隱函數(shù)參數(shù)方程表示的函數(shù)求導(dǎo)ppt課件

1、應(yīng)應(yīng) 用用 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) （06級(jí)融資理財(cái)級(jí)融資理財(cái)1班）班）主講：彭如海教授主講：彭如海教授 嶺嶺 南南 學(xué)學(xué) 院院 江江 蘇蘇 科科 技技 大大 學(xué)學(xué)第第9講講 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所隱函數(shù)及由參數(shù)方程所 確定的函確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 一、授課時(shí)間：一、授課時(shí)間：20194173、4節(jié)節(jié) 二、教學(xué)目的要求：二、教學(xué)目的要求： 在復(fù)習(xí)鞏固上節(jié)顯函數(shù)在復(fù)習(xí)鞏固上節(jié)顯函數(shù) 導(dǎo)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上，講述并要求掌握隱函數(shù)與數(shù)運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上，講述并要求掌握隱函數(shù)與參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法。參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法。 三、教學(xué)重點(diǎn)：隱函數(shù)與參數(shù)方程確定的函數(shù)的三、教學(xué)重點(diǎn)：隱函數(shù)與

2、參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)；求導(dǎo)； 教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 四、課型、教學(xué)方法：講述為主，講練結(jié)合。四、課型、教學(xué)方法：講述為主，講練結(jié)合。 五、教學(xué)手段：多媒體適當(dāng)板書(shū)。五、教學(xué)手段：多媒體適當(dāng)板書(shū)。繼續(xù)【繼續(xù)【22】課堂練習(xí)】課堂練習(xí) 課堂練習(xí)： 習(xí)題22 ）214） 求其導(dǎo)數(shù)。已知, )ln(sin2xy xxxxxxxy)ln(cos22 .1).ln(cos).ln(ln(cos22222解：復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法則復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法則 1、基本導(dǎo)數(shù)公式、基本導(dǎo)數(shù)公式 2、求導(dǎo)法則、求導(dǎo)法則 (1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法

3、則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 (2) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則 (3) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1 1、基本導(dǎo)數(shù)公式、基本導(dǎo)數(shù)公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx （常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx arc2 2、求導(dǎo)法則、求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxu

4、u 可可導(dǎo)導(dǎo)，則則（1）vuvu )(, （2）uccu )(c是是常常數(shù)數(shù)),（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.(1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則.)(1)(),()(xxfxfyyx 則則有有的的反反函函數(shù)數(shù)為為如如果果函函數(shù)數(shù)(3) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)而而設(shè)設(shè)注：以上公式與法則是針對(duì)注：以上公式與法則是針對(duì) 顯函數(shù)而言的。顯函數(shù)而言的。易知函數(shù)用解

5、析法表示的方法有： 【1】顯函數(shù)上節(jié)已講其求導(dǎo)公式與法則） 【2】隱函數(shù) 【3】用參數(shù)方程表示的函數(shù)，即 問(wèn)：對(duì)【2】、【3】表示的函數(shù)如何求導(dǎo)？,)()(間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若參參數(shù)數(shù)方方程程xytytx 0),(yxf第第9講講 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所隱函數(shù)及由參數(shù)方程所 確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 【1】23隱函數(shù)及由參數(shù)方程隱函數(shù)及由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 【2】總結(jié)】總結(jié) 【3】課堂練習(xí)】課堂練習(xí)【1】23隱函數(shù)及由參數(shù)方程隱函數(shù)及由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的二、由

6、參數(shù)方程所確定的 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分第二章導(dǎo)數(shù)與微分三、對(duì)數(shù)微分法三、對(duì)數(shù)微分法一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義定義: :.)(0),(稱為隱函數(shù)所確定的函數(shù)由方程xyyyxF.)(形形式式稱稱為為顯顯函函數(shù)數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問(wèn)題問(wèn)題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方

7、程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 課堂練習(xí)課堂練習(xí)1 1例例2 2。3030設(shè)方程設(shè)方程 x2 + y2 = R2(R 為常數(shù)為常數(shù))確定函數(shù)確定函數(shù) y = y(x)， . ?ddxy求解解 將方將程兩邊求導(dǎo)，可得將方將程兩邊求導(dǎo)，可得 當(dāng)當(dāng) y 0 時(shí)時(shí)，yxxy dd或或.yxyx 例例 2 設(shè)方程設(shè)方程 y + x exy = 0 確定了函數(shù)確定了函數(shù) y = y(x)，.xy 求求解解 方程兩邊求導(dǎo)，得方程兩邊求導(dǎo)，得當(dāng)當(dāng) 1 - xexy 0 時(shí)，解得時(shí)

8、，解得，xyxyxyxyye11edd即即.e11exyxyxxyy 0)(10)(10)(xyyeyxyeyexyxyxyxy例例 3 求曲線求曲線 x2 + y4 = 17 在在 x = 4 處對(duì)應(yīng)于曲處對(duì)應(yīng)于曲線上的點(diǎn)的切線方程線上的點(diǎn)的切線方程.解解 方程兩邊求導(dǎo)數(shù)，可得方程兩邊求導(dǎo)數(shù)，可得).0(2dd3 yyxxy 即對(duì)應(yīng)于即對(duì)應(yīng)于 x = 4 有兩個(gè)縱坐標(biāo)，這就是說(shuō)曲線上有兩個(gè)點(diǎn)有兩個(gè)縱坐標(biāo)，這就是說(shuō)曲線上有兩個(gè)點(diǎn) P1(4, 1) 和和 P2(4, - 1).將將 x = 4 代入方程，得代入方程，得 y = 1.在在 P1 處的切線斜率處的切線斜率 y|(4,1)= - 2，

9、y 1 = - 2(x - 4) 即即 y + 2x 9 = 0在點(diǎn)在點(diǎn) P2 處的切線方程為處的切線方程為y + 1 = 2(x - 4)，即，即 y - 2x + 9 = 0 在在 P2 處切線的處切線的斜率斜率 y|(4, - 1) = 2.所以，在點(diǎn)所以，在點(diǎn) P1 處的切線方程為處的切線方程為【再用隱函數(shù)求導(dǎo)法補(bǔ)證反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式】【再用隱函數(shù)求導(dǎo)法補(bǔ)證反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式】設(shè)設(shè) y = arcsin x，那么，那么 x = sin y，兩邊對(duì)，兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得.cos1yy 時(shí)時(shí)，因因?yàn)闉?2 ycos y 取正號(hào)，取正號(hào)，.1sin1cos22xyy 所所以以.1

10、1)(arcsin2xx dxdyycos1二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(定定的的函函數(shù)數(shù)稱稱此此為為由由參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確間間的的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系與與確確定定若若參參數(shù)數(shù)方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問(wèn)題問(wèn)題: : 消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)? ?t),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都都可可導(dǎo)導(dǎo)再再設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)

11、及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在在方方程程 tytx例例 4設(shè)參數(shù)方程設(shè)參數(shù)方程 tbytaxsincos ， ( (橢圓方程橢圓方程) )確確定了函數(shù)定了函數(shù) y = y(x)y = y(x)，.ddxy求求解解 所以所以.cotsincosddtabtatbdtdxdtdyxytbdtdytadtdxcossin例例5 5解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程處處的的切切線線在在求求擺擺線線2)cos1()sin

12、( ttayttax.),12(,2ayaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即例例 6 設(shè)炮彈與地平線成設(shè)炮彈與地平線成 a 角，初速為角，初速為 v0 射出，射出，如果不計(jì)空氣阻力，以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，如果不計(jì)空氣阻力，以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)， 地平線為地平線為 x 軸，過(guò)原點(diǎn)垂直軸，過(guò)原點(diǎn)垂直 x 軸方向上的直線為軸方向上的直線為 y 軸軸(如圖如圖).由物理學(xué)知道它的運(yùn)動(dòng)方程為由物理學(xué)知道它的運(yùn)動(dòng)方程為 .21sin,cos200gttvytvx 求求(1)炮彈在時(shí)刻炮彈在時(shí)刻 t 時(shí)的速度大小與方向，時(shí)的速度大小與方向， (2)(2)如果如果中彈點(diǎn)與以

13、射點(diǎn)同在一水平線上，求炮彈的射程中彈點(diǎn)與以射點(diǎn)同在一水平線上，求炮彈的射程. . yOx中彈點(diǎn)中彈點(diǎn)解解 (1)炮彈的水平方向速度為炮彈的水平方向速度為 .cosdd0 vtxvx 炮彈的垂直方向速度為炮彈的垂直方向速度為，gtvtyvy sindd0yOx中彈點(diǎn)中彈點(diǎn)VxVy所以，在所以，在 t 時(shí)炮彈速度的大小為時(shí)炮彈速度的大小為，2202022sin2|tggtvvvvvyx 它的位置是在它的位置是在 t 時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的切線上，且沿炮時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的切線上，且沿炮彈的前進(jìn)方向，其斜率為彈的前進(jìn)方向，其斜率為(2)(2)令令 y = 0y = 0，得中彈點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻，得中彈點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的時(shí)

14、刻 ，gvt sin200 .2sin200 gvxt 所所以以射射程程.cossindd00 vgtvxy 三、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法三、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 上述函數(shù)的求導(dǎo)方法采用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：上述函數(shù)的求導(dǎo)方法采用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法： 先對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)先對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù), , 然后利用隱函數(shù)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù). .適用范圍適用范圍: :.)()(的的情情形形數(shù)數(shù)多多個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)相相乘乘和和冪冪指指函函xvxu例例7 7解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxxxy

15、)4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì) x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)例例8 8解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnsinln 求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì)xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxf

16、xv )(ln)()(lnxuxvxf 課堂練習(xí)課堂練習(xí)2 2解兩邊取對(duì)數(shù)，得解兩邊取對(duì)數(shù)，得， )2ln()1ln()1ln(231ln xxxy兩邊求導(dǎo)，兩邊求導(dǎo)，211111231dxdy1xxxy例例 9 設(shè)設(shè).,)2)(1()1(2yxxxy 求求3所以所以.21111231dd xxxyxyy.211112)2)(1()1(3132 xxxxxx【2】總結(jié)：導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法則】總結(jié)：導(dǎo)數(shù)公式與求導(dǎo)法則 1、基本導(dǎo)數(shù)公式、基本導(dǎo)數(shù)公式 2、求導(dǎo)法則、求導(dǎo)法則 (1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 (2) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則 (3) 復(fù)合函

17、數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 (4) 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 (5) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則 (6) 參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則1 1、基本導(dǎo)數(shù)公式、基本導(dǎo)數(shù)公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx （常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx arc2 2、求導(dǎo)法則、求導(dǎo)

18、法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可可導(dǎo)導(dǎo)，則則（1）vuvu )(, （2）uccu )(c是是常常數(shù)數(shù)),（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.(1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則.)(1)(),()(xxfxfyyx 則則有有的的反反函函數(shù)數(shù)為為如如果果函函數(shù)數(shù)(3) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)而而設(shè)設(shè)(4) 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)數(shù).適用范圍適用范圍: