初二等腰三角形講義

1、課題等腰三角形教學(xué)目的1、熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定2、熟練等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)3、會(huì)運(yùn)用性質(zhì)和判定解決實(shí)際問(wèn)題重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)難點(diǎn)：“三線合一”的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容基礎(chǔ)知識(shí)鞏固:1 .等腰三角形定義：有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形2 .等腰三角形的性質(zhì)：1 .有關(guān)定理及其推論定理：等腰三角形有兩邊相等；定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”推論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊，這就是說(shuō)，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。推論2:等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°。等腰三角形是以底邊的垂直平

2、分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形；2 .定理及其推論的作用等腰三角形的性質(zhì)定理揭示了三角形中邊相等與角相等之間的關(guān)系，由兩邊相等推出兩角相等，是今后證明兩角相等常用的依據(jù)之一。等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高、頂角的平分線“三線合一”的性質(zhì)是今后證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等以及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。3 .等腰三角形的判定:1 .有關(guān)的定理及其推論定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”。)推論1:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。推論2:有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3:在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30。，那么它所對(duì)的直

3、角邊等于斜邊的一半。2 .定理及其推論的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角與邊的轉(zhuǎn)化關(guān)系，它是證明線段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)，是本節(jié)的重點(diǎn)。3 .等腰三角形中常用的輔助線等腰三角形頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線常常作為解決有關(guān)等腰三角形問(wèn)題的輔助線，由于這條線可以把頂角和底邊折半，所以常通過(guò)它來(lái)證明線段或角的倍分問(wèn)題，在等腰三角形中，雖然頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)需要作頂角的平分線，有時(shí)則需要作高或中線，這要視具體情況來(lái)定?！局R(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)單運(yùn)用】例1、如圖，在ABC中，ABAC

4、,D在AC上，且BDBCAD,求4ABC各角的度數(shù)。練習(xí)：1、如圖ABC是等腰直角三角形(AB=AC,ZBAC=90°),AD是底邊BC上的高，標(biāo)出/B,/C,/BAD,/DAC的度數(shù)，圖中有哪些相等的線段2、如圖，在ABC中，AB=AD=DC,/BAD=26°.求/B和/C的度數(shù)。例2:求證：如果三角形的一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。（寫(xiě)出已知和求證，畫(huà)出圖形）隨堂練習(xí):1.如圖1,在ABC中，AB=AC,ZA=50°,BD為/ABC的平分線，則/BDC=度.（P運(yùn)動(dòng)1+/2=2 .如圖2,一個(gè)頂角為40。的等腰三角形紙片，剪去

5、頂角后，得到一個(gè)四邊形，則/3 .等腰ABC的底邊BC=8cm,腰長(zhǎng)AB=5cm,一動(dòng)點(diǎn)P在底邊上從點(diǎn)B開(kāi)始向點(diǎn)C以秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)絇A與腰垂直的位置時(shí)，點(diǎn)P?!動(dòng)的時(shí)間應(yīng)為【例題經(jīng)典】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)尋求規(guī)律例1.在ABC中，AB=AC,/1=L/ABC,/2=1ZACB,BD與CE相交于點(diǎn)O,N22的大小有什么關(guān)系若/1=1/ABC,/2=1/ACB,則/BOC與/A大小關(guān)系如何33若/1=1/ABC,/2=1/ACB,則/BOC與/A大小關(guān)系如何nn練習(xí)：如圖，在F列三角形中若AB=AC,則能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形的是_如圖，/BOC的大小與/AoCBCBCB會(huì)用等腰三角形

6、的判定和性質(zhì)計(jì)算與證明例2.如圖，等腰二角形ABC中，AB=AC,一腰上的中線BD?將這個(gè)等腰二角形周長(zhǎng)分成三角形的腰長(zhǎng)及底邊長(zhǎng).練習(xí)：1、如圖，在ABC中，AB=AC,ZBAD=20?°,且AE=?AD,則/CDE=15和6兩部分，求這個(gè)A2、同學(xué)們都玩過(guò)蹺蹺板的游戲.如圖11所示，？是一蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直，OA=OB.當(dāng)蹺蹺板的一頭A著地時(shí)，/OAC=25°,?則當(dāng)蹺蹺板的另一頭B著地時(shí)，/AOA1等于()A.25°B,50°C.60°D,130°利用等腰三角形的性質(zhì)證線段或角相等例3.如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)

7、的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PRPC,?以BP為邊作/PBQ=60°,且BQ=BP,連結(jié)CQ.(1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(2)若PAPB:PC=3:4:5,連結(jié)PQ,試判斷PQC的形狀，并說(shuō)明理由.練習(xí)：已知：如圖所示,BDECDE.ABC,ACB的平分線交于F,過(guò)F作DEBC,交AB于D,交AC于E.求證:例4:如圖，ABC中，AD平分/BAC,BP±AD于P,AB=5,BP=2,AC=9。求證：/ABP=2ZACBoBDC練習(xí)：1、如圖，ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O,?給出下列三個(gè)條件：/EBO=ZDCO;/BEO=Z

8、CDQBE=CD(1)上述三個(gè)條件中，哪兩個(gè)條件可判定ABC是等腰三角形(用序號(hào)寫(xiě)出所有情形)；(2)選擇第(1)小題中的一種情況，證明ABC是等腰三角形.2、如圖，AD=BC,AC=BD求證EAB是等腰三角形。實(shí)際應(yīng)用:上午8時(shí)，一條船從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向正北航行，10時(shí)到達(dá)海島B處，從A,B望燈塔C,測(cè)得/NAC=42°,/NBC=84°.求從海島B到燈塔C的距離。練習(xí)：要在離地面料，則在庫(kù)存的A. LiB.5m處引拉線固定電線桿，？使拉線和地面成60。角，若考慮既要符合設(shè)計(jì)要求，又要節(jié)省材Li=,L2L2=,L3=,L4=10m的四種備用拉線材料中，拉

9、線AC最好選用（C. L3D. L4典型題目練習(xí):1、如圖，/BAC=ZABD,AC=BD,點(diǎn)O是AD、BC的交點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)。試判斷OE和AB的位置關(guān)系，并給予證明。2、如圖，ABC中，/ABC=50°,/ACB=80°,延長(zhǎng)CB至D,使DB=BA,延長(zhǎng)BC至E,使CE=CA連接AD、AE。求/D,/E,/DAE的度數(shù)。(2)3、如圖，AD是ABC的角平分線，DE,DF分別是ABD和ACD的高，求證AD垂直平分EF(3)4、如圖，已知在等邊三角形ABC中，D是AC的中點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CD,DMBC,垂足為M。求證：M是BE的中點(diǎn)。5、如圖，4ACD

10、和4BCE都是等腰直角三角形，/ACD-ZBCE=90°,AE交DC于F,BD分別交CEAE于點(diǎn)G、H.試猜測(cè)線段AE和BD的位置和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由起發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的美!等腰三角形有時(shí)作為隱含的挑揀出現(xiàn)在題目中，需要我們能夠識(shí)別出來(lái)，下面列出五種常見(jiàn)的情形:OC為/AOB的平分線,CD/OB于AO于點(diǎn)D,則ODC是等腰三角形。想一想：為什么C是線段AB的垂直平分線上的一點(diǎn)，則4ABC是等腰三角形，其中想一想，為什么AC=BCABC中，AB=ACDEBC貝ADE為等腰三角形。想一下，相等的兩腰為什么ABC中，OC為/AOB的平分線，D是OB上一點(diǎn)，DC，OC于C,延長(zhǎng)DC交OA于E,則DOE是等腰三角形，其中OD=OE,DC=EC想一想，為什么ABC中，AB=AC,BD平分/ABC,ZABD=36°,則圖中共有三對(duì)等腰三角形，哪三對(duì)頂點(diǎn)為36。的等腰