四年級抽屜原理

1、抽屜原理Page2 Of 15知識結(jié)構(gòu)一、知識點(diǎn)介紹抽屜原理有時也被稱為鴿籠原理，它由德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確提出來并用來證明一些數(shù)論中 的問題，因此，也被稱為狄利克雷原則抽屜原理是組合數(shù)學(xué)中一個重要而又基本的數(shù)學(xué)原理，利用它可 以解決很多有趣的問題， 并且常常能夠起到令人驚奇的作用.許多看起來相當(dāng)復(fù)雜，甚至無從下手的問題,在利用抽屜原則后，能很快使問題得到解決.、抽屜原理的定義(1) 舉例桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，有的抽屜可以放一個，有的可以放 兩個，有的可以放五個，但最終我們會發(fā)現(xiàn)至少我們可以找到一個抽屜里面至少放兩個蘋果。(2) 定義般情況下，把 n+1

2、或多于n+1個蘋果放到n個抽屜里，其中必定至少有一個抽屜里至少有兩個蘋果。我們稱這種現(xiàn)象為抽屜原理。三、抽屜原理的解題方案(一)、利用公式進(jìn)行解題蘋果÷抽屜=商余數(shù)余數(shù)：(1)余數(shù)=1,結(jié)論：至少有(商+1)個蘋果在同一個抽屜里(2)余數(shù)=X 1 X n 1I I結(jié)論：至少有(商+1)個蘋果在同一個抽屜里(3)余數(shù)=O,(二)、利用最值原理解題結(jié)論：至少有“商”個蘋果在同一個抽屜里將題目中沒有闡明的量進(jìn)行極限討論，將復(fù)雜的題目變得非常簡單，也就是常說的極限思想“任我意” 方法、特殊值方法.例題精講一、直接利用公式進(jìn)行解題【例1】 六一”兒童節(jié)，很多小朋友到公園游玩，在公園里他們各自遇

3、到了許多熟人試說明：在游園的小朋友中，至少有兩個小朋友遇到的熟人數(shù)目相等.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【解析】 略【答案】假設(shè)共有 n個小朋友到公園游玩，我們把他們看作n個 蘋果”再把每個小朋友遇到的熟人數(shù)目看作 抽屜”那么，n個小朋友每人遇到的熟人數(shù)目共有以下n種可能：0, 1，2，；n 1.其中0的意思是指這位小朋友沒有遇到熟人；而每位小朋友最多遇見 n 1個熟人，所以共有n個抽屜”.下面分兩種情況來討論：如果在這 n 個小朋友中，有一些小朋友沒有遇到任何熟人，這時其他小朋友最多只能遇上n 2個熟人，這樣熟人數(shù)目只有n1種可能：0,1,2,；n 2 這樣，蘋果”數(shù)（n個小朋友）

4、超過抽屜”數(shù)（n 1種熟人數(shù)目 ），根據(jù)抽屜原理，至少有兩個小朋友，他們遇到的熟人數(shù)目相等.如果在這n個小朋友中，每位小朋友都至少遇到一個熟人，這樣熟人數(shù)目只有 n 1種可能：1,2,3, ,n 1.這時， 蘋果”數(shù)（n個小朋友）仍然超過 抽屜”數(shù)（n 1種熟人數(shù)目），根據(jù)抽屜原理，至少有兩個小朋 友，他們遇到的熟人數(shù)目相等.總之，不管這n個小朋友各遇到多少熟人（包括沒遇到熟人），必有兩個小朋友遇到的熟人數(shù)目相等【鞏固】 五年級數(shù)學(xué)小組共有 20 名同學(xué), 他們在數(shù)學(xué)小組中都有一些朋友, 請你說明： 至少有兩名同學(xué), 他們的朋友人數(shù)一樣多.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】 3 星【題型】解答【解析】

5、略 .【答案】數(shù)學(xué)小組共有 20 名同學(xué),因此每個同學(xué)最多有 19 個朋友；又由于他們都有朋友,所以每個同學(xué) 至少有1個朋友.因此，這20名同學(xué)中，每個同學(xué)的朋友數(shù)只有 19種可能：1,2, 3, ；19.把 這 20 名同學(xué)看作 20個“蘋果”，又把同學(xué)的朋友數(shù)目看作 19個“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，至少有 2 名同學(xué),他們的朋友人數(shù)一樣多例 2】 證明：任取 8個自然數(shù),必有兩個數(shù)的差是 7的倍數(shù).考點(diǎn)】抽屜原理【難度】 3 星【題型】解答解析】 略 .【答案】在與整除有關(guān)的問題中有這樣的性質(zhì)，如果兩個整數(shù)a、b,它們除以自然數(shù) m的余數(shù)相同，那么它們的差a b是m的倍數(shù).根據(jù)這個性質(zhì)，本題

6、只需證明這 8個自然數(shù)中有2個自然數(shù)，它們 除以 7的余數(shù)相同 .我們可以把所有自然數(shù)按被 7除所得的 7種不同的余數(shù) 0、1、2、3、4、5、6 分成七類.也就是 7個抽屜.任取 8個自然數(shù),根據(jù)抽屜原理,必有兩個數(shù)在同一個抽屜中,也就 是它們除以 7的余數(shù)相同,因此這兩個數(shù)的差一定是 7 的倍數(shù)Page2 of 15【鞏固】 證明：任取6個自然數(shù)，必有兩個數(shù)的差是 5的倍數(shù)?！究键c(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答Page6 Of 15【解析】略?！敬鸢浮堪炎匀粩?shù)按照除以 5的余數(shù)分成5個剩余類，即5個抽屜.任取6個自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個數(shù)屬于同一剩余類，即這兩個數(shù)除以5的余數(shù)相

7、同，因此它們的差是5的倍數(shù)【例3】 任意給定2008個自然數(shù)，證明：其中必有若干個自然數(shù)，和是2008的倍數(shù)（單獨(dú)一個數(shù)也當(dāng)做和）.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【解析】略.【答案】把這2008個數(shù)先排成一行：a , a2, a3, ,a?。*,第1個數(shù)為a ；前2個數(shù)的和為a1 a2 ；前3個數(shù)的和為a a2 a3 ； 前2008個數(shù)的和為a a2卅a2008.如果這2008個和中有一個是 2008的倍數(shù)，那么問題已經(jīng)解決；如果這2008個和中沒有2008的倍數(shù)，那么它們除以 2008的余數(shù)只能為1, 2, ,2007之一，根據(jù)抽屜原理，必有兩個和除以2008的余數(shù)相同，那么它們的

8、差（仍然是a ,a2,a3,；a2008中若干個數(shù)的和）是2008的倍數(shù).所以結(jié)論成立【鞏固】20道復(fù)習(xí)題，小明在兩周內(nèi)做完，每天至少做一道題證明：小明一定在連續(xù)的若干天內(nèi)恰好 做了 7道題目.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【解析】略.【答案】設(shè)小明第1天做了 a道題，前2天共做了 a2道題，前3天共做了 a3道題，前14天共做了 道題顯然 a1420 ,而 a1a3都小于 20.考慮 a ,a2,a3, ,及 47 ,a27 ,a37 , ,al47這28個數(shù)，它們都不超過 27.根據(jù)抽屜原理，這28個數(shù)中必有兩個數(shù)相等.由于a1,a2,a3 , ,a14互不相等，37 ,a27

9、, a37 , ,au 7也互不相等，因而這兩個相等的數(shù)只能一個在前一組，另一個在后一組中，即有：aj a 7 ,所以aj a 7 這表明從第i 1天到第j天，小明恰好做了 7道題.【例4】把1、2、3、10這十個數(shù)按任意順序排成一圈，求證在這一圈數(shù)中一定有相鄰的三個數(shù)之和不小于17.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【解析】略.【答案】（法1）把這一圈從某一個數(shù)開始按順時針方向分別記為a、a2、a3、a10.相鄰的三個數(shù)為組，有 a1 a2a3、a2a3a4、a3 a4a5、a9 a10a1、a10a1a2 共 10 組.這十組三個數(shù)之和的總和為:a1a2a3 + a2a3a4 + H

10、 + a10a1 a23 a1 a2 川a1055 165165 16 105 ,根據(jù)抽屜原理，這十組數(shù)中至少有一組數(shù)的和不小于17.（法 2）在10個數(shù)中一定有一個數(shù)是1 ,不妨設(shè)a10 1 ,除去a10之外，把個數(shù)按順序分為三組 a1a2a3、a4a5a6、a7a8a9 .因?yàn)檫@三組數(shù)之和的總和為：a1a2a3+a4a5a6+ a7asa923卅1054，根據(jù)抽屜原理，這三組數(shù)中至少有一組數(shù)之和不小于17【鞏固】 圓周上有2000個點(diǎn)，在其上任意地標(biāo)上0,1,2,川,1999 （每一點(diǎn)只標(biāo)一個數(shù)，不同的點(diǎn)標(biāo)上不同【難度】3星【題型】解答的數(shù)）.證明必然存在一點(diǎn)，與它緊相鄰的兩個點(diǎn)和這點(diǎn)上所

11、標(biāo)的三個數(shù)之和不小于2999【考點(diǎn)】抽屜原理【解析】略.【答案】把這一圈從某一個數(shù)開始按順時針方向分別記為a1 a2、a3、a200。.相鄰的三個數(shù)為一組,有 a1a2a3、a2a3a4、a3 a4a5、a1999 a2000 a 、a2000 a1 a2 共 2000 組.這2000組三個數(shù)之和的總和為：a1 a2a3+ a2a3a4+ I +a2000a1a23a1a2 卅a20003 （1 2 3 卅 1999） 59970005997000 2998 2000 1000 ,根據(jù)抽屜原理，這兩千組數(shù)中至少有一組數(shù)的和不小于2999【例5】 證明：在任意的6個人中必有3個人，他們或者相互認(rèn)

12、識，或者相互不認(rèn)識.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【解析】略.【答案】把這6個人看作6個點(diǎn)，每兩點(diǎn)之間連一條線段，兩人相互認(rèn)識的話將線段涂紅色，兩人不認(rèn)識的話將線段涂上藍(lán)色， 那么只需證明其中有一個同色三角形即可 從這 6個點(diǎn)中隨意選取一點(diǎn) A ， 從 A 點(diǎn)引出的 5 條線段，根據(jù)抽屜原理，必有 3 條的顏色相同，不妨設(shè)有 3 條線段為紅色，它們 另外一個端點(diǎn)分別為 B、C、D ,那么這三點(diǎn)中只要有兩點(diǎn)比如說B、C之間的線段是紅色，那么A、B、C3點(diǎn)組成紅色三角形；如果 B、C、D三點(diǎn)之間的線段都不是紅色，那么都是藍(lán) 色，這樣 B 、 C 、 D3 點(diǎn)組成藍(lán)色三角形，也符合條件所以

13、結(jié)論成立【鞏固】 平面上給定 6 個點(diǎn)，沒有 3 個點(diǎn)在一條直線上證明：用這些點(diǎn)做頂點(diǎn)所組成的一切三角形中， 一定有一個三角形，它的最大邊同時是另外一個三角形的最小邊【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】 3 星【題型】解答【解析】 略 【答案】我們先把題目解釋一下一般情況下三角形的三條邊的長度是互不相等的，因此必有最大邊和最 小邊在等腰三角形 （或等邊三角形中 ），會出現(xiàn)兩條邊，甚至三條邊都是最大邊（或最小邊 ）我們用染色的辦法來解決這個問題分兩步染色：第一步：先將每一個三角形中的最大邊涂上同一種顏色，比如紅色；第二步，將其它的未涂色的線段都涂 上另外一種顏色，比如藍(lán)色這樣，我們就將所有三角形的邊都用紅、

14、藍(lán)兩色涂好根據(jù)上題題的結(jié)論可知，這些三角形中至 少有一個同色三角形由于這個同色三角形有自己的最大邊，而最大邊涂成紅色，所以這個同色 三角形必然是紅色三角形由于這個同色三角形有自己的最小邊，而這條最小邊也是紅色的，說 明這條最小邊必定是某個三角形的最大邊結(jié)論得證【例6】 自制的一幅玩具牌共計 52張（含4種牌：紅桃、紅方、黑桃、黑梅。每種牌都有1點(diǎn)、2點(diǎn)、 13點(diǎn)牌各一張 ）。洗好后背面朝上放好。一次至少抽取 張牌，才能保證其中必定有 2張牌的點(diǎn)數(shù)和顏色都相同。 如果要求一次抽出的牌中必定有 3張牌的點(diǎn)數(shù)是相鄰的 （不計顏色 ）。那么至 少要取 _張牌?？键c(diǎn)】抽屜原理【難度】 3 星【題型】填空

15、關(guān)鍵詞】 2006 年，第 11 屆，華杯賽，初賽，第 13題解析】 對前一種情況，可取紅、黑色的 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13 點(diǎn)各 1 張， 共13× 2=26（張）,那么再取一張牌，必定和其中某一張牌點(diǎn)數(shù)相同，于是就有2張牌點(diǎn)數(shù)和顏色都相同。這是最杯的情況， 因此，至少要取 27張牌，必能保證有 2張牌點(diǎn)數(shù)、 顏色都相同。 對后一種情況，有以下的搭配：（1， 2， 3）、（4， 5， 6）、（7， 8， 9）、（10， 11， 12）， 13。因而對涂陰影的9個數(shù)，四種花色的牌都取，這樣可以取到（4× 2+1 &#

16、215; 4=36（張）牌，其中沒有Page5 of 153張牌的點(diǎn)數(shù)是相鄰的?，F(xiàn)在考慮取37張牌，極端情況下，這37張牌，有4張是13,則至少要有33張牌取自（1 ,2,3）、 （4，5, 6）、（乙8，9）、（ 10，11，12）四個抽屜，根據(jù)抽屜原則，必有 9個數(shù)來自其中一個抽屜，這個抽屜中就一定有 3張牌的點(diǎn)數(shù)相鄰的。因此，至少要取 37張牌?！敬鸢浮?7張牌，37張牌【鞏固】 一副撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能使其中至少有2張牌有相同的點(diǎn)數(shù)？【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2004年，第9屆，華杯賽，初賽，第 8題a）如果不算大、小王，每個花色13張牌，只需

17、14張便一定有兩張相同點(diǎn)數(shù)的牌，加上大、小王，則需要16張牌.【答案】16張二、構(gòu)造抽屜【例7】 從2、4、6、8、50這25個偶數(shù)中至少任意取出多少個數(shù)，才能保證有2個數(shù)的和是52 ？【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答【解析】 構(gòu)造抽屜：2,50，4,48，6,46，8,44，24,28，26,共 13 種搭配，即 13 個抽屜，所以任意取出14個數(shù)，無論怎樣取，有兩個數(shù)必同在一個抽屜里，這兩數(shù)和為52 ,所以應(yīng)取出14個數(shù).或者從小數(shù)入手考慮，2、4、6、26 ,當(dāng)再取28時，與其中的一個去陪，總能找到一個數(shù)使這兩個數(shù)之和為52 .【答案】14【鞏固】 證明：在從1開始的前10個奇數(shù)

18、中任取6個，一定有2個數(shù)的和是20.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】解答【解析】略【答案】將10個奇數(shù)分為五組（1、19）, （3、17）, （5、15）, （7、13）, （9、11）,任取6個必有兩個奇數(shù)在同一組中，這兩個數(shù)的和為20【例8】從1 , 2, 3, 4,，1994這些自然數(shù)中，最多可以取 個數(shù)，能使這些數(shù)中任意兩個數(shù)的差都不等于9.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】北京市，第十一屆，迎春杯刊賽【解析】 方法一：把1994個數(shù)一次每18個分成一組，最后14個數(shù)也成一組，共分成 111組即1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1

19、2, 13, 14, 15, 16, 17, 18;19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36;1963 , 1964 ,1979 , 1980 ; 1981 , 1982 ,，1994 .每一組中取前 9 個數(shù)，共取出9 111 999 （個）數(shù)，這些數(shù)中任兩個的差都不等于9.因此，最多可以取 999個數(shù).方法二：構(gòu)造公差為 9的9個數(shù)列（除以9的余數(shù)）1.10.19.28, （,1990 ,共計 222個數(shù)2.11.20.29, 卅,1991 ,共計 222 個數(shù)3.12.21.30, ,19

20、92 ,共計 222 個數(shù)4.13.22.31, ,1993 ,共計 222 個數(shù)5.14.23.32, ,1994 ,共計 222 個數(shù)6.15.24.33, ,1986 ,共計 221 個數(shù)7.16.25.34, H ,1987 ,共計 221 個數(shù)8.17.26.35, ,1988 ,共計 221 個數(shù)9.18.27.36, H,1989 ,共計 221 個數(shù)每個數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的差是9,因此，要使取出的數(shù)中，每兩個的差不等于9,每個數(shù)列中不能取相鄰的項(xiàng).因此，前五個數(shù)列只能取出一半，后四個數(shù)列最多能取出一半多一個數(shù)，所以最多取111 9999 個數(shù)【答案】999個數(shù)【鞏固】 從1至36個數(shù)

21、中，最多可以取出 個數(shù)，使得這些數(shù)種沒有兩數(shù)的差是5的倍數(shù).【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】南京市，首屆，興趣杯，少年數(shù)學(xué)邀請賽【解析】 構(gòu)造公差為5的數(shù)列，如圖，有五條鏈，看成 5個抽屜，每條鏈上取 1個數(shù)，最多取5個數(shù).1- 6-11 16-21 26-31 36 2- 7- 12- 17-22- 27-323 813- 18-23- 28- 334 9- 14- 19-24- 29- 345 10- 15-20- 25 - 30- 35【答案】5個數(shù)【例9】從 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11和12中至多選出個數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一一個數(shù)

22、的2倍.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，第八屆，春蕾杯，小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽，決賽【解析】 把這12個數(shù)分成6個組：第 1 組：1，2，4，8第 2 組：3，6，12第3組：5，10第4組：7第5組：9第6組：11每組中相鄰兩數(shù)都是 2倍關(guān)系，不同組中沒有 2倍關(guān)系.選沒有2倍關(guān)系的數(shù)，第1組最多2個(1, 4或2, 8或1 , 8),第2組最多2個(3, 12),第 3組只有1個，第4, 5, 6組都可以取，一共2 2 11118個.如果任意取9個數(shù)，因?yàn)榈?, 4, 5, 6組一共5個數(shù)中，最多能取 4個數(shù)，剩下9 4 5個數(shù)在2個組中，根據(jù)抽屜原理，至少有3個數(shù)是

23、同一組的，必有2個數(shù)是同組相鄰的數(shù)， 是2倍關(guān)系.【答案】8個數(shù)【鞏固】 從1到20這20個數(shù)中，任取11個不同的數(shù)，必有兩個數(shù)其中一個是另一個數(shù)的倍數(shù).【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【解析】略.【答案】把這20個數(shù)分成以下10組，看成10個抽屜：(1, 2,4,8 , 16),(3,6, 12), (5, 10, 20), (7,14), (9, 18), (11), (13), (15), (17), (19),前5個抽屜中，任意兩個數(shù)都有倍數(shù)關(guān)系.從這10個抽屜中任選11個數(shù)，必有一個抽屜中要取2個數(shù)，它們只能從前 5個抽屜中取出，這兩個數(shù)就滿足題目要求【例10】從1 , 3,

24、 5, 7 ,，97 , 99中最多可以選出多少個數(shù)，使得選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另Page10 Of 15個數(shù)的倍數(shù) ?【考點(diǎn)】抽屜原理 【難度】 3 星 【題型】解答【解析】 方法一：因?yàn)榫瞧鏀?shù)，所以如果存在倍數(shù)關(guān)系，那么也一定是 3、5、7等奇數(shù)倍.3 × 33 99,于 是從35開始，199的奇數(shù)中沒有一個是 3599的奇數(shù)倍(不包括1倍)，所以選出35,37,39,， 99 這些奇數(shù)即可共可選出 33 個數(shù)，使得選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍數(shù)方法二： 利用 3 的若干次冪與質(zhì)數(shù)的乘積對這 50個奇數(shù)分組 (1, 3, 9, 27, 81), (5, 15, 4

25、5), (7, 21,63), (11, 33), (13, 39), (17, 51), (19, 57), (23, 69), (25, 75), (29, 87), (31, 93), (35), (37), (41), (43),，(97)共33組.前11組，每組內(nèi)任意兩個數(shù)都存在倍數(shù)關(guān)系，所以每組內(nèi)最多只能選擇一個數(shù).即最多可以選出 33 個數(shù)，使得選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍數(shù)評注：12n個自然數(shù)中，任意取出n+1個數(shù)，則其中必定有兩個數(shù)，它們一個是另一個的整數(shù)倍；從2,3. , 2n+1中任取n+2個數(shù)，必有兩個數(shù)，它們一個是另一個的整數(shù)倍；從1, 2, 3.3中任取2

26、n+1個數(shù)，則其中必有兩個數(shù)，它們中一個是另一個的整數(shù)倍，且至少是3倍；從1, 2, 3, ,mn中任取(m-1)n+1個數(shù)，則其中必有兩個數(shù)，它們中一個是另一個的整數(shù)倍，且至少是m倍(m、n為正整數(shù)).【答案】 33 個數(shù)【鞏固】 從整數(shù)1、2、3、199、200中任選101個數(shù)，求證在選出的這些自然數(shù)中至少有兩個數(shù)，其 中的一個是另一個的倍數(shù) .考點(diǎn)】抽屜原理【難度】 3 星【題型】解答a) 略 .答案】把這 200 個數(shù)分類如下：(1)1,1232 , 122 , 123 , , 1 27236(2) 3,32 ,322,323 , 326,(3) 5,52 ,522,523 , 525

27、,(50) 99, 99 2,(51) 101,(52) 103,(100) 199,以上共分為 100類,即 100個抽屜,顯然在同一類中的數(shù)若不少于兩個,那么這類中的任意兩個 數(shù)都有倍數(shù)關(guān)系 .從中任取 101 個數(shù),根據(jù)抽屜原理,一定至少有兩個數(shù)取自同一類,因此其中一 個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)Page9 of 15【例11】在邊長為3的正三角形內(nèi)，任意放入10個點(diǎn)，求證：必有兩個點(diǎn)的距離不大于【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】【題型】解答Page13 Of 15【解析】略.【答案】將邊長為3的正三角形等分為 9個小正三角形，根據(jù)抽屜原理，10個點(diǎn)中必有兩個點(diǎn)落入同一個小正三角形的內(nèi)部或邊上，那么這兩個

28、點(diǎn)之間的距離不會超過小正三角形的邊長，故必有兩個點(diǎn)的距離不大于1【鞏固】 邊長為1的等邊三角形內(nèi)有 5個點(diǎn)，那么這5個點(diǎn)中一定有距離小于0.5的兩點(diǎn).【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【解析】略【答案】5個點(diǎn)的分布是任意的。如果要證明在邊長為1的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）有 5個點(diǎn)，那么這5個點(diǎn)中一定有距離不大于的兩點(diǎn) ”，則順次連接三角形三邊中點(diǎn)，即三角形的三條中位線，可以 分原等邊三角形為4個全等的邊長為的小等邊三角形，則5個點(diǎn)中必有2點(diǎn)位于同一個小等邊三角形中（包括邊界），其距離便不大于 0.5?？梢岳^續(xù)拓展：邊長為1的等邊三角形內(nèi)，若有n2 1個點(diǎn)，則至少存在 2點(diǎn)距離小于-n、最

29、不利原則【例12】一副撲克牌，共54張，問：至少從中摸出多少張牌才能保證：至少有5張牌的花色相同； 四種花色的牌都有；至少有3張牌是紅桃.（4）至少有2張梅花和3張紅桃.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【解析】一副撲克牌有四種花色，每種花色各13張，另外還有兩張王牌，共54張.為了保證”5長牌花色相同，我們應(yīng)從最 壞”的情況去分析，即先摸出了兩張王牌， 再把四種花 色看作4個抽屜，要想有5張牌屬于同一個抽屜，只需再摸出4 4 1 17（張），也就是共摸出19張牌即至少摸出19張牌，才能保證其中有 5張牌的花色相同.因?yàn)槊糠N花色有13張牌，若考慮最 壞”的情況，即摸出了 2張王牌和三種花

30、色的所有牌共計13 3 2 41 （張），這時，只需再摸一張即一共 42張牌，就保證四種花色的牌都有了即至少摸出42張牌才能保證四種花色的牌都有.最壞”的情形是先摸出了 2張王牌和黑桃、梅花、方塊三種花色所有牌共計 13 3241張，只剩紅桃牌這時只需再摸 3張，就保證有3張牌是紅桃了，即至少摸出 44張牌，才能保證其 中至少有3張紅桃牌.因?yàn)槊糠N花色有13張牌，若考慮最 壞”的情況，即摸出2張王牌、方塊和黑桃兩種花色的所有 牌共計：13 2 2 28 ,然后是摸出所有的梅花和3張紅桃（想想若摸出所有的紅桃和2張梅花，是最壞的情況么？），共計：28 13 344張.【答案】19張牌42張牌44

31、張牌44張【鞏固】一副撲克牌共54張，其中113點(diǎn)各有4張，還有兩張王牌，至少要取出 張牌，才能保證其中必有4張牌的點(diǎn)數(shù)相同?！究键c(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】南京市，第三屆，興趣杯，少年數(shù)學(xué)邀請賽，決賽【解析】由于3 13 2 142 ,取出42張牌，其中必有4張點(diǎn)數(shù)相同。如果只取 41張，那么其中可能有3張A,3張2,3張3,，3張K及兩張王牌，沒有 4張一樣的點(diǎn)數(shù)相同。所以，至少要取42張,才能保證其中必有 4張牌的點(diǎn)數(shù)相同?！敬鸢浮?2張課堂檢測【隨練1】平面上有17個點(diǎn)，兩兩連線，每條線段染紅、黃、藍(lán)三種顏色中的一種，這些線段能構(gòu)成若干個三角形.證明：一定有一個三角形

32、三邊的顏色相同.【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】4星【題型】解答【解析】略.【答案】從這17個點(diǎn)鐘任取一個點(diǎn) A ,把A點(diǎn)與其它16個點(diǎn)相連可以得到16條線段，根據(jù)抽屜原理，其中同色的線段至少有 6條，不妨設(shè)為紅色.考慮這 6條線段的除A點(diǎn)外的6個端點(diǎn)：如果6個點(diǎn)兩兩之間有1條紅色線段，那么就有 1個紅色三角形符合條件；如果6個點(diǎn)之間沒有紅色線段，也就是全為黃色和藍(lán)色，由上面的2題可知，這6個點(diǎn)中必有3個點(diǎn)，它們之間的線段的顏色相同，那么這樣的三角形就符合條件.綜上所述，一定存在一個三角形滿足題目要求【隨練2】從1, 2, 3,，99, 100這100個數(shù)中任意選出51個數(shù).證明：（1）在這51個數(shù)中

33、，一定有兩Page11 Of 15個數(shù)互質(zhì)； (2)在這 51 個數(shù)中，一定有兩個數(shù)的差等于 50；(3)在這 51 個數(shù)中，一定存在 9個數(shù)， 它們的最大公約數(shù)大于 1考點(diǎn)】抽屜原理 【難度】 2 星 【題型】解答解析】 略【答案】 我們將1100分成(1, 2), (3,4), (5, 6), (7, 8),，(99, 100)這50組，每組內(nèi)的數(shù)相鄰.而 相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì) 將這 50組數(shù)作為 50個抽屜， 同一個抽屜內(nèi)的兩個數(shù)互質(zhì) 而現(xiàn)在 51 個數(shù),放進(jìn) 50 個抽屜,則必定有兩個數(shù)在同一抽屜,于是這兩個數(shù)互質(zhì)問題得證(2) 我們將 1100 分成(1, 51), (2, 52),

34、 (3, 53), , (40, 90), (50, 100)這 50組,每組內(nèi)的數(shù)相差 50將這 50組數(shù)視為抽屜,則現(xiàn)在有 51 個數(shù)放進(jìn) 50個抽屜內(nèi),則必定有 2個數(shù)在同 一抽屜,那么這兩個數(shù)的差為50問題得證(3) 我們將 1100按2 的倍數(shù)、 3的奇數(shù)倍、既不是 2 又不是 3的倍數(shù)的情況分組,有 (2, 4, 6,8, , 98, 100), (3, 9, 15, 21, 27, , 93, 99), (5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, , 95, 97)這三組第一、二、三組分別有50、 1 7、33個元素最不利的情況下, 51 個數(shù)中有 33個元素在第三組,

35、 那么剩下的 1 8個數(shù)分到第一、 二兩組內(nèi), 那么至少有 9個數(shù)在同一組 所以這 9個數(shù)的最大公約數(shù)為 2或 3或它們的倍數(shù), 顯然大于 1問 題得證隨練 3】 兩個布袋各有 1 2個大小一樣的小球, 且都是紅、白、藍(lán)各 4個。從第一袋中拿出盡可能少的球, 但至少有兩種顏色一樣的放入第二袋中；再從第二袋中拿出盡可能少的球放入第一袋中,使第 一袋中每種顏色的球不少于 3個。這時,兩袋中各有多少個球？考點(diǎn)】抽屜原理【難度】 3 星【題型】解答解析】 第一次取完后,只需知道第一袋中有某種顏色的球不足 3個即可(取了多少個球,怎樣取的都可 以不考慮)。第二次取后,要保證第一袋中每種顏色的球不少于 3

36、 個,最不利的情況是兩種顏色 的球各有8個，另一種顏色的球有 3個。所以，第一袋中有球 8+ 8+ 3 = 19 (個)，第二袋中有球 4× 3×29= 5 (個)。答案】第一袋中有球 19個,第二袋中有球 5個家庭作業(yè)【作業(yè) 1】 假設(shè)在一個平面上有任意六個點(diǎn), 無三點(diǎn)共線, 每兩點(diǎn)用紅色或藍(lán)色的線段連起來, 都連好后,問你能不能找到一個由這些線構(gòu)成的三角形,使三角形的三邊同色？【考點(diǎn)】抽屜原理【難度】3星【題型】解答【解析】略.【答案】從這6個點(diǎn)中隨意選取一點(diǎn) A ,從A點(diǎn)引出的5條線段，根據(jù)抽屜原理，必有3條的顏色相同，不妨設(shè)有3條線段為紅色，它們另外一個端點(diǎn)分別為B、C、D ,那么這三點(diǎn)中只要有兩點(diǎn)比如說B、C之間的線段是紅色，那么A、B、C 3點(diǎn)組成紅色三角形；如果 B、C、D三點(diǎn)之間的線段都不是紅色，那么都是藍(lán)色，這樣B、C、D3點(diǎn)組成藍(lán)色三角形，也符合條件.所以結(jié)論成立.(可以拓展玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué))【作業(yè)2】從1, 4, 7, 10,，37, 40這14個數(shù)中任取8個