數(shù)學(xué)建模matlab擬合學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)建模建模matlab擬合擬合第一頁，共49頁。曲曲 線線 擬擬 合合 問問 題題 的的 提提 法法已知一組（二維）數(shù)據(jù)已知一組（二維）數(shù)據(jù)(shj)(shj)，即平面上，即平面上 n n個(gè)點(diǎn)（個(gè)點(diǎn)（xi,yi) i=1,n, xi,yi) i=1,n, 尋求一個(gè)函數(shù)（曲線）尋求一個(gè)函數(shù)（曲線）y=f(x), y=f(x), 使使 f(x) f(x) 在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)(shj)(shj)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。 +xyy=f(x)(xi,yi)i i 為點(diǎn)（為點(diǎn)（xi,yi) 與曲線與曲線(qxin) y

2、=f(x) 的距離的距離第2頁/共49頁第二頁，共49頁。擬合擬合(n h)與插值的關(guān)系與插值的關(guān)系 函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)(shj)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學(xué)方法上是完全不同的。 實(shí)例：下面數(shù)據(jù)實(shí)例：下面數(shù)據(jù)(shj)是某次實(shí)驗(yàn)所得，希望得到是某次實(shí)驗(yàn)所得，希望得到X和和 f之間的關(guān)系？之間的關(guān)系？x124791 21 31 51 7f1 .53 .96 .611 .71 5 .61 8 .81 9 .62 0 .62 1 .1MATLAB(cn)問題：問題：給定一批數(shù)據(jù)點(diǎn)，需確定滿足特定要求的曲線或曲面解決方案：解決方案：若不要求曲線（面）通過所有數(shù)

3、據(jù)點(diǎn)，而是要求它反映對(duì)象整體的變化趨勢，這就是數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合。若要求所求曲線（面）通過所給所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，就是插值問題插值問題；第3頁/共49頁第三頁，共49頁。最臨近最臨近(ln jn)插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結(jié)果：插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結(jié)果：第4頁/共49頁第四頁，共49頁。曲線擬合問題最常用的解法曲線擬合問題最常用的解法(ji f)線性最小二乘法的基本思路線性最小二乘法的基本思路第一步:先選定(xun dn)一組函數(shù) r1(x), r2(x), rm(x), m0)k(0)模型模型(mxng)假設(shè)假設(shè)1. 1. 機(jī)體看作一個(gè)房室，室內(nèi)血藥濃度均

4、勻機(jī)體看作一個(gè)房室，室內(nèi)血藥濃度均勻一室模型一室模型模型建立模型建立d/c(0) 3得：由假設(shè)-kcdtdc 2得：由假設(shè)ktevdtc)( 在此，在此，d=300mg，t及及c（t）在某些點(diǎn)處的值見前表，需經(jīng)擬合求出參數(shù)）在某些點(diǎn)處的值見前表，需經(jīng)擬合求出參數(shù)k、v第28頁/共49頁第二十八頁，共49頁。用線性最小二乘擬合用線性最小二乘擬合(n h)c(t)(n h)c(t)ktevdtc)()/ln(,ln21vdakacyktvdc)/ln(ln2/,121aedvakatayMATLAB(lihe1)計(jì)算結(jié)果：計(jì)算結(jié)果：)(02.15),/1 (2347. 0lvhkd=300;t=0

5、.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;c=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2)程序：程序：用非線性最小二乘擬合用非線性最小二乘擬合(n h)c(t)(n h)c(t)第29頁/共49頁第二十九頁，共49頁。給藥方案給藥方案(fng n) 設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)cc2c10t 設(shè)每次注射劑量D, 間隔時(shí)間 血藥濃度c(t) 應(yīng)c1 c(t) c2 初次(ch c)劑量D0 應(yīng)加大,0DD給藥方案記為：給藥方案記為：kecc2112ln1cck2、)(

6、 ,1220ccDcD1、計(jì)算結(jié)果：計(jì)算結(jié)果：9 . 3, 3 .225, 5 .3750DD)(4),(225),(3750hmgDmgD給藥方案：給藥方案：c1=10,c2=25k=0.2347v=15.02第30頁/共49頁第三十頁，共49頁。故可制定故可制定(zhdng)給藥方案：給藥方案：)(4),(225),(3750hmgDmgD即即: 首次首次(shu c)注射注射375mg， 其余每次注射其余每次注射225mg， 注射的間隔時(shí)間為注射的間隔時(shí)間為4小時(shí)。小時(shí)。第31頁/共49頁第三十一頁，共49頁。估計(jì)估計(jì)(gj)水塔水塔的流量的流量2、解題、解題(ji t)思路思路3、算法

7、、算法(sun f)設(shè)設(shè)計(jì)與編程計(jì)與編程1、問題問題第32頁/共49頁第三十二頁，共49頁。 某居民區(qū)有一供居民用水的園柱形水塔，一般可以通過測量其水位來估計(jì)水的流量，但面臨的困難是，當(dāng)水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時(shí)停止供水，這段時(shí)間無法測量水塔的水位和水泵的供水量通常水泵每天供水一兩次，每次約兩小時(shí).水塔是一個(gè)高12.2米，直徑17.4米的正園柱按照設(shè)計(jì)，水塔水位降至約8.2米時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)，水位升到約10.8米時(shí)水泵停止工作表1 是某一天的水位測量記錄(jl)，試估計(jì)任何時(shí)刻（包括水泵正供水時(shí)）從水塔流出的水流量，及一天的總用水量第33頁/共4

8、9頁第三十三頁，共49頁。 表 1 水位測量記錄 （符號(hào)/表示水泵啟動(dòng)）時(shí)刻(h)水位(cm)0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97968 948 931 913 898 881 869 852 839 822時(shí)刻(h)水位(cm)9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93/ / 1082 1050 1021 994 965 941 918 892時(shí)刻(h)水位(cm)19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91866

9、 843 822 / / 1059 1035 1018第34頁/共49頁第三十四頁，共49頁。流量估計(jì)流量估計(jì)(gj)的解題思路的解題思路擬合水位擬合水位時(shí)間時(shí)間(shjin)函數(shù)函數(shù)確定流量確定流量時(shí)間時(shí)間(shjin)函數(shù)函數(shù) 估計(jì)一天總用水量估計(jì)一天總用水量第35頁/共49頁第三十五頁，共49頁。 擬合水位擬合水位時(shí)間時(shí)間(shjin)函數(shù)函數(shù) 測量記錄看，一天有兩個(gè)供水時(shí)段（以下稱第測量記錄看，一天有兩個(gè)供水時(shí)段（以下稱第1供水時(shí)段和第供水時(shí)段和第2供水時(shí)段），和供水時(shí)段），和3個(gè)水泵不工作時(shí)段（以下稱第個(gè)水泵不工作時(shí)段（以下稱第1時(shí)段時(shí)段t=0到到t=8.97，第，第2次時(shí)段次時(shí)段t

10、=10.95到到t=20.84和第和第3時(shí)段時(shí)段t=23以后）對(duì)第以后）對(duì)第1、2時(shí)段的測量數(shù)據(jù)直接分別作多項(xiàng)式擬合，得到水位函數(shù)為使擬合曲線比較光滑，多項(xiàng)式次數(shù)不要太高，一般在時(shí)段的測量數(shù)據(jù)直接分別作多項(xiàng)式擬合，得到水位函數(shù)為使擬合曲線比較光滑，多項(xiàng)式次數(shù)不要太高，一般在36由于第由于第3時(shí)段只有時(shí)段只有3個(gè)測量記錄，無法對(duì)這一時(shí)段的水位作出較好的擬合個(gè)測量記錄，無法對(duì)這一時(shí)段的水位作出較好的擬合第36頁/共49頁第三十六頁，共49頁。 2、確定流量時(shí)間函數(shù)(hnsh) 對(duì)于第1、2時(shí)段只需將水位函數(shù)(hnsh)求導(dǎo)數(shù)即可，對(duì)于兩個(gè)供水時(shí)段的流量，則用供水時(shí)段前后（水泵不工作時(shí)段）的流量擬合

11、得到，并且將擬合得到的第2供水時(shí)段流量外推，將第3時(shí)段流量包含在第2供水時(shí)段內(nèi)第37頁/共49頁第三十七頁，共49頁。3、一天總用水量的估計(jì) 總用水量等于兩個(gè)水泵不工作時(shí)段和兩個(gè)供水時(shí)段用水量之和，它們都可以(ky)由流量對(duì)時(shí)間的積分得到。第38頁/共49頁第三十八頁，共49頁。算法算法(sun f)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)與編程與編程1、擬合第、擬合第1、2時(shí)段的水位時(shí)段的水位(shuwi)，并導(dǎo)出流量，并導(dǎo)出流量2、擬合、擬合(n h)供水時(shí)段的流量供水時(shí)段的流量3、估計(jì)一天總用水量估計(jì)一天總用水量4、流量及總用水量的檢驗(yàn)、流量及總用水量的檢驗(yàn)第39頁/共49頁第三十九頁，共49頁。 1、擬合第1時(shí)段的水

12、位，并導(dǎo)出流量 設(shè)t，h為已輸入的時(shí)刻和水位測量記錄（水泵啟動(dòng)的4個(gè)時(shí)刻不輸入），第1時(shí)段各時(shí)刻的流量可如下得：1） c1=polyfit（t（1：10），h（1：10），3）； %用3次多項(xiàng)式擬合第1時(shí)段水位，c1輸出3次多項(xiàng)式的系數(shù)2）a1=polyder（c1）； % a1輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為c1）導(dǎo)數(shù)的系數(shù) 3）tp1=0：0.1：9； x1=-polyval（a1，tp1）； % x1輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為a1）在tp1點(diǎn)的函數(shù)(hnsh)值（取負(fù)后邊為正值），即tp1時(shí)刻的流量 MATLAB(llgj1)4）流量(liling)函數(shù)為：1079.227173. 22356. 0)(2tt

13、tf第40頁/共49頁第四十頁，共49頁。 2、擬合(n h)第2時(shí)段的水位，并導(dǎo)出流量 設(shè)t，h為已輸入的時(shí)刻和水位測量記錄（水泵啟動(dòng)的4個(gè)時(shí)刻不輸入），第2時(shí)段各時(shí)刻的流量可如下得：1） c2=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),3)； %用3次多項(xiàng)式擬合(n h)第2時(shí)段水位，c2輸出3次多項(xiàng)式的系數(shù)2） a2=polyder(c2)； % a2輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為c2）導(dǎo)數(shù)的系數(shù) 3）tp2=10.9:0.1:21; x2=-polyval(a2,tp2); % x2輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為a2）在tp2點(diǎn)的函數(shù)值（取負(fù)后邊為正值），即tp2時(shí)刻的流量MATLAB(ll

14、gj2)4）流量(liling)函數(shù)為：8313. 17512. 87529. 00186. 0)(23ttttf第41頁/共49頁第四十一頁，共49頁。 3、擬合供水時(shí)段的流量 在第1供水時(shí)段（t=911）之前（即第1時(shí)段）和之后（即第2時(shí)段）各取幾點(diǎn)，其流量已經(jīng)得到，用它們擬合第1供水時(shí)段的流量為使流量函數(shù)在t=9和t=11連續(xù)，我們(w men)簡單地只取4個(gè)點(diǎn)，擬合3次多項(xiàng)式（即曲線必過這4個(gè)點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)如下： xx1=-polyval（a1，8 9）； %取第1時(shí)段在t=8,9的流量 xx2=-polyval（a2，11 12）； %取第2時(shí)段在t=11,12的流量 xx12=xx1

15、xx2； c12=polyfit（8 9 11 12，xx12，3）； %擬合3次多項(xiàng)式 tp12=9：0.1：11； x12=polyval（c12，tp12）； % x12輸出第1供水時(shí)段 各時(shí)刻的流量MATLAB(llgj3)擬合擬合(n h)的流量函數(shù)為：的流量函數(shù)為：078.3555879.737207. 3)(2tttf第42頁/共49頁第四十二頁，共49頁。 在第2供水時(shí)段之前取t=20，20.8兩點(diǎn)的流水量(shu lin)，在該時(shí)刻之后（第3時(shí)段）僅有3個(gè)水位記錄，我們用差分得到流量，然后用這4個(gè)數(shù)值擬合第2供水時(shí)段的流量如下： dt3=diff（t(22：24)）； %最后

16、3個(gè)時(shí)刻的兩兩之差 dh3=diff（h(22：24)）； %最后3個(gè)水位的兩兩之差 dht3=-dh3./dt3； %t(22)和t(23)的流量 t3=20 20.8 t(22) t(23)； xx3=-polyval(a2，t3(1：2)，dht3)； %取t3各時(shí)刻的流量 c3=polyfit（t3，xx3，3）； %擬合3次多項(xiàng)式 t3=20.8：0.1：24； x3=polyval（c3，tp3）；% x3輸出第2供水時(shí)段 （外推至t=24）各時(shí)刻的流量MATLAB(llgj4)擬合的流量擬合的流量(liling)函數(shù)為：函數(shù)為：8283.913077. 71405. 0)(2tt

17、tf第43頁/共49頁第四十三頁，共49頁。 3、一天總用水量的估計(jì) 第1、2時(shí)段和第1、2供水時(shí)段流量的積分(jfn)之和，就是一天總用水量雖然諸時(shí)段的流量已表為多項(xiàng)式函數(shù)，積分(jfn)可以解析地算出，這里仍用數(shù)值積分(jfn)計(jì)算如下： y1=0.1*trapz(x1)； %第1時(shí)段用水量（仍按高 度計(jì)），0.1為積分(jfn)步長 y2=0.1*trapz(x2)； %第2時(shí)段用水量 y12=0.1*trapz(x12)； %第1供水時(shí)段用水量 y3=0.1*trapz(x3)； %第2供水時(shí)段用水量 y=（y1+y2+y12+y3）*； %一天總用水量（ ） 計(jì)算結(jié)果：y1=146.

18、2, y2=266.8, y12=47.4, y3=77.3，y=1250.4Lm3310MATLAB(llgjz)第44頁/共49頁第四十四頁，共49頁。 4、流量及總用水量的檢驗(yàn) 計(jì)算出的各時(shí)刻的流量可用水位記錄的數(shù)值微分來檢驗(yàn)用水量y1可用第1時(shí)段水位測量記錄中下降高度968-822=146來檢驗(yàn)，類似地，y2用1082-822=260檢驗(yàn)供水時(shí)段流量的一種檢驗(yàn)方法如下：供水時(shí)段的用水量加上水位上升值260是該時(shí)段泵入的水量，除以時(shí)段長度得到水泵的功率（單位時(shí)間泵入的水量），而兩個(gè)供水時(shí)段水泵的功率應(yīng)大致相等(xingdng)第1、2時(shí)段水泵的功率可計(jì)算如下： p1=(y12+260)/

19、2； %第1供水時(shí)段水泵的功率 （水量仍以高度計(jì)） tp4=20.8：0.1：23； xp2=polyval（c3，tp4）； % xp2輸出第2供水時(shí)段 各時(shí)刻的流量 p2=(0.1*trapz(xp2)+260)/2.2； %第2供水時(shí)段水泵的功率 （水量仍以高度計(jì)）計(jì)算結(jié)果：p1=154.5 ，p2=140.1MATLAB (ll)第45頁/共49頁第四十五頁，共49頁。計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果(n1,n2) y1, y2 , y12 , y3 y p1 p2(3,4)146.2, 266.8, 47.4, 77.3 1250.4 154.5 140.1(5,6)146.5, 257.8, 46.1, 76.3 1282.4 153.7 140.1 2421 8283.91 3077. 7 1405. 02111 8313. 1 7