平穩(wěn)時(shí)間序列模型的基本概念解析學(xué)習(xí)教案

1、平穩(wěn)平穩(wěn)(pngwn)時(shí)間序列模型的基本概念時(shí)間序列模型的基本概念解析解析第一頁(yè)，共61頁(yè)。（一）隨機(jī)過(guò)程的定義（一）隨機(jī)過(guò)程的定義（二）隨機(jī)過(guò)程與隨機(jī)變量（二）隨機(jī)過(guò)程與隨機(jī)變量(su j bin lin)之間的關(guān)系之間的關(guān)系返回(fnhu)本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)返回本節(jié)首頁(yè)上一頁(yè)第1頁(yè)/共61頁(yè)第二頁(yè)，共61頁(yè)。1.引言：事物的變化過(guò)程可分為兩類(lèi)：對(duì)于每一個(gè)固定的時(shí)刻t，變化的結(jié)果， 一類(lèi)是確定的，這個(gè)結(jié)果可用t的某個(gè)確定性函數(shù)來(lái)描述(mio sh)； 另一類(lèi)結(jié)果是隨機(jī)的，即以某種可能性出現(xiàn)多個(gè)（有限多個(gè)或無(wú)限多個(gè)）結(jié)果之一。（一）隨機(jī)過(guò)程(guchng)的定義下一頁(yè)返回(fnhu)本節(jié)首頁(yè)

2、上一頁(yè)第2頁(yè)/共61頁(yè)第三頁(yè)，共61頁(yè)。2.定義(dngy)： 設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，如果對(duì)于每一個(gè)e ，我們總可以(ky)依某種規(guī)則確定一時(shí)間t的函數(shù)與之對(duì)應(yīng)（T是時(shí)間t的變化范圍），于是，對(duì)于所有的的e 來(lái)說(shuō)，就得到這族時(shí)間t的函數(shù)為隨機(jī)過(guò)程，而族中每一個(gè)函數(shù)為這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)（或一次實(shí)現(xiàn)）。sTtteX),(s第3頁(yè)/共61頁(yè)第四頁(yè)，共61頁(yè)。該定義蘊(yùn)涵該定義蘊(yùn)涵(ynhn)的四種情況：的四種情況： 1、當(dāng)、當(dāng)e和和t都是變量時(shí)，都是變量時(shí)，x(t)是一族時(shí)間的函數(shù)，它表示一個(gè)隨機(jī)過(guò)是一族時(shí)間的函數(shù)，它表示一個(gè)隨機(jī)過(guò)程；程；2、當(dāng)、當(dāng)e給定，給定，t為變量時(shí)，為變量時(shí)，

3、 x(t)是一個(gè)時(shí)間是一個(gè)時(shí)間t的函數(shù)，稱它為樣本函的函數(shù)，稱它為樣本函數(shù)，有時(shí)也稱為一次實(shí)現(xiàn)。數(shù)，有時(shí)也稱為一次實(shí)現(xiàn)。3、當(dāng)、當(dāng)t給定，給定，e為變量時(shí)，為變量時(shí)， x(t)是一個(gè)隨機(jī)變量。是一個(gè)隨機(jī)變量。4、當(dāng)、當(dāng)e、t均給定時(shí)，均給定時(shí)， x(t) 是一個(gè)標(biāo)量或者矢量。是一個(gè)標(biāo)量或者矢量。第4頁(yè)/共61頁(yè)第五頁(yè)，共61頁(yè)。.,),(是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程則稱一族隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量為參數(shù)集若對(duì)于每個(gè)特定的TtXXTTttt,tXTt則隨機(jī)過(guò)程可表示成當(dāng), 2, 1, 0, 2, 1, 0tXtt時(shí)隨機(jī)過(guò)程可寫(xiě)為當(dāng)?shù)?頁(yè)/共61頁(yè)第六頁(yè)，共61頁(yè)。 此類(lèi)隨機(jī)過(guò)程(guchng)又稱隨機(jī)序列（ra

4、ndom sequence)或時(shí)間序列（time series)。對(duì)于一個(gè)連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過(guò)程(guchng)，通過(guò)等間隔采樣，也是一個(gè)隨機(jī)序列。第6頁(yè)/共61頁(yè)第七頁(yè)，共61頁(yè)。區(qū)別：區(qū)別：1、隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一個(gè)單值實(shí)函數(shù)，隨機(jī)過(guò)程、隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一個(gè)單值實(shí)函數(shù)，隨機(jī)過(guò)程是一族是一族(y z)時(shí)間時(shí)間t的函數(shù)。的函數(shù)。2、對(duì)應(yīng)于一定隨機(jī)試驗(yàn)和樣本空間的隨機(jī)變量與時(shí)間、對(duì)應(yīng)于一定隨機(jī)試驗(yàn)和樣本空間的隨機(jī)變量與時(shí)間t無(wú)關(guān)，而無(wú)關(guān)，而隨機(jī)過(guò)程與時(shí)間密切相關(guān)。隨機(jī)過(guò)程與時(shí)間密切相關(guān)。3、隨機(jī)變量描述事物在某一特定時(shí)點(diǎn)上的靜態(tài)，隨機(jī)過(guò)程描述、隨機(jī)變量描述事物在某一特定時(shí)點(diǎn)上的

5、靜態(tài)，隨機(jī)過(guò)程描述事物發(fā)展變化的動(dòng)態(tài)。事物發(fā)展變化的動(dòng)態(tài)。（二）隨機(jī)過(guò)程（二）隨機(jī)過(guò)程(guchng)與隨機(jī)變量之間的關(guān)系與隨機(jī)變量之間的關(guān)系下一頁(yè)返回(fnhu)本節(jié)首頁(yè)上一頁(yè)第7頁(yè)/共61頁(yè)第八頁(yè)，共61頁(yè)。聯(lián)系：聯(lián)系：1、隨機(jī)過(guò)程具有隨機(jī)變量的特性，同時(shí)還具有普通函數(shù)的特性。、隨機(jī)過(guò)程具有隨機(jī)變量的特性，同時(shí)還具有普通函數(shù)的特性。2、隨機(jī)變量是隨機(jī)過(guò)程的特例。一元隨機(jī)變量可視為參數(shù)集為、隨機(jī)變量是隨機(jī)過(guò)程的特例。一元隨機(jī)變量可視為參數(shù)集為單元素集的隨機(jī)過(guò)程。單元素集的隨機(jī)過(guò)程。3、當(dāng)隨機(jī)過(guò)程固定某一個(gè)時(shí)刻時(shí)，就得到、當(dāng)隨機(jī)過(guò)程固定某一個(gè)時(shí)刻時(shí)，就得到(d do)一個(gè)隨機(jī)變一個(gè)隨機(jī)變量。量

6、。4、隨機(jī)過(guò)程是、隨機(jī)過(guò)程是N維隨機(jī)向量、隨機(jī)變量列的一般化，它是隨機(jī)變維隨機(jī)向量、隨機(jī)變量列的一般化，它是隨機(jī)變量量X(t)的集合。的集合。第8頁(yè)/共61頁(yè)第九頁(yè)，共61頁(yè)。下一頁(yè)返回(fnhu)本節(jié)首頁(yè)上一頁(yè)第9頁(yè)/共61頁(yè)第十頁(yè)，共61頁(yè)。平穩(wěn)過(guò)程。下一頁(yè)返回(fnhu)本節(jié)首頁(yè)上一頁(yè)第10頁(yè)/共61頁(yè)第十一頁(yè)，共61頁(yè)。 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一維概率密度函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)。二維概率密度函數(shù)只與時(shí)間間隔S有關(guān)，而與時(shí)間的起點(diǎn)(qdin)和終點(diǎn)無(wú)關(guān)。第11頁(yè)/共61頁(yè)第十二頁(yè)，共61頁(yè)。) 0 ,()(), () 2 () 1 (stcXcXEstcEXsttt則稱該時(shí)間序列(xli)為寬平穩(wěn)過(guò)程。

7、 此定義表明，寬平穩(wěn)過(guò)程各隨機(jī)變量的均值為常數(shù)，且任意兩個(gè)變量的協(xié)方差僅與時(shí)間(shjin)間隔(t-s)有關(guān)。（寬平穩(wěn)過(guò)程只涉及一階和二階矩）第12頁(yè)/共61頁(yè)第十三頁(yè)，共61頁(yè)。一個(gè)寬平穩(wěn)(pngwn)序列也不一定是嚴(yán)平穩(wěn)(pngwn)序列。第13頁(yè)/共61頁(yè)第十四頁(yè)，共61頁(yè)。等價(jià)的。第14頁(yè)/共61頁(yè)第十五頁(yè)，共61頁(yè)。第15頁(yè)/共61頁(yè)第十六頁(yè)，共61頁(yè)。下一頁(yè)返回(fnhu)本節(jié)首頁(yè)上一頁(yè)第16頁(yè)/共61頁(yè)第十七頁(yè)，共61頁(yè)。特征量往往能代表隨機(jī)(su j)變量的主要特征。第17頁(yè)/共61頁(yè)第十八頁(yè)，共61頁(yè)。)(taatttXXdFEX 即為Xt的均值函數(shù)。它實(shí)質(zhì)上是一個(gè)實(shí)數(shù)列，

8、被Xt的一維分布族所決定。均值表示隨機(jī)過(guò)程(guchng)在各個(gè)時(shí)刻的擺動(dòng)中心。t第18頁(yè)/共61頁(yè)第十九頁(yè)，共61頁(yè)。 aaaaststssttyxdFyxXXEst),()()(),(,由此可見(jiàn)，時(shí)間序列(xli)的自協(xié)方差函數(shù)是隨機(jī)變量間協(xié)方差推廣差.時(shí)間序列(xli)自協(xié)方差函數(shù)具有對(duì)稱性：),(),(tsst第19頁(yè)/共61頁(yè)第二十頁(yè)，共61頁(yè)。),(),(),(),(ssttstst 自相關(guān)函數(shù)描述了時(shí)間序列的Xt自身(zshn)的相關(guān)結(jié)構(gòu)。時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)具有對(duì)稱性，且有1),(tt第20頁(yè)/共61頁(yè)第二十一頁(yè)，共61頁(yè)。)0 ,(),(ststkttktktttkXEXEX

9、XEXXE)(下一頁(yè)返回(fnhu)本節(jié)首頁(yè)上一頁(yè)第21頁(yè)/共61頁(yè)第二十二頁(yè)，共61頁(yè)。0kk第22頁(yè)/共61頁(yè)第二十三頁(yè)，共61頁(yè)。1) 2 () 1 (0kkkkkk第23頁(yè)/共61頁(yè)第二十四頁(yè)，共61頁(yè)。ststXEXEXstt0)2(0) 1 (2則稱此序列(xli)為白噪聲序列(xli)。下一頁(yè)返回本節(jié)首頁(yè)上一頁(yè)第24頁(yè)/共61頁(yè)第二十五頁(yè)，共61頁(yè)。第25頁(yè)/共61頁(yè)第二十六頁(yè)，共61頁(yè)?？梢?jiàn)獨(dú)立同分布序列Xt是一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)序列。第26頁(yè)/共61頁(yè)第二十七頁(yè)，共61頁(yè)。第27頁(yè)/共61頁(yè)第二十八頁(yè)，共61頁(yè)。-4-2024808284868890929496第28頁(yè)/共61頁(yè)第二十

10、九頁(yè)，共61頁(yè)。（五）獨(dú)立增量隨機(jī)(su j)過(guò)程、二階矩過(guò)程獨(dú)立增量隨機(jī)過(guò)程獨(dú)立增量隨機(jī)過(guò)程 獨(dú)立增量過(guò)程是物理上重要的馬氏過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程獨(dú)立增量過(guò)程是物理上重要的馬氏過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程X(t)，t =0，用，用X(t1,t2)表示隨機(jī)變量表示隨機(jī)變量(su j bin lin)X(t2)-X(t1),并稱為并稱為X(t)在在(t1,t2)上的增量，如果對(duì)一切上的增量，如果對(duì)一切t1t2=0是一個(gè)獨(dú)立增量過(guò)程。是一個(gè)獨(dú)立增量過(guò)程。馬氏過(guò)程：從對(duì)過(guò)去記憶性角度來(lái)考慮的，簡(jiǎn)單的說(shuō)，一階馬氏過(guò)程表馬氏過(guò)程：從對(duì)過(guò)去記憶性角度來(lái)考慮的，簡(jiǎn)單的說(shuō)，一階馬氏過(guò)程表示：將來(lái)時(shí)刻示：將來(lái)時(shí)刻tn的狀態(tài)的狀態(tài)xn

11、的統(tǒng)計(jì)特性僅取決于現(xiàn)在時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性僅取決于現(xiàn)在時(shí)刻tn-1時(shí)刻的值時(shí)刻的值xn-1。下一頁(yè)返回(fnhu)本節(jié)首頁(yè)上一頁(yè)第29頁(yè)/共61頁(yè)第三十頁(yè)，共61頁(yè)。二階矩過(guò)程二階矩過(guò)程定義：若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程定義：若一個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t) ， ，如果，如果對(duì)于一切對(duì)于一切 ,總有總有則稱此過(guò)程為二階矩過(guò)程。寬平穩(wěn)則稱此過(guò)程為二階矩過(guò)程。寬平穩(wěn)(pngwn)過(guò)程是二階矩過(guò)程中的一類(lèi)。高斯過(guò)程也是二過(guò)程是二階矩過(guò)程中的一類(lèi)。高斯過(guò)程也是二階矩過(guò)程。高斯分布是指隨機(jī)過(guò)程的各有限維階矩過(guò)程。高斯分布是指隨機(jī)過(guò)程的各有限維分布都是高斯分布，高斯分布的各階矩都存在，分布都是高斯分布，高斯分布的各階矩都存在，故也屬于

12、二階矩過(guò)程。故也屬于二階矩過(guò)程。TtTt)(2tXE第30頁(yè)/共61頁(yè)第三十一頁(yè)，共61頁(yè)。下一頁(yè)返回(fnhu)本節(jié)首頁(yè)上一頁(yè)第31頁(yè)/共61頁(yè)第三十二頁(yè)，共61頁(yè)。非線性運(yùn)算的形式是多種多樣的：如yt=xt2+axt，yt=xt-1/(1+xt-2)2等。第32頁(yè)/共61頁(yè)第三十三頁(yè)，共61頁(yè)。jjjjtjtax2注：可以證明(zhngmng)， 為一寬平穩(wěn)序列。為線性平穩(wěn)(pngwn)序列。tx第33頁(yè)/共61頁(yè)第三十四頁(yè)，共61頁(yè)。kk偏自相關(guān)(xinggun)其實(shí)就是如下的條件相關(guān)(xinggun)：cov(Xt,Xt+k|Xt+1,Xt+2 Xt+k-1)下一頁(yè)返回本節(jié)首頁(yè)上一頁(yè)第

13、34頁(yè)/共61頁(yè)第三十五頁(yè)，共61頁(yè)。下一頁(yè)返回(fnhu)本節(jié)首頁(yè)上一頁(yè)第35頁(yè)/共61頁(yè)第三十六頁(yè)，共61頁(yè)。nttxnx11可以證明， 是 的無(wú)偏(w pin)、一致估計(jì)。x下一頁(yè)返回(fnhu)本節(jié)首頁(yè)上一頁(yè)第36頁(yè)/共61頁(yè)第三十七頁(yè)，共61頁(yè)。kntkttkkntkttkxxxxknxxxxn11)(1) 2()(1) 1 (（二）樣本(yngbn)自協(xié)方差函數(shù)下一頁(yè) 返回(fnhu)本節(jié)首頁(yè)上一頁(yè)第37頁(yè)/共61頁(yè)第三十八頁(yè)，共61頁(yè)。kkkkkkkk第38頁(yè)/共61頁(yè)第三十九頁(yè)，共61頁(yè)。kk第39頁(yè)/共61頁(yè)第四十頁(yè)，共61頁(yè)。nttkntkttkkxxxxxx1210)()

14、(下一頁(yè) 返回(fnhu)本節(jié)首頁(yè)上一頁(yè)第40頁(yè)/共61頁(yè)第四十一頁(yè)，共61頁(yè)。1111,111111,1,1,111, 2,kkkjkjjkkkkjjjkjkjkkk kjjk 其 中下一頁(yè)返回(fnhu)本節(jié)首頁(yè)上一頁(yè)第41頁(yè)/共61頁(yè)第四十二頁(yè)，共61頁(yè)。22212112222133311221121212122211111第42頁(yè)/共61頁(yè)第四十三頁(yè)，共61頁(yè)。在過(guò)程是一個(gè)白噪聲序列(xli)的假設(shè)下， nVarkk1)(所以， 能作為檢驗(yàn)白噪聲過(guò)程假設(shè)(jish)的準(zhǔn)則區(qū)限。n2第43頁(yè)/共61頁(yè)第四十四頁(yè)，共61頁(yè)。下一頁(yè)返回(fnhu)本節(jié)首頁(yè)上一頁(yè)第44頁(yè)/共61頁(yè)第四十五頁(yè)，

15、共61頁(yè)。) 1 ()()()()(1111tfytaytaytaytntnntnt)2(0)()()(1111tntnntntytaytaytay1.n階非齊次線性差分(ch fn)方程2.n階齊次線性差分(ch fn)方程（1），（2）式中，ai(t)、f(t)為t的已知函數(shù)，且an(t)、f(t)不同時(shí)為零，若 ai(t)為常數(shù)，則上述兩式即為常系數(shù)差分方程。下一頁(yè)返回本節(jié)首頁(yè)上一頁(yè)第45頁(yè)/共61頁(yè)第四十六頁(yè)，共61頁(yè)。下一頁(yè)返回(fnhu)本節(jié)首頁(yè)上一頁(yè)第46頁(yè)/共61頁(yè)第四十七頁(yè)，共61頁(yè)。第47頁(yè)/共61頁(yè)第四十八頁(yè)，共61頁(yè)。第48頁(yè)/共61頁(yè)第四十九頁(yè)，共61頁(yè)。) 3 ()

16、(1111tfyayayaytntnntnt其中：a1,a2, an為常數(shù)，且an不為(b wi)零，f(t)為t的已知函數(shù)。下一頁(yè)返回本節(jié)首頁(yè)上一頁(yè)第49頁(yè)/共61頁(yè)第五十頁(yè)，共61頁(yè)。) 4 (01111tntnntntyayayay第50頁(yè)/共61頁(yè)第五十一頁(yè)，共61頁(yè)。設(shè)齊次方程(fngchng)（4）有特解：為非零常數(shù),tty 則：0111nnnnaaa稱為方程(fngchng)（4）的特征方程(fngchng)，此特征方程(fngchng)的解稱為特征根。第51頁(yè)/共61頁(yè)第五十二頁(yè)，共61頁(yè)。（1） 若特征(tzhng)方程有一實(shí)特征(tzhng)根 ，其重?cái)?shù)為m（m=n） 則：

17、tmtttt1,為齊次方程(fngchng)的m個(gè)線性無(wú)關(guān)解。第52頁(yè)/共61頁(yè)第五十三頁(yè)，共61頁(yè)。（2）若特征方程有一對(duì)(y du)共軛復(fù)根),0(tan:,2sin;sin;sincos;cos;cos),2(2211abbarrktrtttrtrtrtttrtrnkkibaibatktttktt由下式確定其中個(gè)線性無(wú)關(guān)特解為齊次線性方程的則其重?cái)?shù)為第53頁(yè)/共61頁(yè)第五十四頁(yè)，共61頁(yè)。（3）將所得的n個(gè)線性無(wú)關(guān)特解組合(zh)，即得齊次方程的通解：)()()()(2211tyctyctyctynnc其中(qzhng)：c1,c2, cn為n個(gè)任意常數(shù)。第54頁(yè)/共61頁(yè)第五十五頁(yè)，共

18、61頁(yè)。.065:112的通解求差分方程例tttyyy為任意常數(shù)的通解為于是所給方程其有兩個(gè)特征根特征方程為解2121212,32)(:, 3;2,0)3)(2(65:cccctyttc第55頁(yè)/共61頁(yè)第五十六頁(yè)，共61頁(yè)。的通解求差分方程例044212tttyyy為任意常數(shù)于是方程的通解為故有重特征根特征方程為解21212122,2)()(, 20)2(44cctcctytc第56頁(yè)/共61頁(yè)第五十七頁(yè)，共61頁(yè)。的通解求差分方程例0312tttyyy.,;3;3tan; 13sin3cos)()31(21)31(21012121212任意常數(shù)其中因此方程的通解為其有一對(duì)共軛復(fù)根特征方程為解ccrtctctyiic第57頁(yè)/共61頁(yè)第五十八頁(yè)，共61頁(yè)。第58