模糊數(shù)學(xué)方法建模-數(shù)學(xué)教學(xué)中心

1、模糊數(shù)學(xué)方法建模§ 1模糊綜合評(píng)判及其應(yīng)用一、模糊綜合評(píng)判在我們的日常生活和工作中，無(wú)論是產(chǎn)品質(zhì)量的評(píng)級(jí)，科技成果的鑒定，還是干部、學(xué)生的評(píng)優(yōu)等等，都屬于評(píng)判的范疇。如果考慮的因素只有一個(gè)，評(píng)判就很簡(jiǎn)單，只要給對(duì)象一個(gè)評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)，按分?jǐn)?shù)的高低，就可將評(píng)判的對(duì)象排出優(yōu)劣的次序。但是一個(gè)事物往往具有多種屬性，評(píng)價(jià)事物必須同時(shí)考慮各種因素，這就是綜合評(píng)判問(wèn)題。所謂綜合評(píng)判，就是對(duì)受到多種因素制約的事物或?qū)ο螅鞒鲆粋€(gè)總的評(píng)價(jià)。綜合評(píng)判最簡(jiǎn)單的方法有兩種方式：一種是總分法，設(shè)評(píng)判對(duì)象有m 個(gè)因素，我們對(duì)每一個(gè)因素給出一個(gè)評(píng)分si ，計(jì)算出評(píng)判對(duì)象取得的分?jǐn)?shù)總和mS sii 1按 S 的大小給評(píng)

2、判對(duì)象排出名次。例如體育比賽中五項(xiàng)全能的評(píng)判，就是采用這種方法。另一種是采用加權(quán)的方法，根據(jù)不同因素的重要程度，賦以一定的權(quán)重，令ai 表示對(duì)第 i 個(gè)m因素的權(quán)重，并規(guī)定ai1 ，于是用i1mS ai sii 1按 S 的大小給評(píng)判對(duì)象排出名次。以上兩種方法所得結(jié)果都用一個(gè)總分值表示，在處理簡(jiǎn)單問(wèn)題時(shí)容易做到，而多數(shù)情況下評(píng)判是難以用一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值表示的，這時(shí)就應(yīng)該采用模糊綜合評(píng)判。由于在很多問(wèn)題上，我們對(duì)事物的評(píng)價(jià)常常帶有模糊性，因此，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行綜合評(píng)判將會(huì)取得更好的實(shí)際效果。模糊綜合評(píng)判的數(shù)學(xué)模型可分為一級(jí)模型和多級(jí)模型兩類，這里僅介紹一級(jí)模型。應(yīng)用一級(jí)模型進(jìn)行綜合評(píng)判，一般

3、可歸納為以下幾個(gè)步驟：（1）建立評(píng)判對(duì)象的因素集Uu1 ,u2 , un 。因素就是對(duì)象的各種屬性或性能，在不同場(chǎng)合，也稱為參數(shù)指標(biāo)或質(zhì)量指標(biāo)，它們綜合地反映出對(duì)象的質(zhì)量，人們就是根據(jù)這些因素給對(duì)象評(píng)價(jià)。（2）建立評(píng)判集VV1 ,V2 ,Vm 。例如對(duì)工業(yè)產(chǎn)品，評(píng)判集就是等級(jí)的集合。（3）建立單因素評(píng)判。即建立一個(gè)從U 到 F (V ) 的模糊映射f : UF(V),ui Uuif (ui )ri1ri 2rim(0 rij1, 1 i n, 1j m)V1V2Vm由 f可誘導(dǎo)出模糊關(guān)系R ，得到單因素評(píng)判矩陣r11r12r1mRr21r 22r2 mrn1rn 2rnm（4）確定權(quán)重。由于對(duì)

4、U 中各因素有不同的側(cè)重，需要對(duì)每個(gè)因素賦予不同的權(quán)重，它可表示n為 U 上的一個(gè)模糊子集A a1 , a2 ,an ，并且規(guī)定ai1。i1（5）綜合評(píng)判。在 R 與 A 求出之后，則綜合評(píng)判為BA R ，記 B b1 ,b2 , , bm ，它是 V上的模糊子集。其中nb j(airij) ( j 1,2, m)i 1m如果評(píng)判結(jié)果b j1 ，應(yīng)將它歸一化。j 1在模糊綜合評(píng)判的上述步驟中，建立單因素評(píng)判矩陣R 和確定權(quán)重分配A ，是兩項(xiàng)關(guān)鍵性的工作，沒(méi)有統(tǒng)一的格式可以遵循，一般采用統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)或?qū)＜以u(píng)分等方法求出。二、應(yīng)用實(shí)例例1對(duì)教師教學(xué)質(zhì)量的綜合評(píng)判。設(shè)因素集U u1 , u2 ,u3 ,

5、 u4 , u5 這里 u1 為教材熟練， u2 為邏輯性強(qiáng)， u3 為啟發(fā)性強(qiáng)， u4為語(yǔ)言生動(dòng)， u5 為板書(shū)整齊。設(shè)評(píng)價(jià)集V V1 ,V2 ,V3,V4 這里 V1 為很好， V2 為較好， V3 為一般， V4 為不好。通過(guò)調(diào)查統(tǒng)計(jì)得出對(duì)某教師講課各因素的評(píng)語(yǔ)比例如下：V1V2V3V4u10.450.250.20.1u20.50.40.10u30.30.40.20.1u40.40.40.10.1u50.30.50.10.1因而得出單因素評(píng)判矩陣0.450.250.20.10.50.40.10R0.30.40.20.10.40.40.10.10.30.50.10.1假定確定權(quán)重分配為A(

6、0.3,0.2, 0.2 , 0.2, 0.1)得出綜合評(píng)判如下BAR(0.3 , 0.25 , 0.2 , 0.1)對(duì)結(jié)果進(jìn)行歸一化B0.3, 0.25 ,0.2, 0.1(0.35 , 0.29 , 0.24 , 0.12)0.850.850.850.85評(píng)判結(jié)果表明， 對(duì)該教師的課堂教學(xué)認(rèn)為“很好” 的占 35%，“較好” 的占 29%，“一般” 的占 24%，“不好”的占 12% ，根據(jù)最大隸屬原則，結(jié)論是“很好”例 2 評(píng)判某地區(qū)是否適宜種植橡膠。給定三個(gè)對(duì)橡膠生長(zhǎng)影響較大的氣候因素作為因素集，即 Uu1 , u2 ,u3 。這里u1 為年平均氣溫，u2 為年極端最低氣溫，u3 為年

7、平均風(fēng)速。 再給定評(píng)價(jià)集VV1 ,V2 ,V3 ,V4 ，這里V1 為很適宜， V2 為較適宜， V3 為適宜， V4 為不適宜。根據(jù)歷年的資料和經(jīng)驗(yàn)，選定類似戒上型的隸屬函數(shù)，即對(duì)于年平均氣溫u11,u1231 (u1 )12 , 0u1 231 a1 (u123)其中 a1 為參數(shù)，一般取 a1 0.0625。對(duì)于年極端最低溫度 u21 ,u282 (u2 )12,4u2 81 a2 (8 u2 )其中 a2 為參數(shù)，一般取 a20.0833 。對(duì)于年平均風(fēng)速u31 ,u313 (u3 )12 ,u311 a3 (u3 1)其中 a2 為參數(shù)，一般取 a30.8 /82 。將某地區(qū)自 19

8、60 年至 1978 年間每年對(duì)三個(gè)氣候因素實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù),分別代入上面三個(gè)隸屬函數(shù)公式，求出當(dāng)年該因素的隸屬度列于下表：年份年平均氣溫年最低氣溫年平均風(fēng)速19600.890.670.5519610.910.670.5519620.850.750.5019630.930.620.5019640.890.680.5519650.920.710.7119660.940.690.6619670.800.570.6019680.880.650.7119690.850.670.6619700.850.720.8319710.800.620.6019720.910.640.6019730.930.590.71

9、19740.850.580.7119750.910.610.6619760.810.710.6619770.880.610.7819780.920.700.83對(duì)隸屬度的大小給予分類，即規(guī)定（1）當(dāng)0.9 時(shí)，為“很適宜” ；（ 2）當(dāng) 0.90.8 時(shí)，為“較適宜” ；（ 3）當(dāng) 0.80.7 時(shí)，為“適宜” ；（4）當(dāng)0.7 時(shí)，為“不適宜” 。以單因素 u1為例，該地區(qū)在 19 年中“很適宜”的年份有8 年，占總數(shù)的42%，“較適宜”的年份有 11 年，占58%，其他兩種均無(wú)，占0%，于是得到對(duì) u1 而言 V 上的模糊集u10.420.5800V1V2V3(0.42 , 0.58 ,

10、0 , 0)V4同理可得相對(duì)其它兩個(gè)因素的模糊集u2(0 , 0 , 0.26 , 0.74) ， u3 (0 , 0.11 , 0.26 , 0.63) 。從而建立了單因素評(píng)判矩陣0.420.5800R000.260.7400.110.260.63根據(jù)三個(gè)氣候因素的作用，給定權(quán)重分配為A(0.19, 0.80, 0.01)得出綜合評(píng)判如下BA R(0.19 , 0.19 , 0.26 , 0.74)對(duì)結(jié)果進(jìn)行歸一化B(0.14 , 0.14 , 0.19 , 0.53)根據(jù)最大隸屬原則，結(jié)論是判定該地區(qū)種植橡膠為“不適宜”。例 3污水處理廠運(yùn)行管理效果的綜合評(píng)判。為了評(píng)價(jià)污水處理廠經(jīng)營(yíng)管理的

11、優(yōu)劣，給定 5 個(gè)評(píng)判因素 U u1 , u2 ,u3 ,u4 , u5 。這里 u1為每天處理污水量（千噸/日）， u2 為五日生化需氧量BOD5 去除率（百分比） ， u3 為浮物 SS 去除率（百分比）， u4 為氣水比（處理一噸污水消耗的空氣量）（立方米 /噸）， u5 為單耗（用去一公斤BOD5 所耗電的度數(shù)） 。給出評(píng)價(jià)集 VV1 ,V2 ,V3 ,V4 ,V5 。這里 V1 為很好， V2 為好， V3 為中等， V4 為差， V5 為很差。根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行定級(jí)，以u(píng)1 為例，當(dāng) u118 時(shí)，定為“很好” ；18u117 時(shí)定為“好”等等，對(duì)各因素定級(jí)的劃分見(jiàn)下表。很好好中等差

12、很差每天處理污水量18 以上17181617151615 以下五日生化需氧量 BOD5 去除率93 以上89938589808580 以下浮物 SS 去除率93 以上89938589808580 以下氣水比7 以下788991010 以上單耗0.9 以下0.91.01.01.11.11.21.2 以上對(duì)某污水處理廠多年運(yùn)行的大量實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)經(jīng)技術(shù)處理后，按每一旬得出各因素的平均值，見(jiàn)下表。u1u2u3u4u5u1u2u3u 4u511.680.381.98.900.9015.993.888.47.771.3011.180.178.57.800.9715.795.595.07.511.0012.09

13、1.088.07.200.8316.895.994.38.121.0512.490.284.87.400.8016.094.292.08.841.0212.089.987.47.200.7417.490.890.09.150.9413.091.490.27.300.7316.391.191.67.801.0614.995.491.37.700.7915.492.990.39.280.9513.994.392.77.290.8416.194.195.06.640.8114.195.192.28.220.7518.794.695.86.540.6617.395.992.57.740.8916.69

14、5.694.97.000.9417.495.993.86.690.7916.096.191.07.561.1317.391.489.36.220.6817.595.793.36.801.0818.487.683.67.150.6713.996.894.78.201.2415.881.482.46.690.8216.695.889.64.891.2513.787.887.57.390.7115.997.294.82.050.7916.687.684.48.300.8716.196.894.13.460.9815.594.789.87.880.9814.896.294.46.520.9515.99

15、4.592.87.241.1114.497.296.67.090.74根據(jù)上表建立單因素評(píng)判矩陣R ，例如對(duì)因素 u4 而言，總共36 次統(tǒng)計(jì)中它屬于V1 的次數(shù)為10，占總數(shù)的 28% ，因而 r410.28 ，其余類似可求，于是得到0.060.140.250.190.360.640.200.080.080R0.440.280.110.140.030.280.500.170.0600.500.200.140.060.10這是根據(jù)以往數(shù)據(jù)建立的評(píng)判矩陣，對(duì)今后每旬的運(yùn)行效果的評(píng)價(jià)，還須求出權(quán)重分配A ，各個(gè)因素對(duì)A 的隸屬度，用如下隸屬函數(shù)公式計(jì)算：（1） u1 對(duì) A 的隸屬函數(shù)1,u1 1

16、812 (u1 18)2,16.5u1 181(u1 )29(u1 15) 2,15u116.590, u115（2） u2 對(duì) A 的隸屬函數(shù)2 (u2 )（3） u3 對(duì) A 的隸屬函數(shù)3 (u3 )（4） u4對(duì) A 的隸屬函數(shù)4 (u 4 )1,u2932 u29321,86.5u2931322u280,80u286.5130,u2 801,u393u9323,86.5u3931 21322 u380,80u386.5130,u3801,u47u47212,7u48.5322u4310,8.5u4100,u4101,u50.921 2u50.9,0.9u5 1.050.3（5） u5 對(duì) A 的隸屬函數(shù)5 (u5 )2u51.2,1.05 u51.220.30,u51.2于是權(quán)重分配確定為 A( 1 (u1 ) ,2 (u2 ) ,3 (u3 ) ,4 (u4 ) ,5 (u5 ) 。根據(jù) BA R ，即可得出當(dāng)前運(yùn)行效果的綜合評(píng)判。例如該廠某月上旬的各項(xiàng)因素平均數(shù)據(jù)為：u1 =13.9 ， u 2 =96.8% ， u3 =94.7% ， u4 =8.2，u5 =