高等數(shù)學(xué)--D63物理應(yīng)用ppt課件

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三節(jié)定積分在物理學(xué)上的運(yùn)用 第六章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一、一、 變力沿直線(xiàn)所作的功變力沿直線(xiàn)所作的功設(shè)物體在延續(xù)變力 F(x) 作用下沿 x 軸從 x a 挪動(dòng)到,bx 力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行, 求變力所做的功 .xabxxxd，上任取子區(qū)間在d,xxxba在其上所作的功元素為xxFWd)(d因此變力F(x) 在區(qū)間 ,ba上所作的功為baxxFWd)(目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.一個(gè)單求電場(chǎng)力所作的功 . qOrabrrrd11解解: 當(dāng)單位正電荷間隔 原點(diǎn) r 時(shí),由庫(kù)侖定律電場(chǎng)力為2rqkF 那么功的元素為rrqkWdd2所求功為ba

2、rrqkWd2rqk1ab)11(baqk闡明闡明:處的電勢(shì)為電場(chǎng)在ar arrqkd2aqk位正電荷沿直線(xiàn)從間隔 點(diǎn)電荷 a 處挪動(dòng)到 b 處 (a b) , 在一個(gè)帶 +q 電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)作用下, 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 S例例2.體, 求挪動(dòng)過(guò)程中氣體壓力所Ox解解:由于氣體的膨脹, 把容器中的一個(gè)面積為S 的活塞從點(diǎn) a 處挪動(dòng)到點(diǎn) b 處 (如圖), 作的功 .ab建立坐標(biāo)系如圖.xxxd由波義耳馬略特定律知壓強(qiáng) p 與體積 V 成反比 , 即,SxkVkp 功元素為WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功為baxxkWdbaxk lnabkln力為在底面積為 S

3、的圓柱描畫(huà)器中盛有一定量的氣 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 m3m5例例3.試問(wèn)要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.Oxxxxd在任一小區(qū)間d,xxx上的一薄層水的重力為gxd32這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為Wdxxgd9故所求功為50Wxxgd9g922xg5 .112( KJ )設(shè)水的密度為05(KN)一蓄滿(mǎn)水的圓柱形水桶高為 5 m, 底圓半徑為3m, 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 面積為 A 的平板二、液體的側(cè)壓力二、液體的側(cè)壓力設(shè)液體密度為 深為 h 處的壓強(qiáng): hgph當(dāng)平板與水面平行時(shí), ApP 當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受側(cè)壓力問(wèn)題就

4、需用積分處理 .平板一側(cè)所受的壓力為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 小窄條上各點(diǎn)的壓強(qiáng)xgp332Rg例例4. 的液體 , 求桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力. 解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖. 所論半圓的22xRy)0(Rx 利用對(duì)稱(chēng)性 , 側(cè)壓力元素RP0 xxRxgd222OxyRxxxd222xR Pdxg端面所受側(cè)壓力為xd方程為一程度橫放的半徑為R 的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0arcsin224222RRxRxRxgR,d222xxR 闡明闡明: 當(dāng)桶內(nèi)充溢液體時(shí),),(xRg小窄條上的壓強(qiáng)為側(cè)壓力元素Pd故端面所受側(cè)壓力為RRxxRxRgPd)(222奇函

5、數(shù)奇函數(shù)3Rg)(xRgRxxRgR022d4tRxsin令OxyRxxxd目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三、三、 引力問(wèn)題引力問(wèn)題質(zhì)量分別為21, mm的質(zhì)點(diǎn) , 相距 r ,1m2mr二者間的引力 :大小:221rmmkF 方向:沿兩質(zhì)點(diǎn)的連線(xiàn)假設(shè)思索物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力, 那么需用積分處理 .目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5. 設(shè)有一長(zhǎng)度為 l, 線(xiàn)密度為 的均勻細(xì)直棒,其中垂線(xiàn)上距 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn) M,M該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.y2l2ld,xxx細(xì)棒上小段對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為 dkF xm d22xa 故鉛直分力元素為cosddFFya

6、22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkxOx在試計(jì)算FdxFdyFdxxd目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 利用對(duì)稱(chēng)性利用對(duì)稱(chēng)性223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力的程度分力.0 xF22412llmkFaa故棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的鉛直分力為 My2l2laaxOxFdxFdyFdxxd目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2lOy2laxxxdx闡明闡明:amk22) 假設(shè)思索質(zhì)點(diǎn)抑制引力沿 y 軸從 a 處1) 當(dāng)細(xì)棒很長(zhǎng)時(shí),可視 l 為無(wú)窮大 ,此時(shí)引力大小為方向與細(xì)棒垂直且指向細(xì)棒 .移到 b (a b) 處

7、時(shí)抑制引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyyWdyd那么有22412llmkFaa目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 lOxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力大小為22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFdsindF留意正負(fù)號(hào)3) 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于棒的左端點(diǎn)垂線(xiàn)上時(shí)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于棒的左端點(diǎn)垂線(xiàn)上時(shí), 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量四、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 (補(bǔ)充補(bǔ)充)質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為l2rmI 的質(zhì)點(diǎn)系),2, 1(,nimrl

8、ii質(zhì)量為的距離為與軸21iniirmI假設(shè)思索物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 , 那么需用積分處理 .r關(guān)于軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為m目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 lR例例6. 求圓盤(pán)對(duì)經(jīng)過(guò)中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求圓盤(pán)對(duì)經(jīng)過(guò)中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ; 求圓盤(pán)對(duì)直徑所在軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求圓盤(pán)對(duì)直徑所在軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 .解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.設(shè)圓盤(pán)面密度為 .的對(duì)應(yīng)于d,xxx小圓環(huán)質(zhì)量xx d2對(duì)應(yīng)于d,xxx的小圓環(huán)對(duì)軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為xxId2d3故圓盤(pán)對(duì)軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為RxxI03d2421 R221RMxxxxd2RM設(shè)有一個(gè)半徑為 R , 質(zhì)量為 M 的均勻圓盤(pán) , O目錄 上頁(yè)

9、 下頁(yè) 返回 結(jié)束 OxRyxxxd平行 y 軸的細(xì)條的對(duì)應(yīng)于d,xxx關(guān)于 y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量元素為yId細(xì)條質(zhì)量:y2xdxxyd22xxRxd2222故圓盤(pán)對(duì)y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為yIxxRxRRd2222xxRxRd42202)sin(tRx 令tttRdcossin422402441R)(2RM241RM 取旋轉(zhuǎn)軸為取旋轉(zhuǎn)軸為 y 軸軸, 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 先用元素法求出它的微分表達(dá)式 dQ普通元素的幾何外形有:扇、片、殼扇、片、殼 等等.(2) 然后用定積分來(lái)表示整體量 Q , 并計(jì)算之. 1.用定積分求一個(gè)分布在某區(qū)間上

10、的整體量 Q 的步驟:2.定積分的物理運(yùn)用:變力作功 , 側(cè)壓力 , 引力, 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等.條、段、環(huán)、帶、條、段、環(huán)、帶、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2019考研)思索與練習(xí)思索與練習(xí)提示提示: 作作 x 軸如圖軸如圖.Ox30 xxd1.為去除井底污泥, 用纜繩將抓斗放入井底, 泥后提出井口,纜繩每在提升過(guò)程中污泥以20N /s 的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度為3m /s , 問(wèn)抑制重力需作多少焦耳( J ) 功?知井深30 m ,抓斗自重400N , 將抓起污泥的抓斗由抓起污x 提升 dx 所作的功可分為三部分: 米重50N

11、 ,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 提升抓斗中的污泥:井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 纜繩每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度為3ms, 污泥以 20Ns 的速度從抓斗縫隙中漏掉xWd400d1抑制纜繩重:xxWd)30(50d2抓斗升至 x 處所需時(shí)間 :) s (3x(J)91500 xxWxd)202000()30(504003300 xWxd)202000(d33321ddddWWWW抑制抓斗自重: Ox30 xxd目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyABO2. 設(shè)星形線(xiàn)設(shè)星形線(xiàn)taytax33sin,cos上每一點(diǎn)處線(xiàn)密度的大小等于該點(diǎn)到原點(diǎn)間隔 的立方,提

12、示提示: 如圖如圖.2222d)(d23yxsyxkFsyxkd)(2122cosddFFxsyxxyxkd)(222221sxkdsinddFFysykd),(yxsd在點(diǎn)O 處有一單 位質(zhì)點(diǎn) ,求星形線(xiàn)在第一象限的弧段對(duì)這質(zhì)點(diǎn)的引力.目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 同理takFx203costttattadcossin3)sin(cos32222tttkadsincos32042253ak253akFy故星形線(xiàn)在第一象限的弧段對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的2253akF xFd,dsxkyFdsykd;sin,cos33taytax習(xí)題課 引力大小為作業(yè)作業(yè): P291 2 , 3 , 5 , 9 , 12xyABO),(yxsd目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 銳角 取多大時(shí), 薄板所受的壓力 P 最大 .備用題備用題斜邊為定長(zhǎng)的直角三角形薄板, 垂直放置于解解: 選取坐標(biāo)系如圖選取坐標(biāo)系如圖. 設(shè)斜邊長(zhǎng)為 l ,水中, 并使