平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

1、上虞中學(xué)上虞中學(xué) 謝金懷謝金懷一、復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí)abOAaBb1.概念概念:(1)夾角夾角: (2)數(shù)量積的定義數(shù)量積的定義:注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量.00:a規(guī)定cos|baba其中：其中：, 0a0b0,范圍是的夾角和是baab.（0 ）當(dāng)當(dāng) = 0時(shí)，兩向量同向；當(dāng)時(shí)，兩向量同向；當(dāng) = 時(shí)，兩向量反向時(shí)，兩向量反向.當(dāng)當(dāng) = 時(shí)，兩向量垂直，記作時(shí)，兩向量垂直，記作22.幾何意義幾何意義:OAaBbBabBAOcosbabacos|b.cos 的乘積的方向上的投影數(shù)量在與的長(zhǎng)度等于數(shù)量積babaabacosb3.性質(zhì)性質(zhì): 設(shè)設(shè) ，

2、 都是都是非零非零向量，向量， 是與是與 方向相同的方向相同的單位向量，單位向量， 是是 與與 的夾角的夾角,則則 (1) e a = a e=| a |cos .(3)當(dāng)當(dāng)a與與b同向時(shí)同向時(shí),a b=|a|b|;當(dāng)當(dāng)a與與b反向時(shí)反向時(shí),ab=-|a|b|.特別地特別地,a a (或?qū)懗苫驅(qū)懗?a 2)=| a |2或或| a |=a a .(4)cos =( a b )/(|a|b|).向量向量a與與b共線共線 | a b |=| a | b |a b =| a | b |cos (2)ab a b =0.(5)| a b | a | b |.用于計(jì)算向量的夾角a b a e b e 4

3、、數(shù)量積的運(yùn)算律：、數(shù)量積的運(yùn)算律：交換律：交換律：abba對(duì)數(shù)乘的結(jié)合律：對(duì)數(shù)乘的結(jié)合律：)()()(bababa分配律：分配律：cbcacba )(注意：注意：數(shù)量積不滿足結(jié)合律數(shù)量積不滿足結(jié)合律)()( :cbacba即從力的做功來(lái)從力的做功來(lái)看若力增大看若力增大n倍倍則 功 增 大則 功 增 大 n 倍倍兩個(gè)力在兩個(gè)力在同一物體同一物體上所做的上所做的功等于合功等于合力所做的力所做的功功引例： 已知：A(2，1)，B(3，2)，C(1，4)， 求證：ABC是直角三角形.分析：先畫圖，ABCOxy 從圖中可知，A應(yīng)為90，為證明A90，只需證明 AB AC0.問(wèn)題：已知兩個(gè)非零向量112

4、2( , ),( , )ax y bx yaba b 怎樣用和的坐標(biāo)表示呢？ AB(3 2，2 1)(1，1), AC( 1 2，4 1)( 3，3),OA(x1，y1) B(x2，y2)yx如圖，我們先看x軸上的單位向量 和軸y上的單位向量 容易知道，ijij1,1,0i ij ji jj i ab二、新課問(wèn)題：已知兩個(gè)非零向量1122( , ),( , )ax y bx y怎樣用 和 的坐標(biāo)表示 呢？aba b 解：1122,ax iy j bx iy j 1122() ()a bx iy jx iy j 12122112x x i ix y i jx y i jy y j j 1212x

5、 xy y這就是說(shuō)，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即1212a bx xy y 已知：A(2，1)，B(3，2)，C(1，4)，求證：ABC是直角三角形. ABAC.證明： AB(3 2，2 1)(1，1), AC( 1 2，4 1)( 3，3), AB AC1( 3)130, ABC是直角三角形.數(shù)量積的主要性質(zhì)的坐標(biāo)表示數(shù)量積的主要性質(zhì)的坐標(biāo)表示：是兩個(gè)非零向量設(shè)ba,01baba內(nèi)積為零是判定兩向量垂直的充要條件0,21212211yyxxbayxbyxa則設(shè)非零向量 babababababa,;,.2反向時(shí)與當(dāng)向量同向時(shí)與當(dāng)aaaaaa或特別地2,用于計(jì)算向量的模22,y

6、xayxa則設(shè) .cos.3baba2222212121212211cos,yxyxyyxxyxbyxa則設(shè)用于計(jì)算向量的夾角 .,2212212211yyxxayxyxa那么點(diǎn)的坐標(biāo)分別為的有向線段的起點(diǎn)和終如果表示向量這就是平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式例 1 已知 (1，3 )， ( 2，23 ),（1）求 ；（2）求 與 的夾角. 60.aba b a b ab0180又解：（1）（2）22|1( 3)2a 22|22 34b 41cos2 42|a ba b 1232 34 例 2：已知 (5, 0)， (3.2, 2.4), 求證：( ) .證明：abbbaab b 2253.20 2.4

7、3.22.4 0abb2bba例3 已知 ，當(dāng)k為何值時(shí)，（1） 與 垂直？（2） 與 平行？ 1,2 ,( 3,2)ab kabkab3ab3ab =k(1,2)+(3,2)=(k 3,2k+2) =(1,2) 3( 3,2)=(10, 4)kab3ab（1）若 與 垂直，則有kabkab3ab3ab(k 3) 10+(2k+2) ( 4)=0所以k=19（2）若 與 平行，則有(k 3) ( 4) (2k+2) 10=0所以k= .解：31例 4：已知：A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別為(2，0)、(4，2)、(0，4)，直線 l 過(guò)A、B兩點(diǎn)，求點(diǎn)C到 l 的距離.HOABCxyl分析一：如圖，

8、為求CH長(zhǎng)，由CHAHAC可知，關(guān)鍵在于求出AH. 由ACAB的幾何意義，ACAB等于AB的長(zhǎng)度與AC在AB方向上的投影的乘積. 所以 ACABAHAB.AC(0 2，4 0)(2，4)，AB(4 2，2 0)(2，2),ACAB22424.解：HOABCxylAH與AB共線，可設(shè)AHmAB(2m，2m).AHAB4m4m8m.由ACAB=AHAB，得 m .12CH=AHAC(3，3)，CH 32(3)232 .即 C點(diǎn)到直線 l 的距離為32 . AH (2m，2m) = (1，1). 為定H點(diǎn)坐標(biāo)(兩個(gè)未知數(shù))， 可利用H點(diǎn)在 l 上，及CHAB這兩個(gè)條件.分析二：HOABCxyl 若能確定H點(diǎn)坐標(biāo)，CH長(zhǎng)就