數(shù)學(xué)物理方法第2章學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)學(xué)物理數(shù)學(xué)物理(wl)方法第方法第2章章第一頁(yè)，共67頁(yè)。目的與要求：掌握復(fù)變函數(shù)積分的概念、基本目的與要求：掌握復(fù)變函數(shù)積分的概念、基本(jbn)性質(zhì)及運(yùn)算；柯西定理、不定積分、柯西性質(zhì)及運(yùn)算；柯西定理、不定積分、柯西公式。公式。重點(diǎn)重點(diǎn)(zhngdi(zhngdin)n)：難點(diǎn)：難點(diǎn)：1. 1. 復(fù)積分的基本定理；復(fù)積分的基本定理；2. 2. 柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式。柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式。 復(fù)合閉路定理與復(fù)積分的計(jì)算。復(fù)合閉路定理與復(fù)積分的計(jì)算。第1頁(yè)/共67頁(yè)第二頁(yè)，共67頁(yè)。 設(shè)設(shè)l為平面上給定的一條光滑為平面上給定的一條光滑(或按段光滑或按段光滑)曲線曲線, 如果選定如果

2、選定l的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向或正向), 那么我們那么我們(w men)就把就把l理解為帶有方向的曲線理解為帶有方向的曲線, 稱為有向曲線稱為有向曲線.xyoAB如果如果A到到B作為作為(zuwi)曲線曲線l的正向的正向,那么那么B到到A就是曲線就是曲線l的負(fù)向的負(fù)向,記為記為l -.( (與實(shí)函數(shù)積分相似，定義為和的極限與實(shí)函數(shù)積分相似，定義為和的極限) )復(fù)平面上的線積分復(fù)平面上的線積分總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.第2頁(yè)/共67頁(yè)第三頁(yè)，共67頁(yè)。簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)單閉曲線(qxin)(qxin)正向的定義正向的定義: : 簡(jiǎn)

3、單閉曲線簡(jiǎn)單閉曲線l的正向的正向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此順此方向前進(jìn)時(shí)方向前進(jìn)時(shí), 鄰近鄰近P點(diǎn)的曲點(diǎn)的曲線的內(nèi)部線的內(nèi)部(nib)始終位于始終位于P點(diǎn)的左方點(diǎn)的左方. xyoPPPP 與之相反的方向與之相反的方向就是就是(jish)(jish)曲線曲線的負(fù)方向的負(fù)方向. .第3頁(yè)/共67頁(yè)第四頁(yè)，共67頁(yè)。oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk l1 2 l, , , , )( 110BzzzzzAnBADlDzfwnkk= = = = LL設(shè)分點(diǎn)為設(shè)分點(diǎn)為個(gè)弧段個(gè)弧段任意分成任意分成把曲線把曲線的一條光滑的有向曲線的一條光滑的有向曲線終點(diǎn)為終點(diǎn)為內(nèi)起點(diǎn)為內(nèi)起點(diǎn)為為區(qū)域?yàn)閰^(qū)域

4、內(nèi)內(nèi)定義在區(qū)域定義在區(qū)域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù), ), 2 , 1( 1kkknkzz 上任意取一點(diǎn)上任意取一點(diǎn)在每個(gè)弧段在每個(gè)弧段L= = 第4頁(yè)/共67頁(yè)第五頁(yè)，共67頁(yè)。oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 1( )lim().dnkklnkf zzfz =l,)()()( 111knkknkkkknzfzzfS = = = = = = = 作和式作和式( , , 11的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度這里這里kkkkkkzzszzz = = = = ,max 1knks = = d d記記 , 0 時(shí)時(shí)無(wú)限增加且無(wú)限增加且當(dāng)當(dāng)d dnl , )( ,記為記為的的積分積分沿曲線沿曲線函數(shù)函數(shù)那么稱這極限值

5、為那么稱這極限值為一極限一極限zfl , 有唯有唯的取法如何的取法如何的分法及的分法及如果不論對(duì)如果不論對(duì)Snk 第5頁(yè)/共67頁(yè)第六頁(yè)，共67頁(yè)。關(guān)于關(guān)于(guny)(guny)定義的說定義的說明明: : .d)( , )1 1( ( lzzfl記為記為那么沿此閉曲線的積分那么沿此閉曲線的積分是閉曲線是閉曲線如果如果 . ),( )( , )2( (定積分的定義定積分的定義實(shí)變函數(shù)實(shí)變函數(shù)這個(gè)積分定義就是一元這個(gè)積分定義就是一元而而軸上的區(qū)間軸上的區(qū)間是是如果如果xuzfbxaxl= = .d)( , )(一定存在一定存在積分積分是是光滑曲線光滑曲線時(shí)時(shí)是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)而而如果如果 lz

6、zflzf第6頁(yè)/共67頁(yè)第七頁(yè)，共67頁(yè)。注意注意(zh y)到：到： = = = = = = nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111),(),(),(),()( ( )dlf zzddlu x v yddlv x u y= =i 積分的計(jì)算法積分的計(jì)算法1:化為二元實(shí)函數(shù)的第二化為二元實(shí)函數(shù)的第二(d r)型曲線積型曲線積分分zk0， 唯一(wi y) 極限;kkkkkkkkkfuivzxi yi= =第7頁(yè)/共67頁(yè)第八頁(yè)，共67頁(yè)。積分的計(jì)算積分的計(jì)算(j sun)(j sun)法法2:2:參數(shù)方參數(shù)方程法程法設(shè)路徑設(shè)路徑l的方程的方程(fngchng)（

7、參數(shù)方程（參數(shù)方程(fngchng)）為）為: z=z(t) (t)( )d ( ) ( )dlf zzf z t z tt =由求導(dǎo)法則由求導(dǎo)法則(fz)， dz=z(t) dt, 則有則有( )dlf zz12( )( )( ).dddnlllf zzf zzf zz=L在今后討論的積分中在今后討論的積分中, , 總假定被積函數(shù)是連續(xù)的總假定被積函數(shù)是連續(xù)的, , 曲曲線線l是按段光滑的是按段光滑的. .則則光滑曲線光滑曲線相互連接所組成的按段相互連接所組成的按段等光滑曲線依次等光滑曲線依次是由是由如果如果 , , 21nllllL分段積分分段積分第8頁(yè)/共67頁(yè)第九頁(yè)，共67頁(yè)。設(shè)設(shè)l

8、l是簡(jiǎn)單是簡(jiǎn)單(jindn)(jindn)逐段光滑曲線，逐段光滑曲線，f,gf,g在在l l上連續(xù)，則上連續(xù)，則( )( );(1)ddllf zzf zz= ( )( ),(2)dd llRf zzRf zzR=其中 為復(fù)常數(shù)( )( )( )( );(3)dddlllf zg zzf zzg zz=1212( )( )( ), (4)ddd lllf zzf zzf zzlll=其中 是由 和 組成的( )( )(5)ddllf zzf zz常數(shù)因子可以(ky)移到積分號(hào)外函數(shù)的和的積分等于各函數(shù)積分之和反轉(zhuǎn)積分路徑，積分反號(hào)全路徑上的積分等于各段上積分之和第9頁(yè)/共67頁(yè)第十頁(yè)，共67頁(yè)

9、。 特別特別(tbi)(tbi)地，若在地，若在l l上有上有 ，l l的長(zhǎng)的長(zhǎng)記為記為l l，則性質(zhì)，則性質(zhì)(5)(5)成為成為( ) f zM( )dlf zzMl 注意注意(zh y)(zh y)：數(shù)學(xué)分析中的積分中值定理不能：數(shù)學(xué)分析中的積分中值定理不能推廣到復(fù)變函數(shù)積分上來，例如：推廣到復(fù)變函數(shù)積分上來，例如：202100 =iieeid而而 (6)(6)20( 0)02(00ie第10頁(yè)/共67頁(yè)第十一頁(yè)，共67頁(yè)。例例1 1 解解直線直線(zhxin)方程方程為為, 10,4,3 = = =ttytx (34 )= =, l zzi t ,d)43(dtiz = =120(34

10、)dd lz zit t= d)43(102 = =tti .2)43(2i = = . 43 : ,d 的直線段的直線段從原點(diǎn)到點(diǎn)從原點(diǎn)到點(diǎn)計(jì)算計(jì)算ilzzl z=x+iyxyo3,434i在在l上，上， (34 )= , f zzi t=第11頁(yè)/共67頁(yè)第十二頁(yè)，共67頁(yè)。例例2 解解積分路徑積分路徑(圓心圓心(yunxn)在原點(diǎn)圓在原點(diǎn)圓)的參數(shù)的參數(shù)方程為方程為 2(02 ),il zze = d2diiez = =dlzz = =20d22 iie = =20d)sin(cos4 ii. 0= = . 2 : ,d = = zlzzl圓周圓周為為其中其中計(jì)算計(jì)算xyorizz e

11、= f zz=)2(= =z因?yàn)橐驗(yàn)?2,if zze =第12頁(yè)/共67頁(yè)第十三頁(yè)，共67頁(yè)。例例3 解解zxyor0z 積分路徑的參數(shù)積分路徑的參數(shù)(cnsh)方方程為程為 0(02 ),il zzre = 101()dnlzzz = =20)1(1d ninierire,d20 = = inneri. , , ,d)(1 010為整數(shù)為整數(shù)(zhngsh)(zhngsh)徑的正向徑的正向(zhn xin)(zhn xin)圓周圓周為半為半為中心為中心為以為以求求nrzlzzzln 第13頁(yè)/共67頁(yè)第十四頁(yè)，共67頁(yè)。zxyor0z , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)= =n01()dlzzz = =20

12、d i;2 i = = , 0 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) n101()dnlzzz = =20d)sin(cos ninrin; 0= = = = rzznzzz0d)(1 10所以所以 = = = =. 0, 0, 0,2nni重要結(jié)論：積分值與路徑圓周重要結(jié)論：積分值與路徑圓周(yunzhu)(yunzhu)的中心和的中心和半徑無(wú)關(guān)半徑無(wú)關(guān). .第14頁(yè)/共67頁(yè)第十五頁(yè)，共67頁(yè)。注意注意(zh y)到：到： ( )dddiddlllf zzu xv yv xu y= 積分的計(jì)算法積分的計(jì)算法1:化為二元實(shí)函數(shù)的第二化為二元實(shí)函數(shù)的第二(d r)型曲線積型曲線積分分 ,;iddidf zu x yv x

13、 yzxy=積分的計(jì)算法積分的計(jì)算法2:2:參數(shù)方程法參數(shù)方程法設(shè)路徑設(shè)路徑l的方程（參數(shù)方程）為的方程（參數(shù)方程）為: z=z(t) (t)( )d ( ) ( )dlf zzf z t z tt =由求導(dǎo)法則，由求導(dǎo)法則， dz=z(t) dt, 則有則有第15頁(yè)/共67頁(yè)第十六頁(yè)，共67頁(yè)。定理定理1 1：?jiǎn)芜B通：?jiǎn)芜B通(lintng)(lintng)區(qū)域區(qū)域柯西定理柯西定理( )d0=lf zz討論復(fù)變函數(shù)積分（線積分）與積分路徑討論復(fù)變函數(shù)積分（線積分）與積分路徑(ljng)的關(guān)的關(guān)系系Bl 如果函數(shù)如果函數(shù)f (z)在在閉閉單連通域單連通域B上上解析解析，則沿則沿B上任一分段光上任

14、一分段光滑閉曲線滑閉曲線l（也可以是也可以是B的邊界），的邊界），有有第16頁(yè)/共67頁(yè)第十七頁(yè)，共67頁(yè)。d( , )( ,d)()d dllSvxv x yyx yxuu x yy=()()0vuuuxyyy =,uvyx連續(xù)，且連續(xù)，且( , )( , )0=lu x yxv x yydd同理同理,uvvy連續(xù)，且連續(xù)，且0uvuuxyxx=( , )( , )0=lv x yxu x yydd證明：( )( , )( , )( , )( , )=lllf zzu x yxv x yyiv x yxu x yyddddddd()d dlSPQxyxyPQyx=回路積分化成回路積分化成(h

15、u chn)面積分面積分第17頁(yè)/共67頁(yè)第十八頁(yè)，共67頁(yè)。12( )( )ddllf zzf zz=10( )dzzf zz=BB 0z1z 0z1z 1l2l1l2l例例1 1解解 = = 1.d321 zzz計(jì)算積分計(jì)算積分根據(jù)根據(jù)(gnj)(gnj)柯西定理柯西定理, , 有有 = = = 1. 0d321zzzxyo1r = , 1 321 內(nèi)解析內(nèi)解析在在函數(shù)函數(shù) zz第18頁(yè)/共67頁(yè)第十九頁(yè)，共67頁(yè)。即存在奇點(diǎn)（復(fù)變函數(shù)即存在奇點(diǎn)（復(fù)變函數(shù)(hnsh)不解析的點(diǎn)）（如圖不解析的點(diǎn)）（如圖點(diǎn)）點(diǎn)） 定義：若定義：若f(z)在在z= 不解析（或不解析（或沒有定義），但在沒有定義

16、），但在z=的無(wú)心的無(wú)心(wxn)鄰域鄰域 0z R內(nèi)解內(nèi)解析，則析，則z=為為f(z)的孤立奇點(diǎn)。的孤立奇點(diǎn)。 含孤立奇點(diǎn)的區(qū)域，可將其每個(gè)奇點(diǎn)的有限含孤立奇點(diǎn)的區(qū)域，可將其每個(gè)奇點(diǎn)的有限(yuxin)小鄰域挖掉，使原區(qū)域變?yōu)閺?fù)通區(qū)域小鄰域挖掉，使原區(qū)域變?yōu)閺?fù)通區(qū)域人們常常遇到所研究的函數(shù)在區(qū)域上并非處處解析，人們常常遇到所研究的函數(shù)在區(qū)域上并非處處解析，D l第19頁(yè)/共67頁(yè)第二十頁(yè)，共67頁(yè)。ABCD1llEF在在 l 圍成的區(qū)域中含圍成的區(qū)域中含f(z)的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn)，則，則可引入曲線可引入曲線l1將此奇點(diǎn)挖掉，在所構(gòu)成的將此奇點(diǎn)挖掉，在所構(gòu)成的復(fù)連通復(fù)連通(lintng)區(qū)域

17、中，區(qū)域中， f(z)解析。解析。由柯西定理( )0,=ABCDBAEFAf zzd或或1( )( )( )( )0.=ABlBAlf zzf zzf zzf zzdddd l與與l1方向相反方向相反(xingfn)，但與，但與- l1方方向相同。向相同。又又1( )( )0.=llf zzf zzdd( )( )0,=ABBAf zzf zzdd1( )( ),= llf zzf zzdd1( )( ),=llf zzf zzdd第20頁(yè)/共67頁(yè)第二十一頁(yè)，共67頁(yè)。( (多連通域柯西定理多連通域柯西定理) ) 設(shè)設(shè)B是以是以1= nClllL邊為界的有界邊為界的有界n+1連通區(qū)域，其中連

18、通區(qū)域，其中l(wèi)1，l2，ln是簡(jiǎn)單光滑閉曲線是簡(jiǎn)單光滑閉曲線l內(nèi)部互相外離的內(nèi)部互相外離的n條簡(jiǎn)單光滑閉曲線。若條簡(jiǎn)單光滑閉曲線。若f (z)在在 上連續(xù)，在上連續(xù)，在B內(nèi)解析，則有內(nèi)解析，則有B( )0=cf zzd其中其中(qzhng)C取關(guān)于區(qū)域取關(guān)于區(qū)域B的正向，或?qū)憺椋旱恼颍驅(qū)憺椋?2( )( )( )( )=nllllf zzf zzf zzf zzLddddBl2l3l1l第21頁(yè)/共67頁(yè)第二十二頁(yè)，共67頁(yè)。例例2 2 xyo121l2l解解12 , ll和和圍圍成成一一個(gè)個(gè)圓圓環(huán)環(huán)域域圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合(fh)閉路閉路,根據(jù)閉路復(fù)合根據(jù)閉路

19、復(fù)合(fh)定理定理,. 0d = = zzez . 1 2 ,d 所組成所組成向圓周向圓周和負(fù)和負(fù)為正向圓周為正向圓周計(jì)算積分計(jì)算積分= = = zzzzez, 上處處解析上處處解析在此圓環(huán)域和其邊界在此圓環(huán)域和其邊界函數(shù)函數(shù)zez第22頁(yè)/共67頁(yè)第二十三頁(yè)，共67頁(yè)。例例3 3解解la 1l. , ,d)(1 1為整數(shù)為整數(shù)的任一簡(jiǎn)單閉路的任一簡(jiǎn)單閉路為含為含求求nazazn l l , 內(nèi)部?jī)?nèi)部在曲線在曲線因?yàn)橐驗(yàn)閘a , l : 1內(nèi)部?jī)?nèi)部含在含在使使r rl= = az, )(111內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析為邊界的復(fù)連通域?yàn)檫吔绲膹?fù)連通域在以在以 l l naz ,r r故可取很小的正

20、數(shù)故可取很小的正數(shù)第23頁(yè)/共67頁(yè)第二十四頁(yè)，共67頁(yè)。由復(fù)合由復(fù)合(fh)閉路定理閉路定理,11111()()ddnnllzzzaza=la 1l02 ,i zae rr=小小圓圓的的參參數(shù)數(shù)方方程程: :111()dnlzza=210()iiidnee r r r r = =20d r r ninie 此結(jié)論非常此結(jié)論非常(fichng)(fichng)重要重要, , 用起來很方便用起來很方便, , 因?yàn)殚]曲線不因?yàn)殚]曲線不必是圓必是圓, a, a也不必是圓的圓心也不必是圓的圓心, , 只要只要a a在簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)即可在簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)即可. . = = = = l . 0, 00,2d)(

21、1 1nnizazn故故第24頁(yè)/共67頁(yè)第二十五頁(yè)，共67頁(yè)。固定起點(diǎn)固定起點(diǎn)(qdin)和終點(diǎn)，積分路徑的連續(xù)形變不改和終點(diǎn)，積分路徑的連續(xù)形變不改變積分變積分1. 閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線的積分為零。閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線的積分為零。2. 閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線正閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線正方向的積分和為零。方向的積分和為零。3. 閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時(shí)針方閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時(shí)針方向的積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時(shí)針方向的積向的積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時(shí)針方向的積分的和。分的和。. 0d)( = =lzzfRRCABll

22、SAB第25頁(yè)/共67頁(yè)第二十六頁(yè)，共67頁(yè)。思考題思考題( )( ) d?lf zf zz復(fù)復(fù)函函數(shù)數(shù)的的積積分分定定義義式式與與一一元元函函數(shù)數(shù)定定積積分分是是否否一一致致答答: , , l 若若是是實(shí)實(shí)軸軸上上區(qū)區(qū)間間( )( ), ddlf zzf xx =則則,)(是實(shí)值的是實(shí)值的如果如果xf即為一元實(shí)函數(shù)即為一元實(shí)函數(shù)(hnsh)的定積分的定積分.( )( ),( )., d , , dlf zf zzf zz 一一般般不不能能把把起起點(diǎn)點(diǎn)為為終終點(diǎn)點(diǎn)為為的的函函數(shù)數(shù)的的積積分分記記作作因因?yàn)闉檫@這是是一一個(gè)個(gè)線線積積分分 要要受受積積分分路路線線的的限限制制 必必須須記記作作第2

23、6頁(yè)/共67頁(yè)第二十七頁(yè)，共67頁(yè)。答答:(1) 注意定理注意定理(dngl)的條件的條件“單連通域單連通域”.(2) 注意注意(zh y)定理的不能反過來用定理的不能反過來用. . )( , 0d)( 內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在在而說而說即不能由即不能由CzfzzfC = =113( );22: f zzz=例例在在圓圓環(huán)環(huán)域域內(nèi)內(nèi)思考題思考題應(yīng)用柯西定理應(yīng)注意應(yīng)用柯西定理應(yīng)注意(zh y)(zh y)什么什么? ?第27頁(yè)/共67頁(yè)第二十八頁(yè)，共67頁(yè)。1 ,d zz-1(1)直線直線(zhxin)段；段；積分積分(jfn)(jfn)路經(jīng)是路經(jīng)是計(jì)算計(jì)算(2)單位圓的上半單位圓的上半；(3)單

24、位圓的下半單位圓的下半；1 ,dez 求下列復(fù)變函數(shù)的圍道積分求下列復(fù)變函數(shù)的圍道積分zz2+5z+6 | |z|=1|=12120122ii cosd ;( )e dzzzzz (1)(1)第28頁(yè)/共67頁(yè)第二十九頁(yè)，共67頁(yè)。1 原函數(shù)原函數(shù)證證利用導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)(do sh)(do sh)的定義來的定義來證證. .B zRC , 內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)為為設(shè)設(shè)Bz, CRBz小圓小圓內(nèi)的內(nèi)的為中心作一含于為中心作一含于以以 . )()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz= = = = 即即析函數(shù)析函數(shù)同時(shí)同時(shí)是是 的原函數(shù)的原函數(shù)內(nèi)的一個(gè)解內(nèi)的一個(gè)解必為必為那么那么函數(shù)函

25、數(shù)內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù) )(zf0()( )( )limzf zzf zfzz =第29頁(yè)/共67頁(yè)第三十頁(yè)，共67頁(yè)。B zRC , RzzzC取取充充分分小小使使在在內(nèi)內(nèi)zz = = )()(zFzzF zzzzzff00d)(d)( , d)(00zzfzzz到到的積分路線可先取的積分路線可先取 , zzz 沿直線到沿直線到然后從然后從 0z , )( 的定義的定義由由zF 在在z z0 0的極限，的極限，積分路線與積分路線與 的的, ,路線相同所以：路線相同所以： d)( 0 zzf 0()( )( )limzf zzf zfzz =第30頁(yè)/共67

26、頁(yè)第三十一頁(yè)，共67頁(yè)。( ) dzzzf z =因因?yàn)闉?zzzzf d)(,)(zzf = =B zRCzz 0z ()( )( ) zF zzF zf zz上上二二式式除除后后相相減減, ,有有所所以以)(d)(1zffzzzz = = d)()(1zffzzzz = = ()( ) F zzF z于于是是( )d ,zzzf=第31頁(yè)/共67頁(yè)第三十二頁(yè)，共67頁(yè)。B zKzz 0z , )( 內(nèi)解析內(nèi)解析在在因?yàn)橐驗(yàn)锽zf , )( 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在所以所以Bzf, 0, 0 d d 故故 , RzCdd使使得得滿滿足足的的一一切切都都在在內(nèi)內(nèi) , 時(shí)時(shí)即即d d z,)()( zf

27、f總有總有由積分由積分(jfn)(jfn)的估的估值性質(zhì)值性質(zhì), ,)()()( zfzzFzzF 第32頁(yè)/共67頁(yè)第三十三頁(yè)，共67頁(yè)。)()()( zfzzFzzF d)()(1zffzzzz = = d| )()(|1zffzzzz .1 = = zz, 0)()()(lim 0= = zfzzFzzFz于是于是.( )( ) F zf z=即即第33頁(yè)/共67頁(yè)第三十四頁(yè)，共67頁(yè)。2.2.不定積分不定積分(b dn j (b dn j fn)fn)的定義的定義: :3.3.牛頓牛頓(ni dn)-(ni dn)-萊布尼茲公式萊布尼茲公式 .)(d)( , )( )( )( )( c

28、zFzzfzfcczFzf = = 記作記作的不定積分的不定積分為為為任意常數(shù)為任意常數(shù)的的原函數(shù)原函數(shù)的一般表達(dá)式的一般表達(dá)式稱稱. , )()(d )( , )( )( , )( 211221內(nèi)的兩點(diǎn)內(nèi)的兩點(diǎn)為域?yàn)橛蜻@里這里那么那么的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)為為內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析在單連通域在單連通域如果函數(shù)如果函數(shù)BzzzFzFzzfzfzFBzfzz = = 第34頁(yè)/共67頁(yè)第三十五頁(yè)，共67頁(yè)。證證根據(jù)根據(jù)(gnj)(gnj)柯西定理柯西定理, ,證畢證畢說明說明: : 有了牛頓有了牛頓- -萊布尼茲公式萊布尼茲公式, , 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)(hnsh)的積分就可以用跟微積

29、分學(xué)中類似的的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算方法去計(jì)算. . , )( d)( 1的原函數(shù)的原函數(shù)也是也是因?yàn)橐驗(yàn)閦fzzfzz ,)( d)( 1czFzzfzz = = 所以所以 , 1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)zz = = , )( 1zFc = =得得 , )()( d( 11zFzFzzfzz = = 所以所以 . )()( d)( 1221zFzFzzfzz = = 即即第35頁(yè)/共67頁(yè)第三十六頁(yè)，共67頁(yè)。例例1 1解解 . d 10的值的值求求 zzzz , 是解析函數(shù)是解析函數(shù)因?yàn)橐驗(yàn)?z ,21 2z它的原函數(shù)是它的原函數(shù)是由牛頓由牛頓(ni dn)-萊布尼茲公式萊布尼茲公式知知

30、, 21 d 10102zzzzzzz= = ).(212021zz = =第36頁(yè)/共67頁(yè)第三十七頁(yè)，共67頁(yè)。例例2 220cosi d .zzz 求求的的值值解解20cosidzzz 2201cos2idzz =201sin2iz =)sin(212 = =.sin212 = =采用采用(ciyng)(ciyng)微積分學(xué)中的微積分學(xué)中的“湊湊微分微分”法處理法處理第37頁(yè)/共67頁(yè)第三十八頁(yè)，共67頁(yè)。例例3 30cosi d .zz z求求的的值值0cosidzz z0(sin )idzz=00 sin siniidzzz z=0 sincos izzz=. 11 = = e采微積

31、分中采微積分中“分部分部(fn b)積分法積分法”處理處理解解第38頁(yè)/共67頁(yè)第三十九頁(yè)，共67頁(yè)。0( ), d lf zzzz所所以以一一般般不不為為零零 那那么么等等于于多多少少? ?根據(jù)根據(jù)(gnj)(gnj)閉路變形原理知閉路變形原理知, ,該積分值不隨閉該積分值不隨閉曲線曲線 l l 的變化的變化(binhu)(binhu)而改變而改變, ,為此：為此：0. lBz由由于于 為為內(nèi)內(nèi)圍圍繞繞的的閉閉曲曲線線且且 . , 0中一點(diǎn)中一點(diǎn)為為為一單連通域?yàn)橐粏芜B通域設(shè)設(shè)BzB .)( , )( 00不解析不解析在在那末那末內(nèi)解析內(nèi)解析在在如果如果zzzzfBzf 第39頁(yè)/共67頁(yè)第

32、四十頁(yè)，共67頁(yè)。00, , lzzzd dd d=積積分分曲曲線線半半徑徑為為很很小小選選取取以以為為中中心心的的的的正正向向圓圓周周 , )( 的連續(xù)性的連續(xù)性由由zf 00( ), , lf zzf zf zd d在在 上上函函數(shù)數(shù)的的值值將將隨隨著著的的縮縮小小而而逐逐漸漸接接近近于于它它在在圓圓心心處處的的值值 即即則則000()( ).(0d d) llf zf zzzzzzzd d將將接接近近于于00()dlf zzzz0001()2().dilf zzf zzz =第40頁(yè)/共67頁(yè)第四十一頁(yè)，共67頁(yè)。12( )( )dilf zfzz =1 1 有界區(qū)域的單連通有界區(qū)域的單

33、連通(lintng)(lintng)柯西積分公式柯西積分公式B l證明第41頁(yè)/共67頁(yè)第四十二頁(yè)，共67頁(yè)。( )( )ddlCf zf zzzzz =( )( )2( )( )( )ddidCCCffff zzzzzf zfzz =( )f zz0 0( )2( )dilf zzfz =2( )( )( )dd(d)RCCCf zff zzzSzzfR =B lC R ( )f zf第42頁(yè)/共67頁(yè)第四十三頁(yè)，共67頁(yè)。關(guān)于關(guān)于(guny)(guny)柯西積分公式的說柯西積分公式的說明明: :(1) 把函數(shù)在把函數(shù)在l內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界(binji)上的值表

34、示上的值表示. (這是解析函數(shù)這是解析函數(shù)(hnsh)的又一特征的又一特征)(2) 公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法種方法, , 而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式. .(這是研究解析函數(shù)的有力工具這是研究解析函數(shù)的有力工具)(3) 一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值值. .( )2( )dilff zz =第43頁(yè)/共67頁(yè)第四十四頁(yè)，共67頁(yè)。12121( )( )21( )( )( )( )2di =ddddinnl CCClCCCff

35、zzffffzzzz = =第44頁(yè)/共67頁(yè)第四十五頁(yè)，共67頁(yè)。|, ( )f ( )f 1( )( )()2dilff zfz = 上面對(duì)柯西積分公式上面對(duì)柯西積分公式(gngsh)(gngsh)討論了（討論了（1 1）單連）單連通區(qū)域通區(qū)域;(2);(2)復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域. . 但所涉及的積分區(qū)域都是但所涉及的積分區(qū)域都是有限的區(qū)域，若遇到函數(shù)在無(wú)界區(qū)域求積分的問題有限的區(qū)域，若遇到函數(shù)在無(wú)界區(qū)域求積分的問題又如何求解？又如何求解？( )f 式中式中 有界。有界。第45頁(yè)/共67頁(yè)第四十六頁(yè)，共67頁(yè)。RCz( )f l1( )1( )( )dd2i2iRlCfff zzz =(

36、)f 0|( )( )|ff ( )f 1()|() |21()1()|221|()() |12|2|2|1 di ddii dRRRRCCCCffzffzzffRzzRzR =第46頁(yè)/共67頁(yè)第四十七頁(yè)，共67頁(yè)。|lim0RzR1( )( )2R limdi RCffz =1( )( )( )2dilff zfz =| ( )0f ( )0f =1()( )d2ilff zz =第47頁(yè)/共67頁(yè)第四十八頁(yè)，共67頁(yè)。證明證明(zhngmng). , )( ), 2 , 1(d)()(2!)( : , )( 1)(BzBflnzfinzfnzflnn而且它的內(nèi)部全含于而且它的內(nèi)部全含于線

37、線任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲的的內(nèi)圍繞內(nèi)圍繞的解析區(qū)域的解析區(qū)域?yàn)樵诤瘮?shù)為在函數(shù)其中其中導(dǎo)數(shù)為導(dǎo)數(shù)為階階它的它的的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù)解析函數(shù)解析函數(shù)L= = = = , 內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)為為設(shè)設(shè)Bz , 1 的情況的情況先證先證= =n第48頁(yè)/共67頁(yè)第四十九頁(yè)，共67頁(yè)。根據(jù)導(dǎo)數(shù)根據(jù)導(dǎo)數(shù)(do sh)的定的定義義,0()( )( )limzf zzf zfzz =從柯西積分從柯西積分(jfn)公式公式得得1( )( ),2dilff zz =1( )(),2dilff zzzz =()( )f zzf zz1( )( ),2ddillffzzzzz =第49頁(yè)

38、/共67頁(yè)第五十頁(yè)，共67頁(yè)。1( )2()()dilfzzz =221( )1( )2()2() ()ddiillfzfzzzz=I= =21( )2() ()dlzfIzzz =2( )12dlz fszzz , )( 上解析上解析在在因?yàn)橐驗(yàn)閘 f,上連續(xù)上連續(xù)所以在所以在 l第50頁(yè)/共67頁(yè)第五十一頁(yè)，共67頁(yè)。Bzl11 , zd zzzz ,2d 12, zzd ,3dMLzI , )( 上有界上有界在在故故lf,)( , 0 M fM 使得使得于是于是 , 上各點(diǎn)的最短距離上各點(diǎn)的最短距離到曲線到曲線為從為從設(shè)設(shè)lzd , 適當(dāng)?shù)匦∵m當(dāng)?shù)匦〔⑷〔⑷ , 21 dz 滿足滿足

39、, dz 則則zzd第51頁(yè)/共67頁(yè)第五十二頁(yè)，共67頁(yè)。0()( )( )limzf zzf zfzz =21( ),2()dilfz =再利用以上再利用以上(yshng)方法求極限方法求極限0()( )limzfzzfzz ,3dMLzI . 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度為為這里這里lL , 0 z如果如果, 0 I那末那末.d)()(2! 2)( 30 = = lzfizf可得可得第52頁(yè)/共67頁(yè)第五十三頁(yè)，共67頁(yè)。至此我們證明了一個(gè)至此我們證明了一個(gè)(y (y )解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)仍然是解析函數(shù). .依次類推依次類推(litu), (litu), 利用數(shù)學(xué)歸納法利用數(shù)學(xué)歸

40、納法可證可證( )1!( )( ).2()dinnCnffzz =高階導(dǎo)數(shù)公式高階導(dǎo)數(shù)公式(gngsh)(gngsh)的作用的作用: : 不在于通過積分來求導(dǎo)不在于通過積分來求導(dǎo), , 而在于通過求導(dǎo)來而在于通過求導(dǎo)來求積分求積分. .第53頁(yè)/共67頁(yè)第五十四頁(yè)，共67頁(yè)。 f(z) f(z)在某個(gè)閉區(qū)域上解析在某個(gè)閉區(qū)域上解析(ji x)(ji x)，則，則 |f(z)| |f(z)| 只能在只能在境界線上取極大值境界線上取極大值應(yīng)用柯西公式應(yīng)用柯西公式證明：對(duì)對(duì)( )nf z1 ( ) ( )2d innlff zz= 若若 |f(z)| 在在l上極大值為上極大值為M，|z| 的極小值為

41、的極小值為d d，l的的長(zhǎng)為長(zhǎng)為s( )2nnMf zsd1( )2nsf zMdn ( )f zM( (四四) )、模數(shù)定理、模數(shù)定理(dngl)(dngl)第54頁(yè)/共67頁(yè)第五十五頁(yè)，共67頁(yè)。 如如 f(z) 在全平面上解析在全平面上解析(ji x)，并且是有界的，即，并且是有界的，即 |f(z)| N，則，則 f(z) 必為常數(shù)。必為常數(shù)。221( )( )2()1( )2()d id illffzzfz =取取l是以是以z為圓心為圓心(yunxn)、R為半徑的園周，為半徑的園周，21( )22 NfzRRR ( )0fz=單值復(fù)數(shù)函數(shù)單值復(fù)數(shù)函數(shù)( )f z( (五五) )、 Li

42、ouville Liouville定理定理(dngl)(dngl)證明：第55頁(yè)/共67頁(yè)第五十六頁(yè)，共67頁(yè)。例例1 1解解sin41(1)d2 izzzz = , sin)( 在復(fù)平面內(nèi)解析在復(fù)平面內(nèi)解析因?yàn)橐驗(yàn)閦zf= = , 4 0內(nèi)內(nèi)位于位于 = =zz = = = 44.d3211)2(;dsin21(1) zzzzzzzzi求下列積分求下列積分第56頁(yè)/共67頁(yè)第五十七頁(yè)，共67頁(yè)。 = = 4.d3211)2(zzzz = = = = =44d32d11zzzzzz2122ii= 6. i =sin41d2 izzzz =; 0= =由柯西積分由柯西積分(jfn)公公式式0si

43、n12 i2 izz =第57頁(yè)/共67頁(yè)第五十八頁(yè)，共67頁(yè)。例例2 2 = = 2.d1 zzzze計(jì)算積分計(jì)算積分解解 , )( 在復(fù)平面內(nèi)解析在復(fù)平面內(nèi)解析因?yàn)橐驗(yàn)閦ezf= = , 2 1內(nèi)內(nèi)位于位于 = =zz由柯西積分由柯西積分(jfn)公公式式1221dizzzzezez =2. ie =第58頁(yè)/共67頁(yè)第五十九頁(yè)，共67頁(yè)。例例3 32121.(1)i dzzz z =計(jì)計(jì)算算積積分分解解= = )1(12zz1()()iiz zz1() iiz zz=)(zf= =1( )2 i , f zz 因因?yàn)闉樵谠趦?nèi)內(nèi)解解析析0, iz =由柯西積分由柯西積分(jfn)公公式式 = = 212d)1(1izzzz121()iidizz zzz =12()iiizz z =2122ii =. i = 第59頁(yè)/共67頁(yè)第六十頁(yè)，共67頁(yè)。例例解解根據(jù)柯西積分根據(jù)柯西積分(jfn)公式公式知知, , zl當(dāng)當(dāng)在在內(nèi)內(nèi)時(shí)時(shí)2( )2(371)izf z =22(371),izz =( )2(67