正確寫(xiě)作美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文

1、正確寫(xiě)作美國(guó)大學(xué)生數(shù)正確寫(xiě)作美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文學(xué)建模競(jìng)賽論文第一部分 簡(jiǎn)介1、簡(jiǎn)史 普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽始于1938年，學(xué)生個(gè)人參賽，獨(dú)立解答賽題。賽題通常是比較深的純數(shù)學(xué)問(wèn)題，滿分120分。大約一半的學(xué)生只能拿到1分或2分，甚至不少學(xué)生只能得零分。 美國(guó)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的創(chuàng)始人Ben Fusaro對(duì)普特南競(jìng)賽缺乏實(shí)用性，且難度太大導(dǎo)致學(xué)生參賽熱情不高而深感憂慮。于20世紀(jì)80年代提出設(shè)立一種新的競(jìng)賽機(jī)制，鼓勵(lì)學(xué)生以小組的形式參賽，共同解決具有實(shí)際應(yīng)用背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題。他的設(shè)想是：參賽小組在一天內(nèi)解答兩個(gè)實(shí)用背景的建模問(wèn)題，一個(gè)用離散數(shù)學(xué)的方法，一個(gè)用連續(xù)數(shù)學(xué)的方法。1、簡(jiǎn)史 Fusaro在基金申

2、請(qǐng)報(bào)告中闡明的競(jìng)賽目的如下： 該競(jìng)賽旨在推動(dòng)學(xué)生和指導(dǎo)教師參加數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，要求學(xué)生首先根據(jù)自己的理解，用自己的語(yǔ)言將開(kāi)放型的賽題重新闡述清楚，然后對(duì)賽題進(jìn)行分析并提出解決方案。競(jìng)賽提供新的機(jī)制以吸引和鼓勵(lì)更多的學(xué)生參賽，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模的整體過(guò)程，而不是最終的答案。競(jìng)賽的主要特點(diǎn)如下： 1、所有賽題均為具有真實(shí)背景的開(kāi)放型建模問(wèn)題，由工業(yè)及政府部門(mén)的一線專家命題或在他們的指導(dǎo)下命題。 2、解答格式有明確的規(guī)范，且參賽小組有較長(zhǎng)的時(shí)間撰寫(xiě)解答論文。 3、參賽小組在解題過(guò)程中允許使用計(jì)算機(jī)、教科書(shū)及其他資源。 4、論文的表述是否清晰是論文評(píng)審的重點(diǎn)，最優(yōu)論文將在數(shù)學(xué)期刊上發(fā)表。 在競(jìng)賽的深入發(fā)展過(guò)程

3、中，將會(huì)開(kāi)設(shè)各種新課程、研討會(huì)及討論班，幫助學(xué)生和指導(dǎo)教師提高數(shù)學(xué)建模能力。1、簡(jiǎn)史 1985年舉辦的第一屆MCM競(jìng)賽，只有美國(guó)的158個(gè)小組參賽（最終只有90個(gè)參賽小組提交了解答論文）。在國(guó)際數(shù)學(xué)界的支持下，2010年共有2254個(gè)小組參賽（美國(guó)358個(gè)）；2013年有6593個(gè)參賽小組（MCM 5636個(gè)隊(duì)，ICM 957個(gè)隊(duì)） 賽題分為兩類，一類涉及連續(xù)數(shù)學(xué)，稱為A題；另一類涉及離散數(shù)學(xué)，稱為B題。 COMAP（美國(guó)數(shù)學(xué)及應(yīng)用聯(lián)合會(huì)）從2000年開(kāi)始增設(shè)立交叉學(xué)科的建模競(jìng)賽，稱為ICM。ICM競(jìng)賽每年只出一道賽題，稱為C題，涉及離散數(shù)學(xué)、連續(xù)數(shù)學(xué)或者二者都涉及。1、簡(jiǎn)史 Ben Fusa

4、ro曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，“三名都很優(yōu)秀的學(xué)生不一定能組成最好的參賽小組；最好的參賽小組是由三名配合默契的優(yōu)秀隊(duì)員組成?！?換句話說(shuō)，在組間參賽小組時(shí)，應(yīng)該挑選能夠相互配合并且取長(zhǎng)補(bǔ)短的小組成員。2、論文評(píng)審 MCM賽題不設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案，解答論文沒(méi)有及格分?jǐn)?shù)線，也不打分。參賽論文將按評(píng)審標(biāo)準(zhǔn)劃分等級(jí)。評(píng)審標(biāo)準(zhǔn)： 評(píng)委關(guān)心的是參賽小組的解題思路和建模過(guò)程，以及是否給出了清晰的描述，并著重檢查一下內(nèi)容： 1）、是否給出了令人滿意的賽題解讀，以及對(duì)賽題中可能出現(xiàn)的模糊概念是否給予了必要的澄清； 2）、是否明確列出了建模需要用到的所有前提條件及假設(shè)，對(duì)其合理性是否給出了滿意的解釋或論證； 3）、是否通過(guò)對(duì)賽題的分析給

5、出了建模的動(dòng)機(jī)或論證了建模的合理性； 4）、是否設(shè)計(jì)出了能有效地解答賽題的模型； 5）、是否對(duì)模型給出了穩(wěn)定性測(cè)試； 6）、是否討論了模型的優(yōu)缺點(diǎn)，并給出了清晰的結(jié)論； 7）、是否給出了符合要求的摘要。 沒(méi)有全部完成解答的論文是可以被接受的，而且如果再某些方面有創(chuàng)意，仍然有可能獲得較好的評(píng)審結(jié)果。2、論文評(píng)審等級(jí)劃分：Outstanding Winner， 特級(jí)論文（0.5）Finalist， 特級(jí)提名論文（0.5）Meritorious， 甲級(jí)論文（1015）Honorable Mentions， 乙級(jí)論文（25-30）Successfully Participation ， 合格論文（60

6、）Unsuccessfully Participation ， 不合格論文2、論文評(píng)審評(píng)審流程： 論文評(píng)審的方式是盲審。所有參賽論文均使用唯一給定的編號(hào)統(tǒng)一識(shí)別，這個(gè)編號(hào)稱為控制編號(hào)。論文的作者姓名及其所在大學(xué)的名稱均不得在論文中出現(xiàn)。評(píng)審分為兩個(gè)階段： 1）、鑒別階段： （10分鐘） 所有論文在此階段按其質(zhì)量分別歸入一下三類：第一類是可以進(jìn)入下一評(píng)審階段的論文（略少于二分之一）；第二類是滿足競(jìng)賽要求，但不足以進(jìn)入下一評(píng)審階段的論文（這一類就被定為合格論文）；第三類是不符合競(jìng)賽要求的論文（不合格論文）。 由于在第一階段中，評(píng)委只有10分鐘左右的時(shí)間評(píng)審一篇論文，因此評(píng)委常常只能通過(guò)閱讀摘要來(lái)判

7、斷論文水平的高低。摘要是論文最重要的部分！2、論文評(píng)審2）、評(píng)審階段： （1530分鐘） 通過(guò)第一階段評(píng)審后，參賽論文按題型分類，分別進(jìn)入第二階段的評(píng)審。 第二階段的評(píng)審又分成若干輪，通過(guò)評(píng)審的輪數(shù)越多，論文的評(píng)定級(jí)別也將越高。 論文的寫(xiě)作必須結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、條理清晰、簡(jiǎn)單易讀，同時(shí)將主要結(jié)果以最明顯的方式表達(dá)出來(lái)。3、寫(xiě)作的重要性 論文的寫(xiě)作應(yīng)盡早開(kāi)始。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，許多參賽小組往往低估了論文寫(xiě)作所需的時(shí)間，不能及時(shí)寫(xiě)出條理清晰的論文。因此，參賽小組可以考慮在競(jìng)賽開(kāi)始后的第二天開(kāi)始寫(xiě)作，并約定一個(gè)時(shí)間結(jié)束手頭的建模工作，以便全力以赴寫(xiě)好參賽論文。第二部分 論文結(jié)構(gòu)1、小節(jié)劃分 論文應(yīng)該按內(nèi)容劃分

8、成小節(jié)和子小節(jié)，并冠以恰當(dāng)?shù)臉?biāo)題，使評(píng)委無(wú)需閱讀細(xì)節(jié)就能把握論文的主線。根據(jù)論文的評(píng)審標(biāo)準(zhǔn)，MCM競(jìng)賽委員會(huì)建議參賽小組按以下結(jié)構(gòu)將論文分節(jié)： 重述并澄清賽題。 列出建模所用的所有前提條件及假設(shè)，并給出清晰的解釋。 分析賽題，給出建模動(dòng)機(jī)或論證建模的合理性。 模型設(shè)計(jì)。 討論如何檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，包括誤差分析和穩(wěn)定性測(cè)試（如對(duì)條件、敏感度等因素進(jìn)行分析和測(cè)試）。 討論模型的優(yōu)缺點(diǎn)。 書(shū)寫(xiě)論文摘要。摘要必須按要求寫(xiě)在特定的摘要頁(yè)上，長(zhǎng)度不超過(guò)一頁(yè)，提交時(shí)作為參賽論文的首頁(yè)。1、小節(jié)劃分 例如，在1989年的MCM競(jìng)賽中，有一篇題為“How to Please Most of the People Mos

9、t of the Time”的優(yōu)勝論文，便是一篇結(jié)構(gòu)出眾的范文。 這篇論文研究飛機(jī)起飛時(shí)的排隊(duì)問(wèn)題。因?yàn)闄C(jī)場(chǎng)跑道通常只有一條或兩條起飛跑道，所以在相近時(shí)間內(nèi)起飛的飛機(jī)通常需要排隊(duì)等候，如果等候時(shí)間太長(zhǎng)，中途需要轉(zhuǎn)機(jī)的乘客便有可能會(huì)耽誤轉(zhuǎn)機(jī)。所以需要找出最佳的調(diào)度方案，使機(jī)內(nèi)大多數(shù)乘客不會(huì)因?yàn)檠舆t到達(dá)目的地而不滿。1、小節(jié)劃分以下是該論文的小節(jié)劃分及標(biāo)題： Summary1 Restatement of the Problem2 Assumptions3 Justification of Our Approach4 The Model 4.1 Dissatisfaction of a passe

10、nger needing a connection 4.2 Dissatisfaction of a passenger not needing a connection 4.3 Total dissatisfaction on an aircraft5 Testing the Model6 Results 7 Strengths and Weaknesses References1、小節(jié)劃分 摘要1 問(wèn)題重述2 假設(shè)條件3 建模方法的合理性論證4 模型設(shè)計(jì) 4.1 需要轉(zhuǎn)機(jī)乘客的不滿意程度 4.2 無(wú)需轉(zhuǎn)機(jī)乘客的不滿意程度 4.3 所有乘客的不滿意程度5 模型測(cè)試6 結(jié)論7 模型的優(yōu)點(diǎn)與弱點(diǎn)

11、 參考文獻(xiàn)1、小節(jié)劃分 1）、不是所有的論文都必須與MCM建議的小節(jié)劃分，但參賽小組還是應(yīng)該盡可能的按照所建議的內(nèi)容劃分小節(jié)。簡(jiǎn)單明了、條理清晰的小節(jié)劃分有助于評(píng)委迅速掌握論文的要點(diǎn)。 2）、應(yīng)避免在小節(jié)中出現(xiàn)大段的文字?jǐn)⑹觥Ｖ匾木渥?，包括首次定義的概念，應(yīng)該用黑體或斜體書(shū)寫(xiě)。（當(dāng)然，黑體或斜體過(guò)多，又會(huì)使論文看上去雜亂，影響閱讀，因此在突出重點(diǎn)的前提下應(yīng)該盡可能少用。） 3）、重要的數(shù)學(xué)公式應(yīng)另起新行單獨(dú)列出； 4）、建模所用的假設(shè)條件以及所有可以列表方式表述的內(nèi)容，為了方便閱讀，都應(yīng)該用符號(hào)列表（或編號(hào)列表）的方式逐條陳列出來(lái)，不要將它們淹沒(méi)在段落里。 5）、圖表也是很好的表現(xiàn)形式，在使

12、用圖表時(shí)要給圖表加上簡(jiǎn)單明確的文字說(shuō)明，使讀者很快知道圖表所要表達(dá)的內(nèi)容。2、寫(xiě)好引言（問(wèn)題重述） 引言應(yīng)該包括以下內(nèi)容：對(duì)賽題的解讀、對(duì)現(xiàn)有研究成果的綜述與評(píng)論、以及對(duì)解題思路和主要方法的簡(jiǎn)要介紹。 參賽小組應(yīng)通過(guò)引言向評(píng)委表明，參賽小組對(duì)賽題做了認(rèn)真仔細(xì)的思考與研究。為了寫(xiě)好引言，參賽小組應(yīng)該在解題時(shí)就開(kāi)始思考如何寫(xiě)引言，并在解題過(guò)程中反復(fù)修改，直到滿意為止。 引言的第一句話是全文最重要的句子，用于激發(fā)讀者閱讀論文的興趣。同理引言的第一段也是全文最重要的一個(gè)段落，應(yīng)該寫(xiě)的淺顯易懂，盡量少用或者不用數(shù)學(xué)表達(dá)式，使得讀者對(duì)所要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題不甚了解，也能看懂第一段話的內(nèi)容而產(chǎn)生繼續(xù)閱讀的興趣。

13、所以，引言的第一句及第一段要經(jīng)過(guò)反復(fù)推敲和修改，不可掉以輕心。2、寫(xiě)好引言（問(wèn)題重述） 賽題選定后，參賽小組首先要用自己的語(yǔ)言重述賽題，明確解題目標(biāo)，并澄清原題敘述上可能出現(xiàn)的模糊概念。一個(gè)問(wèn)題可能存在多種解讀方式，參賽小組必須明確表述他們是如何解讀賽題的。 例如，在2010年MCM競(jìng)賽中，有一道賽題要求參賽小組算出棒球棍上的“最佳擊球點(diǎn)”。 在題為“The Sweet: A Wave Model of Baseball Bats”的引言中這樣寫(xiě)道：There are at least two notions of where the sweet spot should be an impac

14、t location on the bat that either minimizes the discomfort to the hands, or maximizes the outgoing velocity of the ball.We focus exclusively on the second definition. 2、寫(xiě)好引言（問(wèn)題重述） 例如，在1988年MCM競(jìng)賽中，有一道賽題要求參賽小組在已知船只當(dāng)前位置的前提下，設(shè)計(jì)一個(gè)搜索方法定位其駛離后的位置，位置要求“精確到2以內(nèi)”。 在題為“Locating a Drug Runner: Miami Vice Style”的引

15、言中這樣寫(xiě)道：We interpret the error of 2as a normal distribution , with standard deviation of 1.2、寫(xiě)好引言（問(wèn)題重述） 明確題意之后，參賽小組應(yīng)該立刻開(kāi)始查閱資料，閱讀與賽題相關(guān)的文獻(xiàn)，了解已有的模型和方法。 因此，在引言中，除了重述賽題外，還應(yīng)對(duì)現(xiàn)有文獻(xiàn)在相似問(wèn)題上所做的研究（包括方法和結(jié)論）做適當(dāng)?shù)木C述和評(píng)論。 此外，在引言中還要簡(jiǎn)明地描述參賽小組的解題方法以及所得到的主要結(jié)果。3、論文主體 論文的主體是指引言之后及結(jié)論之前的部分，用于描述模型的設(shè)計(jì)，包括列出和論證建立數(shù)學(xué)模型所做的假設(shè)，以及對(duì)賽題所做的

16、分析。論文的主體通常分為若干小節(jié)。3.1）、假設(shè)條件和解釋 合理的數(shù)學(xué)模型應(yīng)基于合理的假設(shè)，所以在描述模型之前，參賽小組應(yīng)該將模型設(shè)計(jì)所用的假設(shè)條件一一列出并解釋清楚。不要有未經(jīng)說(shuō)明的假設(shè)，以免讀者自行猜測(cè)而造成誤解。此外，還應(yīng)該對(duì)建模的初衷和動(dòng)機(jī)適當(dāng)?shù)募右杂懻摗?例如，2010年MCM競(jìng)賽中有一道賽題，要求參賽小組根據(jù)以往的作案地點(diǎn)預(yù)測(cè)連環(huán)犯罪的位置。3.1）、假設(shè)條件和解釋 解答這道賽題的重點(diǎn)是犯罪活動(dòng)方式。在一篇題為“Centroids, Clusters, and Crime: Anchoring the Geographic Profiles of Serial Criminals”

17、的論文中，有一條假設(shè)是“罪犯的活動(dòng)不受限制”，但罪犯是在市區(qū)的活動(dòng)，實(shí)際上會(huì)受到街道的布局及街道兩旁建筑物的限制。由于街道布局通常類似于網(wǎng)格，所以參賽小組對(duì)這個(gè)假設(shè)做了如下解釋：Criminals movement is unconstrained. Because of the difficulty of finding real-world distance data, we invoke the Manhattan assumption: There are enough streets and sidewalks in a sufficiently grid-like pattern

18、that movements along real-world movement routes is the same as straight-line movement in a space discretized into city blocks(罪犯的活動(dòng)不受限制罪犯的活動(dòng)不受限制：由于實(shí)際數(shù)據(jù)不易獲得，本文將采用“曼哈頓假設(shè)”來(lái)描述罪犯的活動(dòng)方式，也就是說(shuō)，假設(shè)市區(qū)內(nèi)有足夠多的街道和人行道，縱橫交錯(cuò)地構(gòu)成一個(gè)與離散方格相似的網(wǎng)狀布局，罪犯在此網(wǎng)狀布局中的活動(dòng)路徑（即沿著方格的邊做運(yùn)動(dòng)）與現(xiàn)實(shí)世界中的“直線運(yùn)動(dòng)相同”)3.1）、假設(shè)條件和解釋 無(wú)論解答什么樣的賽題，參賽小組在論文中都應(yīng)該

19、明確列出所有用到的假設(shè)條件，并解釋其合理性。如果對(duì)某個(gè)假設(shè)無(wú)法給出滿意的解釋，則應(yīng)重新考慮這個(gè)假設(shè)是否合理，并進(jìn)行修改，使得修改后能有滿意的解釋。 評(píng)委不但會(huì)檢查論文是否列出了在建模過(guò)程中用到的所有假設(shè)，而且還會(huì)審查這些假設(shè)是否合理，以及論文對(duì)這些假設(shè)的合理性是否給出了滿意的解釋。3.2）、模型設(shè)計(jì) 建立數(shù)學(xué)模型是解決問(wèn)題的手段，而非目的。所以對(duì)模型本身不需要做過(guò)多的解釋，而且在大多數(shù)情況下也沒(méi)有必要。設(shè)計(jì)的模型能夠解決問(wèn)題才是最重要的。 在所有能夠解決問(wèn)題的模型中，最簡(jiǎn)單的模型也許就是最好的模型。 在研究問(wèn)題的背景和查閱文獻(xiàn)資料時(shí)也許會(huì)發(fā)現(xiàn)，某些現(xiàn)有的模型經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)男薷暮蛿U(kuò)充后，就能解決當(dāng)前

20、的問(wèn)題。由于在短時(shí)間內(nèi)一切從零開(kāi)始很難設(shè)計(jì)出滿意的模型，所有只要有可能，應(yīng)該充分利用現(xiàn)有的研究成果和方法，經(jīng)過(guò)理解和消化后建立自己的模型（不經(jīng)過(guò)理解所建立的模型將很難做到簡(jiǎn)單明了）。3.2）、模型設(shè)計(jì)系統(tǒng)模型 設(shè)計(jì)模型時(shí)，可以嘗試從簡(jiǎn)單模型開(kāi)始，逐步加工、修改及完善，一次比一次更接近實(shí)際，最終得到能完美的解答賽題的模型。 例如，2008年MCM競(jìng)賽中，有一題是要求參賽隊(duì)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，預(yù)測(cè)在全球溫度升高而導(dǎo)致北極冰蓋融化的假設(shè)下，美國(guó)佛羅里達(dá)州的沿海地區(qū)將會(huì)受到怎樣的影響。 一篇題為“The Impending Effects of North Polar Ice Cap Melt ”的論文

21、，就是采用一系列的模型方法，最終給出了滿意的解答。3.2）、模型設(shè)計(jì)系統(tǒng)模型其具體做法為： 1）、首先建立模型1：常溫模型。這個(gè)模型假設(shè)全球的溫度不變，冰蓋的融化速度不變及海洋水量不變。 2）、接著建立模型2：變溫模型。這個(gè)模型假設(shè)全球溫度在不斷變化。 3）、最后建立模型3：氣候變暖下的海洋水量模型。這個(gè)模型將前面模型中所忽略的問(wèn)題考慮進(jìn)來(lái)，包括南北兩半球的相對(duì)海洋水面面積。 值得指出的是，海洋水面的概念是作者提出來(lái)的，賽題描述中并沒(méi)有提到這個(gè)概念。 注意：建模時(shí)應(yīng)集中精力設(shè)計(jì)一個(gè)模型，或者最終能導(dǎo)出一個(gè)較好模型的一系列子模型。不要分散精力，拼湊出幾個(gè)很一般的模型，企圖用這些一般的模型碰運(yùn)氣。

22、這種做法將會(huì)分散評(píng)委的注意力，因而不被評(píng)委看好。3.2）、模型設(shè)計(jì)普遍模型 模型設(shè)計(jì)另一個(gè)要注意的問(wèn)題是，不要只針對(duì)賽題給出參數(shù)值設(shè)計(jì)模型。高水平的論文通常會(huì)把賽題看成一個(gè)普遍問(wèn)題的特例，首先探討普遍問(wèn)題的求解，然后再對(duì)賽題這一特例給出具體解答。 例如，在1988年的MCM競(jìng)賽中有一道賽題，要求參賽小組設(shè)計(jì)一個(gè)算法，根據(jù)火車貨運(yùn)車廂的長(zhǎng)度、寬度、高度及載重量，計(jì)算如何在兩節(jié)車廂裝載大小不一的貨物，貨物的長(zhǎng)、寬、高及類型是給定的，使得車廂內(nèi)空余空間最小。 用變量表示車廂及貨物的長(zhǎng)、寬、高及車廂的載重量和貨物的重量就是一個(gè)普遍的裝載優(yōu)化問(wèn)題，而賽題只是這個(gè)普遍問(wèn)題的一個(gè)具體特例。由于參賽數(shù)值已知，

23、因而賽題將比普遍問(wèn)題簡(jiǎn)單。3.2）、模型設(shè)計(jì)普遍模型 一篇題為“Loading Two Railroad Cars”的論文就是這樣處理的，作者指出：We have produced a general algorithm to solve this type of problem, but for our problem a relationship exists that greatly simplified the algorithm.（本文給出了一個(gè)解決此類問(wèn)題的通用算法。利用賽題給定的參數(shù)數(shù)值，本算法將大為優(yōu)化。）4、如何寫(xiě)結(jié)論 論文的結(jié)論部分應(yīng)描述模型的測(cè)試方法以及所得到的結(jié)果。 建

24、模時(shí)解答問(wèn)題的手段，即使沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)答案，參賽小組也應(yīng)該在所建立模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析并得出明確的結(jié)論。好的論文時(shí)不需要讀者自己尋找結(jié)論，也不需要讀者自己講某些句子理解為結(jié)論。此外，這一節(jié)還應(yīng)該對(duì)結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)?shù)挠懻?，并指明那些是作者的觀點(diǎn)，那些是所得到的結(jié)果。 根據(jù)MCM競(jìng)賽要求，參賽小組應(yīng)該對(duì)所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行敏感性分析和穩(wěn)定性測(cè)試，使模型更具有說(shuō)服力。模型通常會(huì)用到一些參數(shù)（如交通建模問(wèn)題中，可能會(huì)用到平均速度這一參數(shù)），在結(jié)論中應(yīng)該討論這些參數(shù)的輕微變化對(duì)模型及結(jié)論產(chǎn)生的影響。4、如何寫(xiě)結(jié)論 在描述結(jié)論時(shí)，應(yīng)設(shè)法使讀者認(rèn)同論文給出的解答，盡管該解答不一定是最好的。 如，有些問(wèn)題的解答可能是一

25、個(gè)計(jì)算機(jī)程序，在這種情況下，應(yīng)該對(duì)程序進(jìn)行多次測(cè)試，并且每次的測(cè)試數(shù)據(jù)應(yīng)稍有不同。測(cè)試時(shí)應(yīng)該盡可能使用真實(shí)數(shù)據(jù)，避免人為數(shù)據(jù)而引起讀者對(duì)結(jié)論的懷疑。 MCM賽題沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)答案，有由于時(shí)間的限制，幾乎每篇論文都會(huì)存在缺陷。評(píng)委肯定也會(huì)發(fā)現(xiàn)這些缺陷，所以在寫(xiě)結(jié)論時(shí)應(yīng)該明確指出這些缺陷，（即便在前面已經(jīng)提到過(guò)，在這里應(yīng)該再次指出），表明參賽小組不但知道模型所含有的缺陷，而且也思考過(guò)如何改進(jìn)和修補(bǔ)。 由于時(shí)間和計(jì)算機(jī)資源的限制，參賽小組可能無(wú)法完成本來(lái)有能力解決的一些問(wèn)題。所以在寫(xiě)結(jié)論時(shí)也應(yīng)該明確指出，假如有充足的時(shí)間和計(jì)算機(jī)資源，參賽小組將能夠解決問(wèn)題。5、寫(xiě)好摘要 根據(jù)MCM的競(jìng)賽規(guī)則，摘要應(yīng)該包含

26、以下內(nèi)容： 賽題重述與闡明賽題重述與闡明：用自己的語(yǔ)言描述將要解決的問(wèn)題； 解釋假設(shè)條件及其合理性解釋假設(shè)條件及其合理性：強(qiáng)調(diào)建模所用假設(shè)，而且清楚地列出建模所需的所有變量； 模型設(shè)計(jì)及合理性論證模型設(shè)計(jì)及合理性論證：指出所用模型的類型或構(gòu)造新的模型； 描述模型的測(cè)試情況及靈敏度分析描述模型的測(cè)試情況及靈敏度分析：包括誤差分析等檢測(cè)項(xiàng)目； 優(yōu)缺點(diǎn)討論優(yōu)缺點(diǎn)討論：包括模型及解題方法的優(yōu)點(diǎn)與不足。5、寫(xiě)好摘要 1）、摘要不要寫(xiě)的太長(zhǎng)，不要超過(guò)一頁(yè)，也不要少于半頁(yè)。 2）、不要通過(guò)簡(jiǎn)單地剪貼論文中的句子拼湊摘要。摘要應(yīng)該重新構(gòu)思，反復(fù)推敲并修改，知道滿意為止。 3）、不要用“First we the

27、n we ”這樣干巴巴的句子重復(fù)論文中的內(nèi)容，也不要在開(kāi)篇時(shí)使用類似“This paper will solve ”這樣的句子。 4）、摘要的第一句話尤其重要，應(yīng)該以引人的語(yǔ)言激發(fā)讀者的興趣。 如，在2008年的賽題中有一道關(guān)于數(shù)獨(dú)的賽題，有一篇題為“Taking the Mystery Out of Sudoku Difficulty: An Oracular Model”的論文的摘要的第一句話： In the last few years, the 9-by-9 puzzle grid known as Sudoku has gone from being a popular Japane

28、se puzzle to a global craze.5、寫(xiě)好摘要 摘要盡管不能（而且也不應(yīng)該）包含太多的細(xì)節(jié)，但必須簡(jiǎn)明扼要地將解題方法描述清楚，包含全部要點(diǎn)及主要思路，并闡明所得出的結(jié)論。如果有數(shù)值運(yùn)算，還應(yīng)該給出重要的計(jì)算結(jié)果。因?yàn)閿?shù)學(xué)公式在很短的篇幅內(nèi)很難解釋清楚，所以最好不要在摘要中使用數(shù)學(xué)公式。第三部分 寫(xiě)作規(guī)范 MCM論文是數(shù)學(xué)論文。數(shù)學(xué)論文的寫(xiě)作有特定的寫(xiě)作規(guī)范，評(píng)委不但習(xí)慣這些規(guī)范，而且也希望參賽小組按這些規(guī)范寫(xiě)作。 不符合寫(xiě)作規(guī)范的論文會(huì)分散評(píng)委的注意力，甚至打斷評(píng)委的思路。由于評(píng)委評(píng)閱論文的時(shí)間十分有限，所以解答論文是否符合寫(xiě)作規(guī)范會(huì)直接影響評(píng)審結(jié)果。1、使用第一人稱復(fù)

29、數(shù)代詞we 在使用英語(yǔ)撰寫(xiě)數(shù)學(xué)論文時(shí)，在涉及作者的句子中應(yīng)該使用第一人稱復(fù)數(shù)代詞。 因?yàn)榈谝蝗朔Q復(fù)數(shù)代詞可以將讀者包括在內(nèi)，所以讀起來(lái)會(huì)更加親切，有助于縮短讀者與作者之間的距離。此外，在敘述時(shí)，用第一人稱復(fù)數(shù)代詞做主語(yǔ)也很方便。 在撰寫(xiě)MCM論文時(shí)應(yīng)避免使用第二或第三人稱代詞，也不要使用第一人稱單數(shù)代詞。2、使用簡(jiǎn)單時(shí)態(tài) 數(shù)學(xué)論文的寫(xiě)作應(yīng)盡可能使用簡(jiǎn)單時(shí)態(tài)： 1）、在作者當(dāng)前位置描述正在發(fā)生的事，使用一般現(xiàn)在時(shí)。如，“We now solve the equation.” 2）、在作者當(dāng)前位置描述已經(jīng)發(fā)生過(guò)的事，使用一般過(guò)去時(shí)。如，“We solved the equation in the

30、previous section.” 3）、在作者當(dāng)前位置描述將要發(fā)生的事，使用一般將來(lái)時(shí)。如，“We will solve the equation in the next section.” 4）、在概述他人工作時(shí)，由于是過(guò)去所做的工作，故用一般過(guò)去時(shí)，而對(duì)于定理或事實(shí)則用一般現(xiàn)在時(shí)。3、使用主動(dòng)語(yǔ)態(tài) 敘述一個(gè)事件可以用主動(dòng)語(yǔ)態(tài)也可以用被動(dòng)語(yǔ)態(tài)，但主動(dòng)語(yǔ)態(tài)通常比被動(dòng)語(yǔ)態(tài)更生動(dòng)有力。在主動(dòng)語(yǔ)態(tài)中，主語(yǔ)是動(dòng)作的執(zhí)行者；在被動(dòng)語(yǔ)態(tài)中，主語(yǔ)是動(dòng)作的接受者。 數(shù)學(xué)內(nèi)容邏輯性強(qiáng)，但也相對(duì)枯燥，所以在寫(xiě)作數(shù)學(xué)論文時(shí)，使用主動(dòng)語(yǔ)態(tài)通常能將表達(dá)的更清楚，而且表達(dá)方式也更生動(dòng)。例如：1）、The model

31、produced a desirable conclusion.2）、 A desirable conclusion was produced.3）、 A desirable conclusion was produced by the model.3、使用主動(dòng)語(yǔ)態(tài) 當(dāng)你對(duì)是否應(yīng)該使用主動(dòng)語(yǔ)態(tài)有疑問(wèn)時(shí)，記住以下這點(diǎn)會(huì)幫助你作出合理的選擇：主動(dòng)語(yǔ)態(tài)比被動(dòng)語(yǔ)態(tài)更簡(jiǎn)潔、更生動(dòng)、更直接有力。 只要有可能，應(yīng)該盡可能使用主動(dòng)語(yǔ)態(tài)寫(xiě)數(shù)學(xué)論文。4、寫(xiě)簡(jiǎn)單句子 結(jié)構(gòu)松散或者語(yǔ)意模糊的句子會(huì)造成閱讀的障礙。如果讀者需要花時(shí)間去揣測(cè)作者的意圖，或是需要通過(guò)分析句子的語(yǔ)法結(jié)構(gòu)才能讀懂句子的內(nèi)容，閱讀速度就會(huì)受到影響

32、。 為了避免這種情況，寫(xiě)作時(shí)應(yīng)盡可能寫(xiě)簡(jiǎn)單的句子，越簡(jiǎn)單越好，一個(gè)句子只表達(dá)一個(gè)意思。 此外，謂語(yǔ)應(yīng)該緊跟在主語(yǔ)之后，中間最好不要再包括副詞或狀語(yǔ)。如果句子很復(fù)雜，比如需要包含幾個(gè)從句表達(dá)多個(gè)意思，就應(yīng)該考慮將她分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單的短句子，這樣更有利于閱讀理解。4、寫(xiě)簡(jiǎn)單句子例如： The value of the parameter , which was used in the previous section to determine the height of the building, can also be used to determine its width. 這個(gè)長(zhǎng)句子可以分解

33、成以下兩個(gè)簡(jiǎn)單的短句： In the previous section, we use the value of the parameter to determine the height of the building. we can also use to determine the width of the building. (好)5、寫(xiě)簡(jiǎn)短段落 段落用來(lái)表達(dá)一個(gè)比較完整的觀點(diǎn)或描述一個(gè)比較大的事件，通常由多個(gè)句子組成。段落的結(jié)尾給讀者提供了一個(gè)自然的停頓機(jī)會(huì)，用于思考這個(gè)段落所表達(dá)的思想或所描述的事件。 所以應(yīng)將較長(zhǎng)的段落，根據(jù)具體的內(nèi)容分為若干個(gè)較短的段落，使讀者更容易掌握段落的內(nèi)

34、容。 分段的時(shí)候也要盡量避免只含一兩個(gè)簡(jiǎn)單句子的超短段落。如果論文包含很多這樣的超短段落，會(huì)迫使讀者停頓頻繁，從而影響閱讀的連貫性。6、使用有具體含義的詞匯 使用有具體含義的詞匯能夠?qū)⒁馑急磉_(dá)得更清楚，應(yīng)避免使用多義詞或抽象詞。例如：1、using the previous expression, we can conclude 2、using the previous equation, we can conclude （好）7、不要含瑣碎細(xì)節(jié) 為了幫助讀者領(lǐng)會(huì)作者的意圖，論文應(yīng)給出充分的信息及必要的細(xì)節(jié)。 但描述細(xì)節(jié)時(shí)要注意把握好尺度，不要將瑣碎的細(xì)節(jié)都寫(xiě)在論文中，（比如常規(guī)的計(jì)算中的計(jì)算

35、過(guò)程就不應(yīng)該寫(xiě)進(jìn)來(lái)）。 將這些瑣碎的細(xì)節(jié)寫(xiě)在論文中會(huì)使評(píng)委感到乏味，甚至反感。 然而，那些細(xì)節(jié)是瑣碎的，而那些不是，卻沒(méi)有精確的定義，必須由作者根據(jù)自己的檢驗(yàn)作出判斷和選擇。8、突出重點(diǎn) 為了吸引讀者的注意，論文中的主要論點(diǎn)應(yīng)該以醒目的方式表達(dá)出來(lái)。 比如，將重要的論點(diǎn)用黑體字寫(xiě)在段首，然后用段落的其他句子解釋這個(gè)論點(diǎn)，（如假設(shè)）。不過(guò)這種段落不應(yīng)太多，否則讀者將難以區(qū)分那個(gè)是真正的重點(diǎn)。此外，作者定義的新概念應(yīng)該用黑體字書(shū)寫(xiě)。 相互關(guān)聯(lián)的重要句子，如假設(shè)及其合理性論證，最好是將它們以列表的形式按順序逐一列出來(lái)。9、刪除多余詞匯 句子中如果含有多余的詞匯，會(huì)產(chǎn)生畫(huà)蛇添足的感覺(jué)，應(yīng)該刪除。例1、

36、The variable x is positive, due to the fact that it is a perfect square.應(yīng)改為：The variable x is positive since it is a perfect square.9、刪除多余詞匯例2、 In this paper, taking energy consumption into consideration, we rethink the virtual-network embedding problem through (1) the rebuild of the network model b

37、y considering the power consumption of both the work and intermediate nodes; and (2) the design of an energy-aware heuristic and optimized virtual- network embedding algorithms under this new network and power model.應(yīng)改為： We present an energy consumption model for the virtual-network embedding proble

38、m and devise an energy-aware virtual- network embedding algorithm to reduce power consumption.9、刪除多余詞匯例3、We will find the solutions of the following equation. 如果一個(gè)詞組能夠用一個(gè)單詞來(lái)代替，那么就應(yīng)該選這個(gè)單詞。故應(yīng)改為：We will solve the following equation.例4、We will assume x 0. 注意，在簡(jiǎn)化句子時(shí)，不要將句子過(guò)分簡(jiǎn)化而失去原意，或產(chǎn)生閱讀障礙。故應(yīng)改為：We will as

39、sume that x 0. 在寫(xiě)數(shù)學(xué)論文時(shí)，常會(huì)使用assume 和suppose，如果表達(dá)式緊隨其后，則最好用assume that和suppose that。10、使用并列短語(yǔ)強(qiáng)調(diào)相似性 在敘述相似的事件或描述相似的對(duì)象時(shí)，用結(jié)構(gòu)相似的句子或短語(yǔ)強(qiáng)調(diào)它們之間的聯(lián)系。例如：If is a root of the function , then the function g has root .應(yīng)改為：If is a root of the function , then is a root of the function g.或者If the function has a root , t

40、hen the function g has a root .11、避免單調(diào)重復(fù) 相似的語(yǔ)句結(jié)構(gòu)有助于強(qiáng)調(diào)相似的對(duì)象，但是也要注意避免重復(fù)使用單調(diào)的語(yǔ)句結(jié)構(gòu)，因?yàn)閱握{(diào)的語(yǔ)句結(jié)構(gòu)會(huì)使句子顯得呆板和生硬。例如Fist we solved an equation. Then we solved another equation. 如果第二個(gè)方程的解是要根據(jù)第一個(gè)方程的解得到的，則可改寫(xiě)為：Fist we solved an equation. The solution of the first equation allowed us to solve the second equation.11、避

41、免單調(diào)重復(fù) 使用不同的連接詞可以減少一些單調(diào)重復(fù)，但只是更改連接詞，而不改變句子的結(jié)構(gòu)，是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。例如：We know that Equation A has a solution. Hence, Equation B has a solution. It follows that Equation C has a solution.將其改為：We know that Equation A has a solution, which implies that Equation B has a solution. Thus, Equation C also has a solution.會(huì)更

42、加生動(dòng)有力。12、不使用同一詞匯描述不同的對(duì)象 如果使相同的詞匯來(lái)描述不同的對(duì)象，會(huì)使讀者感到困惑，使讀者不得不停下閱讀，以便搞清楚這個(gè)詞匯到底指的是哪個(gè)對(duì)象。例如：We ran into several problems while trying to solve the problem.故應(yīng)改為：We ran into several obstacles while trying to solve the problem. 第一個(gè)problems指的是困難和障礙，第二個(gè)problem指的是需要解決的問(wèn)題。 寫(xiě)作的時(shí)候，手頭應(yīng)該有一本好的同義詞詞典，以便寫(xiě)作的時(shí)候，手頭應(yīng)該有一本好的同義詞詞

43、典，以便隨時(shí)選擇同義詞。隨時(shí)選擇同義詞。13、代詞所指的名詞必須清楚 代詞用于指代前面出現(xiàn)過(guò)的名詞，通常是前面最靠近該代詞的名詞。要避免模棱兩可的代詞。例如：The function and its derivative are continuous; it is also nonnegative. 如果第二個(gè)代詞it值得是function，就該改為：The function and its derivative are continuous; the function is also nonnegative. 如果第二個(gè)代詞it值得是derivative ，就該改為：The function

44、 and its derivative are continuous; the derivative is also nonnegative.14、不要過(guò)分渲染 每個(gè)參賽小組都希望給出好的解答，但是在描述所得結(jié)果的重要性時(shí)，一定要注意掌握好尺度。為了吸引評(píng)委的注意，有些參賽小組可能會(huì)夸大其詞。 言過(guò)其實(shí)的渲染會(huì)使評(píng)委在讀到結(jié)果時(shí)感到失望，從而產(chǎn)生出負(fù)面的影響。最好的方法是將結(jié)果以敘事的方法告訴讀者，不作任何評(píng)論，由讀者自己判斷結(jié)果的重要性。 特別需要指出的是，在描述結(jié)果時(shí)不要使用感嘆號(hào)。第四部分 英語(yǔ)語(yǔ)法 語(yǔ)法錯(cuò)誤通常都會(huì)被發(fā)現(xiàn)。 雖然評(píng)委也許不會(huì)認(rèn)為這是一個(gè)很嚴(yán)重的問(wèn)題，但錯(cuò)誤只要一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，

45、無(wú)論大小，就會(huì)使評(píng)委感到論文有缺陷。如果語(yǔ)法錯(cuò)誤反復(fù)出現(xiàn)，就會(huì)成為閱讀障礙，增加評(píng)委用于閱讀和理解論文的時(shí)間，由此產(chǎn)生的負(fù)面情緒將會(huì)影響論文的評(píng)審結(jié)果。第五部分 論文修改示例 論文初稿完成后，應(yīng)該回頭來(lái)仔細(xì)閱讀，重點(diǎn)檢查論文的內(nèi)容、格式及語(yǔ)法是否有不妥的地方，論文的某一些部分可能需要做較大的改動(dòng)，甚至重寫(xiě)。修改論文時(shí)，手頭最好有一些寫(xiě)作規(guī)范參考書(shū)及英語(yǔ)用法指南，以便隨時(shí)翻閱并參考正確的用法。檢查和修改的重點(diǎn)是檢查和修改的重點(diǎn)是： 1、盡量將被動(dòng)語(yǔ)態(tài)的句子轉(zhuǎn)化為主動(dòng)語(yǔ)態(tài)； 2、盡量將復(fù)雜的詞匯用較簡(jiǎn)單的詞匯代替； 3、盡量將復(fù)雜的句子用較簡(jiǎn)單的句子代替，將長(zhǎng)句分成2到3個(gè)較短的句子； 4、確認(rèn)對(duì)

46、所有假設(shè)條件都已給出了合理的解釋； 5、確認(rèn)所有信息都已按邏輯順序表達(dá)清楚； 6、確認(rèn)所有引用他人資料的地方都已標(biāo)明了出處。 修改論文應(yīng)該從摘要開(kāi)始，這是評(píng)委首先閱讀的內(nèi)容，應(yīng)逐字逐句仔細(xì)修改。除上述檢查項(xiàng)目外，需要檢查摘要是否包含了所有要點(diǎn)以及是否在邏輯上表述清楚。如果仍不理想，應(yīng)該考慮重新組織摘要的邏輯結(jié)構(gòu)，以便更易于閱讀和理解。 接下來(lái)是將論文快速瀏覽一遍，確定所有已經(jīng)強(qiáng)調(diào)的地方（各節(jié)標(biāo)題、數(shù)學(xué)表達(dá)式、表格、圖形以及用黑體字書(shū)寫(xiě)的句子）確實(shí)能夠快速地幫助讀者了解論文所討論的問(wèn)題，同時(shí)沒(méi)有強(qiáng)調(diào)不該強(qiáng)調(diào)的內(nèi)容。 最后，檢查論文的全文。由于時(shí)間限制，檢查全文時(shí)可能做不到像檢查摘要那樣仔細(xì)，但檢

47、查的重點(diǎn)都是一樣的。1、示例：如何修改標(biāo)題 2010年的MCM賽題中，要求參賽小組找出棒球棍上最佳擊球點(diǎn)的賽題。一篇論文的標(biāo)題如下：“Science in Sweet Spot”1）、介詞使用不當(dāng)。這個(gè)標(biāo)題中最好使用介詞of，而不是in。2）、單數(shù)可數(shù)名詞spot前沒(méi)有加冠詞。這篇論文討論的最佳擊球點(diǎn)是特定的點(diǎn)，所有應(yīng)該加定冠詞the。3）、關(guān)于名詞science。這篇論文研究的不是一般性的科學(xué)，而是特定的科學(xué)，所有需要加定冠詞the。所以論文的標(biāo)題應(yīng)該是：“The Science of the Sweet Spot”2、示例：如何修改摘要 摘要雖然不長(zhǎng)，但卻需要較長(zhǎng)的時(shí)間思考和寫(xiě)作。在保證重

48、要內(nèi)容的前提下，應(yīng)該盡可能將摘要寫(xiě)的精煉一些。仍以“Science in Sweet Spot”為例，其摘要如下：This paper mainly studies the “sweet spot” on a baseball bat. Firstly, by analyzing the video of a professional hitter, a double-pivot swing (the arm and the finesse) model is established to describe a batter hitting a baseball. Then based on

49、the law of energy conservation, the double-pivot swing model is further transferred into a single-pivot swing model. With the given shape of the bat and the parameters for the single-pivot swing model, the moment of inertia of a wooden bat, corked bat and aluminum bat is calculated, respectively. By

50、 the law of kinetic energy conservation, hitting a baseball at different spots of the bat can be seen as an imperfect elastic collision of two balls. Thus given a bat, for different speeds of the coming ball and that of swinging the bat, the speed of the hitting ball can be calculated according to t

51、he Newtons collision law.2、示例：如何修改摘要1）、This paper mainly studies the “sweet spot” on a baseball bat. 用“This paper”為主語(yǔ)作為摘要的開(kāi)篇，會(huì)把作者和讀者都視為論文之外的旁觀者。由于論文描述的是作者自己的工作，故應(yīng)該用we做主語(yǔ)； 論文中除了最佳擊球點(diǎn)之外，還會(huì)涉及其他內(nèi)容，所以mainly 這個(gè)詞沒(méi)有必要，應(yīng)該刪去； “sweet spot”是棒球棍上最佳擊球位置的標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)法，除非論文作者認(rèn)為不合適，否則不應(yīng)該用引號(hào)把它括起來(lái)。因此，第一句話要改為：“We study the swee

52、t spot on a baseball bat.”同年的優(yōu)勝論文的第一句話是“We determine the sweet spot on a baseball bat.”2）、Firstly, by analyzing the video of a professional hitter, a double-pivot swing (the arm and the finesse) model is established to describe a batter hitting a baseball.2、示例：如何修改摘要 這個(gè)句子是被動(dòng)語(yǔ)態(tài)，應(yīng)該改為主動(dòng)語(yǔ)態(tài)； 與第一句話一樣，也忽視了

53、作者和讀者，只站在第三者的立場(chǎng)上說(shuō)論文分析了視頻并建立了模型； 視頻很多，作者沒(méi)有指明是哪一個(gè)視頻，所以video前應(yīng)該用不定冠詞，即將“the video”改為“a video” ； 最后，盡管firstly沒(méi)有語(yǔ)法上的錯(cuò)誤，但還是不用為好（大多數(shù)每個(gè)人認(rèn)為這是一個(gè)已經(jīng)過(guò)時(shí)的詞），或者改為first。這個(gè)句子改為：We begin by establishing a model of a bat hitting a ball by analyzing a video of a professional hitter.2、示例：如何修改摘要3）、Then based on the law of

54、 energy conservation, the double-pivot swing model is further transferred into a single-pivot swing model. 這句話是被動(dòng)語(yǔ)態(tài)，應(yīng)改寫(xiě)成為主動(dòng)語(yǔ)態(tài)。4）、 With the given shape of the bat and the parameters for the single-pivot swing model, the moment of inertia of a wooden bat, corked bat and aluminum bat is calculated, res

55、pectively. 這是摘要當(dāng)中第一次且唯一一次提到棒球棍的形狀材質(zhì)；同樣也是第一次且唯一一次提到參數(shù)。這些內(nèi)容都不應(yīng)該在摘要當(dāng)中出現(xiàn)。所有這部分的內(nèi)容要改為“using our model”2、示例：如何修改摘要 在修改論文時(shí)，除了逐字逐句的修改外，必要時(shí)需要對(duì)論文做大幅度的改動(dòng)。 這篇論文的摘要想表達(dá)的意思是，用棒球棍擊球與用球擊球的效果是相同的，作者稍后將其稱為“hitting ball”。故可將摘要改寫(xiě)為： We study the sweet spot on a baseball bat. We begin by establishing a model of a bat hitt

56、ing a ball by analyzing a video of a professional hitter. Using our model, we determine that hitting a ball with a bat can be seen as an imperfect collision of two balls, where the bat is replaced by a “hitting ball”.3、示例：如何修改引言2008年mcm有一題是要求參賽小組設(shè)計(jì)一個(gè)算法，自動(dòng)產(chǎn)生不同難度的數(shù)獨(dú)游戲。有一篇題為“The Solvers Sudoku or compu

57、ters Sudoku”的論文。 標(biāo)題中，除了介詞，都要大寫(xiě)，故 computers 應(yīng)改為 Computers；另外要加定冠詞 the。 所以標(biāo)題應(yīng)該為“The Solvers Sudoku or The Computers Sudoku”這篇論文的引言如下： Sudoku (Japanese: sdoku) is derived from Switzerland, developed in America and carried forward in Japan. It is a simple game of logic and so easy to learn. It is also a

58、 fun and addictive game and is puzzling millions of players all over the world. Many people like it. Partial people began to study solving the puzzles by computer. However, generating Sudoku puzzles is even more difficult when difficulty levels and a unique solution both are considered. It is also t

59、he task we are required to finish. The aim is to create a reliable sudoku algorithm which has least complexity and a unique solution should be guaranteed. Difficulty levels are greatly depended on the metrics developed. The basic thought is that we delete digits from a solved puzzle, and then check

60、out if there is a unique solution. Develop a series of metrics to define the the difficulty levels. Judge its difficulty level utilizing metrics. Metrics are very important in the whole course of constructing puzzles. In our paper, we develop metrics fit for persons thought and metrics aimed at comp