可l次求導(dǎo).有| ( )|(0)1t( )( )tt ( )()ibtYXteat( )( )( )X YXYttt( )(0)()kkki E X第三章 多維隨機(jī)變量及其分布例4.1.1 常用分布的特征函數(shù)(二)二項(xiàng)分布正態(tài)分布N(u,2)伽瑪分布Ga(n,)卡方分布Ga(n/2,1/2)表4.1.1例4.1.3 試?yán)锰卣骱瘮?shù)的方法求伽瑪分布Ga(n,)的數(shù)學(xué)期望和方差。第三章 多維隨機(jī)變量及其分布有關(guān)特征函數(shù)幾個(gè)重要定理定理4.1.1 (一致連續(xù)性)隨機(jī)變量X的特征函數(shù) 在(-,+)一致連續(xù)。定理4.1.2 (非負(fù)定性)隨機(jī)變量X的特征函數(shù) 是非負(fù)定的。定理4.1.3 (逆轉(zhuǎn)公式)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)、特征函數(shù)為 ,則對(duì)F(x)的任意兩個(gè)連續(xù)點(diǎn)x1,x2有 t t t12211( )( )lim( )2itxitxTTTeeF xF xt dtit第三章 多維隨機(jī)變量及其分布定理4.1.4 (惟一性)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)由特征函數(shù) 惟一決定。定理4.1.5 若X為連續(xù)隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為p(x),特征函數(shù)為 ,如果則它是特征函數(shù)定義的互逆變換。 t t t dt 1( )2itxp xet dt ( )itxtep x dx第三章 多維隨機(jī)變量及其分布例4.1.4

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