數(shù)學建模與數(shù)學實驗學習教案

1、會計學1數(shù)學數(shù)學(shxu)建模與數(shù)學建模與數(shù)學(shxu)實驗實驗第一頁，共33頁。2拉格朗日插值分段(fn dun)線性插值三次(sn c)樣條插值一 維 插 值一、插值的定義(dngy)二、插值的方法三、用Matlab解插值問題返回第2頁/共33頁第二頁，共33頁。3返回(fnhu)二維插值一、二維插值定義(dngy)二、網(wǎng)格(wn )節(jié)點插值法三、用Matlab解插值問題最鄰近插值分片線性插值雙線性插值網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值散點數(shù)據(jù)的插值第3頁/共33頁第三頁，共33頁。4一維插值的定義(dngy)已知 n+1個節(jié)點, 1 , 0(),(njyxjj其中jx互不相同，不妨設),10bxxx

2、an求任一插值點)(*jxx 處的插值.*y0 x1xnx0y1y節(jié)點可視為由)(xgy 產生,，g表達式復雜,，或無封閉形式,，或未知.。*x*y第4頁/共33頁第四頁，共33頁。5 構造一個(相對簡單的)函數(shù)),(xfy 通過全部節(jié)點, 即), 1 ,0()(njyxfjj再用)(xf計算插值，即).(*xfy 0 x1xnx0y1y*x*y返回(fnhu)第5頁/共33頁第五頁，共33頁。6 稱為(chn wi)拉格朗日插值基函數(shù)。n0iiiny)x(L)x(P 已知函數(shù)(hnsh)f(x)在n+1個點x0,x1,xn處的函數(shù)(hnsh)值為 y0,y1,yn 。求一n次多項式函數(shù)(hn

3、sh)Pn(x)，使其滿足： Pn(xi)=yi,i=0,1,n. 解決此問題(wnt)的拉格朗日插值多項式公式如下其中Li(x) 為n次多項式：)xx()xx)(xx()xx)(xx()xx()xx)(xx()xx)(xx()x(Lni1ii1ii1i0in1i1i10i拉格朗日(Lagrange)插值第6頁/共33頁第六頁，共33頁。7拉格朗日(Lagrange)插值特別(tbi)地:兩點一次(線性)插值多項式: 101001011yxxxxyxxxxxL三點(sn din)二次(拋物)插值多項式: 2120210121012002010212yxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxx

4、xxxxxL .,滿足插值條件直接驗證可知xLn第7頁/共33頁第七頁，共33頁。8 拉格朗日多項式插值的這種振蕩(zhndng)現(xiàn)象叫 Runge現(xiàn)象55,11)(2xxxg 采用拉格朗日多項式插值：選取不同插值節(jié)點個數(shù)n+1，其中n為插值多項式的次數(shù)(csh)，當n分別取2,4,6,8,10時，繪出插值結果圖形.例返回(fnhu)To Matlablch(larg1)第8頁/共33頁第八頁，共33頁。9分段(fn dun)線性插值其它,0,)()()(1111110jjjjjjjjjjjnjjjnxxxxxxxxxxxxxxxlxlyxL計算量與n無關(wgun);n越大，誤差越小.nnn

5、xxxxgxL0),()(limxjxj-1xj+1x0 xnxoy第9頁/共33頁第九頁，共33頁。10To MATLABxch11，xch12，xch13，xch14返回(fnhu)66,11)(2xxxg例用分段線性插值法求插值,并觀察(gunch)插值誤差.1.在-6,6中平均(pngjn)選取5個點作插值(xch11)4.在-6,6中平均選取41個點作插值(xch14)2.在-6,6中平均選取11個點作插值(xch12)3.在-6,6中平均選取21個點作插值(xch13)第10頁/共33頁第十頁，共33頁。11比分(b fn)段線性插值更光滑。xyxi-1 xiab 在數(shù)學(shxu

6、)上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性。 光滑性的階次越高，則越光滑。是否存在較低次的分段多項式達到較高階光滑性的方法？三次樣條插值就是一個很好的例子。三次(sn c)樣條插值第11頁/共33頁第十一頁，共33頁。12 三次(sn c)樣條插值, 1,),()(1nixxxxsxSiii,)()3), 1 ,0()()2), 1()()10223niiiiiiixxCxSniyxSnidxcxbxaxs) 1, 1()()(),()(),()(111 nixsxsxsxsxsxsiiiiiiiiiiii自然邊界條件）(0)()()40 nxSxS

7、)(,)4)3)2xSdcbaiiii)()(limxgxSng(x)為被插值函數(shù)(hnsh)。第12頁/共33頁第十二頁，共33頁。13例66,11)(2xxxg用三次樣條插值選取(xunq)11個基點計算插值(ych)返回(fnhu)To MATLABych(larg1)第13頁/共33頁第十三頁，共33頁。14用MATLAB作插值計算(j sun)一維插值函數(shù)(hnsh)：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法被插值點插值節(jié)點xi處的插值結果nearest ：最鄰近插值linear ： 線性插值；spline ： 三次(sn c)樣條插值；cubic ： 立方插值。缺

8、省時： 分段線性插值。 注意：所有的插值方法都要求x是單調的，并且xi不能夠超過x的范圍。第14頁/共33頁第十四頁，共33頁。15 例：在1-12的11小時內，每隔1小時測量(cling)一次溫度，測得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。試估計每隔1/10小時的溫度值。To MATLAB(temp)hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline); (直接輸出(shch)數(shù)據(jù)將是很多的)plot(hours,tem

9、ps,+,h,t,hours,temps,r:) %作圖xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius)第15頁/共33頁第十五頁，共33頁。16xy機翼下輪廓線X035791 11 21 31 41 5Y01 . 21 . 72 . 02 . 12 . 01 . 81 . 21 . 01 . 6例 已知飛機下輪廓線上數(shù)據(jù)如下(rxi)，求x每改變0.1時的y值。To MATLAB(plane)返回(fnhu)第16頁/共33頁第十六頁，共33頁。17二維插值的定義(dngy)xyO第一種（網(wǎng)格(wn )節(jié)點）：第17頁/共33頁第十七頁，共33頁。18 已知 mn個節(jié)

10、點(ji din) ), 2, 1;,.,2, 1(),(njmizyxijji 其中jiyx ,互不相同，不妨設bxxxam 21dyyycn 21 構造一個二元函數(shù)),(yxfz 通過全部已知節(jié)點,即再用),(yxf計算插值，即).,(*yxfz ),1 ,0;,1 ,0(),(njmizyxfijji 第18頁/共33頁第十八頁，共33頁。19第二種（散亂(sn lun)節(jié)點）：yx0第19頁/共33頁第十九頁，共33頁。20已知n個節(jié)點),.,2, 1(),(nizyxiii 其中),(iiyx互不相同， 構造一個二元函數(shù)),(yxfz 通過全部已知節(jié)點,即),1 ,0(),(nizy

11、xfiii 再用),(yxf計算插值，即).,(*yxfz 返回(fnhu)第20頁/共33頁第二十頁，共33頁。21 注意：最鄰近插值一般(ybn)不連續(xù)。具有連續(xù)性的最簡單的插值是分片線性插值。最鄰近(ln jn)插值xy(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O 二維或高維情形(qng xing)的最鄰近插值，與被插值點最鄰近的節(jié)點的函數(shù)值即為所求。返回第21頁/共33頁第二十一頁，共33頁。22 將四個插值點（矩形的四個頂點）處的函數(shù)(hnsh)值依次簡記為： 分片(fn pin)線性插值xy(xi, yj)(xi, yj+1)(xi+1, yj)(xi+1,

12、yj+1)Of (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4第22頁/共33頁第二十二頁，共33頁。23插值函數(shù)(hnsh)為：jii1ij1jy)xx(xxyyy)yy)(ff ()xx)(ff (f)y, x(fj23i121第二片(上三角形區(qū)域(qy)：(x, y)滿足iii1ij1jy)xx(xxyyy插值函數(shù)(hnsh)為：)xx)(ff ()yy)(ff (f)y, x(fi43j141注意：(x, y)當然應該是在插值節(jié)點所形成的矩形區(qū)域內。顯然，分片線性插值函數(shù)是連續(xù)的；分兩片的函數(shù)表達式如下：第一片

13、(下三角形區(qū)域)： (x, y)滿足返回第23頁/共33頁第二十三頁，共33頁。24 雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構成(guchng)。雙線性插值函數(shù)的形式如下：)dcy)(bax()y, x(f其中有四個待定系數(shù)，利用該函數(shù)在矩形的四個頂點（插值節(jié)點(ji din)）的函數(shù)值，得到四個代數(shù)方程，正好確定四個系數(shù)。雙線性插值xy(x1, y1)(x1, y2)(x2, y1)(x2, y2)O返回(fnhu)第24頁/共33頁第二十四頁，共33頁。25 要求x0,y0單調；x，y可取(kq)為矩陣，或x取行向量，y取為列向量，x,y的值分別不能超出x0,y0的范圍。z=interp2(x

14、0,y0,z0,x,y,method)被插值點插值方法用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點(ji din)數(shù)據(jù)的插值插值節(jié)點被插值點的函數(shù)值nearest 最鄰近(ln jn)插值linear 雙線性插值cubic 雙三次插值缺省時, 雙線性插值第25頁/共33頁第二十五頁，共33頁。26例：測得平板(pngbn)表面3*5網(wǎng)格點處的溫度分別為： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 試作出平板(pngbn)表面的溫度分布曲面z=f(x,y)的圖形。輸入(shr)以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=82 81 80 82 84;79 63 61

15、 65 81;84 84 82 85 86;mesh(x,y,temps)1.先在三維坐標(zubio)畫出原始數(shù)據(jù)，畫出粗糙的溫度分布曲圖.2以平滑數(shù)據(jù),在x、y方向上每隔0.2個單位的地方進行插值.第26頁/共33頁第二十六頁，共33頁。27再輸入(shr)以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)畫出插值后的溫度分布曲面圖. To MATLAB(wendu)第27頁/共33頁第二十七頁，共33頁。28例例 山區(qū)地貌：山區(qū)地貌： 在某山區(qū)測得一些地點的高程如下表。平面區(qū)域為在某山區(qū)測

16、得一些地點的高程如下表。平面區(qū)域為 1200=x=4000,1200=y=3600)試作出該山區(qū)的地貌圖和等高線圖，并對幾種插值方法進行比較。試作出該山區(qū)的地貌圖和等高線圖，并對幾種插值方法進行比較。 X Y1200160020002400280032003600400012001130125012801230104090050070016001320145014201400130070090085020001390150015001400900110010609502400150012001100135014501200115010102800150012001100155016001550

17、1380107032001500155016001550160016001600155036001480150015501510143013001200980 通過此例對最近(zujn)鄰點插值、雙線性插值方法和雙三次插值方法的插值效果進行比較。To MATLAB (moutain)返回(fnhu)第28頁/共33頁第二十八頁，共33頁。29 插值函數(shù)(hnsh)griddata格式為: cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method）用MATLAB作散點數(shù)據(jù)(shj)的插值計算 要求(yoqi)cx取行向量，cy取為列向量。被插值點插值方法插值節(jié)點被插值點的函數(shù)值neares

18、t 最鄰近插值linear 雙線性插值cubic 雙三次插值v4- Matlab提供的插值方法缺省時, 雙線性插值第29頁/共33頁第二十九頁，共33頁。30 例 在某海域測得一些點(x,y)處的水深z由下表給出，船的吃水深度為5英尺，在矩形區(qū)域(qy)（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免進入。xyz129 140 103.5 88 185.5 195 1057.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.54 8 6 8 6 8 8xyz157.5 107.5 77 81 162 162 117.5-6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.59 9 8 8 9 4 9第30頁/共33頁第三十頁，共33頁。31 ) 1( .150,50200,75. 2