《高等數(shù)學(xué)教學(xué)資料》第三節(jié) 留數(shù)在計算積分上的應(yīng)用

1、編輯ppt3 留數(shù)在計算積分上的應(yīng)用留數(shù)在計算積分上的應(yīng)用一、計算圍道積分一、計算圍道積分 例1：計計算算積積分分 3316111zCzsinzIe Imz(z) cosdz,zz (z) 其其中中積積分分曲曲線線C取取正正向向圓圓周周 2z. 解解: :3322216111zzzzzsinzIe Imzdz(z) cosdzdzzz (z) 123III . 編輯ppt計算1I時，12Imz(zz )i 是不解析的,不能直接用Cauchy 積分定理。 但注意到在圓周2z 上，244zzz,zz, 故 12212zzzzIe Im zdze ( zz )dzi 2212zzzzze dzze

2、dzi 21402zzedziz 012442i ( e ).i 編輯ppt在在1z 的的去去心心鄰鄰域域，3111(z) cosz 的的 L La au ur re en nt t 展展開開式式為為 33241111111112141( z) cos( z) z! ( z)! ( z) 01(z) 332211616 21111zI(z) cosdzi Res(z) cos, zz 11121242iici.! 311111241(z)(z)! z 編輯ppt33332201111zzsinzzsinzzsinzIdziRes, Res, z (z)z (z)z (z) 因因0z 是是zsi

3、nz 的的三三級級零零點點也也是是31z (z) 的的三三級級零零點點， 故故0z 是是31zsinzz (z) 的可去奇點，所以的可去奇點，所以 3001zsinzRes, ,z (z) 又又1z 是是31zsinzz (z) 的的一一級級極極點點，所所以以 3311111( z)zsinzzsinzRes, sin ,z (z)z 于于是是 32011211Ii(sin )i(sin ). 5421142122iIi(sin )(sin ) i. 編輯ppt二、計算形如二、計算形如 的積分的積分這這雖雖然然是是一一種種沿沿實實軸軸上上區(qū)區(qū)間間0 2 , 的的定定積積分分，我我們們將將通通過

4、過適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡淖冏儞Q換把把它它化化為為圍圍道道積積分分。 20(cos ,sin )d 令令ize ，則，則 idzie dizd , 即即 dzd,iz 2211112221111222iiiizcos(ee)(z);zzzsin(ee)(z);iiziz 02 映為映為 1z 。故。故 2220111122zzz(cos ,sin)d(,)dz.ziziz 編輯ppt例例2 2：計計算算積積分分220211 2cosId ( p).pcosp 解解：令令ize , 則2222111222iicoseez,z 故 2212111211122z(z)zIdzizp(z)pz 421121zzd

5、z.iz (pz)(zp) 被被積積函函數(shù)數(shù)有有三三個個極極點點10z, p,p 其其中中0z 是是二二級級極極點點，zp 和和1zp 是是一一級級極極點點。 編輯ppt( (1 1) )若若1p ，則則被被積積函函數(shù)數(shù)在在1z 內(nèi)內(nèi)部部只只有有兩兩個個孤孤立立奇奇點點0z 和和zp ，由由留留數(shù)數(shù)定定理理 442211202121zzIiRes, Res,piz (pz)(zp)iz (pz)(zp) 42201221zdzi limzdziz (pz )(zp) 42121zpzlim(zp)iz (pz)(zp) 24222112221ppiipip (p ) 2221p.p 編輯ppt

6、( (2 2) )若若1p ，則則被被積積函函數(shù)數(shù)在在1z 內(nèi)內(nèi)部部只只有有兩兩個個孤孤立立奇奇點點0z 和和1zp ，而而zp 這這時時已已在在單單位位圓圓外外。 由由留留數(shù)數(shù)定定理理 4422111202121zzIiRes, Res,iz (pz)(zp)iz (pz)(zp) p 24222112221ppiipip ( p) 2221.p ( p) 編輯ppt【注記】【注記】 還可利用外域的留數(shù)定理計算上述積分，還可利用外域的留數(shù)定理計算上述積分， 當(dāng)當(dāng) 1p 時，時， 44221122121zzIiRes,pRes,iz (pz)(zp)iz (pz)(zp) 2422211222

7、1ppiipip (p ) 2221.p ( p) 編輯ppt201.53sind 練練習(xí)習(xí)： 計計算算積積分分編輯ppt三、計算形如三、計算形如 的積分的積分( )f x dx 編輯ppt例例3：計算積分計算積分22222000 xIdx,(a,b).(xa )(xb ) 因因被被積積函函數(shù)數(shù)是是偶偶函函數(shù)數(shù), ,故故 22222zf(z)(za )(zb ) 在實軸上沒有奇點在實軸上沒有奇點, , 42m,n. f(z) 有四個一級極點有四個一級極點: : zai,zbi, 但在上半平面只但在上半平面只 有有兩個兩個: : zai,zbi. 解：解：2222212xIdx.( xa )(

8、xb ) 編輯ppt2222222222122zzIiRes,aiRes,bi(za )(zb )(za )(zb ) 2222222222(z ai )(z bi )zzi(za )(zb )(za )(zb ) 222222abii(ab )i(ba ) 2.( ab ) 編輯ppt221.(1)dxx 練練習(xí)習(xí)： 計計算算積積分分編輯ppt四、計算形如四、計算形如 的積分的積分 ( )(0)ixf x edx 02ki xi znnkImzmmP (x)P (z)edxiRese,z .Q (x)Q (z) 編輯ppt 因為因為 i xnnmmP (x)P (x)cos xdxReedxQ (x)Q (x) 還可計算積分還可計算積分 nmP ( x )cosxdxQ ( x ) 和和nmP ( x )sinxdx.Q ( x ) i xnnmmP (x)P (x)sin xdxImedx.Q (x)Q (x) 編輯ppt例例4: 計計算算積積分分 2200 xsinxIdx(a).xa 這這里里 1210n,m, 解解: 函函數(shù)數(shù)22izzeza 在在上上半半平平面面有有一一個