數學建模3傳染病模型

1、傳染病模型傳染病模型 隨著衛(wèi)生設施的改善、醫(yī)療水平的提高以及人類文明的不斷發(fā)展，諸如霍亂、天花等曾經肆虐全球的傳染性疾病已經得到有效的控制。但是一些新的、不斷變異著的傳染病毒卻悄悄向人類襲來。20世紀80年代十分險惡的愛滋病毒開始肆虐全球，至今帶來極大的危害。長期以來，建立制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國有關專家和官員關注的課題。 不同類型傳染病的傳播過程有其各自不同的特點，弄清這些特點需要相當多的病理知識，這里不可能從醫(yī)學的角度一一分析各種傳染病的傳播，而只是按照一般的傳播模型機理建立幾種模型。 模型模型1 在這個最簡單的模型中，設時刻t的病人人數x(t)是連續(xù)、可微函數， 增加，就有病人

2、人數的到考察的人數為常數足使人致病接觸并且每天每個病人有效ttt)(ttxtxttx)()()(程有個病人，即得微分方時有再設00 xt ) 1 ()0(,dd0 xxxtx方程（1）的解為 )2()(0textx結果表明，隨著t的增加，病人人數x(t)無限增長，這顯然是不符合實際的。 建模失敗的原因在于：在病人有效接觸的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被傳染為病人，所以在改進的模型中必須區(qū)別這兩種人。 模型模型2（SI模型）模型） 假設條件為 1.在疾病傳播期內所考察地區(qū)的總人數N不變，即不考慮生死，也不考慮遷移。人群分為易感染者易感染者（Susceptible）和已感染者（

3、Infective）兩類（取兩個詞的第一個字母，稱之為SI模型），以下簡稱健康健康者者和病人病人。時刻t這兩類人在總人數中所占比例分別記作s(t)和i(t)。 2.每個病人每天有效接觸的平均人數是常數，稱為日接觸率日接觸率。當病人與健康者接觸時，使健康者受感染變?yōu)椴∪恕?的增加率，即有病人數就是個健康者被感染，于是有，所以每天共為變?yōu)椴∪?，因為病人數個健康者天可使根據假設，每個病人每NiNsititNstNits)()()()()3(ddNsitiN又因為 )4(1)()(tits，則病人的比例為再記初始時刻0)0(it )5()0(, )1 (dd0iiiiti)6(1111)(0teiti

4、方程（5）是Logistic模型。它的解為 所示。和圖的圖形如圖和21dd)(ititti，這個時刻為達最大值到時可知，第一，當式及圖由mtitiidddd2/11)6(),5()7(11ln01itm這時病人增加的最快，可以認為是醫(yī)院的門診量最大的一天，預示著傳染病高潮的到來，是醫(yī)療衛(wèi)生部門關注的時刻。 實際情況。病人，這顯然不符合人終將被傳染，全變?yōu)榧此袝r潮的到來。第二，當平可以推遲傳染病高保健設施、提高衛(wèi)生水以改善越小衛(wèi)生水平越高。所衛(wèi)生水平，表示該地區(qū)的成反比，因為日接觸率與,1ittm其原因是模型中沒有考慮到病人可以治愈，人群中的健康者只能變成病人，病人不會再變成健康者。 模型模型

5、3（SIS模型）模型） 有些傳染病如傷風、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定無免疫性，于是病人被治愈后變成健康者，健康者還可以被感染再變成病人，所以這個模型稱SIS模型。 SIS模型的假設條件1，2與SI模型相同，增加的條件為 3每天被治愈的病人數占病人總數的比例為常數，稱為日治愈率日治愈率，病人治愈后成為仍可被感染的健康者。顯然1/是這種傳染病的平均傳染期平均傳染期。 不難看出，考慮到假設3，SI模型的（3）式應修正為)8(ddNiNsitiN（4）式不變，于是（5）式應改為 )9()0(,)1 (dd0iiiiiti 我們不去求解方程（9）（雖然它的解可以解析地表出），而是通過圖形分析i(t)

6、的變化規(guī)律。定義 )10(注意到和1/的含義，可知是整個傳染期內每個病人有效接觸的平均人數，稱為接觸數接觸數。 利用，方程（9）可以改寫作 )11(11ddiiti。，圖圖的圖形再畫出，圖圖的圖形容易先畫出由方程)64()53(dd)11(tiiti不難看出，接觸數=1是一個閾值閾值。 過原來病人數的緣故。者變成的病人數不超經有效接觸從而使健康，這是由于傳染期內越來越小，最終趨于零時病人比例；當的含義給以解釋從試的增加而增加隨但其極限值），見圖的大小的增減性取決于時當)(1)(11)(4()(10tiiitiSI模型可視為本模型的特例，請讀者考慮它相當于本模型中或取何值的情況。 模型模型4（S

7、IR模型）模型） 大多數傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很強的免疫力，所以病愈的人即非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他們已經退出傳染系統(tǒng)。這種情況比較復雜，下面將詳細分析建模過程。 模型假設模型假設 1.總人數N不變。人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三類，稱SIR模型。三類人在總數N中占的比例分別記作s(t),i(t)和r(t)。 病人的日接觸率為，日治愈率為（與SI模型相同），傳染期接觸為 =/。模型構成模型構成由假設1顯然有 s(t)+i(t)+r(t)=1 (12) 根據條件2方程（8）仍然成立。對于病愈免疫的移出者而言有)13(ddNitrN方程（14）無法求出s(t) 和i(t)的解析解，我們先作數值計