計(jì)算機(jī)控制技術(shù)13離散系統(tǒng)的能控(觀測(cè))性及穩(wěn)定性

1、2022-4-202022-4-201 1第三節(jié)第三節(jié) 線性離散定常系統(tǒng)的線性離散定常系統(tǒng)的能控能控( (觀測(cè)觀測(cè)) )性及穩(wěn)定性性及穩(wěn)定性2022-4-202022-4-202 2若存在若存在控制序列控制序列u(0)，u(1)，u(l-1)(l n)能將任意初始狀態(tài)能將任意初始狀態(tài)x(0)=x0在在第第l步步上到達(dá)零態(tài)上到達(dá)零態(tài)x(l)0，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。)()()1(kHukGxkx 對(duì)于對(duì)于n階線性定常離散系統(tǒng)：階線性定常離散系統(tǒng)：若存在若存在控制序列控制序列u(0)，u(1)，u(l-1)(l n)能將初始狀態(tài)能將初始狀態(tài)x(0)=x0 =0在在第第

2、l步步上到達(dá)任意終端狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能上到達(dá)任意終端狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能達(dá)的。達(dá)的。2022-4-202022-4-203 3：對(duì)于：對(duì)于n階線性定常離散系統(tǒng)：階線性定常離散系統(tǒng)：定義判別陣如下：定義判別陣如下： HGGHHQnc1 )()()1(kHukGxkx 如果如果G非奇異陣，則式非奇異陣，則式(1)是系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的是系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件；充分必要條件；如果如果G是奇異陣，則式是奇異陣，則式(1)是系統(tǒng)是系統(tǒng) 狀態(tài)完全能控的狀態(tài)完全能控的充分條件。充分條件。 nHGGHHrankrankQnc 1則系統(tǒng)狀態(tài)完全能達(dá)的則系統(tǒng)狀態(tài)完全能達(dá)的充分必要條件充分必要條

3、件是：是：（1）2022-4-202022-4-204 4)()0()(101iHuGxGkxkiikk )()()1(kHukGxkx UQuunuHGGHHnHunGHuHuGiHuGnxcnnniin )0()1()1()1()2()0()()(11101線性定常離散系統(tǒng)線性定常離散系統(tǒng)解為解為所以所以0)0( x)()0()(101iHuGxGnxniinn 所以所以2022-4-202022-4-205 5 UQuunuHGGHHnHunGHuHuGiHuGxGcnnniinn )0()1()1()1()2()0()()0(111010)( nx所以所以nG)0(xGnnG)0(xG

4、nnR)0(xGnnR)0(xGn2022-4-202022-4-206 6如果一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)如果一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)間離散化，由于不論間離散化，由于不論A是否為非奇異陣，是否為非奇異陣， 必可必可逆，即是非奇異的。所以，連續(xù)系統(tǒng)離散后得到的系統(tǒng)，逆，即是非奇異的。所以，連續(xù)系統(tǒng)離散后得到的系統(tǒng)，其能控性和能達(dá)性等價(jià)。其能控性和能達(dá)性等價(jià)。ATeG 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)可達(dá)性和可控性等價(jià)，而離散時(shí)間系統(tǒng)則連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)可達(dá)性和可控性等價(jià)，而離散時(shí)間系統(tǒng)則不完全相同。離散時(shí)間系統(tǒng)，如果矩陣不完全相同。離散時(shí)間系統(tǒng)，如果矩陣G非奇異，則系非奇異，則系統(tǒng)的

5、能控性和能達(dá)性等價(jià)。如果統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價(jià)。如果G奇異，則不可達(dá)的系奇異，則不可達(dá)的系統(tǒng)，也可能可控。所以：統(tǒng)，也可能可控。所以：可達(dá)系統(tǒng)一定可控，可控系統(tǒng)可達(dá)系統(tǒng)一定可控，可控系統(tǒng)不一定可達(dá)。不一定可達(dá)。0 nG此時(shí)，對(duì)任意的此時(shí)，對(duì)任意的x(0)，均有均有 ，不管，不管Qc是否滿秩，均是否滿秩，均能找到能找到U0。所以，當(dāng)所以，當(dāng)G是奇異時(shí)，是奇異時(shí)， Qc滿秩是判斷能控性的充滿秩是判斷能控性的充分條件，而不是必要條件分條件，而不是必要條件0)0( xGn2022-4-202022-4-207 7：1 1）只討論使任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零態(tài)，或零態(tài)轉(zhuǎn)移到任意終）只討論使任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零

6、態(tài)，或零態(tài)轉(zhuǎn)移到任意終端狀態(tài)的控制序列是否存在，不涉及具體轉(zhuǎn)移幾步。端狀態(tài)的控制序列是否存在，不涉及具體轉(zhuǎn)移幾步。2 2）對(duì)于對(duì)于n n階階SISI定常系統(tǒng)，若在第定常系統(tǒng)，若在第n n步上不能將初始狀態(tài)（零態(tài)）步上不能將初始狀態(tài)（零態(tài)）轉(zhuǎn)移到零態(tài)（任意終端狀態(tài)），則在轉(zhuǎn)移到零態(tài)（任意終端狀態(tài)），則在n+1n+1及以后的任何一及以后的任何一步都不能轉(zhuǎn)移。步都不能轉(zhuǎn)移。)(101)()()(011220001)1()1()1(321321kukxkxkxkxkxkx 系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判定系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性和能控性。系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判定系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性和能控性。2022-4-202022

7、-4-208 8 321121011220001121101011220001,1012HGGHH故系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控。故系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控。：首先構(gòu)造能控判別陣：首先構(gòu)造能控判別陣：nrankQc 3 3112201112HGGHHQc所以能控性判別陣為：所以能控性判別陣為：求能控性判別陣的秩：求能控性判別陣的秩：2022-4-202022-4-209 9, 2 , 1 , 0, )(21)(4623)1( kkukxkx系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判定系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判定系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。：G為奇異陣，且有：為奇異陣，且有： nrankGHHrankrankQc 2114

8、271則系統(tǒng)不完全能達(dá)，由于則系統(tǒng)不完全能達(dá)，由于G奇異，系統(tǒng)狀態(tài)有可能可控。奇異，系統(tǒng)狀態(tài)有可能可控。)0(21)0(4)0(6)0(2)0(3)0(21)0(4623)1(2121uxxxxuxx )0(2)0(3()0(21xxu 如果?。喝绻。?)1( x則則x一步回零：一步回零：所以，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。所以，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。2022-4-202022-4-201010：對(duì)于對(duì)于n階線性定常離散系統(tǒng)，階線性定常離散系統(tǒng)，其狀態(tài)完全能控且能其狀態(tài)完全能控且能觀測(cè)的充分必要條件是：以下的觀測(cè)的充分必要條件是：以下的Z Z傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)或Z Z傳遞矩陣的傳遞矩陣的分子分母間沒有零、極

9、點(diǎn)對(duì)消。分子分母間沒有零、極點(diǎn)對(duì)消。HGzICzG1)()( 特征值互異時(shí)，特征值互異時(shí)，H中不包含元素全為中不包含元素全為0的行；的行；重特征根時(shí)，一定不可控。重特征根時(shí)，一定不可控。中與每個(gè)約當(dāng)小塊首行所對(duì)應(yīng)的行，其元素中與每個(gè)約當(dāng)小塊首行所對(duì)應(yīng)的行，其元素不全為零。不全為零。2個(gè)推論（個(gè)推論（SI系統(tǒng)必不可控；系統(tǒng)必不可控；MI系統(tǒng)，同一特征值對(duì)系統(tǒng)，同一特征值對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊最后一行所對(duì)應(yīng)應(yīng)的約當(dāng)塊最后一行所對(duì)應(yīng)H中的行，行線性無關(guān)則可控）中的行，行線性無關(guān)則可控）2022-4-202022-4-201111如果根據(jù)有限個(gè)采樣周期內(nèi)測(cè)量的如果根據(jù)有限個(gè)采樣周期內(nèi)測(cè)量的y(0)，y(1)，y

10、(l)，可以唯可以唯一地確定出系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)一地確定出系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)x0 ，則稱則稱x0為能觀測(cè)狀態(tài)。如果為能觀測(cè)狀態(tài)。如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能觀測(cè)的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測(cè)的系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能觀測(cè)的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測(cè)的。定理：對(duì)于線性離散定常系統(tǒng)，其狀態(tài)完全能觀測(cè)的充要條件定理：對(duì)于線性離散定常系統(tǒng)，其狀態(tài)完全能觀測(cè)的充要條件是其能觀測(cè)性判別矩陣：是其能觀測(cè)性判別矩陣：nrankQo 滿秩滿秩即：即： TTnTTTTnoCGCGCCGCGCQ11)( )()()()()()1(kDukCxkykHukGxkx對(duì)于對(duì)于n階線性定常離散系統(tǒng)：階線性定常離散系統(tǒng)：2022-4-2020

11、22-4-201212)(010001)(),(210021002)1(kxkykxkx ：設(shè)線性定常離散系統(tǒng)方程如下，試判斷其能觀測(cè)性：設(shè)線性定常離散系統(tǒng)方程如下，試判斷其能觀測(cè)性 0400042100210020210020210022100210020100012CGCG：320400040210020100012 rankCGCGCrankrankQo系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀測(cè)不完全能觀測(cè)2022-4-202022-4-201313：對(duì)于對(duì)于n階線性定常離散系統(tǒng)，階線性定常離散系統(tǒng)，其狀態(tài)完全能控且能觀測(cè)的其狀態(tài)完全能控且能觀測(cè)的充分必要條件是：以下的充分必要條件是：以下的Z Z傳遞

12、函數(shù)或傳遞函數(shù)或Z Z傳遞矩陣的分子分母間傳遞矩陣的分子分母間沒有零、極點(diǎn)對(duì)消。沒有零、極點(diǎn)對(duì)消。HGzICzG1)()( 特征值互異時(shí)，特征值互異時(shí)，C中不包含元素全為中不包含元素全為0的列；的列；重特征根時(shí)，一定不可觀測(cè)。重特征根時(shí)，一定不可觀測(cè)。中與每個(gè)約當(dāng)小塊首列所對(duì)應(yīng)的列，其元素中與每個(gè)約當(dāng)小塊首列所對(duì)應(yīng)的列，其元素不全為零。不全為零。2個(gè)推論（個(gè)推論（SO系統(tǒng)必不可觀；系統(tǒng)必不可觀；MO系統(tǒng)，同一特征值系統(tǒng)，同一特征值對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊首列所對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊首列所對(duì)應(yīng)C中的列，列線性無關(guān)，則可觀測(cè)）中的列，列線性無關(guān)，則可觀測(cè)）2022-4-202022-4-201414：對(duì)于線性連續(xù)定

13、常系統(tǒng)，離散化后其狀態(tài)能控性和：對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)，離散化后其狀態(tài)能控性和能觀測(cè)性是否發(fā)生變化。能觀測(cè)性是否發(fā)生變化。：已知連續(xù)系統(tǒng)：已知連續(xù)系統(tǒng)：是狀態(tài)完全能控且能觀測(cè)的。請(qǐng)寫出其離散化方程，并確是狀態(tài)完全能控且能觀測(cè)的。請(qǐng)寫出其離散化方程，并確定使相應(yīng)的離散化系統(tǒng)能控且能觀測(cè)的采樣周期定使相應(yīng)的離散化系統(tǒng)能控且能觀測(cè)的采樣周期T的范圍。的范圍。 xyuxx01,100110 ： 先求連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：先求連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣： ttttssssssLssLAsILetAtcossinsincos)1/()1/(1)1/(1)1/(11)()(222211111 2022-4-20

14、2022-4-201515所以：所以：TTTTTGcossinsincos)( TTdtttttBdttHTTsincos110cossinsincos)(00 0)1(cossin2sincossin2sinsincoscoscos122 TTTTTTTTTTGHHQc要使系統(tǒng)狀態(tài)能控，則能控判別陣的行列式非零，即：要使系統(tǒng)狀態(tài)能控，則能控判別陣的行列式非零，即：0sinsincos01 TTTCGCQo要使系統(tǒng)狀態(tài)能觀測(cè)，則能觀測(cè)判別陣的行列式非零，即：要使系統(tǒng)狀態(tài)能觀測(cè)，則能觀測(cè)判別陣的行列式非零，即：), 2 , 1(, kkT 聯(lián)立上聯(lián)立上2式可知，要使離散化后系統(tǒng)能控且能觀測(cè)，式可

15、知，要使離散化后系統(tǒng)能控且能觀測(cè)，T必須滿足：必須滿足：2022-4-202022-4-201616：對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)如果是不能控和不能觀測(cè)的，：對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)如果是不能控和不能觀測(cè)的，則其離散化后的系統(tǒng)也必是不能控和不能觀測(cè)的。則其離散化后的系統(tǒng)也必是不能控和不能觀測(cè)的。：對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)如果是能控和能觀測(cè)的，則：對(duì)于線性連續(xù)定常系統(tǒng)如果是能控和能觀測(cè)的，則其離散化后的系統(tǒng)不一定是能控和能觀測(cè)的。其離散化后的系統(tǒng)不一定是能控和能觀測(cè)的。：離散化后的系統(tǒng)能否保持能控和能觀測(cè)性，取決于：離散化后的系統(tǒng)能否保持能控和能觀測(cè)性，取決于采樣周期采樣周期T的選擇。的選擇。：線性連續(xù)定常系統(tǒng)

16、離散化后，系統(tǒng)的能控和能觀測(cè)性：線性連續(xù)定常系統(tǒng)離散化后，系統(tǒng)的能控和能觀測(cè)性變差了。變差了。2022-4-202022-4-201717z傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部位于單位圓內(nèi)。即：傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部位于單位圓內(nèi)。即：等價(jià)于系統(tǒng)的等價(jià)于系統(tǒng)的s平面中所有極點(diǎn)位于平面中所有極點(diǎn)位于s的左半平面。的左半平面。1| z與線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)相似，線性離散時(shí)間系統(tǒng)也具有以下與線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)相似，線性離散時(shí)間系統(tǒng)也具有以下穩(wěn)定性定理。穩(wěn)定性定理。2022-4-202022-4-201818線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)Xe=0Xe=0處漸近穩(wěn)定的充要條件是

17、：對(duì)于處漸近穩(wěn)定的充要條件是：對(duì)于任意給定的對(duì)稱正定矩陣任意給定的對(duì)稱正定矩陣Q Q，都存在對(duì)稱正定矩陣都存在對(duì)稱正定矩陣P P，使得：使得：)()1(kGxkx QPPGGT 且系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)是：且系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)是： )()()(kPxkxkxVT ： 代代替替，則則有有：的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)用用對(duì)對(duì)于于線線性性離離散散時(shí)時(shí)間間系系統(tǒng)統(tǒng))()(,kxVkxV )()()()()()()()()()()1()1()()1()(kQxkxkxPPGGkxkPxkxkPGxkGxkPxkxkPxkxkxVkxVkxVTTTTTTT 2022-4-202022-4-201919 當(dāng)取當(dāng)取 時(shí)：時(shí)

18、：如果：如果 沿任意一解序列不沿任意一解序列不恒等于零，恒等于零，Q也可取為也可取為半正定半正定的。的。 )()()(kQxkxkxVT IQ IPPGGT QPPGGT 仿線性連續(xù)系統(tǒng)，先給出正定對(duì)稱矩陣仿線性連續(xù)系統(tǒng)，先給出正定對(duì)稱矩陣Q Q，從以下方程中解出實(shí)從以下方程中解出實(shí)對(duì)稱陣對(duì)稱陣P P，然后驗(yàn)證然后驗(yàn)證P P是否正定，是則系統(tǒng)是李氏漸近穩(wěn)定的。是否正定，是則系統(tǒng)是李氏漸近穩(wěn)定的。 負(fù)定，即：負(fù)定，即：正定正定要使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，則要使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，則)(,)(kxVkxV 為正定。為正定。PPGGQT 2022-4-202022-4-202020試用李氏第二法確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn)試用李氏第二法確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn) 為漸近穩(wěn)定的為漸近穩(wěn)定的k值范圍。值范圍。0 ex根據(jù)根據(jù) 得：得：IQ QPPGGT 取：?。?100010001020100010010201000332313232212131211332313232212131211pppppppppkpppppppppk：已知線性離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程為：已知線性離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程為：)()1(kGxkx 其中：其中：0,020100010 kkG2022-4-202022-4-202121 222)2/(13000)2/(1)2/(20001kkkP解得：解得：根據(jù)賽爾維斯特法則：