圓錐曲線的離心率問題高考優(yōu)化訓(xùn)練

1、1.離心率的值圓錐曲線離心率高考優(yōu)化訓(xùn)練22例1 ：設(shè)F1, F2分別是橢圓C:xT 4 1 a a b0的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF1的中點在y軸上，若PF1F2 30 ,則橢圓的離心率為（B 3B.6C.從而PF2本題存在焦點三角形 PF1F2,由線段PFi的中點在y軸上，O為F1F2中點可得PFJ/y軸,F1F2,又因為PF1F230，則直角三角形 PF1F2 中，|PF1|：|PF2：|F1F22:1: J3,且 2a PFi| PF2I，2c 怛怎|,所以2cF1F2I近2a |PFiPF23,故選A.2.離心率的取值范圍22例2:已知F是雙曲線與 a bE是該雙曲線的右頂

2、點，過點 F且垂直于的直線與雙曲線交于A, B兩點，若A.1,B.1,2的左焦點,0,b 02,12率e的取值范圍為（【解析】從圖中可觀察到若 ABE為銳角三角形，只需要 AEB為銳角.由對稱性可得只需AEF即可.且AF , FE均可用c表示，|AF是通徑的一半，得:AF ； FE所以tan AEFAFb2FE a a cca 1a，即e 1,2 ,故選B.對點增分集訓(xùn)、單選題21.若雙曲線C: a2與1 a 0,b 0的一條漸近線經(jīng)過點 b2,則該雙曲線C的離心率為（8A.J0B. ,5C.13-2-D. _52【解析】Q雙曲線的漸近線過點代入b-x ,可得: ae1 3D.2 .傾斜角為的

3、直線經(jīng)過橢圓 4右焦點F ,與橢圓交于A、B兩點，且uurAFuuu2FB ,則該橢圓的離心率為（B 2B.2C.D. -J2所以ti化簡得設(shè)直線的參數(shù)方程為t228c2 . c t2-It2，代入橢圓方程并化簡得2 2t . 2b ct0,2 2b2c-2TT a bt1 t22b422 一a bi2 ，b二3uur 由于AF.故選A.3 .九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,還提出了是雙曲線uur2FB ,即 t1第九章“勾股”，次方程的解法問題.直角三角形的三條邊長分別稱“勾” “股”22 I 1 a 0,b 0 ,的左、右焦點，P是該雙曲線右支上的一點，若a b“勾” “股”，且

4、 PE PF2B.3即 |pfJ2代入上述韋達定理,講述了 “勾股定理”及一些應(yīng)用,Fi、F2分別PF1I , PF2 分別是 RDFFF2 的4ab ,則雙曲線的離心率為（C. 2D.由雙曲線的定義得 PF1 PF22a ,所以PFi PF22 4a2,2PF22 PFJ |PF24a2 ,由題意得PF1222PF2,所以 |pfJ IPF2IF1F2I又 IPF1I |PF2 4ab,所以 4c228ab 4 a ,解得 b2a ,從而離心率D.24.已知雙曲線G :三 a2上12 I ba 0,b 0的一個焦點F與拋物線C22:y 2Px p 0的焦點相同，匕們交于A, B兩點，且直線

5、AB過點F ,則雙曲線 G的離心率為（A. 2B. ,3【答案】CC.2 1D. 2【解析】設(shè)雙曲線Ci的左焦點坐標為F' c,0,由題意可得:則 A 旦 p , Bp, p，即 A c,2c , B c, 2c , 22又：| AF 1 AF 2a , | AF 'F'F|2 |AF/ 2 2c 22c 272c ,據(jù)此有：2辰2c 2a,即22 1 c a,則雙曲線的離心率：e5.已知點 P Xo,yo x012 2 12 X 在橢圓C:-2 a1 .本題選擇2y2 1ab bC選項.0上，若點M為橢圓C的右頂點，且POPM ( O為坐標原點），則橢圓C的離心率e的

6、取值范圍是（）八3A.0,3B. 0,1C1,1D.呼為：X由題意POPM ,所以點P在以O(shè)M為直徑的圓上，圓心為 a,0 ,半徑為-a ,所以圓的方程 22與橢圓方程聯(lián)立得:b2 X2 ax b2 0,此方程在區(qū)間0,aa上有解,由于a為此方程的一個根，且另一根在此區(qū)間內(nèi)，所以對稱軸要介于9與a之間,22 所以- -a ,結(jié)合a b c ,解得2 1 ,2b22 2c2 1 a根據(jù)離心率公式可得 e 1 .故選C. 2226.已知橢圓xy 冬1 a b 0 ,點A, B是長軸的兩個端點，若橢圓上存在點 a bP ,使得 APB 120 ,則該橢圓的離心率的最小值為（）A. J2B. -J2C

7、.D. 34【解析】因為tan故選C.設(shè)M為橢圓短軸一端點，則由題意得OMA a ,所以aAMBAPB 120 ,2-22a 3 a c即 AMO 60 ,27.已知雙曲線x2 a2A i的左，右焦點分別為Fi,F2,點P在雙曲線的右支上，且| PFi4PF2 ,則此雙曲線的離心率e的最大值為（A. 43B.C. 2D. 73【解析】由雙曲線的定義知PF1PF22a；又PFi4 PF2I ,聯(lián)立解得PFi8a a,3PF22a a ,3在PF1F2中，由余弦定理,得 cos F1PF264 2a94a982/24ci7了要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值,當(dāng)cosFiPF2i時，解得

8、55e 5 ,即e的最大值為5 ,故選B.解法二：由雙曲線的定義知PFiPF2I 2a ，又 I PFi4PF2 ,，聯(lián)立解得| PFi -a,32PF2 2a,因為點P在右支所以3a故5a3即e的最大值為g，故選B.3228.已知橢圓x2與i a ba b的左、右焦點分別為 Fi,F2，點P在橢圓上，O為坐標原點,若OP2|FiF21，且 PFi| PF22a ,則該橢圓的離心率為（A. 34【答案】B 3B.2D.由橢圓的定義可得，PFi PF2 2a,又 PFi| IPF2a2,可得 PFi PF2a ,即P為橢圓的短軸的端點,OP b ,且 OP j|FiF2 c,即有 c b 后一c

9、2 ,即為 a V2c, e且故選D 22x2x與雙曲線2卷1 a b 0有公共點,則雙曲線的離心率的取值范圍為（A.1,5B.D.5,【解析】雙曲線2 xF a2 y_的漸近線方程為由雙曲線與直線2x有交點,則有則雙曲線的離心率的取值范圍為10.我們把焦點相同且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“相關(guān)曲線”.已知F1, F2是一對相關(guān)曲線的焦點, _ Pe,分別是橢圓和雙曲線的離心率，若為它們在第一象限的交點,F1PF2 60 ,則雙曲線的離心率B.C.3D. 3可得PFi設(shè)F1c,0 , F22a, PFi由余弦定理可得即有4c2c,0 ,橢圓的長半軸長為a,雙曲線的實半軸長為 m,PF

10、2 2m,可得 PF1 a m, PF2 am,F1F22 PF12 PF22 2PF1 PF2 cos60 ,由離心率公式可得工e132e24 , se 1 ,即有 e244e22 3 0 ,解得金73 ,故選C.11.又到了大家最喜（tao )愛（yan）的圓錐曲線了.已知直線l : kx y2k 1 0與橢圓22-xyC1 : -21 a bab.一 uurujir.0交于A、B兩點，與圓C2 :1交于C、D兩點.若存在k使得AC DB ,則橢圓G的離心率的取值范圍是（A 0，2B.i，1C.。小【解析】直線l : kx y 2kQ直線l恒過定點2,1 , 直線l過圓C2的圓心,10UU

11、IT ILLT QAC DB,AC2C2B,C2的圓心為A、 B兩點中點,X2,y22 X1 T a2 X2 -2 a2 y1 b22 y2 丁上下相減可得:X1X2化簡可得XiX2b2yy2y1 V2y1V2b，b22 2k ,a2 bF a0,4L,1 , e222xyyV2X1X2,故選C.12.已知點P為雙曲線b 0右支上一點，點 F1, F2分別為雙曲線的左右焦點，點I是17 PF1F2的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心）1,若恒有SA ipfSA ipfMaiff成立，則雙曲線的離心率取值氾圍12x y2px p 0 與雙曲線2 1 a 0, b a b 31 2A.1,2B.1,2C.0

12、,3D.1,3設(shè)PF1F2的內(nèi)切圓半徑為r,由雙曲線的定義得PR |PF2 2a /F1F2 2c,1SA PF11PF1 r由題意得 PR11SAPF22 PF2 r，SApf1f2- 2c r cr ,1|PF2 r ；cr ,故 c 3 | PF1 |PF23a,1,所以，雙曲線的離心率取值范圍是1,3,故選D.二、填空題13.已知拋物線0有相同的焦點F，點A是兩曲線的一個ABF是等邊三角形,所以 lAFj2 16c2交點，若直線 AF的斜率為 6,則雙曲線的離心率為【答案7- 3【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線的另外一個焦點為F1?由于AF的斜率為近,所以 BAF 60 ,且AF AB ,所

13、以所以 F1BF 30 ,所以 BF1 2顯,BF 4c,24c 2 4c 2c cos120 28 ,所以AFi 2 J7c ,由雙曲線的定義可知 2a 2 J7c 4c ,所以雙曲線的離心率為72 .32214.已知雙曲線 二 t2 1 a 0,b 0 ,其左右焦點分別為 Fi, F2,若M是該雙曲線右支上一點, a b滿足 3,則離心率e的取值范圍是MF2【答案】1,2【解析】設(shè)M點的橫坐標為x ,1MF4 3, M在雙曲線右支上 x a，根據(jù)雙曲線的第二定義,MF222aa可得 3e x - e x 一 , ex 2a,ccQ x a , ex ea, 2a ea, e 2 , Q e

14、 1 ,1 e 2,故答案為 1,2 .22x y15.已知橢圓 二 41 a b 0的左、右焦點分別為 F1, F2,過F1的直線與橢圓交于 A, B的兩點, a b且AF2 x軸，若P為橢圓上異于 A, B的動點且SA pab 4SApbf1 ,則該橢圓的離心率為 .【答案】32【解析】根據(jù)題意，因為 AF2 x軸且F2 c,0，假設(shè)A在第一象限，則 A c, a過B作BC x軸于C,則易知八片尸2BFC ,由 Skab 4SaPBF/導(dǎo) AF1 3BF1 ,所以 AF2I 3BC , IF1F2I 3CF1 , 22. 2所以B 5c,，代入橢圓方程得與-by 1,即25c2 b2 9a

15、2,3 3a9a 9a又b2 a2 c2,所以3c2 a2,所以橢圓離心率為e c . a 3故答案為，3.32216.在平面直角坐標系 xOy中，記橢圓 與 4 1ab 0的左右焦點分別為 F1, F2 ,若該橢圓上恰好 a b有6個不同的點P,使得EF2P為等腰三角形，則該橢圓的離心率的取值范圍是 .2,1【解析】橢圓上恰好有6個不同的點P,使得4尸F(xiàn)2P為等腰三角形，6個不同的點有兩個為橢圓短軸的兩個端點，另外四個分別在第一、二、三、四象限，且上下對稱左右對稱,設(shè)P在第一象限，PF1 PE,當(dāng)PF1F1F2 2c 時，PF, 2a PF1 2a 2c,即2a2a 2c,解得又因為e 1,

16、所以12當(dāng)PF2F1F2 2c 時,PFi2a PF22a即2a2c2c 且 2c解得:綜上-e211或一3三、解答題的的離心率為J3,則220,b17.已知雙曲線C：與4 a b(1)求雙曲線C的漸進線方程.(2)當(dāng)a 1時，已知直線0與雙曲線C交于不同的兩點 A, B,且線段AB的中點在圓x2y2 52,上，求m的值.【答案】(1) y 或x；【解析】(1)由題意，得2222 b b c a 2a ,即一2 a所求雙曲線C的漸進線方程y(2)由(1)得當(dāng)a 1時，雙曲線C的方程為x2設(shè)A,B兩點的坐標分別為X1,y1X2,y2 ,線段AB的中點為MXo,yo ,2y 151 ，得X2y m

17、 022mx m(判別式A0),XoX1X2m, y2,一點M %,y0在圓x25 上，22m5,a b 0的左焦點為1,0 ,離心率若直線l經(jīng)過橢圓C的左焦點F ,交y軸于點uiDuur uuuP ,且滿足PAAF , PBuuuBF .求證:為定值;若OA OB ,求OAB面積的取值范圍.【答案】（1）二y I 9,故1oab 學(xué)綜上Saoab t 242222 1；見解析，3 Sa OAB 22【解析】（1）由題設(shè)知，- 2,c 1,所以a2 a 22所以橢圓C的標準方程為y2 1 .2（2）由題設(shè)知直線l斜率存在，設(shè)直線l方程為y k x 1 ,則P 0,kX1,y1 ,B X2,y2直線l代入橢圓所以X1X24k22k2X1X22k2 21 2k22X 27 yuur由PAuuirAF ,2kuuuPB22_ 2x 4kx 2kuurBF知X11X1X21x2X1X22x1X21X1x2X1X24k21 2k24 k2121 2k4k2 41 2k2 2k2 2 1 2k2當(dāng)直線OA, OB分別與坐標軸重合時，易知SA0AB當(dāng)直線