圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦的幾個(gè)公式定理及應(yīng)用(老師)

1、圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦的幾個(gè)公式及應(yīng)用如果圓錐曲線的一條弦所在的直線經(jīng)過焦點(diǎn)，則稱此弦為焦點(diǎn)弦。圓錐曲線的焦點(diǎn)弦問題涉及到離心率、直線斜率（或傾斜角）、定比分點(diǎn)（向量）、焦半徑和焦點(diǎn)弦長等有關(guān)知識。焦點(diǎn)弦是圓錐曲線的“動脈神經(jīng)”，集數(shù)學(xué)知識、思想方法和解題策略于一體，倍受命題人青睞，在近幾年的高考中頻頻亮相， 題型多為小題且位置靠后屬客觀題中的壓軸題，也有作為大題進(jìn)行考查的。本文介紹圓錐曲線有關(guān)焦點(diǎn)弦問題的幾個(gè)重要公式及應(yīng)用，與大家交流。定理1已知點(diǎn)尸是離心率為邑的圓錐曲線c的焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸的弦乂8與C的焦點(diǎn)所在口 丸一日 cos 3 的軸的夾角為&且用0 =期變（21）。（1）當(dāng)焦點(diǎn)戶內(nèi)分

2、弦送F時(shí)，有兌十1 ；C丸十1ecos&=（2）當(dāng)焦點(diǎn)因外分弦時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線），有/ 1。證明 設(shè)直線？是焦點(diǎn)尸所對應(yīng)的準(zhǔn)線，點(diǎn)在直線F上的射影分別為 4,與，點(diǎn)-在AFBF直線.招上的射影為血。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，且4阻，又獨(dú)=4啊兄之1）,所以朋二BF Aa AF ABF，網(wǎng)=二（1） 當(dāng)焦點(diǎn)日內(nèi)分弦乂召時(shí)。(2)當(dāng)焦點(diǎn)戶外分弦且B時(shí)(此時(shí)曲線為雙曲線)。ABF BF 15 + l)EF,所以如圖2,ABF EFr ，-AM zU+8 亂一毒 丁 _ 3+1 cos 曰=cos N A£4E = = -用 AFBF“，所以白 8*6 二 2T。cos日二二年上必

3、F 二 二9一3H反十3斤評注特別要注意焦點(diǎn)外分焦點(diǎn)弦（此時(shí)曲線為雙曲線）和內(nèi)分焦點(diǎn)弦時(shí)公式的不同, 這一點(diǎn)很容易不加區(qū)別而出錯(cuò)。C:1-彳=1（4>0）例1 （2009年高考全國卷n理科題）已知雙曲線厘 b的右焦點(diǎn)為尸，過F且斜率為 扣的直線交C于乩£兩點(diǎn)。若=,則0的離心率為（）4 1F? cos 60'=解這里人上領(lǐng)日二W，所以日二60口，又兄=4 ,代入公式得4十1 ,所c：£_42L=i（cl >八0）例2 （2010年高考全國卷n理科第 12題）已知橢圓 b的離# _ _心率為2。過右焦點(diǎn)且斜率為 冷 > 丹的直線于C相交于式方兩點(diǎn)，若

4、AF = M ,則A1 842 C,3D,2一# Q& 一 cos 8 解這里見=3 ,2 ,設(shè)直線AB的傾斜角為6，代入公式得22 ,所以cos 6 -廠J3 ,所以k= tan6 = J2，故選入。例3 （ 08高考江西卷理科第15題）過拋物線x三2式以產(chǎn) 口）的焦點(diǎn)產(chǎn)作傾斜角為3仃的直線，與拋物線交于 凡支兩點(diǎn)（點(diǎn)上在L軸左側(cè)），則有 但同 解如圖3,由題意知直線 AB與拋物線的地稱軸的夾角 8 =期,當(dāng)點(diǎn)工在L軸左側(cè)時(shí),啰13八七1巴設(shè)附 ，又后=1,代入公式得N+1 ,解得兄=J所以怛叫3。例4 （2010年高考全國卷I理科第 16題）已知因是橢圓。的一個(gè)焦點(diǎn)，刀是短軸的一個(gè)

5、端點(diǎn)，線段*的延長線交口于點(diǎn)，且"二2FD ,則。的離心率為3日二絲二J解設(shè)直線5口與焦點(diǎn)所在的軸的夾角為U ,則 RF 口 ，又工=2 ,代入0三一口:1（八0金,0）例5（自編題）已知雙曲線 里 上的離心率為 3 ，過左焦點(diǎn)F且斜率為4口的直線交。的兩支于a 8兩點(diǎn)。若阿=3同，則=二援口 833解這里3 ,4 = 2,因直線AB與左右兩支相交，故應(yīng)選擇公式NT ,處二0£日二 ill二史i = tan30° = 代入公式得33-1,所以 2所以日=30，所以3定理2已知點(diǎn)F和直線,是離心率為由的圓錐曲線白的焦點(diǎn)和對應(yīng)準(zhǔn)線，焦準(zhǔn)距（焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離）為 &

6、quot;。過點(diǎn)E1的弦/耳與曲線C的焦點(diǎn)所在的軸的夾角為 我九90），則有-卜-/，證明設(shè)點(diǎn)A瓦E在準(zhǔn)線上的射影分別為A,過點(diǎn)產(chǎn)作軸產(chǎn)笈的垂線交直線AF BF =e= 且4于點(diǎn)M ,交直線咯于點(diǎn)H。由圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，段忸可，所以 以尸司=首區(qū)劃所以1詹儂8 1十厘匚05白1-6 COS & o（2）當(dāng)焦點(diǎn)產(chǎn)外分弦工方時(shí)（此時(shí)曲線為雙曲線）。所以較長焦半徑明二一笆一四lCQgg ,較短焦半徑印1+qC州日。（1）當(dāng)焦點(diǎn)產(chǎn)內(nèi)分弦3時(shí)。如圖4, PM=l4M+MI="月2日,忸al=|"M-W司=尸一H戶|匚0£日?圖4所以AS = A-BF綜合(1)(

7、2)知，較長焦半徑焦點(diǎn)弦的弦長公式為特別地，當(dāng)曲線為無心曲線即為拋物線時(shí)，焦準(zhǔn)距就是徑之半，較長焦半徑如圖5,網(wǎng)=翻卜區(qū)蚱咐3日"叫|=|四卜陷=尸一網(wǎng)38所以網(wǎng)二或網(wǎng)。也分網(wǎng)四尸一網(wǎng)8畫AF= 一笆一11 = 一宅一所以較長焦半徑cos-1 ,較短焦半徑32sd+1。epep _ 2epcos-1 <?cos + l 宓 cos 日T?？诘蕉蝗籅F 二一&一NB|=卓一1一必6 ,較短焦半徑1十2© ,焦點(diǎn)弦的弦長公式為5口白。當(dāng)曲線為有心曲線即為橢圓或雙曲線時(shí)，焦準(zhǔn)距為1121 1注由上可得，當(dāng)焦點(diǎn)尸內(nèi)分弦工8時(shí)，有加I3叩窗 網(wǎng) H叩p .1 1 1

8、 _2cos -當(dāng)焦點(diǎn)產(chǎn)外分弦工，時(shí)，有忸到M日卻口口怛典 p 。例6 （2009年高考福建卷理科第13題）過拋物線?三2尸工（尸的焦點(diǎn)產(chǎn)作傾斜角為4亨的直線，交拋物線于 凡石兩點(diǎn)，若線段AB的長為8,則戶二AB=-=8_9解由拋物線焦點(diǎn)弦的弦長公式為貪口白得,乳力45，解得尸二*。+ A - l（a > 方 > 0）例7 （2010年高考遼寧卷理科第 20題）已知橢圓口 上的右焦點(diǎn)為產(chǎn)，經(jīng)過正且傾斜角為6仃的直線？與橢圓相交于不同兩點(diǎn)乂田，已知方=2FB。AB =（1）求橢圓的離心率；（2）若 4，求橢圓方程。52 -12bcosoU = e =解（1）這里日=6° ,

9、為三2 ,由定理1的公式得2十1 ,解得 3 。15e = -fe=60 AB=1- （-）1 cos3 604（2）將 3M ,代入焦點(diǎn)弦的弦長公式得，3,解5 足 5c; 2得 2,即 c 2 ,所以2g ）三究，又曰3 ,設(shè)心=紜。=球，代人得七 =1,所以2 = 3 ,所以二/一（?=5 ,故所求橢圓方程為95例8 （2007年重慶卷第16題）過雙曲線X 7 "的右焦點(diǎn)F作傾斜角為10寸的直線，交雙曲線于f,Q兩點(diǎn)，則"I忸制的值為解易知EQ均在右支上，因?yàn)槔迦?三避，離心率/=血，點(diǎn)準(zhǔn)距°仁虎，因傾斜角為1萬，所以日=7九由焦半徑公式得，陽戶副二0P s

10、p44S/51-營。叱31-/匚。£5 1-2cos275' l-l+gsl5。13 -例9 （由2007年重慶卷第16題改編）過雙曲線 = 4的右焦點(diǎn)F作傾斜角為150°的直線，交雙曲線于RQ兩點(diǎn)，則卜耳,網(wǎng)的值為解因?yàn)槔铩叭?離心率 =也，點(diǎn)準(zhǔn)距'E,因傾斜角為i='：:?所以日=30"。注意到F，Q分別在雙曲線的兩支上，由焦半徑公式得,網(wǎng)聞=c cos 4*1 cos2 -1 2cosa 30'=8o工 y r-i-'=1例10（2007年高考全國卷I）如圖 6,已知橢圓32 的左、右焦點(diǎn)分別為片區(qū),過耳的直線交橢圓于EQ兩點(diǎn)，過弓的直線交橢圓于上£兩點(diǎn)，且HC ±BD。求四邊形面積的最小值。解由方程可知，援小力士道，則了7? = = 2設(shè)直