八年級軸對稱最短路徑問題

1、軸對稱：課題學習最短路徑問題（第1課時）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1 .內(nèi)容從生活中抽象出、轉(zhuǎn)化數(shù)學問題，利用軸對稱研究某些最短路徑問題.2 .內(nèi)容解析最短路徑問題在現(xiàn)實生活中經(jīng)常遇到，初中階段，主要以兩點之間，線段最短”連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”為知識基礎(chǔ)，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進行研究.本節(jié)課以數(shù)學史中的一個經(jīng)典問題一一將軍飲馬問題”為載體開展對最短路徑問題的課題研究，讓學生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為兩點之間，線段最短”或主角形兩邊之和大于第三邊”問題.二、教學目標和重難點知識與技能：利用兩點之間線段最短和軸

2、對稱知識解決簡單的最短路徑問題過程與方法：體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想情感態(tài)度與價值觀：體會數(shù)學與生活的關(guān)系，在小組合作學習中培養(yǎng)數(shù)學的興趣重難點：會用轉(zhuǎn)化思想解決簡單的最短路徑問題三、教學問題診斷分析最短路徑問題從本質(zhì)上說是最值問題，作為初中學生，在此前很少在幾何中涉及最值問題，解決這方面問題的數(shù)學經(jīng)驗尚顯不足，特別是面對具有實際背景的最值問題，更會感到陌生，無從下手.解答當點A,B在直線l的同側(cè)時，如何在l找到點C,使AC與CB的和最小”，需要將其轉(zhuǎn)化為直線l異側(cè)的兩點，與l上的點的線段和最小值問題”，為什么需要這樣轉(zhuǎn)化、怎樣通過軸對稱實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，一些學生會存在理解上和

3、操作上的困難.在證明最短”時，需要在直線上任取一點（與所求作的點不重合），證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路和方法，一些學生想不到.教學時，教師可以讓學生首先思考直線l異側(cè)的兩點，與l上的點的線段和最小值問題”,為學生搭建腳手架”.在證明最短”時，教師要適時點撥學生，讓學生體會任意”的作用.本節(jié)課的教學難點是：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題.四、教學過程設(shè)計引言前面我們研究過一些關(guān)于兩點的所有連線中，線段最短”連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}.現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問題，本節(jié)將利用說學知識探究數(shù)學史中著

4、名的將軍飲馬問題1 .將實際問題抽象為數(shù)學問題問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學者，名叫海倫.有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖1中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地.到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？精通數(shù)學、物理學的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題.這個問題后來被稱為將軍飲馬問題你能將這個問題抽象為數(shù)學問題嗎?師生活動：學生回答將A,B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線（圖2）.（2）你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學問題嗎？師生活動：學生先互相交流，嘗試回答，并相互補充，最后達成共識：（

5、1）從A地出發(fā),到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A,B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程之和；（3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點.設(shè)C為直線l上的一個動點，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最小（圖3）.C設(shè)計意圖：讓學生將實際問題抽象為數(shù)學問題，即將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”.2 .嘗試解決數(shù)學問題問題2如圖3,點A,B在直線l的同側(cè)，點C是直線l上A的一個動點，當點C在l的什么位置時，AC與CB的和最?。繋熒顒樱簩W生獨立思考，互相交流，畫圖分析，并嘗l

6、試回答，相互補充.-B如果學生有困難，教師可作如下提示：圖4如圖4,點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點分別到點A與點B的距離和最短？（2）對于問題2,如何將點B移”到l的另一側(cè)B處，滿足直線l上的任意一點C,者B保持CB與CB的長度相等？你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到（2）中符合條件的點B'嗎?AB,與直線l相對于（1）,學生利用已經(jīng)學過的知識，很容易解決這個問題.即：連接交于一點，根據(jù)兩點之間，線段最短”，可知這個交點即為所求；對于（2）（3）,學生獨立思考后，嘗試畫圖，尋找符合條件的點，然后小組交流，學生代表匯報交流結(jié)果，師生共同補充.得出：只要作出

7、點B關(guān)于l的對稱點B',就可以滿足CB=CB（圖5）.再利用（1）的方法，連接AB',則AB'與直線l的交點即為所求.學生敘述，教師板書，并畫圖（圖5）,同時學生在自己的練習本上畫圖.作法：（1）作點B關(guān)于直線l的對稱點B'（2）連接AB',與直線l相交于點C.則點C即為所求.設(shè)計意圖：通過搭建臺階，為學生探究問題提供“腳手架”，將“同側(cè)”難于解決的問題轉(zhuǎn)化為“異側(cè)”容易解決的問題，滲透轉(zhuǎn)化思想.3.證明最短”問題3:你能用所學的知識證明AC+BC最短嗎？先小組討論十分鐘師生活動：師生共同分析，然后學生說明證明過程，教師板書:證明：如圖6,在直線l上任取

8、一點C'（與點C不重合）,連接AC,BC,B'C'由軸對稱的性質(zhì)知，BC=B'CBC=B'C'AC+BC=AC+B'(=AB',AC+BC=AC+B'C'在AB'計,AB'vAC+B'C'圖6B'AC+BCvAC+BC.追問1:證明AC+BC最短時，為什么要在直線l上任取一點C'（與點C不重合），證明即AC+BC最短.AC+BCvAC'+BC'?這里的C"'的作用是什么？師生活動：學生相互交流，教師適時點撥，最后達成共識：若直線l上任

9、意一點（與點C不重合）與A,B兩點的距離和都大于AC+BC,就說明AC+BC最小.設(shè)計意圖：讓學生進一步體會作法的正確性，提高邏輯思維能力.追問2:回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？師生活動：學生回答，并相互補充.設(shè)計意圖：讓學生在反思的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉(zhuǎn)化思想，豐富數(shù)學活動經(jīng)驗.練習如圖7,一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q,C處接游客，然后將游客送往河岸BC上，最后回到P處，請一、“山/河岸回出旅游船的最短路徑.Q師生活動：學生分析解題思路，并相互補充，然后獨立7PA大橋B完成畫圖.其基本思路為：由于兩點之間線段最短，所以首W圖7先可

10、連接PQ,線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路.將河岸抽象為一條直線BC,這樣問題就轉(zhuǎn)化為熏P,Q在直線BC的同側(cè)，如何在BC找到一點R,使PR與QR的和最小”.設(shè)計意圖：讓學生進一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法.4.小結(jié)教師與學生一起回顧本節(jié)課所學的主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題：（1）本節(jié)課研究問題的基本過程是什么?（2）軸對稱在所研究問題中起什么作用?設(shè)計意圖：引導學生把握研究問題的基本策略、基本思路和基本方法，體會軸對稱在解決最短路徑問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想的重要價值.5.思考題如圖，一牧民需要從P處把羊趕去草地吃草，后去水渠喝水，最后回到營地Q處，牧民該如何規(guī)劃路錢？水渠n設(shè)計意圖：這個問題學生們肯定有多種方案，讓他們課后自己討論，用自己的知識去說服別人，通過這種互相競爭的方式，培養(yǎng)他們對數(shù)學的興趣這節(jié)課知識點雖然比較單一，內(nèi)容也比較少，但是最短路徑問題也不是那么好理解的,要光靠講能講