二重積分概念lsyppt課件

1、一元函數(shù)積分學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分重積分曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分重 積 分 三、二重積分的性質(zhì)三、二重積分的性質(zhì) 一、引例一、引例 二、二重積分的定義與可積性二、二重積分的定義與可積性 二重積分的概念與性質(zhì) 第8章 解法解法: 類似定積分處置問題的思想類似定積分處置問題的思想:1.曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 給定曲頂柱體:0),(yxfz底：底： xoy 面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域 D頂頂: 連續(xù)曲面連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂詡?cè)面：以 D 的邊境為準(zhǔn)線的邊境為準(zhǔn)線 , 母線平行于母線平行于 z 軸的柱軸的柱面面求其體積.“大化小, 常代變, 近似和, 求極限 D),(

2、yxfz D),(yxfz 1)“大化小用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個區(qū)域n,21以它們?yōu)榈装亚斨w分為 n 個2)“常代變在每個k, ),(kk3)“近似和nkkVV1nkkkkf1),(),(kkf),2, 1(),(nkfVkkkk那么中任取一點(diǎn)小曲頂柱體k),(kk4)“取極限的直徑為定義kkk,PPPP2121max)(令)(max1knknkkkkfV10),(lim),(yxfz ),(kkfk),(kk有一個平面薄片, 在 xoy 平面上占有區(qū)域 D ,),(Cyx計算該薄片的質(zhì)量 M .度為),(),(常數(shù)若yx設(shè)D 的面積為 , 那么M假設(shè)),(yx非常數(shù) , 仍可用其面密

3、“大化小, 常代變,近似和, 求極限 處置.1)“大化小用任意曲線網(wǎng)分D 為 n 個小區(qū)域,21n相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 .Dyx2)“常代變中任取一點(diǎn)k在每個),(kk3)“近似和nkkMM1nkkkk1),(4)“取極限)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk那么第 k 小塊的質(zhì)量yx兩個問題的共性：(1) 處置問題的步驟一樣(2) 所求量的構(gòu)造式一樣“大化小, 常代變, 近似和,取極限nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲頂柱體體積: 平面薄片的質(zhì)量: 定義定義:),(yxf設(shè)將區(qū)域 D 任意分成 n 個小區(qū)域)

4、,2,1(nkk任取一點(diǎn),),(kkk假設(shè)存在一個常數(shù) I , 使nkkkkfI10),(lim可積可積 , ),(yxf則稱dyxfD),(),(yxfI為稱在D上的二重積分.稱為積分變量yx,積分和Dyxfd),(積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作是定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) , DyxfVd),(引例1中曲頂柱體體積:DyxMd),(引例2中平面薄板的質(zhì)量:假如 在D上可積,),(yxf也常d,ddyx二重積分記作Dyxyxfdd),(,kkkyx 這時分區(qū)域D , 因而面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃 記作Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(假設(shè)函數(shù)),(yxf),(yxf

5、定理定理2.),(yxf上可在則Dyxf),(在D上可積.限個點(diǎn)或有限個光滑曲線外都連續(xù) ,積.在有界閉區(qū)域 D上連續(xù), 那么假設(shè)有界函數(shù)在有界閉區(qū)域 D 上除去有 例如例如, yxyxyxf22),(在D :10 x10 y上二重積分存在 ;yxyxf1),(但在D 上 y1xo1D二重積分不存在 . Dyxfkd),(. 1( k 為常數(shù))Dyxgyxfd),(),(. 2d),(d),(d),(.yxfyxfyxfDDD213, 1),(. 4yxfD上若在DDdd1 為D 的面積, 那么 ),(2121無公共內(nèi)點(diǎn)DDDDDDyxfkd),(DDyxgyxfd),(d),(特別, 由于)

6、,(),(),(yxfyxfyxfDyxfd),(那么Dyxfd),(Dyxd),(5. 假設(shè)在假設(shè)在D上上),(yxf, ),(yxDyxfd),(6. 設(shè)設(shè)),(min),(maxyxfmyxfMDDD 的面積為 ,MyxfmDd),(那么有7.(二重積分的中值定理),(yxf設(shè)函數(shù),),(D),(),(fdyxfD證證: 由性質(zhì)由性質(zhì)6 可知可知,MyxfmDd),(1由連續(xù)函數(shù)介值定理, 至少有一點(diǎn)D),(Dyxffd),(1),(),(d),(fyxfD在閉區(qū)域D上 為D 的面積 ,那么至少存在一點(diǎn)使使連續(xù),因而d)(,d)(32DDyxyx其中2) 1()2( :22yxD解解:

7、積分域積分域 D 的邊境為圓周的邊境為圓周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它與 x 軸交于點(diǎn) (1,0) ,.1相切與直線 yx而域 D 位, 1 yx從而d)(d)(32DDyxyx于直線的上方, 故在 D 上 1y2xo1Dyxyxyxdd1432222的正負(fù)號.解解: 分積分域?yàn)榉址e分域?yàn)?321DDD那么原式 =yxyxDdd11322yxyxDdd12322yxyxDdd133221ddDyxyxDdd1333)34(2323D32D11Dyxo0)21 (3猜測結(jié)果為負(fù) 但不好估計 .舍去此項(xiàng)10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解: D 的面積為的面積為200)210(2由于yx22coscos1001積分性質(zhì)5100200I102200即: 1.96 I 210101010D10011021xyoxyo D),(yxfD 位于 x 軸上方的部分為D1 , ),(),() 1 (yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時, 仍1D在 D 上d),(21Dyxf在閉區(qū)域上連續(xù), 域D 關(guān)于x 軸對稱,那么那么有類似結(jié)果.在第一象限部分, 那么有1: