四年級奧數(shù)-教師版-第三講 方陣問題

1、 指南針小升初 第三講 方陣問題知識導(dǎo)航學(xué)生排隊，士兵列隊，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊，也叫做方陣（亦叫乘方問題）。核心公式：1方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方（方陣問題的核心）2方陣最外層每邊人數(shù)=（方陣最外層總?cè)藬?shù)÷4）13方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多24去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)去掉的每邊人數(shù)×21例1:學(xué)校學(xué)生排成一個方陣，最外層的人數(shù)是60人，問這個方陣共有學(xué)生多少人?解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出方陣最外層每邊

2、人數(shù)，那么整個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求了。方陣最外層每邊人數(shù)：60÷4+1=16（人）整個方陣共有學(xué)生人數(shù)：16×16=256（人）?！眷柟?】某校五年級學(xué)生排成一個方陣，最外一層的人數(shù)為60人.問方陣外層每邊有多少人？這個方陣共有五年級學(xué)生多少人？解析：根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數(shù)，那么整個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求了。解：方陣最外層每邊人數(shù)：60÷41=16（人）整個方陣共有學(xué)生人數(shù)：16×16=256（人）答：方陣最外層每邊有16人，此方陣中共有256人?！眷柟?】晶晶用圍棋子擺

3、成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個.晶晶擺這個方陣共用圍棋子多少個？解析：方陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少2個.知道最外面一層每邊放14個，就可以求第二層及第三層每邊個數(shù).知道各層每邊的個數(shù)，就可以求出各層總數(shù)。解法1：最外邊一層棋子個數(shù)：（14-1）×4=52（個）第二層棋子個數(shù)：（14-2-1）×4=44（個）第三層棋子個數(shù)：（14-2×2-1）×4=36（個）.擺這個方陣共用棋子：52+4436132（個）解法2：還可以這樣想：中空方陣總個數(shù)=（每邊個數(shù)一層數(shù)）×層數(shù)×4進行計算。（14-3）×3

4、5;4=132（個）答：擺這個方陣共需132個圍棋子?！眷柟?】一個正方形的隊列橫豎各減少一排共27人，求這個正方形隊列原來有多少人？解析：依據(jù)：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)去掉的每邊人數(shù)×21可知每邊的人數(shù)是：（人）原人數(shù)是：（人）答：略?！眷柟?】小紅用棋子擺成一個正方形實心方陣用棋子100枚，最外邊的一層共多少枚棋子？解析：這要用到方陣的公式逆運算，100必然是一個數(shù)的平方數(shù)因為（人），并且是實心的方陣，所以最外層有10人。例2：參加中學(xué)生運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團體操表演的運動員有多少人？解析：如下圖

5、表示的是一個五行五列的正方形隊列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等；最外層每邊人數(shù)是5，去一行、一列則一共要去9人，因而我們可以得到如下公式：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)去掉的每邊人數(shù)×21· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·· · · · ·解 ：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。原題中去掉一行、一

6、列的人數(shù)是33，則去掉的一行（或一列）人數(shù) 人方陣的總?cè)藬?shù)為最外層每邊人數(shù)的平方，所以總?cè)藬?shù)為（人）【鞏固】 參加軍訓(xùn)的學(xué)生進行隊列表演，他們排成了一個七行七列的正方形隊列， 如果去掉一行一列，請問：要去掉多少名學(xué)生？還剩下多少名學(xué)生？解析：如上圖表示的是一個4行4列的實心正方形隊列，從圖中可以看出正方形隊列的特點：（1）正方形隊列每行、每列的人數(shù)相等，因此總?cè)藬?shù)每行人數(shù)×每列人數(shù)。（2）去掉橫豎各一排時，有且只有1人是同時屬于被減去的一行和一列的，如圖中點A所示。因此去掉的總?cè)藬?shù)原每行人數(shù)×21，或去掉的總?cè)藬?shù)減少后每行人數(shù)×21。本題中所求，即去掉的人數(shù)7&#

7、215;2113（人）或去掉的人數(shù)（71）×2113（人）還剩的人數(shù)（71）×（71）36（人）或還剩的人數(shù)7×713491336（人）答：如果去掉一行一列，要去掉13名學(xué)生，還剩下36名學(xué)生。例3：解放軍戰(zhàn)士排成一個每邊12人的中空方陣，共四層，求總?cè)藬?shù)？解法1：這樣想：把中空方陣的總?cè)藬?shù)，看作中實方陣總?cè)藬?shù)減去空心方陣人數(shù)。（1）中實方陣總?cè)藬?shù)：12×12=144（人）（2）第四層每邊人數(shù)：12-2×（4-1）=6（人）（3）空心方陣人數(shù)：（6-2）×（6-2）=16（人）（4）中空方陣人數(shù)：144-16=128（人）答：總?cè)藬?shù)是

8、128人。小結(jié)：中空方陣總?cè)藬?shù)=外邊人數(shù)×外邊人數(shù)-（內(nèi)邊人數(shù)-2）×（內(nèi)邊人數(shù)-2）解法2：這樣想：把中空方陣分成四個相等的長方形。（1）每個長方形的長=外邊人數(shù)-層數(shù)12-4=8（人）（2）每個長方形的寬是層數(shù)：4人（3）總?cè)藬?shù)：8×4×4=128（人）答：總?cè)藬?shù)是128人。小結(jié)：中空方陣總?cè)藬?shù)=（每邊人數(shù)-層數(shù)）×層數(shù)×4【鞏固】學(xué)校開展聯(lián)歡會，要在正方形操場四周插彩旗。四個角上都插一面，每邊插7面。一共要準備多少面旗子？解析：依據(jù)求外層個數(shù)的公式：（邊數(shù)-1）×4（面） 答：略。 例4：一個街心花園如右圖所示.它由四

9、個大小相等的等邊三角形組成.已知從每個小三角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有9棵花.問大三角形邊上栽有多少棵花？整個花園中共栽多少棵花？解析：從已知條件中可以知道大三角形的邊長是小三角形邊長的2倍.又知道每個小三角形的邊上均勻栽9株，則大三角形邊上栽的棵數(shù)為：（棵）。又知道這個大三角形三個頂點上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以大三角形三條邊上共栽花：（棵）。.再看圖中畫斜線的小三角形三個頂點正好在大三角形的邊上.再計算大三角形栽花棵數(shù)時已經(jīng)計算過一次，所以小三角形每條邊上栽花棵數(shù)為：（棵）解：大三角形三條邊上共栽花：（棵）中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：（棵）整個花壇共栽花：（棵）答：大

10、三角形邊上共栽花48棵，整個花壇共栽花69棵?！眷柟獭客瑢W(xué)們做早操，排成一個正方形的方陣，從前、后、左、右數(shù)，小明都是第5個，這個方陣共有多少人？解析：如圖，實心圓表示小明的位置，可以知道，這個隊列每行都是9人。解：每行每列數(shù)：（人） 共有：（人）例5：小明用圍棋子擺了一個五層中空方陣，一共用了200枚棋子，請問：最外邊一層每邊有多少枚棋子？解析1：利用“相鄰兩層之間，每層的總數(shù)相差8”的特點，可知最外層共有棋子數(shù)：（200+8+8×2+8×3+8×4）÷556（個）最外層每邊的棋子數(shù)：56÷4+115（個）解析2：如練習(xí)中的圖，把棋子分成相等

11、的四部分。每一部分的棋子數(shù)：200÷450（個）每一部分每排的棋子數(shù)：50÷510（個）最外層每邊的棋子數(shù)：10515（個）綜合列式為：200÷4÷5515（個）答：最外邊一層每邊有15枚棋子?！眷柟獭坑涡嘘犖橹?，手持鮮花的少先隊員在一輛彩車的四周圍成每邊三層的方陣，最外邊一層每邊12人，請問：彩車周圍的少先隊員共有多少人？解析1：請同學(xué)們自己畫一個圖，下圖是一個三層中空方陣的示意圖，不難發(fā)現(xiàn)，有如下特點：（1）外層每邊點的個數(shù)都比相鄰內(nèi)層的每邊點的個數(shù)多2；（2）每相鄰兩層之間，點的總數(shù)相差8個。最外層隊員的總數(shù)：（人）三層共有隊員的總數(shù)：=（人）解析

12、2：如下圖可分成相等的四部分，每一部分的人數(shù)：（123）×39×327（人）三層共有隊員數(shù)：27×4108（人）答：彩車周圍的少先隊員共有108人。這個問題還有別的解法，請同學(xué)們自己試著做一下。 課后作業(yè)1、若干名同學(xué)排成中實方陣則多12人，若要將這個方陣改擺成縱橫兩個方向各增加1人的方陣則還差9人排滿，請問：原有學(xué)生多少人？解析：由于縱橫兩個方向各增加1人，因此不但將剩余12人擺上，而且還差9人，說明一橫行與一豎行的人數(shù)總和是12921人。又由于縱橫兩個方向各增加1人，因此只有1人同屬于橫行與縱行，在數(shù)每邊上的人數(shù)時，總被多數(shù)一次，因此可以用21人先加上被重復(fù)數(shù)

13、過的1人，再除以2，也就得到每邊人數(shù)。列式為（211）÷211人。求出每邊人數(shù)，就可求出假設(shè)排滿后的人數(shù)，列式為11×11121人，用121人減去差的9人就是原來人數(shù)，列式為1219112人。也可以根據(jù)原來的方陣再加上12，請你試一試。答：原有學(xué)生112人。2、 有一隊士兵排成一個中實方陣，最外一層有100人，請問：方陣中一共有士兵多少人？解析：要想求出方陣中一共有多少士兵，就應(yīng)先求出方陣的最外層每邊有多少人。已知方陣最外一層有100人，用100÷425人，每邊是不是25人呢？不是的，因為平均分成4份后，還需要再加上1，才正好是每邊上的人數(shù)，列式應(yīng)該為100

14、47;4126人。因此方陣中一共有26×26676人。答：一共有676人。說明：這道題關(guān)鍵是求出每邊人數(shù)。在求每邊人數(shù)時，不要認為和“知道了正方形周長，求邊長”一樣，還必須要加上1。3、 小剛用若干枚棋子擺成一個中實方陣，最外層每邊擺6枚，請問：要擺成這樣一個中實方陣至少需要多少枚棋子？最外一層的棋子總數(shù)是多少？解析：如圖，最外一層每邊擺6枚，根據(jù)方陣每行每列個數(shù)相等特點，因此一共有6×636枚棋子。最外一層每邊有6枚，如果用6×424枚，就認為是最外一層棋子數(shù)的答案的話，那就錯了。因為正方形每個頂點上的棋子分屬于一行一列，這樣棋子在計算總數(shù)時就被多數(shù)了一次，這樣

15、的頂點一共有4個，需要把多數(shù)的減去，才能得到正確的結(jié)果。列式是6×4420枚。說明：這道題還可以這樣想：數(shù)每邊棋子時，可以按上圖先劃分成4個相等的塊，這樣每邊就有5枚了，因此用5×420枚，也可以得到正確答案。按照劃分塊的方法不同，至少還有兩種方法，請同學(xué)們試一試。4、一隊學(xué)生站成20行20列方陣，如果去掉4行4列，那么要減少多少人？解析1：把去掉4行4列轉(zhuǎn)化為一行一列的去掉，就可用例6的結(jié)論：去掉一行一列的總?cè)藬?shù)原每行人數(shù)×21反復(fù)利用4次這個公式，只要注意“原每行人數(shù)”的變化，即可列式為：去掉4行4列的總?cè)藬?shù)20×21+（201）×21（2

16、02）×21+（203）×21401=381+361+341144（人）解析2：我們還可以這樣想：原來是一個7行7列的方陣，若去掉4行4列后，仍剩下一個小正方形方陣，因此去掉4行4列的總?cè)藬?shù)原正方形方陣每邊人數(shù)4，即去掉的總?cè)藬?shù)20×20（204）×（204） 400256 144（人）答：去掉4行4列，要減少144人。5、正方形舞廳四周均勻的裝彩燈，如果四個角都裝一盞且每邊裝12盞，那么這個舞廳四周共裝彩燈多少盞？解析（1）：自己畫圖可以看出，角上的四盞燈各屬于兩行，所以彩燈總數(shù)應(yīng)為：12×4444（盞）（2）：還可以把彩燈分成相等的四部分，

17、因此彩燈總數(shù)為：（121）×444（盞）答：這個舞廳四周共裝彩燈44盞。6、“六一”兒童節(jié)前夕，在校園雕塑的周圍，用204盆鮮花圍成了一個每邊三層的方陣，請你求出最外面一層每邊有鮮花多少盆?解析：分析思路參見例6，最外層每邊人數(shù)=總數(shù)÷4÷層數(shù)+層數(shù)204÷4÷3+3=20(盆)答：最外面一層每邊有鮮花20盆7、四年級一班參加運動會入場式，排成一個方陣，最外層一周的人數(shù)為20人，請問：方陣最外層每邊的人數(shù)是多少?這個方陣共有多少人?解析：根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關(guān)系可知：每邊人數(shù)=四周人數(shù)÷4+1，可以求出這個方陣最外層每邊的人數(shù)，那

18、么這個方陣隊列的總?cè)藬?shù)就可以求出來了。解：（1）方陣最外層每邊的人數(shù)：20÷4+1=5+1=6（人） （2）整個方陣共有學(xué)生人數(shù)：6×6=36（人）答：方陣最外層每邊的人數(shù)是6人，這個方陣共有36人。8、明明用圍棋子擺成一個三層中空方陣，如果最外層每邊有圍棋子15個，明明擺這個方陣最里層一周共有多少枚棋子?擺這個三層空心方陣共用了多少枚棋子？解析：（1）方陣每向里面一層，每邊的個數(shù)就減少2個，知道最外面一層，每邊放15個，可以求出最里層每邊的個數(shù)，就可以求出最里層一周放棋子的總數(shù)。（2）根據(jù)最外層每邊放棋子的個數(shù)減去這個中空方陣的層數(shù)，再乘以層數(shù)，再乘以4，計算出這個中空方

19、陣共用棋子多少個。解：（1）最里層一周棋子的個數(shù)是：（15-2-2-1）×4=40（個） （2）這個空心方陣共用的棋子數(shù)是：（15-3）×3×4=144（個）答：這個方陣最里層一周有40個棋子;擺這個中空方陣共用144個棋子。9、若干戰(zhàn)士排成一個四層中空方陣，只知道最外一層每邊有12人，請你求出總?cè)藬?shù)。解析：我們可以采用先求出每層人數(shù)再求總?cè)藬?shù)的方法進行。解：由于最外層每邊有12人，因此最外層一共有（121）×444人，又根據(jù)方陣相鄰兩層，外層比內(nèi)層人數(shù)多8的特點，因此第二層有44836人，第三層有36828人，第四層有28820人。因此一共有44+36

20、+28+20128人。還可以這樣想，把四層中空方陣劃分如例5的形狀，我們發(fā)現(xiàn)每個長方形可以看成四排戰(zhàn)士，每排有8人組成。因此一個長方形有8×432人，一共有4個長方形，32×4128人。當(dāng)然還可以先把中空方陣看成中實方陣，然后再減去補上的小中實方陣人數(shù)，也可以求出一共有多少人，看成中實方陣后，最外一層每邊12人，因此一共有12×12144人。又因為在方陣中相鄰兩個正方形每邊人數(shù)相差2，因此第二層每邊有12210人，第三層每邊有1028人，第四層每邊有826人，第五層每邊有624人。因此小的中實方陣有4×416人。14416128人就表示一共有戰(zhàn)士的人數(shù)。答：一共有128人。10、有若干盆鮮花擺成一個中空方陣，最外層共擺48盆，最內(nèi)