數(shù)學建模matlab擬合學習教案

1、會計學1數(shù)學數(shù)學(shxu)建模建模matlab擬合擬合第一頁，共49頁。曲曲 線線 擬擬 合合 問問 題題 的的 提提 法法已知一組（二維）數(shù)據(jù)已知一組（二維）數(shù)據(jù)(shj)(shj)，即平面上，即平面上 n n個點（個點（xi,yi) i=1,n, xi,yi) i=1,n, 尋求一個函數(shù)（曲線）尋求一個函數(shù)（曲線）y=f(x), y=f(x), 使使 f(x) f(x) 在某種準則下與所有數(shù)據(jù)在某種準則下與所有數(shù)據(jù)(shj)(shj)點最為接近，即曲線擬合得最好。點最為接近，即曲線擬合得最好。 +xyy=f(x)(xi,yi)i i 為點（為點（xi,yi) 與曲線與曲線(qxin) y

2、=f(x) 的距離的距離第2頁/共49頁第二頁，共49頁。擬合擬合(n h)與插值的關(guān)系與插值的關(guān)系 函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)(shj)構(gòu)造一個函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學方法上是完全不同的。 實例：下面數(shù)據(jù)實例：下面數(shù)據(jù)(shj)是某次實驗所得，希望得到是某次實驗所得，希望得到X和和 f之間的關(guān)系？之間的關(guān)系？x124791 21 31 51 7f1 .53 .96 .611 .71 5 .61 8 .81 9 .62 0 .62 1 .1MATLAB(cn)問題：問題：給定一批數(shù)據(jù)點，需確定滿足特定要求的曲線或曲面解決方案：解決方案：若不要求曲線（面）通過所有數(shù)

3、據(jù)點，而是要求它反映對象整體的變化趨勢，這就是數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合。若要求所求曲線（面）通過所給所有數(shù)據(jù)點，就是插值問題插值問題；第3頁/共49頁第三頁，共49頁。最臨近最臨近(ln jn)插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結(jié)果：插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結(jié)果：第4頁/共49頁第四頁，共49頁。曲線擬合問題最常用的解法曲線擬合問題最常用的解法(ji f)線性最小二乘法的基本思路線性最小二乘法的基本思路第一步:先選定(xun dn)一組函數(shù) r1(x), r2(x), rm(x), m0)k(0)模型模型(mxng)假設(shè)假設(shè)1. 1. 機體看作一個房室，室內(nèi)血藥濃度均

4、勻機體看作一個房室，室內(nèi)血藥濃度均勻一室模型一室模型模型建立模型建立d/c(0) 3得：由假設(shè)-kcdtdc 2得：由假設(shè)ktevdtc)( 在此，在此，d=300mg，t及及c（t）在某些點處的值見前表，需經(jīng)擬合求出參數(shù)）在某些點處的值見前表，需經(jīng)擬合求出參數(shù)k、v第28頁/共49頁第二十八頁，共49頁。用線性最小二乘擬合用線性最小二乘擬合(n h)c(t)(n h)c(t)ktevdtc)()/ln(,ln21vdakacyktvdc)/ln(ln2/,121aedvakatayMATLAB(lihe1)計算結(jié)果：計算結(jié)果：)(02.15),/1 (2347. 0lvhkd=300;t=0

5、.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8;c=19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01;y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2)程序：程序：用非線性最小二乘擬合用非線性最小二乘擬合(n h)c(t)(n h)c(t)第29頁/共49頁第二十九頁，共49頁。給藥方案給藥方案(fng n) 設(shè)設(shè)計計cc2c10t 設(shè)每次注射劑量D, 間隔時間 血藥濃度c(t) 應(yīng)c1 c(t) c2 初次(ch c)劑量D0 應(yīng)加大,0DD給藥方案記為：給藥方案記為：kecc2112ln1cck2、)(

6、 ,1220ccDcD1、計算結(jié)果：計算結(jié)果：9 . 3, 3 .225, 5 .3750DD)(4),(225),(3750hmgDmgD給藥方案：給藥方案：c1=10,c2=25k=0.2347v=15.02第30頁/共49頁第三十頁，共49頁。故可制定故可制定(zhdng)給藥方案：給藥方案：)(4),(225),(3750hmgDmgD即即: 首次首次(shu c)注射注射375mg， 其余每次注射其余每次注射225mg， 注射的間隔時間為注射的間隔時間為4小時。小時。第31頁/共49頁第三十一頁，共49頁。估計估計(gj)水塔水塔的流量的流量2、解題、解題(ji t)思路思路3、算法

7、、算法(sun f)設(shè)設(shè)計與編程計與編程1、問題問題第32頁/共49頁第三十二頁，共49頁。 某居民區(qū)有一供居民用水的園柱形水塔，一般可以通過測量其水位來估計水的流量，但面臨的困難是，當水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時，水泵自動啟動向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時停止供水，這段時間無法測量水塔的水位和水泵的供水量通常水泵每天供水一兩次，每次約兩小時.水塔是一個高12.2米，直徑17.4米的正園柱按照設(shè)計，水塔水位降至約8.2米時，水泵自動啟動，水位升到約10.8米時水泵停止工作表1 是某一天的水位測量記錄(jl)，試估計任何時刻（包括水泵正供水時）從水塔流出的水流量，及一天的總用水量第33頁/共4

8、9頁第三十三頁，共49頁。 表 1 水位測量記錄 （符號/表示水泵啟動）時刻(h)水位(cm)0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97968 948 931 913 898 881 869 852 839 822時刻(h)水位(cm)9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93/ / 1082 1050 1021 994 965 941 918 892時刻(h)水位(cm)19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91866

9、 843 822 / / 1059 1035 1018第34頁/共49頁第三十四頁，共49頁。流量估計流量估計(gj)的解題思路的解題思路擬合水位擬合水位時間時間(shjin)函數(shù)函數(shù)確定流量確定流量時間時間(shjin)函數(shù)函數(shù) 估計一天總用水量估計一天總用水量第35頁/共49頁第三十五頁，共49頁。 擬合水位擬合水位時間時間(shjin)函數(shù)函數(shù) 測量記錄看，一天有兩個供水時段（以下稱第測量記錄看，一天有兩個供水時段（以下稱第1供水時段和第供水時段和第2供水時段），和供水時段），和3個水泵不工作時段（以下稱第個水泵不工作時段（以下稱第1時段時段t=0到到t=8.97，第，第2次時段次時段t

10、=10.95到到t=20.84和第和第3時段時段t=23以后）對第以后）對第1、2時段的測量數(shù)據(jù)直接分別作多項式擬合，得到水位函數(shù)為使擬合曲線比較光滑，多項式次數(shù)不要太高，一般在時段的測量數(shù)據(jù)直接分別作多項式擬合，得到水位函數(shù)為使擬合曲線比較光滑，多項式次數(shù)不要太高，一般在36由于第由于第3時段只有時段只有3個測量記錄，無法對這一時段的水位作出較好的擬合個測量記錄，無法對這一時段的水位作出較好的擬合第36頁/共49頁第三十六頁，共49頁。 2、確定流量時間函數(shù)(hnsh) 對于第1、2時段只需將水位函數(shù)(hnsh)求導(dǎo)數(shù)即可，對于兩個供水時段的流量，則用供水時段前后（水泵不工作時段）的流量擬合

11、得到，并且將擬合得到的第2供水時段流量外推，將第3時段流量包含在第2供水時段內(nèi)第37頁/共49頁第三十七頁，共49頁。3、一天總用水量的估計 總用水量等于兩個水泵不工作時段和兩個供水時段用水量之和，它們都可以(ky)由流量對時間的積分得到。第38頁/共49頁第三十八頁，共49頁。算法算法(sun f)設(shè)計設(shè)計與編程與編程1、擬合第、擬合第1、2時段的水位時段的水位(shuwi)，并導(dǎo)出流量，并導(dǎo)出流量2、擬合、擬合(n h)供水時段的流量供水時段的流量3、估計一天總用水量估計一天總用水量4、流量及總用水量的檢驗、流量及總用水量的檢驗第39頁/共49頁第三十九頁，共49頁。 1、擬合第1時段的水

12、位，并導(dǎo)出流量 設(shè)t，h為已輸入的時刻和水位測量記錄（水泵啟動的4個時刻不輸入），第1時段各時刻的流量可如下得：1） c1=polyfit（t（1：10），h（1：10），3）； %用3次多項式擬合第1時段水位，c1輸出3次多項式的系數(shù)2）a1=polyder（c1）； % a1輸出多項式（系數(shù)為c1）導(dǎo)數(shù)的系數(shù) 3）tp1=0：0.1：9； x1=-polyval（a1，tp1）； % x1輸出多項式（系數(shù)為a1）在tp1點的函數(shù)(hnsh)值（取負后邊為正值），即tp1時刻的流量 MATLAB(llgj1)4）流量(liling)函數(shù)為：1079.227173. 22356. 0)(2tt

13、tf第40頁/共49頁第四十頁，共49頁。 2、擬合(n h)第2時段的水位，并導(dǎo)出流量 設(shè)t，h為已輸入的時刻和水位測量記錄（水泵啟動的4個時刻不輸入），第2時段各時刻的流量可如下得：1） c2=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),3)； %用3次多項式擬合(n h)第2時段水位，c2輸出3次多項式的系數(shù)2） a2=polyder(c2)； % a2輸出多項式（系數(shù)為c2）導(dǎo)數(shù)的系數(shù) 3）tp2=10.9:0.1:21; x2=-polyval(a2,tp2); % x2輸出多項式（系數(shù)為a2）在tp2點的函數(shù)值（取負后邊為正值），即tp2時刻的流量MATLAB(ll

14、gj2)4）流量(liling)函數(shù)為：8313. 17512. 87529. 00186. 0)(23ttttf第41頁/共49頁第四十一頁，共49頁。 3、擬合供水時段的流量 在第1供水時段（t=911）之前（即第1時段）和之后（即第2時段）各取幾點，其流量已經(jīng)得到，用它們擬合第1供水時段的流量為使流量函數(shù)在t=9和t=11連續(xù)，我們(w men)簡單地只取4個點，擬合3次多項式（即曲線必過這4個點），實現(xiàn)如下： xx1=-polyval（a1，8 9）； %取第1時段在t=8,9的流量 xx2=-polyval（a2，11 12）； %取第2時段在t=11,12的流量 xx12=xx1

15、xx2； c12=polyfit（8 9 11 12，xx12，3）； %擬合3次多項式 tp12=9：0.1：11； x12=polyval（c12，tp12）； % x12輸出第1供水時段 各時刻的流量MATLAB(llgj3)擬合擬合(n h)的流量函數(shù)為：的流量函數(shù)為：078.3555879.737207. 3)(2tttf第42頁/共49頁第四十二頁，共49頁。 在第2供水時段之前取t=20，20.8兩點的流水量(shu lin)，在該時刻之后（第3時段）僅有3個水位記錄，我們用差分得到流量，然后用這4個數(shù)值擬合第2供水時段的流量如下： dt3=diff（t(22：24)）； %最后

16、3個時刻的兩兩之差 dh3=diff（h(22：24)）； %最后3個水位的兩兩之差 dht3=-dh3./dt3； %t(22)和t(23)的流量 t3=20 20.8 t(22) t(23)； xx3=-polyval(a2，t3(1：2)，dht3)； %取t3各時刻的流量 c3=polyfit（t3，xx3，3）； %擬合3次多項式 t3=20.8：0.1：24； x3=polyval（c3，tp3）；% x3輸出第2供水時段 （外推至t=24）各時刻的流量MATLAB(llgj4)擬合的流量擬合的流量(liling)函數(shù)為：函數(shù)為：8283.913077. 71405. 0)(2tt

17、tf第43頁/共49頁第四十三頁，共49頁。 3、一天總用水量的估計 第1、2時段和第1、2供水時段流量的積分(jfn)之和，就是一天總用水量雖然諸時段的流量已表為多項式函數(shù)，積分(jfn)可以解析地算出，這里仍用數(shù)值積分(jfn)計算如下： y1=0.1*trapz(x1)； %第1時段用水量（仍按高 度計），0.1為積分(jfn)步長 y2=0.1*trapz(x2)； %第2時段用水量 y12=0.1*trapz(x12)； %第1供水時段用水量 y3=0.1*trapz(x3)； %第2供水時段用水量 y=（y1+y2+y12+y3）*； %一天總用水量（ ） 計算結(jié)果：y1=146.

18、2, y2=266.8, y12=47.4, y3=77.3，y=1250.4Lm3310MATLAB(llgjz)第44頁/共49頁第四十四頁，共49頁。 4、流量及總用水量的檢驗 計算出的各時刻的流量可用水位記錄的數(shù)值微分來檢驗用水量y1可用第1時段水位測量記錄中下降高度968-822=146來檢驗，類似地，y2用1082-822=260檢驗供水時段流量的一種檢驗方法如下：供水時段的用水量加上水位上升值260是該時段泵入的水量，除以時段長度得到水泵的功率（單位時間泵入的水量），而兩個供水時段水泵的功率應(yīng)大致相等(xingdng)第1、2時段水泵的功率可計算如下： p1=(y12+260)/

19、2； %第1供水時段水泵的功率 （水量仍以高度計） tp4=20.8：0.1：23； xp2=polyval（c3，tp4）； % xp2輸出第2供水時段 各時刻的流量 p2=(0.1*trapz(xp2)+260)/2.2； %第2供水時段水泵的功率 （水量仍以高度計）計算結(jié)果：p1=154.5 ，p2=140.1MATLAB (ll)第45頁/共49頁第四十五頁，共49頁。計算結(jié)果計算結(jié)果(n1,n2) y1, y2 , y12 , y3 y p1 p2(3,4)146.2, 266.8, 47.4, 77.3 1250.4 154.5 140.1(5,6)146.5, 257.8, 46.1, 76.3 1282.4 153.7 140.1 2421 8283.91 3077. 7 1405. 02111 8313. 1 7