二重積分的計算法精選文檔

1、1第二節(jié)第二節(jié)一、利用直角坐標計算二重積分一、利用直角坐標計算二重積分 二、利用極坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分 二重積分的計算法X-型積分區(qū)域型積分區(qū)域Y-型積分區(qū)域型積分區(qū)域將二重積分化為二次積分將二重積分化為二次積分與直系下二次積分互化與直系下二次積分互化2一、利用直角坐標計算二重積分一、利用直角坐標計算二重積分且在且在D上連續(xù)時上連續(xù)時, 0),(yxf當被積函數bxaxyxD)()(:21由曲頂柱體體積的計算可知由曲頂柱體體積的計算可知, 若若D為為 X 型區(qū)域型區(qū)域 )(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 直角坐標系下化二重積分為二次積分直角坐標系下

2、化二重積分為二次積分3( , )zf x y 應用計算應用計算“平行截平行截面面積為已知的立面面積為已知的立體求體積體求體積”的方法的方法, ,zyx由此得：由此得：0 x.),()()()(000201 xxdyyxfxA Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd則則)(0 xA),( yxfz),(0yxfz ab( , )Df x y d 的值等于以的值等于以D為底，為底，以曲面以曲面為頂的圓柱體的體積，為頂的圓柱體的體積，)(2xy)(1xy 4若若D為為Y 型區(qū)域型區(qū)域dycyxyD)()(:21xyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(則則

3、)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D5當被積函數當被積函數),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非負均非負DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在在D上上變號變號時時,因此上面討論的累次積分法仍然有效因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于由于Dyxyxfdd),(26oxy說明說明: (1) 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是型區(qū)域又是Y 型區(qū)域型區(qū)域 , Dyxyxfdd),(為計算方便為計算方便,可可選擇積分序選擇積分序, 必要時還可以必要時還可以交換積分序交換積分序.)(2xyxo

4、yDba)(1yx)(2yxdc則有則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復雜若積分域較復雜,可將它分成若干可將它分成若干1D2D3DX-型域或型域或Y-型域型域 , 321DDDD則則 7穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于y 軸的軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.計算中的技巧（問題）：計算中的技巧（問題）： 、先畫積分區(qū)域草圖；、先畫積分區(qū)域草圖； 、有無奇偶對稱性、有無奇偶對稱性: X X型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點：

5、穿過區(qū)域且平行于穿過區(qū)域且平行于x 軸的軸的 Y Y型區(qū)域的特點型區(qū)域的特點：8 ,Dfx y dxdy 0, ,fx y ,fx y 12,Dfx y dxdy ,fx y ,fx y關于關于x奇，奇，D關于關于y軸對稱軸對稱關于關于y奇，奇，D關于關于x軸對稱軸對稱關于關于x偶，偶，關于關于y偶，偶，D關于關于y軸對稱軸對稱D關于關于x軸對稱軸對稱 ,( , ),fx yf x y 稱稱f(x,y)關于關于x為奇，為奇， ,( , ),fx yf x y 稱稱f(x,y)關于關于x為偶，為偶，9、交換積分次序：、交換積分次序：、題目本有要求；、題目本有要求； 、出現、出現 21sin;ln

6、axxedxdxdxxx 或或或或、二重積分恒等式證明。、二重積分恒等式證明。 、積分原則：與定積分計算基本一致；、積分原則：與定積分計算基本一致； （先對（先對 x 積分，視積分，視 y 為常量，為常量， 對對y 積分，視積分，視 x 為常量為常量) 、何時不得不將積分域、何時不得不將積分域D分塊？分塊？ 穿入穿出不唯一。穿入穿出不唯一。 10 xy 1例例 1 1 改改變變積積分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖01:01xxDxx 01:01yyDxy 11xy 222xxy 例例 2 2 改改變變積積分

7、分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.原式原式 102112),(yydxyxfdy.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖1201:02xxDxxx 201:112yyDyxy 212:02xxDxx 12例例 3 3 改改變變積積分分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的的次次序序.axy2 解解22xaxy 22yaax a2aa222yxa 202:22xxaDaxxaxx 13= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdya2aa2a21220

8、:2yyaDyxaaya 22220:yyaDaxaay 232:22yayaDyxaa 14xy211xy o221d y例例4. 計算計算,dDyxI其中其中D 是直線是直線 y1, x2, 及及yx 所圍的閉區(qū)域所圍的閉區(qū)域. x解法解法1. 將將D看作看作X型區(qū)域型區(qū)域, 則則:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將將D看作看作Y型區(qū)域型區(qū)域, 則則:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y15例例5. 計算計算,dDyx其中其中D 是拋物線是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域

9、所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計算簡便為計算簡便, 先對先對 x 后對后對 y 積分積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線及直線則則 16例例6. 計算計算,ddsinDyxxx其中其中D 是直線是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域.oxyDxxy 解解: 由被積函數可知由被積函數可知,因此取因此取D 為為X 型域型域 :00:xDyx Dyxxxddsin0sindxxyx 0dsinxx0cosx20dx x先對先對 x

10、 積分不行積分不行, 說明說明: 有些二次積分為了積分方便有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序還需交換積分順序.17例例7求求I= 2,:1,yDedxdy Dyyyx 軸軸，圍圍成成；oxyDxy 110Idy 解解: 由被積函數可知由被積函數可知, 取取D 為為X 型域型域 :01:1xDxy 因此取因此取D 為為Y 型域型域 :01:0yDxy 210yeydy 21012ye 1112.e20yyedx 先對先對 y 積分不行積分不行, 18例例8求求I= oxy2Dxy 112III解解: 被積函數關于被積函數關于x為奇，關于為奇，關于y為奇為奇201:yDyxy 因此取因此

11、取D 分為兩部分分為兩部分 :110:xDxyx 1 1D1221Dxyxy dxdy2221Dxyxy dxdy000.22111,:,Dxyxy dxdy Dyx xy 圍圍成成；19例例9. 計算計算,dd)1ln(2yxyyxID其中其中D 由由,42xy1,3xxy所圍成所圍成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如圖所示如圖所示)顯然顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(22420 xyokkkrr 二、利用極坐標計算二重積分二、利用極坐

12、標計算二重積分在極坐標系下在極坐標系下, 用同心圓用同心圓 r =常數常數則除包含邊界點的小區(qū)域外則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積小區(qū)域的面積kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkkkkkkrrkkkr221kkkrr221)(及射線及射線 =常數常數, 分劃區(qū)域分劃區(qū)域D 為為krkrkkkrd ddrr 21Dyxfd),(ddrrDrrf)sin,cos(drrddrd)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf設設,)()(:21rD則Drrrrfdd)sin,cos(dDo)(1r)(2r1. 極點在積分區(qū)域外極點在積分區(qū)域外22設設0( ):,rD 則

13、則AoD)(r0( )( cos , sin ).f rrrdr Drdrdrrf )sin,cos(d 設設20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD則則2. 極點在積分區(qū)域的邊界上極點在積分區(qū)域的邊界上3. 極點在積分區(qū)域的內部極點在積分區(qū)域的內部23若若 f 1 則可求得則可求得D 的面積的面積d)(21202Dd思考思考: 下列各圖中域下列各圖中域 D 分別與分別與 x , y 軸相切于原點軸相切于原點,試試答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx問問 的變化范圍是什么的變化范圍是什么?(1)(2)22)2(24適合

14、類型：適合類型：、積分域為圓域或圓域的一部分（包括環(huán)形域）；、積分域為圓域或圓域的一部分（包括環(huán)形域）；、被積函數含、被積函數含22xy 因子。因子。注意的問題：注意的問題：、必須畫出積分區(qū)域圖；、必須畫出積分區(qū)域圖；、特別注意積分向量、特別注意積分向量r、限的確定問題；限的確定問題；、不要忘記、不要忘記r rdxdyd d25積分限的決定積分限的決定：一般來講，定好一般來講，定好 是比較關鍵的是比較關鍵的r:表示常數表示常數曲線任意一點到極點的距離曲線任意一點到極點的距離積分限的確定（一般積分限的確定（一般 )02、假設極點在閉區(qū)域、假設極點在閉區(qū)域D內，則：內，則：02、若極點在區(qū)域、若極

15、點在區(qū)域D之外或邊界上：看區(qū)域之外或邊界上：看區(qū)域D夾在夾在?與與?之間，之間， 以此來定以此來定的范圍（通過圖形來看）；的范圍（通過圖形來看）；26注意：注意：、外層一定是常數限；、外層一定是常數限；、選定、選定還是還是r r積分限的確定積分限的確定 （仍用穿刺法）具體做法：（仍用穿刺法）具體做法：在在D內任找一點，從原點內任找一點，從原點0出發(fā)向外作射線出發(fā)向外作射線（要注意此時與（要注意此時與D邊界的交點不能多于兩個），邊界的交點不能多于兩個），先穿出的的邊界解出的先穿出的的邊界解出的 為下限，后穿出為下限，后穿出的邊界解出的的邊界解出的r為上限。為上限。、上限必須大于下限；、上限必須大

16、于下限；27例例1. 計算計算,dd22Dyxyxe其中其中.:222ayxD解解: 在極坐標系下在極坐標系下,200:arD原式原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函數不是初等函數的原函數不是初等函數 , 故本題無法用直角故本題無法用直角2reddrr20d由于由于故故坐標計算坐標計算.28例例2：求：求I= 2222369,:.Dyxydxdyxya 其其中中 0199DdxdyA 解解：；022;Dy dxdy 033-60.DDxdxdyydxdy 2369DDDDy dxdyxdxdyydxdydxdy I I 22200sin009adrrdra 42232

17、220001sin999.44aardr draaa 其中其中A為為D的面積的面積29內容小結內容小結(1) 二重積分化為累次積分的方法二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形直角坐標系情形 : 若積分區(qū)域為若積分區(qū)域為)()(,),(21xyyxybxayxD則則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域為若積分區(qū)域為)()(,),(21yxxyxdycyxD則則xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD30)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(則則)()(21d)sin,cos(drrrrf極坐標系情形極坐標系情形: 若積分區(qū)域為若積分區(qū)域為ddrrDo)(1r)(2roxy若積分域較復雜若積