概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第七章抽樣分布及其上分位數(shù)ppt課件

1、17.3 7.3 抽樣分布及其上分位數(shù)抽樣分布及其上分位數(shù) 為了進(jìn)一步研究未知參數(shù)的統(tǒng)計(jì)為了進(jìn)一步研究未知參數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題，本節(jié)介紹幾個(gè)重要的抽樣推斷問(wèn)題，本節(jié)介紹幾個(gè)重要的抽樣分布及其定理分布及其定理. .2一一 抽樣分布抽樣分布 統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量，它的分布稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)變量，它的分布稱(chēng)為“抽樣分布抽樣分布” . ” . 研究統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)和評(píng)價(jià)一個(gè)統(tǒng)計(jì)推斷研究統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)和評(píng)價(jià)一個(gè)統(tǒng)計(jì)推斷的優(yōu)良性，取決于其抽樣分布的性質(zhì)的優(yōu)良性，取決于其抽樣分布的性質(zhì). .抽樣分布抽樣分布精確抽樣分布精確抽樣分布漸近分布漸近分布322111,()1nnniiniiXXSXXnn = = 1 1 分別表示

2、樣本均值和樣本方差分別表示樣本均值和樣本方差.時(shí)，也稱(chēng)時(shí)，也稱(chēng) 是來(lái)自總體是來(lái)自總體的樣本，仍用的樣本，仍用 假設(shè)假設(shè) 是來(lái)自總體是來(lái)自總體X的樣本，當(dāng)?shù)臉颖?，?dāng)12,nXXX2( ,)XN 12,nXXX2( ,)N 4統(tǒng)計(jì)上的三大分布統(tǒng)計(jì)上的三大分布2( )n 記為記為定義定義3.1: 3.1: 如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量 有概率密度有概率密度 分布分布( (卡方分布卡方分布) )1、2 12221( ),02(2)nunp uueun 稱(chēng)稱(chēng) 服從自由度為服從自由度為n n的的 分布分布. .2來(lái)定義來(lái)定義. .其中伽瑪函數(shù)其中伽瑪函數(shù) 通過(guò)積分通過(guò)積分10( ),0 xxedx ( )5分

3、布的密度函數(shù)圖形自由度依次分布的密度函數(shù)圖形自由度依次為為n=1,3,5,7n=1,3,5,72( )n n=1n=3n=5n=76分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)2 定理定理3.1: 3.1: 假設(shè)假設(shè) 是來(lái)自是來(lái)自總體總體N(0,1)N(0,1)的樣本的樣本, , 則平方和則平方和12,nXXX222212( )nnXXXn 722(2)(1)(1)nSn2nXS和分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有則有2(1).nXS和獨(dú)立定理定理3.2: 3.2: 假設(shè)假設(shè) 是來(lái)自是來(lái)自總體總體N(0,1)N(0,1)的樣本，的樣本，12,nXXX8推論推論3.3: 3.3: 假設(shè)假設(shè) ，那么，

4、那么22( ),( )nm2(2)()nm當(dāng)和獨(dú)立時(shí)，有 (1)( ),Var( )2Enn這個(gè)性質(zhì)叫這個(gè)性質(zhì)叫 分布的可加性分布的可加性. .2912,(0,1)nX XXN證證明明：( ( 1 1設(shè)設(shè)是是來(lái)來(lái)自自總總體體的的) )樣樣本本，則則2422Var()() ()3 12,1,2,iiiXE XE Xin 2211( )()().nniiiiEEXE Xn 所所以以2211Var( )Var()Var()2 .nniiiiXXn 22E()0, E()Var() (E()1iiiiXXXX 2222123.1( )nXXXn 根根據(jù)據(jù)定定理理 ，有有 1012,(0,1)n mX

5、XXN 設(shè)設(shè)是是來(lái)來(lái)自自總總證證明明：( ( 2 2體體) )的的樣樣本本2222221212()()nmnnnn mXXXXXX 令令 則則 與與.同同分分布布nm .因因此此結(jié)結(jié)論論成成立立則有則有2nm （n n+ + m m ）11 定理定理 3.422221(1)1(2)()(1)njnjnSXXn 設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是來(lái)自正態(tài)總體是來(lái)自正態(tài)總體),(2 N的樣本的樣本,2nXS和和 分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差,則有則有2(1).nXS和和獨(dú)獨(dú) 立立12 t 分布又稱(chēng)學(xué)生氏分布又稱(chēng)學(xué)生氏(student)分布分布.記做記做Tt(n). 定義3.2: 如果隨機(jī)變

6、量T具有概率密度稱(chēng)稱(chēng)T服從自由度為服從自由度為 n的的 t 分布分布.2、t 分布分布12212( )1,(,)2nnnup uunnn 13外形外形: :中間高中間高, ,兩邊低兩邊低, ,左右對(duì)稱(chēng)左右對(duì)稱(chēng). .當(dāng)當(dāng)n n充分大時(shí)，充分大時(shí)，t t 分布近似分布近似N (0,1)N (0,1)分布分布. . 但對(duì)于較小的但對(duì)于較小的n n，t t分分布與布與N (0,1)N (0,1)分布相差很大分布相差很大. .t分布的圖形分布的圖形(紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布紅色的是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布)n = 1n=20-3-2-110.414 t(2)與與N(0,1)概率密度曲線的對(duì)比概率密

7、度曲線的對(duì)比 15 t(20)與與N(0,1)概率密度曲線的對(duì)比概率密度曲線的對(duì)比 16 22,1lime( )2unnnpuu 特特別別, , 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有 33, ( )(0,1).33,( )nt nNnx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)分分布布的的密密度度和和的的密密度度幾幾乎乎沒(méi)沒(méi)有有差差別別 而而且且當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)對(duì)對(duì)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)密密度度函函數(shù)數(shù)有有sup( )( )0.0041nxpxx 17t分布的性質(zhì)分布的性質(zhì) ( )Zt nn 定理3.5: 如果ZN(0,1) , 且Z與 相互獨(dú)立，則有2( ),n 18 定理定理 3.6 如果如果X1,X2,Xn是來(lái)自正態(tài)總體是來(lái)自正態(tài)總體),(2 N的樣本的

8、樣本,2nXS和和 分別為樣本均值和樣本方差分別為樣本均值和樣本方差, ,則有則有 (1)nXt nSn 19222(1)(0,1),(1)./nXnSZNnn 且它們獨(dú)立且它們獨(dú)立. 則由定理則由定理3.5得到得到22(1)(1)/(1)nXZnSnnn 證明：由定理證明：由定理3.4 (1)/nXt nSn 20 具有自由度為具有自由度為n的的t分布的隨機(jī)變量分布的隨機(jī)變量T的數(shù)學(xué)期望和方差為的數(shù)學(xué)期望和方差為: E(T)=0; Var(T)=n/(n-2) , 對(duì)對(duì)n 2 t分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)2112222( )1,0. 22nnn mn mnnpuuuynmmm 3、 F(n,m)分

9、布分布定義定義3.3 如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量F有概率密度有概率密度稱(chēng)稱(chēng)F服從自由度為服從自由度為(n, m )的的F分布，記做分布，記做 FF(n,m).其中其中n稱(chēng)為第一自由度，稱(chēng)為第一自由度，m稱(chēng)為第二自由度稱(chēng)為第二自由度.22圖形：圖形：m=10m=7m=3m=1F(6,m)的密度圖形，的密度圖形，m=1,3,7,1023F分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)22( ),( ),nm : : 如如果果定定理理3 3. .和和7 7獨(dú)獨(dú)立立，則則( ,)nFF n mm 1( , )mF m nFn241212,. 設(shè)是來(lái)自總體的樣本，是來(lái)自總體 的樣本如果總體和總體獨(dú)立，則來(lái)自這兩個(gè)總體的樣本也相互獨(dú)

10、立 于是nmXXXXY YYYXY1212,nmXXXYYY，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.2521212122,(,),(,).,2nmX XXNY YYNn m : :設(shè)設(shè)是是來(lái)來(lái)自自總總體體的的樣樣本本，是是來(lái)來(lái)自自總總體體的的樣樣本本又又設(shè)設(shè)這這兩兩個(gè)個(gè)總總體體相相互互獨(dú)獨(dú)立立定定理理3 3. . 8 8，則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)22(1,1)XYSSF nm 2211221111() ,111() ,1nnXinniiimmYimmiiiSXXXXnnSYYYYmm 其其中中 26由由定定證證明明： 理理3 3. .4 4222222(1)(1)(1),(1)XYnSmSnm 而而且且 和和 獨(dú)獨(dú)立立，

11、根根據(jù)據(jù)定定理理3 3. . 7 7得得到到22/(1)(1,1)/(1)XYSnF nmSm 2721212122,(,),(,).nmX XXNY YYN : :設(shè)設(shè)是是來(lái)來(lái)自自總總體體的的樣樣本本，是是來(lái)來(lái)自自總總體體的的樣樣本本又又設(shè)設(shè)這這兩兩個(gè)個(gè)總總體體相相互互補(bǔ)補(bǔ)充充定定理理獨(dú)獨(dú)立立，則則12() (2)11nmWXYt nmSnm 2222(1)(1),2XYWWWnSmSSSSnm 其其中中 282212(,)nmXYNnm 由由已已知知可可得得證證： 明明12()()(0,1)11nmXYZNnm 所所以以2222122212(1)(1)(1),(1),XYnSmSnm 且且

12、 與與 相相互互獨(dú)獨(dú)立立. .212(2)nm 則則292WWSS 其其中中 12123.5()()()/(2)1/1/nmWXYZnmSnm 由由定定理理得得 (2)t nm 222(1)(1)2XYWnSmSSnm 記記 123.4Z由由定定理理得得 ， ，獨(dú)獨(dú)立立. .30例例1 設(shè)設(shè)X 與與Y 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立， X N(0,16), Y N(0,9) , X1, X2 , X9 與與 Y1, Y2 , Y16 分別是取自分別是取自 X 與與 Y 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本, 求統(tǒng)計(jì)量求統(tǒng)計(jì)量1292221216XXXYYY 所服從的分布所服從的分布解解129(0,9 16)XXX

13、N 1291() (0,1)34XXXN 311(0,1) ,1, 2,163iYNi 216211(16)3iiY 12921611341316iiXXXY (16)t1292221216XXXYYY 從而從而32例例2 2 設(shè)總體設(shè)總體(0,1)XN的樣本的樣本, ,22123456()()YXXXXXX 126,XXX為總體為總體 X X試確定常數(shù)試確定常數(shù)c c 使使cY cY 服從服從2分布分布. .解解123456(0,3),(0,3)XXXNXXXN 12345611,(0,1)33XXXXXXN 221234561133XXXXXX 故故因此因此13c 21(2)3Y 33二二

14、 抽樣分布的上分位數(shù)抽樣分布的上分位數(shù)34(0,1). 設(shè)設(shè)正正數(shù)數(shù)()P Zz (0,1),ZNz1 1. .，有有唯唯一一的的使使得得2( )nPn 22( )( ),nnn2 2. .，有有唯唯一一的的使使得得( )nP Ttn ( )( ),nTt ntn3 3. .，有有唯唯一一的的使使得得,( ,)n mP FFn m ,( ,)( ,),n mFF n mFn m4 4. .，有有唯唯一一的的使使得得3522,( )( )( ,)(0,1)( )( )( ,).zntnFn mNnt nF n m 稱(chēng)稱(chēng)，和和 分分別別為為，和和 分分布布的的定定義義3 3. . 4 4: :上上

15、分分位位數(shù)數(shù)214,( )( )( ,).CCzntnFn m 對(duì)對(duì)于于某某些些固固定定的的 ，可可以以查查書(shū)書(shū)后后的的表表得得到到，和和 上上分分位位數(shù)數(shù)是是 的的減減函函數(shù)數(shù). .36(0,1).N正態(tài)分布的上 分位數(shù)1-372( ).n分布的上 分位數(shù)1-380.0250.051.961.645zz ，例例：解解：()(1.96)P ZzP Z 1(1.96) 1(1.96)P Z 10.9750.025 0.0251.96z 因因此此39 根根據(jù)據(jù)定定義義3 3. . 4 4可可以以得得到到例例3 3如如下下結(jié)結(jié)論論()11()P ZzP Zz 221(1( )()nnPnnP 1()

16、1)nnPnP TTtnt ,( ,1(,)()1nmmnP FF nP FFmmn 40/2/2(), ()1,P ZzP Zz /2/2( ), ( )1nnP TtnP Ttn 證證明明：/2/2/2()()()P ZzP ZzP Zz /2/2 /2/2()1()1,P ZzP Zz (0,1), ( )nZNTt n 例例 對(duì)對(duì)4 4，有有412,( ),( ,)nn mn FF n m 例例 對(duì)對(duì)5 5，有有22/21/2( )( )nnPnPn ,/2,1/2( ,)( ,)n mn mP FFn mP FFn m 221/2/2( )( )1,nPnn 1/2,/2( ,)( ,)1n mP Fn mFFn m 42 1,1,F n mFn mFm nFn m 對(duì)對(duì)的的上上 分分位位數(shù)數(shù)，有有 例例6 6：( ,)FF n m對(duì)對(duì)，則則根根據(jù)據(jù)定定理理證證明明：3 3. . 7 7得得到到1/(, )FF m n(, )FF m n于于是是對(duì)對(duì)1 1/ /得得到到1(, )PFm nF