高等數(shù)學(xué)第七章微分方程

1、微分方程 第七章yxfy求已知, )( 積分問題積分問題 yy求及其若干階導(dǎo)數(shù)的方程已知含, 微分方程問題微分方程問題 推廣 微分方程的基本概念 第一節(jié)引例引例 第七章 引例引例1. 一曲線通過點(diǎn)一曲線通過點(diǎn)(1,2) ,在該曲線上任意點(diǎn)處的在該曲線上任意點(diǎn)處的解解: 設(shè)所求曲線方程為設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式則有如下關(guān)系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C為任意常數(shù)為任意常數(shù))由由 得得 C = 1,.12 xy因此所求曲線方程為因此所求曲線方程為21xy由由 得得切線斜率為切線斜率為 2x , 求該曲線的方程求該曲線的方程 .引例引例2. 列車在平直路上以列車

2、在平直路上以sm20的速度行駛的速度行駛, 獲得加速度獲得加速度,sm4 . 02a求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解解: 設(shè)列車在制動(dòng)后設(shè)列車在制動(dòng)后 t 秒行駛了秒行駛了s 米米 ,已知已知4 . 0dd22ts,00ts200ddtts由前一式兩次積分由前一式兩次積分, 可得可得2122 . 0CtCts利用后兩式可得利用后兩式可得0,2021CC因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為tts202 . 02說明說明: 利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住能停住 , 以及制動(dòng)后行駛了多少路程以及制動(dòng)后行駛了多少路程 . 即求即求 s

3、 = s (t) .制動(dòng)時(shí)制動(dòng)時(shí)常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程(本章內(nèi)容本章內(nèi)容)0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 階階顯式顯式微分方程微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地一般地 , n 階常微分方程的形式是階常微分方程的形式是的的階階.分類分類或或,00ts 使方程成為恒等式的函數(shù)使方程成為恒等式的函數(shù). .通解通解 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)

4、的個(gè)數(shù)與方程) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 確定通解中任意常數(shù)的條件確定通解中任意常數(shù)的條件. .n 階方程的階方程的初始條件初始條件( (或初值條件或初值條件) ):的階數(shù)相同的階數(shù)相同. .特解特解21xy200ddtts引例引例24 . 022ddtsxxy2dd引例引例1 Cxy22122 . 0CtCts通解通解:tts202 . 0212 xy特解特解:微分方程的微分方程的解解 不含任意常數(shù)的解不含任意常數(shù)的解, 定解條件定解條件 其圖形稱為其圖形稱為積分曲線積分曲線. .例例1. 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)是微分方程是微分方程tkCtkCxsincos2

5、122ddtx的通解的通解,0Axt00ddttx的特解的特解 . 解解: 22ddtxt kkCsin22)sincos(212tkCtkCkxk2這說明這說明tkCtkCxsincos21是方程的解是方程的解 . 是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù),21,CC),(21為常數(shù)CCt kkCcos2102xk利用初始條件易得利用初始條件易得: ,1AC 故所求特解為故所求特解為tkAxcos,02C故它是方程的通解故它是方程的通解.并求滿足初始條件并求滿足初始條件 求所滿足的微分方程求所滿足的微分方程 .例例2. 已知曲線上點(diǎn)已知曲線上點(diǎn) P(x, y) 處的法線與處的法線與 x 軸交

6、點(diǎn)為軸交點(diǎn)為 QPQxyOx解解: 如圖所示如圖所示, yYy1)(xX 令令 Y = 0 , 得得 Q 點(diǎn)的橫坐標(biāo)點(diǎn)的橫坐標(biāo)yyxX,xyyx即即02 xyy點(diǎn)點(diǎn) P(x, y) 處的法線方程為處的法線方程為且線段且線段 PQ 被被 y 軸平分軸平分, 轉(zhuǎn)化 可分離變量微分方程 第二節(jié)解分離變量方程解分離變量方程 xxfyygd)(d)(可分離變量方程可分離變量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22 第七章 分離變量方程的解法分離變量方程的解法:xxfyygd)(d)(設(shè)設(shè) y (x) 是方程的解是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(

7、兩邊積分兩邊積分, 得得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(則有恒等式則有恒等式 方程方程的解滿足關(guān)系式的解滿足關(guān)系式。則有則有設(shè)左右兩端的原函數(shù)分別為設(shè)左右兩端的原函數(shù)分別為 G(y), F(x), 分離變量方程的解法分離變量方程的解法:xxfyygd)(d)(CxFyG)()(反之，當(dāng)反之，當(dāng)G(y)與與F(x) 可微且可微且 G (y) g(y) 0 時(shí)時(shí), 的隱函數(shù)的隱函數(shù) y (x) 是的解是的解. 稱為方程的稱為方程的隱式通解隱式通解, 或或通積分通積分.同樣同樣, 當(dāng)當(dāng) F (x) = f (x)0 時(shí)，時(shí)，由確定的隱函數(shù)由確定的隱函數(shù) x (y) 也是的解也是的解. 說

8、明由確定說明由確定例例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解的通解.解解: 分離變量得分離變量得xxyyd3d2兩邊積分兩邊積分xxyyd3d2得得13lnCxyCxylnln3即即13eCxy31eexC3exCy 1eCC令( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )或或說明說明: 在求解過程中在求解過程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解變形變形, 因此可能增、因此可能增、減解減解.( 此式含分離變量時(shí)丟失的解此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 )例例2. 解初值問題解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分離變量得分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得兩邊積分得Cxyln11lnl

9、n2即即Cxy12由初始條件得由初始條件得 C = 1,112xy( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )故所求特解為故所求特解為 1)0(y例例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu則則yu1故有故有uu2sin1即即xuuddsec2Cxutan解得解得Cxyx) 1tan( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )所求通解所求通解:練習(xí)練習(xí):.edd的通解求方程yxxy解法解法 1 分離變量分離變量xyxydedeCxyee即即01e)e(yxC( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1則故有故有uue1積分積分Cxuue1dCxuu)e1 (ln

10、( C 為任意常數(shù)為任意常數(shù) )所求通解所求通解:Cyyx)e1(lnuuuude1e)e1 (積分積分例例4. 子的含量子的含量 M 成正比成正比,0M求在求在衰變過程中鈾含量衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時(shí)間隨時(shí)間 t 的變化規(guī)律的變化規(guī)律. 解解: 根據(jù)題意根據(jù)題意, 有有)0(ddMtM00MMt(初始條件初始條件)對方程分離變量對方程分離變量, MMd,lnlnCtM得即即tCMe利用初始條件利用初始條件, 得得0MC 故所求鈾的變化規(guī)律為故所求鈾的變化規(guī)律為.e0tMM然后積分然后積分:td)(已知已知 t = 0 時(shí)鈾的含量為時(shí)鈾的含量為已知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變原已

11、知放射性元素鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變原M0MtO例例5.成正比成正比,求求解解: 根據(jù)牛頓第二定律列方程根據(jù)牛頓第二定律列方程tvmdd00tv初始條件為初始條件為對方程分離變量對方程分離變量,mtvkmgvdd然后積分然后積分 :得得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此處利用初始條件利用初始條件, 得得)(ln1gmkC代入上式后化簡代入上式后化簡, 得特解得特解并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)( t = 0 ) 速度為速度為0,)e1 (tmkkgmvmgvk設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度設(shè)降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系

12、降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系. kgmv t 足夠大時(shí)足夠大時(shí)m1例例6. 有高有高 1 m 的半球形容器的半球形容器, 水從它的底部小孔流出水從它的底部小孔流出,.cm12S開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水,從小孔流出過程中從小孔流出過程中, 容器里水面的高度容器里水面的高度 h 隨時(shí)間隨時(shí)間 t 的變的變r(jià)解解: 由水力學(xué)知由水力學(xué)知, 水從孔口流出的流量為水從孔口流出的流量為tVQddhgSk2即即thgSkVd2d求水求水小孔橫截面積小孔橫截面積化規(guī)律化規(guī)律.流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截面面積孔口截面面積重力加速度重力加速度設(shè)在設(shè)在d,ttt內(nèi)水面高度由內(nèi)水面高度由 h 降到降到

13、),0d(dhhhhhdhhO對應(yīng)下降體積對應(yīng)下降體積hrVdd222)1 (1hr22hh 2d(2)dVhhh 因此得微分方程定解問題因此得微分方程定解問題:22d(2)dkSgh thhh 10th將方程分離變量將方程分離變量:3122d(2)d2thhhk Sg m1rhhdhhO兩端積分兩端積分, 得得2tk Sg 2334( h)5225Ch 利用初始條件利用初始條件, 得得,1514C則得容則得容10th器內(nèi)水面高度器內(nèi)水面高度 h 與時(shí)間與時(shí)間 t 的關(guān)系的關(guān)系:(s)737101(10068. 125234hht可見水流完所需時(shí)間為可見水流完所需時(shí)間為(s)10068. 14

14、tm1rhhdhhO 因此因此352214103(1)77152thhk Sg代入上式，以224sm8 . 9,m10,62. 0gSk內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分方程的概念微分方程的概念微分方程微分方程;定解條件定解條件;2. 可分離變量方程的求解方法可分離變量方程的求解方法:說明說明: 通解不一定是方程的全部解通解不一定是方程的全部解 .0)(yyx有解有解后者是通解后者是通解 , 但不包含前一個(gè)解但不包含前一個(gè)解 .例如例如, 方程方程分離變量后積分分離變量后積分; 根據(jù)定解條件定常數(shù)根據(jù)定解條件定常數(shù) .解解; 階階;通解通解; 特解特解 y = x 及及 y = C 找出事物的共性及可

15、貫穿于全過程的規(guī)律列方程找出事物的共性及可貫穿于全過程的規(guī)律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根據(jù)幾何關(guān)系列方程根據(jù)幾何關(guān)系列方程 ( 如如: P298 題題5(2) ) 2) 根據(jù)物理規(guī)律列方程根據(jù)物理規(guī)律列方程3) 根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程根據(jù)微量分析平衡關(guān)系列方程(2) 利用反映事物個(gè)性的特殊狀態(tài)確定定解條件利用反映事物個(gè)性的特殊狀態(tài)確定定解條件.(3) 求通解求通解, 并根據(jù)定解條件確定特解并根據(jù)定解條件確定特解. 3. 解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟解微分方程應(yīng)用題的方法和步驟思考與練習(xí)思考與練習(xí) 求下列方程的通解求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提

16、示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1) 分離變量分離變量(2) 方程變形為方程變形為yxysincos2Cxysin22tanln作業(yè)P 298 5(1); 6P 304 1 (1) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 6齊次方程 第三節(jié) 第七章 一、齊次方程一、齊次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齊次方程齊次方程 .令,xyu ,xuy 則代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分, 得xxuuud)(d積分后再用xy代替 u, 便得原方程的通解.解法:分離變量: 例例1. 解微分方程.tanxyxyy解解:

17、,xyu 令,uxuy則代入原方程得uuuxutan分離變量xxuuuddsincos兩邊積分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解為xCxysin( 當(dāng) C = 0 時(shí), y = 0 也是方程的解)( C 為任意常數(shù) )0C此處例例2. 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程變形為,xyu 令則有22uuuxu分離變量xxuuudd2積分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原變量得通解即Cuux )1(yCxyx)(說明說明: 顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但

18、在(C 為任意常數(shù))求解過程中丟失了. x由光的反射定律:可得 OMA = OAM = 例例3. 探照燈的聚光鏡面是一張旋轉(zhuǎn)曲面, 它的形狀由)0()(:yxfyL解解: 將光源所在點(diǎn)取作坐標(biāo)原點(diǎn), 并設(shè)入射角 = 反射角xycotxyy22yxOMTMAPy能的要求, 在其旋轉(zhuǎn)軸 (x 軸)上一點(diǎn)O處發(fā)出的一切光線，從而 AO = OMOPAP xOy 坐標(biāo)面上的一條曲線 L 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成 , 按聚光性而 AO 于是得微分方程 : xyy22yx yO經(jīng)它反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行. 求曲線 L 的方程.21ddyxyxyx, vyx 則,yxv 令21ddvyvyyvyvyxddddCyv

19、vlnln)1(ln2積分得故有1222CvyCy, xvy代入得)2(22CxCy (拋物線)221)(vvCyCyvv21故反射鏡面為旋轉(zhuǎn)拋物面.于是方程化為(齊次方程) yxAO頂?shù)降椎木嚯x為 h ,hdC82說明說明:)(222CxCy2,2dyhCx則將這時(shí)旋轉(zhuǎn)曲面方程為hdxhdzy1642222hd若已知反射鏡面的底面直徑為 d ,代入通解表達(dá)式得)0,(2C一階線性微分方程 第四節(jié) 第七章 一、一階線性微分方程一、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 稱為非齊次方程非齊次方程 .1. 解齊

20、次方程分離變量xxPyyd)(d兩邊積分得CxxPylnd)(ln故通解為xxPCyd)(e稱為齊次方程齊次方程 ;xxPCyd)(e對應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解xxPCd)(e2. 解非齊次方程)()(ddxQyxPxy用常數(shù)變易法常數(shù)變易法:,e)()()(xxPxuxyd則xxPud)(e)(xPxxPud)(e)(xQ故原方程的通解xxQxxPxxPde)(ed)(d)(CxxQyxxPxxPde)(ed)(d)(y即即作變換xxPuxPd)(e)(xxPxQxud)(e)(ddCxxQuxxPde)(d)(兩端積分得例例1. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解

21、: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy積分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常數(shù)變易法常數(shù)變易法求特解.,) 1()(2xxuy則) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解為Cxxy232) 1(32) 1(令在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0例例2. 有一電路如圖所示, ,sintEEm電動(dòng)勢為電阻 R 和電. )(tiLERQ解解: 列方程 .已知經(jīng)過電阻 R 的電壓降為R i 經(jīng)過 L的電壓降為tiLdd因此有,0ddiRtiLE即LtEiLRtimsindd初始條件: 00ti由回路電壓定律:其中

22、電源求電流感 L 都是常量,解方程:LtEiLRtimsindd00tiCxxQeyxxPxxPdd)(d)(e)(由初始條件: 00ti得222LRLECm)(ti tLRdetLEmsintLRmCtLtRLREe)cossin(222ttLRdedC利用一階線性方程解的公式可得LERQtLRmLRLEtie)(222)cossin(222tLtRLREmtLRmLRLEtie)(222)sin(222tLREm暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流則令,arctanRL因此所求電流函數(shù)為解的意義: LERQ),(yxfy 可降階高階微分方程 第五節(jié))()(xfyn),(yyfy 第七章 一、一、)()(xfy

23、n令,) 1( nyz)(ddnyxz則因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通過 n 次積分, 可得含 n 個(gè)任意常數(shù)的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 例例1. .cose2xyx 求解解解: 12dcoseCxxyx 12sine21Cxxxy2e41xy2e811121CC此處xsin21xC32CxCxcos21CxCtFO,00tx例例2. 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)受力F 的作用沿 Ox 軸作直線運(yùn)動(dòng),在開始時(shí)刻,)0(0FF隨著時(shí)間的增大 , 此力 F 均勻地減直到 t = T 時(shí) F

24、(T) = 0 . 如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn), 解解: 據(jù)題意有)(dd22tFtxm0dd0ttx)1(0TtFt = 0 時(shí)設(shè)力 F 僅是時(shí)間 t 的函數(shù): F = F (t) . 小,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 初速度為0, 且對方程兩邊積分, 得 )(tF)1(dd022TtmFtx0FT120)2(ddCTttmFtx利用初始條件, 01C得于是)2(dd20TttmFtx兩邊再積分得2320)62(CTttmFx再利用00tx, 02C得故所求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為)3(2320TttmFx0dd0ttx),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設(shè), )(xpy ,py 則原方程化為一階方程),(px

25、fp 設(shè)其通解為),(1Cxp則得),(1Cxy再一次積分, 得原方程的通解21d),(CxCxy二、二、例例3. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 設(shè),py 則代入方程得pxpx2)1(2分離變量)1(d2d2xxxpp積分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy兩端再積分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解為例例4. 繩索僅受重力作用而下垂,解解: 取坐標(biāo)系如圖. 考察最低點(diǎn) A 到sg( : 密度, s :弧長)弧段重力大小按靜力平衡條件, 有,cosHTsa1

26、tanMsg)(gHa其中sgTsinyxyxd102a1故有211yay 設(shè)有一均勻, 柔軟的繩索, 兩端固定, 問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線 ? 任意點(diǎn)M ( x, y ) 弧段的受力情況: T A 點(diǎn)受水平張力 HM 點(diǎn)受切向張力T兩式相除得HAyxO211yya , aOA 設(shè)則得定解問題: , 0ayx0 0 xy),(xpy 令,ddxpy 則原方程化為pdxad1兩端積分得)1(lnshAr2ppp,shAr1Cpax0 0 xy由, 01C得則有axysh兩端積分得,ch2Cayax, 0ayx由02C得故所求繩索的形狀為axaych)ee(2axaxa懸懸 鏈鏈 線線a21

27、pMsgTHAyxO三、三、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 則xyypddddyppdd故方程化為),(ddpyfypp設(shè)其通解為),(1Cyp即得),(1Cyy分離變量后積分, 得原方程的通解21),(dCxCyy例例5. 求解.02 yyy代入方程得,0dd2 pyppyyyppdd即兩端積分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一階線性齊次方程)故所求通解為xCCy1e2解解:),(ypy 設(shè)xpydd 則xyypddddyppddM : 地球質(zhì)量m : 物體質(zhì)量例例6. 靜止開始落向地面, (不計(jì)空氣阻力). 解解: 如圖所示選取坐標(biāo)系.

28、 則有定解問題:22ddtym2yMmk,0lyt00ty,dd)(tyyv設(shè)tvtydddd22則tyyvddddyvvdd代入方程得,dd2yyMkvv積分得122CyMkv一個(gè)離地面很高的物體, 受地球引力的作用由 yRlO求它落到地面時(shí)的速度和所需時(shí)間122CyMkv,1122lyMkv,ddtyv yyllMkv2即tdyylyMkld2兩端積分得Mklt2,0lyt利用, 02C得因此有l(wèi)ylyylMkltarccos22lylyylarccos22C, 0000lyyvttt利用lMkC21得注意注意“”號(hào)號(hào)由于 y = R 時(shí),gy 由原方程可得MRgk2因此落到地面( y =

29、 R )時(shí)的速度和所需時(shí)間分別為lRlRRlglRtRyarccos212lRlRgvRy)(222ddtym,2yMmkyyllMkv2lylyylMkltarccos22yRlO內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 一階線性方程一階線性方程d( )( )dyP x yQ xx方法方法1 先解齊次方程先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法再用常數(shù)變易法.方法方法2 用通解公式用通解公式( ) d( ) de( )edP xxP xxyQ xxC內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)可降階微分方程的解法 降階法)(. 1)(xfyn逐次積分),(. 2yxfy 令, )(xpy xpydd 則),(. 3yyfy 令, )(ypy yp

30、pydd 則思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 方程)(yfy 如何代換求解 ?答答: 令)(xpy 或)(ypy 一般說, 用前者方便些. 均可. 有時(shí)用后者方便 . 例如,2)(eyy 2. 解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題 ?答答: (1) 一般情況 , 邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡便.(2) 遇到開平方時(shí), 要根據(jù)題意確定正負(fù)號(hào).作業(yè)作業(yè)P309 2 (2);P315 1 (3), (6); 2 (5);P323 1 (5), (7); 2 (3); 4 ( 雅各布第一 伯努利 ) 書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用, 伯努利伯努利(1654 1705)瑞士數(shù)學(xué)家, 位數(shù)學(xué)家. 標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率

31、半徑公式, 1695年 版了他的巨著猜度術(shù),上的一件大事, 而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孫三代出過十多 1694年他首次給出了直角坐 1713年出 這是組合數(shù)學(xué)與概率論史此外, 他對雙紐線, 懸鏈線和對數(shù)螺線都有深入的研究 .高階線性微分方程 第六節(jié)一、二階線性微分方程舉例一、二階線性微分方程舉例 第七章 一、二階線性微分方程舉例一、二階線性微分方程舉例 當(dāng)重力與彈性力抵消時(shí), 物體處于 平衡狀態(tài), 例例1. 質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運(yùn)動(dòng),xxO解解:阻力的大小與運(yùn)動(dòng)速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈

32、性力與阻取平衡時(shí)物體的位置為坐標(biāo)原點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖. 設(shè)時(shí)刻 t 物位移為 x(t).(1) 自由振動(dòng)情況.彈性恢復(fù)力物體所受的力有:(虎克定律)xcf成正比, 方向相反.建立位移滿足的微分方程.據(jù)牛頓第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令則得有阻尼自由振動(dòng)方程:0dd2dd222xktxntx阻力txRdd(2) 強(qiáng)迫振動(dòng)情況. 若物體在運(yùn)動(dòng)過程中還受鉛直外力作用，t pHFsin，令mHh 則得強(qiáng)迫振動(dòng)方程:t phxktxntxsindd2dd222求電容器兩兩極板間電壓 0ddiRCqtiLE例例2. 聯(lián)組成的電路, 其中R , L , C 為常數(shù) ,sintEEm

33、所滿足的微分方程 .cu解解: 設(shè)電路中電流為 i(t),的電量為 q(t) , 自感電動(dòng)勢為,LE由電學(xué)知,ddtqi ,CquCtiLELdd根據(jù)回路電壓定律:設(shè)有一個(gè)電阻 R , 自感L ,電容 C 和電源 E 串極板上 在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0q LERQCqi,ddtqi ,CquC,ddtiLEL0ddiRCqtiLELCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2022串聯(lián)電路的振蕩方程:22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin化為關(guān)于cu的方程:,ddtuCiC注意故有 q LERQCqi如果電容器充電后撤去電源 ( E = 0 ) , 則

34、得0dd2dd2022CCCututun 階線性微分方程階線性微分方程的一般形式為方程的共性 (二階線性微分方程)( )( )( )yP x yQ x yf x 可歸結(jié)為同一形式:)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn時(shí), 稱為非齊次方程 ; 0)(xf時(shí), 稱為齊次方程.復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 一階線性方程)()(xQyxPy通解:xxQxxPxxPde)(ed)(d)(xxPCyd)(e非齊次方程特解齊次方程通解Yy0)(xf )(11yCxP )(11yCxQ0證畢二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu))(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程0)()( yx

35、QyxPy的兩個(gè)解,也是該方程的解.證證:)()(2211xyCxyCy將代入方程左邊, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (疊加原理) )()(2211xyCxyCy則),(21為任意常數(shù)CC定理定理1.說明說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,)(1xy是某二階齊次方程的解,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy則為解決通解的判別問題, 下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與 線性無關(guān)概念. 定義定義:)(,),(),(21xyxy

36、xyn設(shè)是定義在區(qū)間 I 上的 n 個(gè)函數(shù),21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211則稱這 n個(gè)函數(shù)在 I 上線性相關(guān)線性相關(guān), 否則稱為線性無關(guān)線性無關(guān).例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它們在任何區(qū)間 I 上都線性相關(guān);又如，,12xx若在某區(qū)間 I 上,02321xkxkk則根據(jù)二次多項(xiàng)式至多只有兩個(gè)零點(diǎn) ,321,kkk必需全為 0 ,可見2,1xx故在任何區(qū)間 I 上都 線性無關(guān).若存在不全為不全為 0 的常數(shù)兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件充要條件:)(),(21xyxy線性相關(guān)存在不全為

37、0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 無妨設(shè))01k)(),(21xyxy線性無關(guān))()(21xyxy常數(shù)思考思考:)(),(21xyxy若中有一個(gè)恒為 0, 則)(),(21xyxy必線性相關(guān)相關(guān)0)()()()(2121xyxyxyxy(證明略)21, yy可微函數(shù)線性無關(guān)定理定理 2.)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)特解, )()(2211xyCxyCy數(shù)) 是該方程的通解.例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常數(shù),故方程的通解為xCxCysincos21(自證) 推論推論. nyyy,21若

38、是 n 階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 個(gè)線性無關(guān)解, 則方程的通解為)(11為任意常數(shù)knnCyCyCyxytan21y為任意常21,(CC則三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(* xy設(shè)是二階非齊次方程的一個(gè)特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 則是非齊次方程的通解 .證證: 將)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ)(*)(x

39、yxYy故是非齊次方程的解, 又Y 中含有兩個(gè)獨(dú)立任意常數(shù),例如例如, 方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21對應(yīng)齊次方程0 yy有通解因此該方程的通解為xxCxCysincos21證畢因而 也是通解 .定理定理 4.),2, 1()(mkxyk設(shè)分別是方程的特解,是方程),2, 1()()()(mkxfyxQyxPyk mkkyy1則)()()(1xfyxQyxPymkk 的特解. (非齊次方程之解的疊加原理) 定理3, 定理4 均可推廣到 n 階線性非齊次方程. 定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是對應(yīng)齊次方程的 n 個(gè)線性)(*)()()(2211xyxy

40、CxyCxyCynn無關(guān)特解, 給定 n 階非齊次線性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齊次方程的特解, 則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解常數(shù), 則該方程的通解是 ( ).321,yyy設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是對應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān) . (反證法可證)332231

41、1)()()(yyyCyyCC3322311)()()(yyyCyyCD例例4. 已知微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x個(gè)解,e,e,2321xxyyxy求此方程滿足初始條件3)0(, 1)0(yy的特解 .解解:1312yyyy與是對應(yīng)齊次方程的解, 且xxyyyyxx21312ee常數(shù)因而線性無關(guān), 故原方程通解為)(e)(e221xCxCyxxx代入初始條件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.ee22xxy故所求特解為有三 作業(yè)作業(yè) P 331 2， 3，4(1) 常系數(shù) 第七節(jié)齊次線性微分方程 基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程(代數(shù)方

42、程)之根轉(zhuǎn)化 第七章 二階常系數(shù)齊次線性微分方程:),(0為常數(shù)qpyqypy xrye和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得0e)(2xr qprr02qrpr稱為微分方程的特征方程特征方程,1. 當(dāng)042qp時(shí), 有兩個(gè)相異實(shí)根,21r ,r方程有兩個(gè)線性無關(guān)的特解:,e11xry ,e22xry 因此方程的通解為xrxrCCy21ee21( r 為待定常數(shù) ),xrre,函數(shù)為常數(shù)時(shí)因?yàn)樗粤畹慕鉃?則微分其根稱為特征根特征根.),(0為常數(shù)qpyqypy 特征方程02qrpr2. 當(dāng)042qp時(shí), 特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根21rr 則微分方程有一個(gè)特解)(12xuyy 設(shè)另一特解( u (x)

43、待定)代入方程得:e1xr)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 則得,e12xrxy 因此原方程的通解為xrxCCy1e)(21,2p.e11xry )(e1xuxr0)()2(1211 uqrprupru),(0為常數(shù)qpyqypy 特征方程02qrpr3. 當(dāng)042qp時(shí), 特征方程有一對共軛復(fù)根i,i21rr這時(shí)原方程有兩個(gè)復(fù)數(shù)解:xy)i(1e)sini(cosexxxxy)i(2e)sini(cosexxx 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解:)(21211yyy)(21i212yyyxxcosexxsine因此原方程

44、的通解為)sincos(e21xCxCyx小結(jié)小結(jié):),(0為常數(shù)qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 實(shí)根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .若特征方程含 k 重復(fù)根,ir若特征方程含 k 重實(shí)根 r , 則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng)xrkkxCxCCe)(121xxCxCCkkxcos)( e121sin)(121xxDxDDkk則其通解中必含對應(yīng)項(xiàng))(01) 1(1)(均為常數(shù)knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnarar

45、ar),(均為任意常數(shù)以上iiDC推廣推廣:例例1. 032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解為xxCCy321ee例例2. 求解初值問題0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解為ttCCse)(21利用初始條件得, 41C于是所求初值問題的解為ttse)24(22C例例3.xxO解解:質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,在無外力作用下做自由運(yùn)動(dòng),初始求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 ,0v速度為. )(txx 立坐標(biāo)系如圖, ,0 xx 設(shè) t = 0 時(shí)物體的位置為取

46、其平衡位置為原點(diǎn)建 00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2因此定解問題為由第六節(jié)例1 (P323) 知, 位移滿足方程:22ddtx02xk特征方程:, 022 krkri2,1特征根:tkCtkCxsincos21利用初始條件得:,01xC 故所求特解:tkkvtkxxsincos00A)sin(tkA0 xkv0方程通解:1) 無阻尼自由振動(dòng)情況無阻尼自由振動(dòng)情況 ( n = 0 )kvC020022020tan,vxkkvxA解的特征解的特征:)sin(tkAx0 xAAxtO簡諧振動(dòng) A: 振幅, : 初相,周期: kT2:mck 固有頻率 T0dd00vtxt

47、, 000 xxt下圖中假設(shè)(僅由系統(tǒng)特性確定)方程:特征方程:0222krnr222,1knnr特征根:小阻尼: n k臨界阻尼: n = k 22ddtx02xktxndd2)sincos(e21tCtCxtn)(22nk trtrCCx21ee21tntCCxe)(21小阻尼自由振動(dòng)解的特征小阻尼自由振動(dòng)解的特征 : )sincos(e21tCtCxtn)(22nk 由初始條件確定任意常數(shù)后變形)sin(etAxtntxOT0 x運(yùn)動(dòng)周期:;2T振幅: tnAe衰減很快,)0, 0(00vx此圖隨時(shí)間 t 的增大物體趨于平衡位置.大阻尼解的特征大阻尼解的特征: ( n k )1) 無振蕩

48、現(xiàn)象; trtrCCx21ee21222,1knnr其中22knn0.0)(limtxtOtx0 x此圖參數(shù): 1, 5 . 1kn5 . 10 x073. 50v2) 對任何初始條件即隨時(shí)間 t 的增大物體總趨于平衡位置.臨界阻尼解的特征臨界阻尼解的特征 :( n = k )任意常數(shù)由初始條件定, tntCCxe)(21)() 1tx最多只與 t 軸交于一點(diǎn); :,21取何值都有無論CC)(lim)3txt即隨時(shí)間 t 的增大物體總趨于平衡位置.0e)(lim21tnttCC2) 無振蕩現(xiàn)象 ;此圖參數(shù): 2n1 . 00 x10v0 xOxy例例4.052)4( yyy求方程的通解. 解解

49、: 特征方程, 052234rrr特征根:i21, 04,321rrr因此原方程通解為xCCy21)2sin2cos(e43xCxCx例例5.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxC e5(不難看出, 原方程有特解)e, 132xxxx02)(22222rr例例6. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根為),i1(22,1r)i1(24,3r方程通解 :xw2e)2sin2cos(21xCxCx2e)2sin2cos(43xCxC例例7.

50、02)4( yyy解方程解解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根為i,2,1ri4,3r則方程通解 :xxCCycos)(31xxCCsin)(42內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)),(0為常數(shù)qpyqypy 特征根:21, rr(1) 當(dāng)時(shí), 通解為xrxrCCy21ee2121rr (2) 當(dāng)時(shí), 通解為xrxCCy1e)(2121rr (3) 當(dāng)時(shí), 通解為)sincos(e21xCxCyxi2, 1r可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .思考與練習(xí)思考與練習(xí) 求方程0 yay的通解 .答案答案:0a通解為xCCy21:0a通解為xaCxaCysincos21:0a通解為xaxaCCye

51、e21作業(yè)作業(yè) P340 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3常系數(shù)非齊次線性微分方程 第八節(jié)型)(e)(xPxfmxxxPxflxcos)(e)(型sin)(xxPn一、一、 第七章 )(xfyqypy ),(為常數(shù)qp二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為Yy *y非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,*y給出特解的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法待定系數(shù)法)(exQx )()2(xQp )()(2xQqp)(exPmx一、一、 型)(e)(xPxfmx

52、為實(shí)數(shù) ,)(xPm設(shè)特解為, )(e*xQyx其中 為待定多項(xiàng)式 , )(xQ )()(e*xQxQyx )()(2)(e*2xQxQxQyx 代入原方程 , 得 )(xQ )()2(xQp)()(2xQqp)(xPm為 m 次多項(xiàng)式 .)(xfyqypy (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即則取),(xQm從而得到特解形式為. )(e*xQymxQ (x) 為 m 次待定系數(shù)多項(xiàng)式(2) 若 是特征方程的單根 , , 02qp,02 p)(xQ則為m 次多項(xiàng)式, 故特解形式為xmxQxye)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 則是 m 次多項(xiàng)式,

53、故特解形式為xmxQxye)(*2小結(jié)小結(jié) 對方程,)2, 1, 0(e)(*kxQxyxmk此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時(shí),可設(shè)特解例例1.1332 xyyy求方程的一個(gè)特解.解解: 本題而特征方程為,0322rr不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數(shù), 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0例例2. xxyyy2e65 求方程的通解. 解解: 本題特征方程為,0652 rr其根為對應(yīng)齊次方程的通解為x

54、xCCY3221ee設(shè)非齊次方程特解為xbxbxy210e)(*比較系數(shù), 得120 b0210bb1,2110bb因此特解為.e)1(*221xxxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解為xxCCy3221ee.e)(2221xxx ,2二、二、型xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(xmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(第二步第二步 求出如下兩個(gè)方程的特解xmxPyqypy)i(e)( yqypy分析思路:第一步第一步將 f (x) 轉(zhuǎn)化為第三步第三步 利用疊加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特點(diǎn)xmxP)i(e)(第一步第一步利用歐

55、拉公式將 f (x) 變形xxfe)(i2)(2)(xPxPnlx)i(ei2)(2)(xPxPnlx)i(exmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(則令,maxlnm )(xPl2eeiixx)(xPni2eeiixx 第二步第二步 求如下兩方程的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), xmkxQxy)i(1e)()(次多項(xiàng)式為mxQm故xmxPyqypy)i(111e)()()( 等式兩邊取共軛 :xmxPyqypy)i(111e)(1y這說明為方程 的特解 .xmxPyqypy)i(e)( xmxPyqypy)i(e)(

56、設(shè)則 有特解:第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的結(jié)果, 根據(jù)疊加原理, 原方程有特解 :11*yyy xkxexmxmQQiiee原方程 yqypy xxPxxPnlxsin)(cos)(exkxe)sini(cosxxQm)sini(cosxxQm xkxexRmcosxRmsinmmRR,其中均為 m 次多項(xiàng)式 .xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(第四步第四步 分析的特點(diǎn)yxRxRxyyymmxksincose11因11yy*yy所以mmRR,因此均為 m 次實(shí)多項(xiàng)式 .11yyy本質(zhì)上為實(shí)函數(shù) ,11yy小小 結(jié)結(jié):xxPxxPnlxsin)(cos)(e對非齊次方程yqy

57、py ),(為常數(shù)qpxRxRxymmxksincose*則可設(shè)特解:其中 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.例例4. xxyy2cos 求方程的一個(gè)特解 .解解: 本題 特征方程, 2, 0故設(shè)特解為xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,i2i代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比較系數(shù) , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一個(gè)特解13 a043cb03 c043ad0 cb例例5. xxyy3s

58、in303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程為, 092r其根為對應(yīng)齊次方程的通解為xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比較系數(shù), 得,5a,3b因此特解為)3sin33cos5(*xxxyi32, 1r代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解為xCxCy3sin3cos21為特征方程的單根 ,3i)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此設(shè)非齊次方程特解為例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根i,r所以設(shè)非齊次方程特解為(*2xy )sincosxbxa

59、(2) 特征方程, 024 rr0)1(22rr即有根i, 04, 32, 1rrxxyyxsin3e)2()4( 利用疊加原理 , 可設(shè)非齊次方程特解為)(*2baxxyxce)sincos(xkxdx設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)xmxPyqypye)(. 1 為特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkxQxye)(*則設(shè)特解為sin)(cos)(e. 2xxPxxPyqypynlx 為特征方程的 k (0, 1 )重根, ixkxye*則設(shè)特解為sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述結(jié)論也可推廣到高階方程的情形.思考與練習(xí)思考與練

60、習(xí)時(shí)可設(shè)特解為 xxxfcos)() 1當(dāng)xxxxf2e2cos)()2當(dāng)xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xk2e)(xfyy 時(shí)可設(shè)特解為 xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(xkxye*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空) 設(shè)sin)(cos)(xxRxxRmm作業(yè)作業(yè)P347 1 (1) , (6) , (10) ; 2 (2) ; 3一階微分方程的 習(xí)題課 (一)解法及應(yīng)用 第七章 一、一階微分方程求解一、一階微分方程求解 1. 一階標(biāo)準(zhǔn)類型方程求解 關(guān)鍵關(guān)鍵: 辨別方程類型 , 掌握求解步驟2. 一階非標(biāo)準(zhǔn)類型方