以解析函數(shù)的理論與方法研究平面電磁場(chǎng)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1以解析函數(shù)的理論與方法研究平面電磁以解析函數(shù)的理論與方法研究平面電磁場(chǎng)場(chǎng)第1頁(yè)/共31頁(yè)第2頁(yè)/共31頁(yè)XYIr)(2)(2220220yxIxyxIyBByxB第3頁(yè)/共31頁(yè)現(xiàn)把Y-X平面視為復(fù)平面， z=x+iy, 并令：222202)(yxixyxyIiBBzwwyx立即得到：w其中：2222;yxxvyxyu這里，很明顯地有：;uvuvxyyx 02)(iEEzwwyx同樣，對(duì)于電場(chǎng)，則有：在以下的討論中，視 為二維電荷， 為二維磁荷。并統(tǒng)一以符號(hào) 表示。Iq第4頁(yè)/共31頁(yè)X以同樣的方式，可以建立二維的電場(chǎng)的數(shù)學(xué)模型。只需將無窮長(zhǎng)帶電直線實(shí)為“二維電荷”YrE同樣，令：02

2、)(iEEzwwyx;uvuvxyyx 同樣得到一個(gè)復(fù)變函數(shù)具有性質(zhì)：第5頁(yè)/共31頁(yè)ivuzww)(xvyuyvxu)(;)(第6頁(yè)/共31頁(yè)取C為一條圍繞原點(diǎn)的簡(jiǎn)單封閉曲線，如果原點(diǎn)處存在無限長(zhǎng)的導(dǎo)線（或者帶電直線），則由留數(shù)定理可得：Cwsidzw0 ,Re2于是解析函數(shù)的理論與方法有了用武之地！第7頁(yè)/共31頁(yè)2)(CCidydxivudzw比較實(shí)部虛部即得：CCvdxudyvdyudx0)(2)(下面分析上面二式的意義。(1)(2)第8頁(yè)/共31頁(yè) 對(duì)于圖重的曲線積分,積分微元是idydxl d于是,如果把w看作有兩個(gè)分量的矢量,可有vdyudxidydxivul dw)(即得:Cl

3、 dw2由20IwB 最后得到:CIl dB0l d對(duì)于磁場(chǎng)的情況第9頁(yè)/共31頁(yè)上式即是我們熟悉的安培環(huán)路定理.而(2)式的意義又何在呢?注意到:udyvdxidydxivul diw)(如果我們定義:lidnd則可以得到:Cndw0l dnd 的幾何意義如圖所示.當(dāng)把曲線看成是無限長(zhǎng)的柱面的截線時(shí), 即是曲面的法向量.上式的意義即可理解為是二維平面的高斯定理.nd第10頁(yè)/共31頁(yè)顯然,稍作推廣即可以得到:1. 對(duì)于磁場(chǎng)中的任意簡(jiǎn)單封閉曲線C,有NiiCIl dB10CndB02對(duì)于電場(chǎng)的情況,由于電場(chǎng)和磁場(chǎng)所對(duì)應(yīng)的w僅僅相差一個(gè)常數(shù)i, 所以情況完全類似,僅僅只需要將上面兩式的右邊交換即

4、可.這里就不作過多的討論了.第11頁(yè)/共31頁(yè)dzzzzfizfC)(21)(1磁場(chǎng)和電場(chǎng)(以下僅稱場(chǎng))的分布由邊界決定.事實(shí)上,若w在邊界C上的值為已知,則對(duì)于區(qū)域內(nèi)部的一點(diǎn)Z,有即是可以由邊界上的函數(shù)值計(jì)算內(nèi)部的值.2 平均值公式.對(duì)于一個(gè)閉圓 如果其內(nèi)部沒有電流(或電荷),則場(chǎng)在圓心處的值,等于圓周上的平均值.Raz第12頁(yè)/共31頁(yè)上式的依據(jù)是平均值公式Cdsfaf)(21)(圓心處實(shí)部和虛部的值對(duì)應(yīng)為圓周上的平均值,于是即有以上結(jié)論.事實(shí)上,泊松公式為我們提供了計(jì)算區(qū)域內(nèi)任何點(diǎn)場(chǎng)值的方法:dRrrRRreReRzfrezfiii2022)(2)cos(2)(21)(第13頁(yè)/共31頁(yè)

5、 3 如果平面區(qū)域中沒有電荷或者沒有磁荷,則場(chǎng)的最大值只能在區(qū)域的邊界上取到.4 平面場(chǎng)所有的電荷之和為0。第14頁(yè)/共31頁(yè)5 如果穿過平面上有電荷： ,且滿足: 則平面上一定存在場(chǎng)強(qiáng)為0的點(diǎn).Nqqq,21NNzzIzzIzzIzf2211)(021Nqqq證明: 射N根導(dǎo)線的坐標(biāo)的復(fù)數(shù)為: 容易得到這個(gè)場(chǎng)對(duì)應(yīng)的復(fù)函數(shù)w(z)為:Nzzz,21NNzzqzzqzzqzw2211)(第15頁(yè)/共31頁(yè)NNzzqzzqzzqw2211為證明結(jié)論,只需要證明函數(shù)NNzzqzzqzzqzf2211)(在復(fù)平面上有非無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的根即可.）（第16頁(yè)/共31頁(yè)為了證明上式,需要用到的結(jié)論有:1大圓弧引理

6、: 設(shè)f(z)在區(qū)域D:zRzarg0 ,0)20(上連續(xù),且存在極限:Azzfz)(lim設(shè)C是位于D中的圓弧,半徑為R,則CRiAdzzf)(lim第17頁(yè)/共31頁(yè)2 輻角原理: 設(shè)f(z)在閉路C的內(nèi)部可能有有限多個(gè)極點(diǎn),除去這些極點(diǎn)外, f(z)在C及其內(nèi)部解析,且在C上無零點(diǎn),則有:CPNzfzfi)()(21這里N,P分別為極點(diǎn)總數(shù)和零點(diǎn)總數(shù).第18頁(yè)/共31頁(yè)有了上面的引理,下面證明 所表示的函數(shù)在復(fù)平面上定有非無窮遠(yuǎn)的根.事實(shí)上:）（NNNNzzqzzqzzqzzqzzqzzqzfzf22112222211)()()()()(在通分之后,分子的最高次為(2N-2)次,分母的最

7、高次為(2N-1)次,系數(shù)均為:021Nqqq第19頁(yè)/共31頁(yè)所以,成立:1)()(limzfzfzz利用引理1即得到:CRidzzfzf2)()(lim再由引力理2,有:1 PN第20頁(yè)/共31頁(yè)又:2 nP1N所以零點(diǎn)總是存在的!即平面上總是存在一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零.對(duì)于 的情況,則是沒有一般結(jié)論. 021NIII第21頁(yè)/共31頁(yè)如圖,如果蘭色代表正電,黃色代表負(fù)電,則在該場(chǎng)中是沒有電場(chǎng)為0的點(diǎn)的.而在下面的這張圖中,顯然正方形的中心的場(chǎng)強(qiáng)為0.磁場(chǎng)中情況完全類似,不再贅述.第22頁(yè)/共31頁(yè)第23頁(yè)/共31頁(yè)一個(gè)定義： 為這個(gè)平面場(chǎng)的“場(chǎng)函數(shù)” 為場(chǎng)函數(shù)的充分必要條件是它滿足高斯定理和安培環(huán)

8、路定理，即是有：)()(zwzG)(zGCqidzzG2)(場(chǎng)函數(shù)是這樣的函數(shù)，它在平面上存在場(chǎng)源的點(diǎn)的留數(shù)是電荷的值，其余點(diǎn)它取場(chǎng)的值的共軛為討論方便，一切常數(shù)假定為1。第24頁(yè)/共31頁(yè)我們知道，一個(gè)保形變換將一個(gè)區(qū)域映照成為另一個(gè)區(qū)域，如果我們把區(qū)域上的每一個(gè)點(diǎn)都標(biāo)上該處的電荷（磁荷），那么保形變換就把一個(gè)場(chǎng)分布變換成為另一種場(chǎng)分布，稱作“場(chǎng)的保形變換”。( )ww z第25頁(yè)/共31頁(yè)一個(gè)定理： 設(shè) 為 的一個(gè)場(chǎng)的保形變換，場(chǎng)函數(shù)：( )ww zDD 11( )( )( )G zG wzwz 事實(shí)上，邊界對(duì)應(yīng)定理保證了CCdzzwzwGdzzG) )()()(11即變換后得到的函數(shù)仍然滿足高斯定理和環(huán)路定理，即為新場(chǎng)的場(chǎng)函數(shù)。第26頁(yè)/共31頁(yè)一個(gè)結(jié)論： 對(duì)于靜電平衡的導(dǎo)體，在經(jīng)過場(chǎng)的保形變換后仍靜電平衡。 容易驗(yàn)證在經(jīng)過場(chǎng)的保形變換后，對(duì)于所給定的一個(gè)點(diǎn) 等勢(shì)線的輻角改變量和所對(duì)應(yīng)的場(chǎng)函數(shù)的輻角改變量皆是 仍然滿足靜電平衡的條件。( )zw z ( )w z第27頁(yè)/共31頁(yè)得到一種新的求解電場(chǎng)的方法，舉例如下：( )ziw ziziq( )22( )( )()w w zqqqqG zG zzizziziziizii第28頁(yè)/共31頁(yè)黎曼定理斷言，對(duì)于任意的區(qū)域（非全平面），總是存在保形變換將